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Transformada de LaplaceMatematicas V - Unidad 3
Ruben Hernandez Rodrıguez
ITSSPC
julio 2010
Ruben Hernandez Rodrıguez (ITSSPC) Transformada de Laplace julio 2010 1 / 18
Transformada de LaplaceDefinicion
La transformada de Laplace es una tecnica de transformacion que relaciona funciones de tiempoa funciones dependientes de frecuencia de una variable compleja. Esto permite reducir laderivacion y la integracion a simples operaciones algebraicas permitiendo resolver ED’s de unamanera sencilla.
DefinicionSea f (t) una funcion definida para t ≥ 0.Entonces la transformada de Laplace se define
como:
L{f (t)} .= limP→∞
∫ P
0e−st f (t)dt
la cual es una integral impropia y se puedereescribir como:
L{f (t)} =
∫ ∞0
e−st f (t)dt = F (s)
donde s = jw y j =√−1
Ruben Hernandez Rodrıguez (ITSSPC) Transformada de Laplace julio 2010 2 / 18
Condiciones de existencia de la Transformada de LaplaceContinuidad seccional por trazos
Se dice que una funcion es seccionalmente continua o continua a trazos sien un intervalo α ≤ t ≤ β si es posible partir el intervalo en un numerofinito de subintervalos de tal manera que la funcion sea continua en cadauno de ellos y tenga lımites de izquierda a derecha.
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Condiciones de existencia de la Transformada de LaplaceFunciones de orden exponencial
Se dice que f (t) es una funcion de orden exponencial γ si se cumple la desigualdad:
|f (t)| ≤ Meγt
Ejemplos
f (t) = t es de orden exponencial puesto que si M = 1 y γ = 1, entonces |t| ≤ et
f (t) = e−t es de orden exponencial puesto que si M = 1 y γ = 1, entonces∣∣e−t
∣∣ ≤ et
f (t) = 2 cos t es de orden exponencial puesto que si M = 2 y γ = 1, entonces|2 cos t| ≤ 2et
f (t) = et2
no es de orden exponencial puesto que no existe una γ que haga que et2
seamenor a Meγt
Condicion suficiente para la existenciaSi f (t) es seccionalmente continua en cada intervalo finito y de orden exponencial, entonces latransformada de Laplace, existe.
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Condiciones de existencia de la Transformada de LaplaceFunciones de orden exponencial
Se dice que f (t) es una funcion de orden exponencial γ si se cumple la desigualdad:
|f (t)| ≤ Meγt
Ejemplosf (t) = t es de orden exponencial puesto que si M = 1 y γ = 1, entonces |t| ≤ et
f (t) = e−t es de orden exponencial puesto que si M = 1 y γ = 1, entonces∣∣e−t
∣∣ ≤ et
f (t) = 2 cos t es de orden exponencial puesto que si M = 2 y γ = 1, entonces|2 cos t| ≤ 2et
f (t) = et2
no es de orden exponencial puesto que no existe una γ que haga que et2
seamenor a Meγt
Condicion suficiente para la existenciaSi f (t) es seccionalmente continua en cada intervalo finito y de orden exponencial, entonces latransformada de Laplace, existe.
Ruben Hernandez Rodrıguez (ITSSPC) Transformada de Laplace julio 2010 4 / 18
Condiciones de existencia de la Transformada de LaplaceFunciones de orden exponencial
Se dice que f (t) es una funcion de orden exponencial γ si se cumple la desigualdad:
|f (t)| ≤ Meγt
Ejemplosf (t) = t es de orden exponencial puesto que si M = 1 y γ = 1, entonces |t| ≤ et
f (t) = e−t es de orden exponencial puesto que si M = 1 y γ = 1, entonces∣∣e−t
∣∣ ≤ et
f (t) = 2 cos t es de orden exponencial puesto que si M = 2 y γ = 1, entonces|2 cos t| ≤ 2et
f (t) = et2
no es de orden exponencial puesto que no existe una γ que haga que et2
seamenor a Meγt
Condicion suficiente para la existenciaSi f (t) es seccionalmente continua en cada intervalo finito y de orden exponencial, entonces latransformada de Laplace, existe.
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Condiciones de existencia de la Transformada de LaplaceFunciones de orden exponencial
Se dice que f (t) es una funcion de orden exponencial γ si se cumple la desigualdad:
|f (t)| ≤ Meγt
Ejemplosf (t) = t es de orden exponencial puesto que si M = 1 y γ = 1, entonces |t| ≤ et
f (t) = e−t es de orden exponencial puesto que si M = 1 y γ = 1, entonces∣∣e−t
∣∣ ≤ et
f (t) = 2 cos t es de orden exponencial puesto que si M = 2 y γ = 1, entonces|2 cos t| ≤ 2et
f (t) = et2
no es de orden exponencial puesto que no existe una γ que haga que et2
seamenor a Meγt
Condicion suficiente para la existenciaSi f (t) es seccionalmente continua en cada intervalo finito y de orden exponencial, entonces latransformada de Laplace, existe.
Ruben Hernandez Rodrıguez (ITSSPC) Transformada de Laplace julio 2010 4 / 18
Condiciones de existencia de la Transformada de LaplaceFunciones de orden exponencial
Se dice que f (t) es una funcion de orden exponencial γ si se cumple la desigualdad:
|f (t)| ≤ Meγt
Ejemplosf (t) = t es de orden exponencial puesto que si M = 1 y γ = 1, entonces |t| ≤ et
f (t) = e−t es de orden exponencial puesto que si M = 1 y γ = 1, entonces∣∣e−t
∣∣ ≤ et
f (t) = 2 cos t es de orden exponencial puesto que si M = 2 y γ = 1, entonces|2 cos t| ≤ 2et
f (t) = et2
no es de orden exponencial puesto que no existe una γ que haga que et2
seamenor a Meγt
Condicion suficiente para la existenciaSi f (t) es seccionalmente continua en cada intervalo finito y de orden exponencial, entonces latransformada de Laplace, existe.
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Transformada de Laplace de funciones basicasobtencion mediante la definicion
La transformada de una constante A se obtiene mediante:
L{A} =
∫ ∞0
Ae−stdt
= A
∫ ∞0
e−stdt
= −A[e−st
s
]∞0
= −A[e−∞
s− e−0
s
]= A
1
s
Ruben Hernandez Rodrıguez (ITSSPC) Transformada de Laplace julio 2010 5 / 18
Transformada de Laplace de funciones basicasobtencion mediante la definicion
La transformada de una constante A se obtiene mediante:
L{A} =
∫ ∞0
Ae−stdt
= A
∫ ∞0
e−stdt
= −A[e−st
s
]∞0
= −A[e−∞
s− e−0
s
]= A
1
s
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Transformada de Laplace de funciones basicasobtencion mediante la definicion
La transformada de una constante A se obtiene mediante:
L{A} =
∫ ∞0
Ae−stdt
= A
∫ ∞0
e−stdt
= −A[e−st
s
]∞0
= −A[e−∞
s− e−0
s
]= A
1
s
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Transformada de Laplace de funciones basicasobtencion mediante la definicion
La transformada de una constante A se obtiene mediante:
L{A} =
∫ ∞0
Ae−stdt
= A
∫ ∞0
e−stdt
= −A[e−st
s
]∞0
= −A[e−∞
s− e−0
s
]= A
1
s
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Transformada de Laplace de funciones basicasobtencion mediante la definicion
La transformada de una constante A se obtiene mediante:
L{A} =
∫ ∞0
Ae−stdt
= A
∫ ∞0
e−stdt
= −A[e−st
s
]∞0
= −A[e−∞
s− e−0
s
]
= A1
s
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Transformada de Laplace de funciones basicasobtencion mediante la definicion
La transformada de una constante A se obtiene mediante:
L{A} =
∫ ∞0
Ae−stdt
= A
∫ ∞0
e−stdt
= −A[e−st
s
]∞0
= −A[e−∞
s− e−0
s
]= A
1
s
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Transformada de Laplace de funciones basicasobtencion mediante la definicion
La transformada de f (t) = t se obtiene mediante:
L{t} =
∫ ∞0
te−stdt
=
[(t)
(−e−st
s
)−∫ −e−st
sdt
]∞0
=
[−te−st
s+
1
s
∫e−stdt
]∞0
=
[−te−st
s+
1
s
−1
s
∫(−s)e−stdt
]∞0
=
[te−st
s−
e−st
s2
]∞0
=
[(∞)e−s(∞)
s−
e−s(∞)
s2
]−[
(0)e−s(0)
s−
e−s(0)
s2
]
=1
s2
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Transformada de Laplace de funciones basicasobtencion mediante la definicion
La transformada de f (t) = t se obtiene mediante:
L{t} =
∫ ∞0
te−stdt
=
[(t)
(−e−st
s
)−∫ −e−st
sdt
]∞0
=
[−te−st
s+
1
s
∫e−stdt
]∞0
=
[−te−st
s+
1
s
−1
s
∫(−s)e−stdt
]∞0
=
[te−st
s−
e−st
s2
]∞0
=
[(∞)e−s(∞)
s−
e−s(∞)
s2
]−[
(0)e−s(0)
s−
e−s(0)
s2
]
=1
s2
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Transformada de Laplace de funciones basicasobtencion mediante la definicion
La transformada de f (t) = t se obtiene mediante:
L{t} =
∫ ∞0
te−stdt
=
[(t)
(−e−st
s
)−∫ −e−st
sdt
]∞0
=
[−te−st
s+
1
s
∫e−stdt
]∞0
=
[−te−st
s+
1
s
−1
s
∫(−s)e−stdt
]∞0
=
[te−st
s−
e−st
s2
]∞0
=
[(∞)e−s(∞)
s−
e−s(∞)
s2
]−[
(0)e−s(0)
s−
e−s(0)
s2
]
=1
s2
Ruben Hernandez Rodrıguez (ITSSPC) Transformada de Laplace julio 2010 6 / 18
Transformada de Laplace de funciones basicasobtencion mediante la definicion
La transformada de f (t) = t se obtiene mediante:
L{t} =
∫ ∞0
te−stdt
=
[(t)
(−e−st
s
)−∫ −e−st
sdt
]∞0
=
[−te−st
s+
1
s
∫e−stdt
]∞0
=
[−te−st
s+
1
s
−1
s
∫(−s)e−stdt
]∞0
=
[te−st
s−
e−st
s2
]∞0
=
[(∞)e−s(∞)
s−
e−s(∞)
s2
]−[
(0)e−s(0)
s−
e−s(0)
s2
]
=1
s2
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Transformada de Laplace de funciones basicasobtencion mediante la definicion
La transformada de f (t) = t se obtiene mediante:
L{t} =
∫ ∞0
te−stdt
=
[(t)
(−e−st
s
)−∫ −e−st
sdt
]∞0
=
[−te−st
s+
1
s
∫e−stdt
]∞0
=
[−te−st
s+
1
s
−1
s
∫(−s)e−stdt
]∞0
=
[te−st
s−
e−st
s2
]∞0
=
[(∞)e−s(∞)
s−
e−s(∞)
s2
]−[
(0)e−s(0)
s−
e−s(0)
s2
]
=1
s2
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Transformada de Laplace de funciones basicasobtencion mediante la definicion
La transformada de f (t) = t se obtiene mediante:
L{t} =
∫ ∞0
te−stdt
=
[(t)
(−e−st
s
)−∫ −e−st
sdt
]∞0
=
[−te−st
s+
1
s
∫e−stdt
]∞0
=
[−te−st
s+
1
s
−1
s
∫(−s)e−stdt
]∞0
=
[te−st
s−
e−st
s2
]∞0
=
[(∞)e−s(∞)
s−
e−s(∞)
s2
]−[
(0)e−s(0)
s−
e−s(0)
s2
]
=1
s2
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Transformada de Laplace de funciones basicasobtencion mediante la definicion
La transformada de f (t) = t se obtiene mediante:
L{t} =
∫ ∞0
te−stdt
=
[(t)
(−e−st
s
)−∫ −e−st
sdt
]∞0
=
[−te−st
s+
1
s
∫e−stdt
]∞0
=
[−te−st
s+
1
s
−1
s
∫(−s)e−stdt
]∞0
=
[te−st
s−
e−st
s2
]∞0
=
[(∞)e−s(∞)
s−
e−s(∞)
s2
]−[
(0)e−s(0)
s−
e−s(0)
s2
]
=1
s2
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Transformada de Laplace de funciones basicasobtencion mediante la definicion
Afortunadamente ya hubo alguien que se desvelo y nos heredo las tablasde transformadas de laplace de funciones basicas:
f (t) F (s)
1 −→ 1s
t −→ 1s2
tn−1 −→ 1sn
eat −→ as−a
sin ata −→ 1
s2+a2
f (t) F (s)
cos at −→ ss2+a2
sinh ata −→ 1
s2−a2
cosh at −→ ss2−a2
Ruben Hernandez Rodrıguez (ITSSPC) Transformada de Laplace julio 2010 7 / 18
Funciones por tramosobtencion de su transformada
Sea la funcion
f (t) =
{sin t si 0 ≤ t ≤ 2π0 si t ≥ 2π
entonces su transformada de laplace sera:
L{f (t)} =
∫ ∞0
f (t)e−stdt
=
∫ 2π
0sin te−stdt +
∫ ∞2π
(0)e−stdt
L{f (t)} =
∫ 2π
0sin te−stdt
del calculo integral se sabe que
∫eax sin bx dx =
eax (a sin bx + b cos bx)
a2 + b2
por lo tanto
L{f (t)} =
∫ 2π
0sin te−stdt
=
[e−st (− sin t − cos t)
s2 + 1
]2π
0
F (s) =1− e−2πs
s2 + 1
Ruben Hernandez Rodrıguez (ITSSPC) Transformada de Laplace julio 2010 8 / 18
Funciones por tramosobtencion de su transformada
Sea la funcion
f (t) =
{sin t si 0 ≤ t ≤ 2π0 si t ≥ 2π
entonces su transformada de laplace sera:
L{f (t)} =
∫ ∞0
f (t)e−stdt
=
∫ 2π
0sin te−stdt +
∫ ∞2π
(0)e−stdt
L{f (t)} =
∫ 2π
0sin te−stdt
del calculo integral se sabe que
∫eax sin bx dx =
eax (a sin bx + b cos bx)
a2 + b2
por lo tanto
L{f (t)} =
∫ 2π
0sin te−stdt
=
[e−st (− sin t − cos t)
s2 + 1
]2π
0
F (s) =1− e−2πs
s2 + 1
Ruben Hernandez Rodrıguez (ITSSPC) Transformada de Laplace julio 2010 8 / 18
Funciones por tramosobtencion de su transformada
Sea la funcion
f (t) =
{sin t si 0 ≤ t ≤ 2π0 si t ≥ 2π
entonces su transformada de laplace sera:
L{f (t)} =
∫ ∞0
f (t)e−stdt
=
∫ 2π
0sin te−stdt +
∫ ∞2π
(0)e−stdt
L{f (t)} =
∫ 2π
0sin te−stdt
del calculo integral se sabe que
∫eax sin bx dx =
eax (a sin bx + b cos bx)
a2 + b2
por lo tanto
L{f (t)} =
∫ 2π
0sin te−stdt
=
[e−st (− sin t − cos t)
s2 + 1
]2π
0
F (s) =1− e−2πs
s2 + 1
Ruben Hernandez Rodrıguez (ITSSPC) Transformada de Laplace julio 2010 8 / 18
Funciones por tramosobtencion de su transformada
Sea la funcion
f (t) =
{sin t si 0 ≤ t ≤ 2π0 si t ≥ 2π
entonces su transformada de laplace sera:
L{f (t)} =
∫ ∞0
f (t)e−stdt
=
∫ 2π
0sin te−stdt +
∫ ∞2π
(0)e−stdt
L{f (t)} =
∫ 2π
0sin te−stdt
del calculo integral se sabe que
∫eax sin bx dx =
eax (a sin bx + b cos bx)
a2 + b2
por lo tanto
L{f (t)} =
∫ 2π
0sin te−stdt
=
[e−st (− sin t − cos t)
s2 + 1
]2π
0
F (s) =1− e−2πs
s2 + 1
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Funcion escalon unitarioDefinicion
Una de las funciones mas utiles en ingenierıaaplicada, es la llamada funcion escalonunitario.La cual se define como:
u(t) =
{1 si t ≥ 00 si t < 0
Si u(t) se multiplica por una cosntantepositiva k, entonces la funcion crece:
Una propiedad importante de la funcionescalon unitario es la traslacion, es decir:
u(t − a) =
{1 si t ≥ a0 si t < a
Ruben Hernandez Rodrıguez (ITSSPC) Transformada de Laplace julio 2010 9 / 18
Funcion escalon unitarioDefinicion
Una de las funciones mas utiles en ingenierıaaplicada, es la llamada funcion escalonunitario.La cual se define como:
u(t) =
{1 si t ≥ 00 si t < 0
Si u(t) se multiplica por una cosntantepositiva k, entonces la funcion crece:
Una propiedad importante de la funcionescalon unitario es la traslacion, es decir:
u(t − a) =
{1 si t ≥ a0 si t < a
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Funcion escalon unitarioDefinicion
Una de las funciones mas utiles en ingenierıaaplicada, es la llamada funcion escalonunitario.La cual se define como:
u(t) =
{1 si t ≥ 00 si t < 0
Si u(t) se multiplica por una cosntantepositiva k, entonces la funcion crece:
Una propiedad importante de la funcionescalon unitario es la traslacion, es decir:
u(t − a) =
{1 si t ≥ a0 si t < a
Ruben Hernandez Rodrıguez (ITSSPC) Transformada de Laplace julio 2010 9 / 18
Transformada de Laplace de la funcion scalon unitarioDefinicion
Se la funcion escalon unitario
u(t − a) =
{1 si t ≥ a0 si t < a
Entonces su transformada de Laplace sera:
L{u(t − a)} =
∫ ∞0
u(t − a)e−stdt
=
∫ a
0(0)e−stdt +
∫ ∞0
(1)e−stdt
= 0 +
[e−st
−s
]∞0
=e−as
s
Nota importante.- del resultado anterior resulta que cuandoa = 0
L{u(t)} =1
s
Ruben Hernandez Rodrıguez (ITSSPC) Transformada de Laplace julio 2010 10 / 18
Transformada de Laplace de la funcion scalon unitarioDefinicion
Se la funcion escalon unitario
u(t − a) =
{1 si t ≥ a0 si t < a
Entonces su transformada de Laplace sera:
L{u(t − a)} =
∫ ∞0
u(t − a)e−stdt
=
∫ a
0(0)e−stdt +
∫ ∞0
(1)e−stdt
= 0 +
[e−st
−s
]∞0
=e−as
s
Nota importante.- del resultado anterior resulta que cuandoa = 0
L{u(t)} =1
s
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Transformada de Laplace de la funcion scalon unitarioDefinicion
Se la funcion escalon unitario
u(t − a) =
{1 si t ≥ a0 si t < a
Entonces su transformada de Laplace sera:
L{u(t − a)} =
∫ ∞0
u(t − a)e−stdt
=
∫ a
0(0)e−stdt +
∫ ∞0
(1)e−stdt
=
0 +
[e−st
−s
]∞0
=e−as
s
Nota importante.- del resultado anterior resulta que cuandoa = 0
L{u(t)} =1
s
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Transformada de Laplace de la funcion scalon unitarioDefinicion
Se la funcion escalon unitario
u(t − a) =
{1 si t ≥ a0 si t < a
Entonces su transformada de Laplace sera:
L{u(t − a)} =
∫ ∞0
u(t − a)e−stdt
=
∫ a
0(0)e−stdt +
∫ ∞0
(1)e−stdt
= 0 +
[e−st
−s
]∞0
=e−as
s
Nota importante.- del resultado anterior resulta que cuandoa = 0
L{u(t)} =1
s
Ruben Hernandez Rodrıguez (ITSSPC) Transformada de Laplace julio 2010 10 / 18
Propiedad de linealidadDefinicion
Si c1 y c2 son constantes y. f1(t) y f2(t) son funciones cuyas transformadas son F1(s) y F2(s),entonces:
L{c1f1(t) + c2f2(t)} = c1F1(s) + c2F2(s)
Ejemplos: calcular siguientes transformadas
L{4e5t + 6t3 − 3 sin 4t}
L{2 cos 2t + 16t + 9}L{et+7}L{2t4}L{−4t2 + 16t + 9}L{(1 + e2t)2}L{cos2t}
Ruben Hernandez Rodrıguez (ITSSPC) Transformada de Laplace julio 2010 11 / 18
Propiedad de linealidadDefinicion
Si c1 y c2 son constantes y. f1(t) y f2(t) son funciones cuyas transformadas son F1(s) y F2(s),entonces:
L{c1f1(t) + c2f2(t)} = c1F1(s) + c2F2(s)
Ejemplos: calcular siguientes transformadas
L{4e5t + 6t3 − 3 sin 4t}L{2 cos 2t + 16t + 9}
L{et+7}L{2t4}L{−4t2 + 16t + 9}L{(1 + e2t)2}L{cos2t}
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Propiedad de linealidadDefinicion
Si c1 y c2 son constantes y. f1(t) y f2(t) son funciones cuyas transformadas son F1(s) y F2(s),entonces:
L{c1f1(t) + c2f2(t)} = c1F1(s) + c2F2(s)
Ejemplos: calcular siguientes transformadas
L{4e5t + 6t3 − 3 sin 4t}L{2 cos 2t + 16t + 9}L{et+7}
L{2t4}L{−4t2 + 16t + 9}L{(1 + e2t)2}L{cos2t}
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Propiedad de linealidadDefinicion
Si c1 y c2 son constantes y. f1(t) y f2(t) son funciones cuyas transformadas son F1(s) y F2(s),entonces:
L{c1f1(t) + c2f2(t)} = c1F1(s) + c2F2(s)
Ejemplos: calcular siguientes transformadas
L{4e5t + 6t3 − 3 sin 4t}L{2 cos 2t + 16t + 9}L{et+7}L{2t4}
L{−4t2 + 16t + 9}L{(1 + e2t)2}L{cos2t}
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Propiedad de linealidadDefinicion
Si c1 y c2 son constantes y. f1(t) y f2(t) son funciones cuyas transformadas son F1(s) y F2(s),entonces:
L{c1f1(t) + c2f2(t)} = c1F1(s) + c2F2(s)
Ejemplos: calcular siguientes transformadas
L{4e5t + 6t3 − 3 sin 4t}L{2 cos 2t + 16t + 9}L{et+7}L{2t4}L{−4t2 + 16t + 9}
L{(1 + e2t)2}L{cos2t}
Ruben Hernandez Rodrıguez (ITSSPC) Transformada de Laplace julio 2010 11 / 18
Propiedad de linealidadDefinicion
Si c1 y c2 son constantes y. f1(t) y f2(t) son funciones cuyas transformadas son F1(s) y F2(s),entonces:
L{c1f1(t) + c2f2(t)} = c1F1(s) + c2F2(s)
Ejemplos: calcular siguientes transformadas
L{4e5t + 6t3 − 3 sin 4t}L{2 cos 2t + 16t + 9}L{et+7}L{2t4}L{−4t2 + 16t + 9}L{(1 + e2t)2}
L{cos2t}
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Propiedad de linealidadDefinicion
Si c1 y c2 son constantes y. f1(t) y f2(t) son funciones cuyas transformadas son F1(s) y F2(s),entonces:
L{c1f1(t) + c2f2(t)} = c1F1(s) + c2F2(s)
Ejemplos: calcular siguientes transformadas
L{4e5t + 6t3 − 3 sin 4t}L{2 cos 2t + 16t + 9}L{et+7}L{2t4}L{−4t2 + 16t + 9}L{(1 + e2t)2}L{cos2t}
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Propiedad de traslacionPropiedad 1
Si L{f (t)} = F (s), y a es cualquier numero real, entonces:
L{eat f (t)} = F (s − a)
L{eat f (t)} = L{f (t)}s→s−a
Calcular las siguientes transformadas
L{e3tt3}L{e2t sin 3t}L{e4t cosh 5t}L{e−t sin t}L{e3t(t2 + 2t + 5)}L{et cosh t + e−t sinh t}
Ruben Hernandez Rodrıguez (ITSSPC) Transformada de Laplace julio 2010 12 / 18
Propiedad de traslacionPropiedad 1
Si L{f (t)} = F (s), y a es cualquier numero real, entonces:
L{eat f (t)} = F (s − a)
L{eat f (t)} = L{f (t)}s→s−a
Calcular las siguientes transformadas
L{e3tt3}
L{e2t sin 3t}L{e4t cosh 5t}L{e−t sin t}L{e3t(t2 + 2t + 5)}L{et cosh t + e−t sinh t}
Ruben Hernandez Rodrıguez (ITSSPC) Transformada de Laplace julio 2010 12 / 18
Propiedad de traslacionPropiedad 1
Si L{f (t)} = F (s), y a es cualquier numero real, entonces:
L{eat f (t)} = F (s − a)
L{eat f (t)} = L{f (t)}s→s−a
Calcular las siguientes transformadas
L{e3tt3}L{e2t sin 3t}
L{e4t cosh 5t}L{e−t sin t}L{e3t(t2 + 2t + 5)}L{et cosh t + e−t sinh t}
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Propiedad de traslacionPropiedad 1
Si L{f (t)} = F (s), y a es cualquier numero real, entonces:
L{eat f (t)} = F (s − a)
L{eat f (t)} = L{f (t)}s→s−a
Calcular las siguientes transformadas
L{e3tt3}L{e2t sin 3t}L{e4t cosh 5t}
L{e−t sin t}L{e3t(t2 + 2t + 5)}L{et cosh t + e−t sinh t}
Ruben Hernandez Rodrıguez (ITSSPC) Transformada de Laplace julio 2010 12 / 18
Propiedad de traslacionPropiedad 1
Si L{f (t)} = F (s), y a es cualquier numero real, entonces:
L{eat f (t)} = F (s − a)
L{eat f (t)} = L{f (t)}s→s−a
Calcular las siguientes transformadas
L{e3tt3}L{e2t sin 3t}L{e4t cosh 5t}L{e−t sin t}
L{e3t(t2 + 2t + 5)}L{et cosh t + e−t sinh t}
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Propiedad de traslacionPropiedad 1
Si L{f (t)} = F (s), y a es cualquier numero real, entonces:
L{eat f (t)} = F (s − a)
L{eat f (t)} = L{f (t)}s→s−a
Calcular las siguientes transformadas
L{e3tt3}L{e2t sin 3t}L{e4t cosh 5t}L{e−t sin t}L{e3t(t2 + 2t + 5)}
L{et cosh t + e−t sinh t}
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Propiedad de traslacionPropiedad 1
Si L{f (t)} = F (s), y a es cualquier numero real, entonces:
L{eat f (t)} = F (s − a)
L{eat f (t)} = L{f (t)}s→s−a
Calcular las siguientes transformadas
L{e3tt3}L{e2t sin 3t}L{e4t cosh 5t}L{e−t sin t}L{e3t(t2 + 2t + 5)}L{et cosh t + e−t sinh t}
Ruben Hernandez Rodrıguez (ITSSPC) Transformada de Laplace julio 2010 12 / 18
Propiedad de traslacionPropiedad 2
Si
g(t) =
{f (t − a) si t > a0 si t < a
entonces
L{g(t)} = e−asF (s)
Ejercicios: Calcule la transformada de Laplacede
1
g(t) =
{(t − 2) si t > 20 si t < 2
2
g(t) =
{et−3 si t > 30 si t < 3
3
g(t) =
{sin(t − 2π) si t > 2π0 si t < 2π
4
g(t) =
{(t − 1)3et−1 si t > 10 si t < 1
Ruben Hernandez Rodrıguez (ITSSPC) Transformada de Laplace julio 2010 13 / 18
Transformada de funciones multiplicadas por tn
Definicion
Se una funcion f (t) multiplicadapor tn, entonces:
L{tnf (t)} = (−1)ndnF (s)
dsn
Obtenga las siguientestransformadas:
1 L{t cos at}2 L{t2 cos at}
3 L{t(3 sin 2t − 2 cos 2t)}4 L{t2 sin t}5 L{t cosh 3t}6 L{t sinh 2t}7 L{t2 cos t}8 L{(t2 − 3t + 2) sin 3t}9 L{t3 cos t}
Ruben Hernandez Rodrıguez (ITSSPC) Transformada de Laplace julio 2010 14 / 18
Transformada de funciones divididas por tDefinicion
Se una funcion f (t) dividida por t,entonces:
L{f (t)
t
}=
∫ ∞s
F (u)du
Obtenga las siguientestransformadas:
1
L
{e−at−e
−bt
t
}2
L{
cos at − cos bt
t
}3
L{
sinh t
t
}
Ruben Hernandez Rodrıguez (ITSSPC) Transformada de Laplace julio 2010 15 / 18
Transformada de la derivadaDefinicion
La transformada de la derivada esta definida por:
L{f ′(t)} = sF (s)− f (0)
L{f ′′(t)} = s2F (s)− sf (0)− f ′(0)
L{f n(t)} = snF (s)− sn−1f (0)− sn−2f ′(0)− · · · f n−1(0)
ejemplo: calcular la transformada de: y ′ − y = 2 cos 5t con f (0) = 0y y(0) = 0
L{dy
dt− y
}= L{2 cos 5t}
sY (s)− y(0)− Y (s) = 2s
s2 + 25
sY (s)− 0− Y (s) = 2s
s2 + 25
Y (s)(s − 1) =2s
s2 + 25
Y (s) =2s
(s2 + 25)(s − 1)
Ruben Hernandez Rodrıguez (ITSSPC) Transformada de Laplace julio 2010 16 / 18
Transformada de la derivadaEjercicios
1 y ′ + 4y = e−4t , y(0) = 0
2 y ′ − y = 1 + tet , y(0) = 0
3 y ′′ + 2y ′ + y = 0, y(0) = 1, y ′(0) = 1
4 y ′′ − 4y + 4y = t3e2t , y(0) = 0, y ′(0) = 0
5 y ′′ − 6′ + 9y = t, y(0) = 0, y ′(0) = 1
6 y ′′ − 4y ′ + 4y = t3, y(0) = 1, y ′(0) = 0
7 y ′′ − 6y ′ + 13y = 0, y(0) = 1, y ′(0) = −3
8 2y ′′ + 20y ′ + 51y = 0, y(0) = 2, y ′(0) = 0
9 y ′′ − y ′ = et cos t, y(0) = 0, y ′(0) = 0
Ruben Hernandez Rodrıguez (ITSSPC) Transformada de Laplace julio 2010 17 / 18
Transformada de una funcion periodicaDefinicion
Si una funcion periodica tiene periodo T > 0,es decir, f (t + T ) = f (t) y, ademases contınua por partes de [0,∞) y de orden exponencial, entonces:
Lf (t) =1
1− e−sT
∫ T
0
−st f (t)dt
Considere la siguiente funcion
E (t) =
{1 si 0 ≤ t < 10 si 1 ≤ t < 2
entonces su solucion sera:
L{E(t)} =
1
1− e−2s
∫ 2
0e−stE(t)
=1
1− e−2s
∫ 1
0(1)e−stdt +
∫ 2
1(0)e−stdt
E(s) =2
s(1 + e−s )
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Transformada de una funcion periodicaDefinicion
Si una funcion periodica tiene periodo T > 0,es decir, f (t + T ) = f (t) y, ademases contınua por partes de [0,∞) y de orden exponencial, entonces:
Lf (t) =1
1− e−sT
∫ T
0
−st f (t)dt
Considere la siguiente funcion
E (t) =
{1 si 0 ≤ t < 10 si 1 ≤ t < 2
entonces su solucion sera:
L{E(t)} =1
1− e−2s
∫ 2
0e−stE(t)
=
1
1− e−2s
∫ 1
0(1)e−stdt +
∫ 2
1(0)e−stdt
E(s) =2
s(1 + e−s )
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Transformada de una funcion periodicaDefinicion
Si una funcion periodica tiene periodo T > 0,es decir, f (t + T ) = f (t) y, ademases contınua por partes de [0,∞) y de orden exponencial, entonces:
Lf (t) =1
1− e−sT
∫ T
0
−st f (t)dt
Considere la siguiente funcion
E (t) =
{1 si 0 ≤ t < 10 si 1 ≤ t < 2
entonces su solucion sera:
L{E(t)} =1
1− e−2s
∫ 2
0e−stE(t)
=1
1− e−2s
∫ 1
0(1)e−stdt +
∫ 2
1(0)e−stdt
E(s) =
2
s(1 + e−s )
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Transformada de una funcion periodicaDefinicion
Si una funcion periodica tiene periodo T > 0,es decir, f (t + T ) = f (t) y, ademases contınua por partes de [0,∞) y de orden exponencial, entonces:
Lf (t) =1
1− e−sT
∫ T
0
−st f (t)dt
Considere la siguiente funcion
E (t) =
{1 si 0 ≤ t < 10 si 1 ≤ t < 2
entonces su solucion sera:
L{E(t)} =1
1− e−2s
∫ 2
0e−stE(t)
=1
1− e−2s
∫ 1
0(1)e−stdt +
∫ 2
1(0)e−stdt
E(s) =2
s(1 + e−s )
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