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Valores y vectores propios Polinomio caracteŕıstico Diagonalización de endomorfismos y matrices cuadradas

Geometŕıa af́ın y proyectiva, 2016SEMANA 4

Sonia L. Rueda

ETS Arquitectura. UPM

September 30, 2016


Geometŕıa af́ın y proyectiva

1. Álgebra Lineal

2. Geometŕıa af́ın y eucĺıdea

3. Cónicas y cuádricas


Álgebra Lineal

1.1 Matrices. Sistemas de ecuaciones lineales.

1.2 Espacios y subespacios vectoriales. Bases y dimensión.

1.3 Ecuaciones de subespacios vectoriales. Operaciones consubespacios vectoriales.

1.4 Aplicaciones lineales.

1.5 Diagonalización.


Contenidos

Valores propios y vectores propiosde un endomorfismode una matriz cuadrada

Polinomio caracteŕısticoRaices de un polinomio y su multiplicidadMultiplicidad de un valor propio

Diagonalización de endomorfismos y matrices cuadradas


La matriz cuadrada

A =

1 3 3−3 −5 −33 3 1

y la matriz diagonal

D =

1 0 00 −2 00 0 −2

son equivalentes, verifican

D = P−1AP where P =

1 −1 −1−1 1 01 0 1

.


Sea V un espacio vectorial real.

Si f : V → V es un endomorfismo, cuya matriz D en una base deV es diagonal, muchos problemas relacionados con f se simplifican.

Por ejemplo: clasificar f (inyectiva, sobreyectiva o biyectiva);obtener sus invariantes; calcular f n, n ∈ N.

Dada una matriz cuadrada A (asociada a un endomorfismo)estudiamos a continuación cómo obtener una matriz diagonal Dequivalente a A

D = P−1AP where P =

1 −1 −1−1 1 01 0 1

.


Sea V un espacio vectorial real no nulo y f : V → V unendomofismo.

Definición Un escalar λ ∈ R es un valor propio (o autovalor) de fsi existe un vector no nulo v ∈ V tal que

f (v) = λv .

Definición Si λ es un valor propio de f , un vector v ∈ V quesatisface f (v) = λv se llama vector propio (o autovector) de fasociado a λ.

Ejemplo Sea f : R3 → R3 el endomorfismo definido por

f (x , y , z) = (x + 3y + 3z ,−3x − 5y − 3z , 3x + 3y + z).

Tenemos que λ = −2 es un valor propio de f ya que existe unvector no nulo v = (−1, 1, 0) tal que f (v) = −2v . Aśı v es unvector propio de f asociado a λ = −2.


Proposición El conjunto de todos los vectores propios de fasociados al valor propio λ de f

Vλ = {v ∈ V | f (v) = λv}

es un subespacio vectorial de V llamado subespacio propio de fasociado a λ.

Observaciones Sea id : V → V la aplicación identidad en V .1. Vλ = Ker(f − λid).2. Si λ ∈ R es valor propio de f ⇔ entonces el endomofismo

f − λid no es inyectivo.3. En particular, λ = 0 es un valor propio de f ⇔ f no es

inyectivo ⇔ Ker(f ) = V0 6= {0V }.4. Hay endomorfismos que no tienen valores propios, y por tanto

tampoco tienen vectores propios.


Proposición Sean λ1, . . . , λp valores propios distintos de f .

1. Sea vi un vector propio no nulo de f asociado a λi ,i = 1, . . . , p entonces v1, . . . , vp son linealmenteindependientes.

2. Vλ1 + · · ·+ Vλp es suma directa.

Observación Si dimV = n entonces f tiene a lo sumo n valorespropios diferentes, en caso contrario tendŕıa más de n vectorespropios linealmente independientes.


Sea A una matriz cuadrada n × n cuyas entradas son númerosreales, esto es A ∈Mn×n(R).

Definición Un escalar λ ∈ R es un vector propio de A si existe unvector columna no nulo X ∈Mn×1(R) tal que

AX = λX .

Definición Si λ es valor propio de A, un vector columnaX ∈Mn×1(R) que verifica AX = λX se llama vector propio de Aasociado a λ.

Sea In la matriz identidad de tamaño n × n.


Observaciones Supongamos que dimV = n y sea B una base de V .Sea f : V → V un endomorfismo cuya matriz asociada en la baseB es A. Se verifica que:

1. λ es valor propio de f ⇔ λ es valor propio de A ⇔det(A− λIn) = 0.

2. Sea v ∈ V y X el vector columna de las coordenadas de v enla base B, esto es X ∈Mn×1(K ). Tenemos que, v es unvector propio de f ⇔ X es un vector propio de A ⇔(A− λIn)X = 0.

3. dimVλ = n − rango(A− λIn).


Ejemplo Sea f : R3 → R3 el endomorfismo definido por

f (x , y , z) = (3x , x + 2y , 4x + 2z).

Sea B3 la base canónica de R3. La matriz de f en la base B3 es

A = Mf (B) =

3 0 01 2 04 0 2

.Dado que (A− 3I3) = 2 el sistema (A− 3I3)X = 0, es decir 3− 3 0 01 2− 3 0

4 0 2− 3

xyz

= 00

0

tiene una solución no nula. Por tanto, λ = 3 es valor propio de f yA. El subespacio propio V3 tiene dimV3 = 1 y ecuacionescartesianas

Cartesian equations of V3

{x + y = 04x − z = 0 .


Aśı V3 = {(a, a, 4a) | a ∈ R}.Por otra parte, (A− 2I3) = 1, entonces λ = 2 es valor propio de fy A, dimV2 = 2. Resolviendo (A− 2I3)X = 0, es decir 3− 2 0 01 2− 2 0

4 0 2− 2

xyz

= 00

0

tenemos que V2 = {(0, a, b) | a, b ∈ R} y que la ecuacióncartesiana de V2 es x = 0.


Sea R[x ] el conjunto de los polinomios en x con coeficientesresales.

Definición Sea p(x) un polinomio en R[x ]. Un escalar λ ∈ R esuna raiz de p(x) si p(λ) = 0.Equivalentemente, λ es raiz de p(x) śı y sólo si (x − λ) divide ap(x), es decir, existe un polinomio q(x) ∈ R[x ] tal que

p(x) = (x − λ)q(x).

Definición Sea λ una raiz del polinomio p(x). Llamamosmultiplicidad de λ al mayor número natural m tal que (x − λ)mdivide a p(x),

p(x) = (x − λ)mq(x), q(x) ∈ R[x ].


Todo polinomio de R[x ] de grado mayor o igual que uno tienetodas sus raices en C. Por otra parte, existen polinomios en R[x ]que no tienen raices en R. Por ejemplo, x2 + 1 tiene coeficientesreales pero sólo raices complejas.

Proposición Sea p(x) ∈ R[x ] un polinomio de grado n cuyas raicesreales son λ1, . . . , λp con multiplicidades m1, . . . ,mprespectivamente. Entonces:

1. Existe q(x) ∈ R[x ] tal quep(x) = (x − λ1)m1 · · · (x − λp)mpq(x) por tantom1 + · · ·+ mp ≤ n.

2. Si p(x) ∈ C[x ] todas sus raices pertenecen a C por tanto

p(x) = (x − λ1)m1 · · · (x − λp)mp con m1 + · · ·+ mp = n.


Definición Sea A ∈Mn×n(R). El polinomio caracteŕıstico de A esdet(A− λIn) y su ecuación caracteŕıstica es

det(A− λIn) = 0.

Proposición Sean A y A′ matrices en Mn×n(R). Si A y A′ sonmatrices del mismo endomorfismo en bases diferentes(equivalentes) entonces tienen el mismo polinomio caracteŕıstico.

Sea V un espacio vectorial real no nulo y sea f : V → V unendomorfirmo.

Observación

1. Todas las matrices asociadas a f en distintas bases de Vtienen el mismo polinomio caracteŕıstico.

2. El rećıproco de la proposición anterioir no es cierto.


Definición El polinomio caracteŕıstico de f es el polinomiocaracteŕıstico the cualquier matriz asociada a f en las distintasbases de V . Analogamente su ecuación caracteŕıstica.

Ejemplo Calculemos el polinomio caracteŕıstico del endomorfismo fde R5 definido por

f (x1, x2, x3, x4, x5) = (−x2, x1 + x3, 2x3 − x4, 2x4 + 6x5, 3x5).

Sea B5 la base canónica de R5 y A = Mf (B5), entonces:


det(A− λI5) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣0− λ −1 0 0 0

1 0− λ 1 0 00 0 2− λ −1 00 0 0 2− λ 60 0 0 0 3− λ

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

=(3− λ)(2− λ)2∣∣∣∣ 0− λ −11 0− λ

∣∣∣∣=(3− λ)(2− λ)2(λ2 + 1).


Sea V un espacio vectorial real no nulo y f : V → V unendomorfismo. Sea A ∈Mn×n(R).

Definición Sea λ un vector propio de f (o A). Llamamosmultiplicidad de λ a la multiplicidad como raiz de la ecuacióncaracteŕıstica de f (o A).

Teorema Sea λ un valor propio de f (o A) de multiplicidad m.Entonces

1 ≤ dimVλ ≤ m.


Observaciones

1. Sea λ un valor propio de f (o A) con multiplicidad m. Sim = 1 entonces dimVλ = 1

2. Si A,A′ ∈Mn×n(R) son matrices equivalentes entoncestienen los mismos valores propios, con las mismasmultiplicidades y dimensiones de subespacios propios iguales.


Proposición Supongamos que dimV = n. Sean λ1, . . . λp losvalores propios distintos de f (o A), m1, . . . ,mp sus multiplicidadesy d1, . . . , dp las dimensiones de los subespacios propioscorrespondientes. Entonces, el número máximo de vectores propioslinealmente independientes de f (o A) es d1 + · · ·+ dp. Además,

p ≤ d1 + · · ·+ dp ≤ m1 + · · ·+ mp ≤ n.

Observación El polinomio caracteŕıstico podŕıa no tener todas susraices reales y en ese caso m1 + · · ·+ mp < n. De hecho podŕıa notener raices reales y por tanto no tendŕıa valores propios.


Ejemplo Calculemos los valores propios de A junto con susmultiplicidades y la dimensión de los subespacios propios,

A =

1 2 102 1 10−1 −1 −6

.El polinomio caracteŕıstico esdet(A− λI3) = λ3 + 4λ2 + 5λ+ 2 = (λ+ 2)(λ+ 1)2. Obtenemosλ1 = −2 con multiplicidad m1 = 1 y λ2 = −1 con multiplicidadm2 = 2. Las dimensiones son

d1 = dimVλ1 = 3− (A− λ1I3) = 1,d2 = dimVλ2 = 3− (A− λ2I3) = 2.


Sea V un espacio vectorial real no nulo y sea f : V → V unendomorfismo. Sea A ∈Mn×n(R).

Definición El endomorfismo f es diagonalizable si existe una baseB ′ de V tal que la matriz Mf (B

′) es diagonal. Entonces,diagonalizar f es encontrar B ′.

Definición La matriz A es diagonalizable si existe una matrizdiagonal D y una matriz inversible P ∈Mn×n(R) tal queD = P−1AP. Aśı, diagonalizar A significa obtener D y P.


Observaciones

1. Supongamos que A es la matriz de f en la base B. Entonces:

f es diagonalizable ⇔ A es diagonalizable.

2. Si D = P−1AP es una diagonalización de A entonces

2.1 D = Mf (B′) es la matriz de f en la base B ′ de V formada por

vectores propios.2.2 P = M(B ′,B) es la matriz de cambio de coordenadas de B ′ a

B.

Proposición Un endomorfismo f es diagonalizable śı y sólo si existeuna base de V formada por vectores propios de f .


Teorema Supongamos que dimV = n. Sean λ1, . . . , λp los valorespropios distintos de f (o A), m1, . . . ,mp sus multiplicidades yd1, . . . , dp las dimensiones de los subespacios propios. Lassigueintes son condiciones necesarias y suficientes para que existauna base de V formada por vectores propios.

1. El polinomio caracteŕıstico de f tiene sólo raices reales

λ1, . . . , λp

, es decirm1 + . . .+ mp = n.

2. La multiplicidad de cada valor propio coincide con ladimensión de su subespacio propio,

mi = di , i = 1, . . . , p.


Corolario Supongamos que f es diagonalizable. Sean λ1, . . . , λp losvalores propios de f con multiplicidades m1, . . . ,mprespectivamente. Sea Bi una base del subespacio propio Vλi conmi = di elementos, i = 1, . . . , p. Entonces:

1. B ′ = B1 ∪ · · · ∪ Bp es una base de V compuesta por vectorespropios de f .

2. La matriz de f en la base B ′ es diagonal y su diagonalprincipal contiene a los elementos

λ1, m1. . ., λ1, λ2, m2. . ., λ2, . . . , λp,mp. . ., λp


Ejemplos Sea f : R3 → R3 el endomorfismo definido por

f (x , y , z) = (x + 2y + 10z , 2x + y + 10z ,−x − y − 6z)

cuya matriz en la base canónica B3 de R3 es la matriz A convalores propios λ1 = −2 y λ2 = −1. Una base de Vλ1 es

Bλ1 = {(−2,−2, 1)}

y de Vλ2 esBλ2 = {(−5, 0, 1), (−1, 1, 0)}.

Entonces la base de R3 formada por vectores propios de f es

B ′ = Bλ1 ∪ Bλ2 = {(−2,−2, 1), (−5, 0, 1), (−1, 1, 0)}.


Concluimos que,

D = P−1AP = Mf (B′) =

−2 0 00 −1 00 0 −1

where

P =

−2 −5 −1−2 0 11 1 0

.


Polinomio característicoRaices de un polinomio y su multiplicidadMultiplicidad de un valor propio

Diagonalización de endomorfismos y matrices cuadradas

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