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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD
ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 208001 –Sistemas Avanzados De Trasmisión I
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA
PROGRAMA INGENIERIA ELECTRONICA Y TELECOMUNICACIONES
MODULO DEL CURSO ACADEMICO
208001 – SISTEMAS AVANZADOS DE
TRASMISION I
Ing. CAMILO ACUÑA CARREÑ O
AUTOR / DIRECTOR DE CURSO
Santa Marta, 2.012
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ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 208001 –Sistemas Avanzados De Trasmisión I
INTRODUCCIÓN
Sistemas Avanzados de Transmisión I es un curso de carácter teórico, de tres (3)
créditos académicos, que se oferta de manera optativa a los estudiantes de
pregrado de Electrónica y Telecomunicaciones en la UNAD.
El modulo se desarrolla en tres unidades didácticas así:
Unidad 1: Aspectos Generales Sobre Guías de Onda
Unidad 2: Guías de Onda y Línea de Transmisión
Unidad 3: Circuitos en Sistemas Microondas
En cada unidad se desarrollaran actividades de carácter individual, fomentando el
aprendizaje autónomo, y trabajos en grupos colaborativos, moderados por el tutor
asignado.
Las actividades individuales como: Lecciones Evaluativas y Quices son de
carácter independiente en donde el estudiante realiza de manera autónoma
lecturas, revisión del material de apoyo suministrado en el módulo y el aula virtual.
También en este proceso el estudiante tiene la oportunidad de interactuar, con
medios tecnológicos y simulaciones que le permiten el adecuado desarrollo del
aprendizaje significativo, dado que desde esta práctica, el estudiante es el
constructor de sus nuevos conocimientos por medio de la relación entre sus
presaberes y la nueva información.
A través de los trabajos colaborativos se fomenta la interacción de los grupos. Los
estudiantes socializan con los integrantes de los pequeños grupos colaborativos,
sus conocimientos, nuevos aportes y opiniones sobre temas asignados, ejercicios
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y prácticas; que a través de consensos ofrecen como producto final un trabajo
bien estructurado y sustentado por sus integrantes.
Los Elementos del Proceso de Aprendizaje (Grafico No.1) necesarios para
interactuar en el modulo son: Las TIC, Docente – Tutor, Grupos Colaborativos,
Material Escrito y Digital, Conocimientos.
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INDICE DE CONTENIDO
UNIDADES CAPITULOS TEMAS
1. ASPECTOS
GENERALES SOBRE
GUÍAS DE ONDA
1. ONDAS GUIADAS
Lección 1. Principio de Operación y Análisis de las Guías de Onda
Lección 2. Modos de Propagación y Ecuaciones Generales de las Ondas
Guiadas
Lección 3. Ondas Electromagnéticas Planas
Lección 4. Clasificación y Características de las soluciones TEM, TE y TM.
Lección 5. Guía Conductora Ideal.
2. GUÍAS DE ONDA
CONDUCTORAS
Lección 6. Guías Conductoras de Sección Rectangular
Lección 7. Potencia Transmitida y Atenuación
Lección 8. Guías Conductoras de Sección Circular
Lección 9. Cavidades resonantes de paredes conductoras
Lección 10. Manejo de la Unidad Decibel (Db).
3. GUÍAS DE ONDA DE
CONDUCTORES REALES
Lección 11. Sistemas de transmisión con condiciones de conductor no
perfecto.
Lección 12. Disipación en los conductores: constante de atenuación
Lección 13. Constante de atenuación para diferentes modos.
Lección 14. Variación de la constante de atenuación con la frecuencia
Lección 15. Modos Degenerados
2. GUÍAS DE ONDA
Y LÍNEAS DE
TRANSMISIÓN
1. GUÍAS DE ONDA
CERRADAS
MULTIDIELECTRICAS Y
DIELECTRICAS
Lección 16. Guía de Ondas Dieléctricas
Lección 17. Fibras Ópticas
Lección 18. Fibra Óptica Multimodo y Monomodo
Lección 19. Pérdida de Potencia Óptica (Atenuación)
Lección 20. Ancho de Banda en Fibras Ópticas
2. LÍNEAS DE
TRANSMISIÓN
Lección 21. Descripción física de la propagación en las Líneas de
Transmisión
Lección 22. Solución de la Ecuación de Onda para la Línea de Transmisión
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Lección 23. Definición del Punto Referencia en la Línea de Transmisión
Lección 24. Onda Estacionaria y Relación de Onda Estacionaria ROE/SWR
Lección 25. Fundamentación Teórica sobre Cálculo de Potencia en Líneas
de Transmisión
3. ADAPTACIÓN DE
IMPEDANCIAS
Lección 26: Adaptación de Impedancias
Lección 27: Carta Smith
Lección 28. Transformador Lamda/4
Lección 29. Teoría de Pequeñas Reflexiones
Lección 30. Criterio Bode - Fano
3. CIRCUITOS EN
SISTEMAS DE
MICROONDAS
1. TEORIA DE
CIRCUITOS EN
SISTEMAS DE
MICROONDAS
Lección 31. Circuitos en Sistemas Microondas
Lección 32. Voltaje y Corriente Equivalentes
Lección 33. Matriz de Impedancia y Admitancias
Lección 34. Matriz S (Parámetros S)
Lección 35. Flujo grama de Señales
2. ANÁLISIS DE
CUADRIPOLOS
Lección 36. Características de un Cuadripolo
Lección 37. Relación entre Parámetros de un Cuadripolo
Lección 38. Cuadripolo Recíproco y Simétrico
Lección 39. Conexión de Cuadripolos
Lección 40. Cuadripolos Cargados
3. CIRCUITOS PASIVOS
DE MICROONDAS Y
CIRCUITOS
RESONANTES
Lección 41. Circuitos Pasivos de Microondas
Lección 42. Acopladores Direccionales
Lección 43. Divisor Wilkinson
Lección 44. Circuitos Resonantes
Lección 45. Líneas de Transmisión Resonantes
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UNIDADES 1. ASPECTOS GENERALES SOBRE GUIAS DE ONDA.
Introducción. El método matemático que se utiliza para analizar una determinada línea o ducto
de transmisión depende fundamentalmente del tamaño eléctrico del espacio por el
cual se propagan las ondas electromagnéticas. Utilizando las ecuaciones de
James Clark Maxwell, podemos representar, analizar y evaluar las ondas
electromagnéticas.
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CAPÍTULO 1- Ondas Guiadas.
Parece evidente que, en cualquier situación realista en la que se quieran estudiar
los campos dependientes del tiempo, deben existir límites o paredes en la región
bajo análisis. En estos casos las soluciones para los campos en el medio no
podrán ser, en general, ondas planas uniformes de extensión infinita, ya que,
además de satisfacer las ecuaciones de Maxwell, deben cumplir las condiciones
de frontera en los límites de la región que se considera. En este capítulo,
avanzando un paso más en el grado de confinamiento de los campos respecto a
las situaciones que se vieron en el capítulo anterior (con la presencia de medios
semiinfinitos), se van a estudiar las guías de onda. Una guía de onda puede ser
definida como una estructura destinada a la propagación dirigida y acotada de
radiación electromagnética. El medio dieléctrico en el que esta propagación se
produce está limitado, ya sea por un material conductor (para microondas y
radiofrecuencia), ya sea por otro dieléctrico (para frecuencias ópticas). Desde el
punto de vista geométrico las formas más comunes, aunque no únicas, de guías
de onda tienen secciones rectangulares o cilíndricas.
Lección 1. Principio de operación y análisis de las guías de onda:
1.1 Onda Electromagnética:
Una onda electromagnética es la forma de propagación de la radiación
electromagnética a través del espacio. y sus aspectos teóricos están relacionados
con la solución en forma de onda que admiten las ecuaciones de Maxwell. A
diferencia de las ondas mecánicas, las ondas electromagnéticas no necesitan de
un medio material para propagarse; es decir, pueden desplazarse por el vacío.
James Clerk Maxwell fue el primero en hacer la observación teórica de que un
campo electromagnético variable admite una solución cuya ecuación de
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movimiento se corresponde a la de una onda. Eso sugería que el campo
electromagnético era susceptible de propagarse en forma de ondas, tanto en un
medio material como en el vacío. Esas observaciones llevaron a Maxwell a
proponer que la luz visible realmente está formada por ondas electromagnéticas.
La trascendencia de la teoría de Maxwell estriba en que proporcionaba una
descripción matemática del comportamiento general de la luz. En particular este
modelo describe con exactitud cómo se puede propagar la energía en forma de
radiación por el espacio en forma de vibración de campos eléctricos y magnéticos.
Sin embargo, las propuestas de Maxwell ocasionaron cierto debate, especialmente
dos cuestiones:
La posibilidad de la propagación de las ondas en el vacío suscitó ciertas dudas en
su momento. Ya que la idea de que una onda se propagara de forma auto
sostenida en el vacío resultaba extraña, razón por la cual años antes había nacido
la teoría del éter.
Además las ecuaciones de Maxwell sugerían que la velocidad de propagación en
el vacío era constante, para todos los observadores. Eso llevó a interpretar la
velocidad de propagación constante de las ondas electromagnéticas como la
velocidad a la que se propagaban las ondas respecto a un supuesto éter inmóvil
que sería un medio material muy sutil que invadiría todo el universo. Sin embargo,
el famoso experimento de Michelson y Morley descartó la existencia del éter y
quedó inexplicado hasta que Albert Einstein, Poincaré, H. Lorentz y otros,
explicarían la constancia de la velocidad de la luz como una constante de las leyes
de la Física. (la teoría especial de la relatividad extiende la constante de
propagación de la luz a todo fenómeno físico, no sólo las ondas
electromagnéticas).
Sin embargo a pesar de todas esas cuestiones los primeros experimentos para
detectar físicamente las ondas electromagnéticas, diferentes de la luz, fueron
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llevados a cabo por Heinrich Hertz en 1888, gracias a que fue el primero en
construir un aparato que emitía y detectaba ondas electromagnéticas VHF y UHF.
1.2 Espectro Electromagnético:
Se denomina espectro electromagnético a la distribución energética del conjunto
de las ondas electromagnéticas. Referido a un objeto se denomina espectro
electromagnético o simplemente espectro a la radiación electromagnética que
emite (espectro de emisión) o absorbe (espectro de absorción) una sustancia.
Dicha radiación sirve para identificar la sustancia de manera análoga a una huella
dactilar. Los espectros se pueden observar mediante espectroscopios que,
además de permitir observar el espectro, permiten realizar medidas sobre éste,
como la longitud de onda, la frecuencia y la intensidad de la radiación.
El espectro electromagnético se extiende desde la radiación de menor longitud de
onda, como los rayos gamma y los rayos X, pasando por la luz ultravioleta, la luz
visible y los rayos infrarrojos, hasta las ondas electromagnéticas de mayor longitud
de onda, como son las ondas de radio. Se cree que el límite para la longitud de
onda más pequeña posible es la longitud de Planck mientras que el límite máximo
sería el tamaño del Universo (véase Cosmología física) aunque formalmente el
espectro electromagnético es infinito y continuo.
1.3 Rango energético del espectro:
El espectro electromagnético cubre longitudes de onda muy variadas. Existen
frecuencias de 30 Hz y menores que son relevantes en el estudio de ciertas
nebulosas. Por otro lado se conocen frecuencias cercanas a 2,9×1027 Hz, que han
sido detectadas provenientes de fuentes astrofísicas.
La energía electromagnética en una particular longitud de onda λ (en el vacío)
tiene una frecuencia f asociada y una energía de fotón E. Por tanto, el espectro
electromagnético puede ser expresado igualmente en cualquiera de esos
términos. Se relacionan en las siguientes ecuaciones:
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Donde c=299.792.458 m/s (velocidad de la luz) y h es la constante de Planck,
Por lo tanto, las ondas
electromagnéticas de alta frecuencia tienen una longitud de onda corta y mucha
energía mientras que las ondas de baja frecuencia tienen grandes longitudes de
onda y poca energía.
Por lo general, las radiaciones electromagnéticas se clasifican en base a su
longitud de onda en ondas de radio, microondas, infrarrojos, visible –que
percibimos como luz visible– ultravioleta, rayos X y rayos gamma.
El espectro electromagnético se divide en segmentos o bandas, aunque esta
división es inexacta. Existen ondas que tienen una frecuencia, pero varios usos,
por lo que algunas frecuencias pueden quedar en ocasiones incluidas en dos
rangos.
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Lección 2. Modos De Propagación Y Ecuaciones Genera les De Las Ondas
Guiadas.
Podemos identificar las Ondas Guiadas cuando la dirección principal del flujo de la
energía electromagnética que transporta coincide con la del eje de la guía de
onda; en una guía real puede existir una pequeña parte de la energía que fluye
transversalmente dentro de dieléctricos o conductores imperfectos.
El encarrila miento de la onda que se logra mediante alguna reflexión peculiar
sobre la interfaz y una conexión intima entre las intensidades del campo
electromagnético de la onda que se propagan y las corrientes o cargas inducidas
en aquella. Una característica importante de la onda guiada es que cuando la
dirección del eje de la guía cambia, dentro de los límites razonables, la onda sigue
la nueva orientación.
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2.1 MODOS DE PROPAGACION EN LAS GUÍAS.
En el vacío y en medios ilimitados
son ondas electromagnéticas
y magnéticos (H) son perpendiculares a la dirección de propagación (y
perpendiculares entre sí). Esta situación es una consecuencia matemática de las
ecuaciones de la divergencia nula
una única coordenada (ondas elementales).
En la propagación en recintos limitados no es posible describir los campos como
funciones de una única coordenada por la existencia de condiciones de contorno
que imponen las fronteras del recinto y entonces existen o
cuales uno (o los dos) campos tienen componentes en la dirección de
propagación.
Convencionalmente se llama
situación donde los campos son ambos transversales a la dirección de
propagación, modo TE (Transversal Eléctrico) cuando sólo el campo eléctrico es
transversal y modo TM (Transversal Magnético) cuando sólo el campo magnético
es transversal. Se puede demostrar que cualquier tipo de propagación se puede
resolver como la superposici
Figura 2. Representación Gráfica de los Modos de Propagación
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MODOS DE PROPAGACION EN LAS GUÍAS.
medios ilimitados, las soluciones de las ecuaciones de Maxwell
son ondas electromagnéticas transversales, es decir, ambos campos eléctricos (E)
son perpendiculares a la dirección de propagación (y
perpendiculares entre sí). Esta situación es una consecuencia matemática de las
ecuaciones de la divergencia nula . E . H 0 para campos que dependen de
coordenada (ondas elementales).
En la propagación en recintos limitados no es posible describir los campos como
funciones de una única coordenada por la existencia de condiciones de contorno
que imponen las fronteras del recinto y entonces existen otras posibilidades, en las
cuales uno (o los dos) campos tienen componentes en la dirección de
Convencionalmente se llama modo TEM (Transversal Electromagnético) a la
situación donde los campos son ambos transversales a la dirección de
(Transversal Eléctrico) cuando sólo el campo eléctrico es
(Transversal Magnético) cuando sólo el campo magnético
es transversal. Se puede demostrar que cualquier tipo de propagación se puede
resolver como la superposición de un modo TE y un modo TM.
Figura 2. Representación Gráfica de los Modos de Propagación
, las soluciones de las ecuaciones de Maxwell
campos eléctricos (E)
son perpendiculares a la dirección de propagación (y
perpendiculares entre sí). Esta situación es una consecuencia matemática de las
para campos que dependen de
En la propagación en recintos limitados no es posible describir los campos como
funciones de una única coordenada por la existencia de condiciones de contorno
tras posibilidades, en las
cuales uno (o los dos) campos tienen componentes en la dirección de
(Transversal Electromagnético) a la
situación donde los campos son ambos transversales a la dirección de
(Transversal Eléctrico) cuando sólo el campo eléctrico es
(Transversal Magnético) cuando sólo el campo magnético
es transversal. Se puede demostrar que cualquier tipo de propagación se puede
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2.2 ECUACIONES GENERALES DE LAS ONDAS GUIADAS
Consideraremos campos que se propagan a lo largo del eje z de un sistema de
referencia. También supondremos campos armónicos, de manera que las
expresiones de los campos deben incorporar el factor: . La "constante" de
propagación a lo largo de z, γz, dará información sobre el tipo de propagación (si
hay o no atenuación, las velocidades de fase y de grupo, etc.).
Las ecuaciones de campos pueden escribirse así:
, , , ,
. 1.1
Dentro del sistema de guiado supondremos que no existen fuentes de campo
(cargas y corrientes, independientes o inducidas por el campo eléctrico presente,
por lo que suponemos σ = 0). Las ecuaciones de Maxwell llevan en tal caso a ecuaciones
de onda y éstas, en la hipótesis de campos armónicos, a ecuaciones de Helmholtz:
∇ + γ = 0∇ + γ = 0; !" = #$%&,. 1.2
Donde, en general, µ y ε pueden ser complejos para medios con pérdidas. El
estudiante debe tener en cuenta que en algunos text os se trabaja la ecuación
con ( y no con ).
Dado que suponemos conocido el comportamiento de los campos según z, nos
conviene separar el operador laplaciano en una parte transversal y otra
longitudinal a la propagación:
∇ = ∇ + *+,*+
= ∇ − " = −" → ∇ = −(" − ") = −". 1.3
Por otra parte, las ecuaciones de Maxwell del rotacional quedan así:
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Debe recordarse que las componentes de los campos son funciones solamente de
las variables espaciales x e y, ya que z y t aparecen en el factor de propagación.
De las ecuaciones precedentes es posible despejar las componentes
transversales del campo en función de las longitudinales:
En conclusión Por medio de estas expresiones surge un método de cálculo de los
campos dentro de una guía de ondas:
1. Resolver la ecuación de Helmholtz 0 + "0
0 + "0 0 para la
componente longitudinal, sabiendo que la dependencia respecto de z
(coordenada de propagación) y del tiempo es ( )
2. Usar las condiciones de contorno sobre las paredes de la guía para hallar
las constantes de la solución de la ecuación de Helmholtz.
3. Calcular las otras componentes del campo.
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Lección 3. Ondas Electromagnéticas Planas.
En la física de propagación de ondas (especialmente ondas electromagnéticas),
una onda plana o también llamada onda monodimensional , es una onda de
frecuencia constante cuyos frentes de onda (superficies con fase constante) son
planos paralelos de amplitud constante normales al vector velocidad de fase. Es
decir, son aquellas ondas que se propagan en una sola dirección a lo largo del
espacio, como por ejemplo las ondas en los muelles o en las cuerdas. Si la onda
se propaga en una dirección única, sus frentes de ondas son planos y paralelos.
Por extensión, el término es también utilizado para describir ondas que son
aproximadamente planas en una región localizada del espacio. Por ejemplo, una
fuente de ondas electromagnéticas como una antena produce un campo que es
aproximadamente plano en una región de campo lejano. Es decir que, a una
distancia muy alejada de la fuente, las ondas emitidas son aproximadamente
planas y pueden considerarse como tal.
3.1 Expresión matemática de la onda plana
Matemáticamente, una onda plana es una solución de la ecuación de onda de la
siguiente forma:
Dónde i es la unidad imaginaria, k es el vector de onda, ω es la frecuencia angular
y a es la amplitud compleja. La solución física es usualmente encontrada tomando
la parte real de la expresión.
Esta es la solución para una ecuación de onda escalar en un medio homogéneo.
Para ecuaciones de onda vectoriales, como las que describen a la radiación
electromagnética o las ondas en un medio elástico, la solución para un medio
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homogéneo es similar: multiplicado por un vector constante a. (Por
ejemplo, en electromagnetismo a es típicamente el vector para el campo eléctrico,
campo magnético, o el potencial vectorial). Una onda transversal es aquella en
que el vector amplitud es ortogonal a k (por ejemplo, para ondas
electromagnéticas en un medio isotrópico), mientras que una onda longitudinal es
aquella en que el vector amplitud es paralelo a k (por ejemplo en ondas acústicas
propagándose en un gas o fluido).
En esta ecuación, la función ω(k) es la relación de dispersión del medio, con el
radio ω/|k| dando la magnitud de la velocidad de fase y dω/dk dando la velocidad
de grupo. Para el electromagnetismo en un medio isotrópico con índice de
refracción n, la velocidad de fase es c/n (la cual iguala a la velocidad de grupo
solamente si el índice no depende de la frecuencia).
3.2 Onda plana uniforme.
Se dice que una onda plana electromagnética es uniforme si en ella, las
intensidades de campo eléctrico y magnético presentan amplitudes constantes en
las superficies equifase. Ondas de este tipo sólo pueden encontrarse en el espacio
libre a una distancia infinita de la fuente.
3.2.1 Condiciones de contorno
Un posible procedimiento para resolver las ecuaciones de maxwell es dividir el
espacio en dos regiones. Una con las fuentes que generan los campos (región I) y
otra donde no hay cargas ni corrientes (región II). Por ello suponemos que en esta
última región el campo será una combinación de ondas planas. La solución exacta
será la que cumpla las siguientes condiciones de contorno en la superficie de
separación (S) entre las dos regiones.
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Donde S es la superficie de separación (véase la figura 3.0) y
perpendicular a ella y dirigida al interior de la región II. A partir de la medida de las
componentes tangenciales del campo electromagnético, generado por las fuentes
de la región I, podemos determinar exactamente que ondas habrá en la región II,
hallando su dirección de propagación y su amplitud de onda. Incluso podemos
considerar que es el campo electromagnético en S el que excita una serie de
ondas planas en la región II
propagación dependerá de la variación temporal y espacial del campo que las ha
creado.
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Donde S es la superficie de separación (véase la figura 3.0) y un vector unitario
perpendicular a ella y dirigida al interior de la región II. A partir de la medida de las
componentes tangenciales del campo electromagnético, generado por las fuentes
a región I, podemos determinar exactamente que ondas habrá en la región II,
hallando su dirección de propagación y su amplitud de onda. Incluso podemos
considerar que es el campo electromagnético en S el que excita una serie de
ondas planas en la región II donde la amplitud, frecuencia y dirección de
propagación dependerá de la variación temporal y espacial del campo que las ha
Figura 3.0
un vector unitario
perpendicular a ella y dirigida al interior de la región II. A partir de la medida de las
componentes tangenciales del campo electromagnético, generado por las fuentes
a región I, podemos determinar exactamente que ondas habrá en la región II,
hallando su dirección de propagación y su amplitud de onda. Incluso podemos
considerar que es el campo electromagnético en S el que excita una serie de
donde la amplitud, frecuencia y dirección de
propagación dependerá de la variación temporal y espacial del campo que las ha
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3.3 Caracterización de los medios
Los medios, naturales o no, de propagación de onda se caracterizan por tres
parámetros y se clasifica en:
Donde:
σ: es la conductividad del medio y se mide en S/m
ε: es la permitividad o constante dieléctrica del medio y se mide en F/m
µ: es la permeabilidad o constante magnética y se mide en H/m
La velocidad de propagación de una onda plana en un medio dieléctrico (σ=0)
viene dada por:
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La impedancia intrínseca o característica de un medio dieléctrico es:
3.3.1 Propagación de medios sin pérdidas
Tener un medio sin pérdidas significa que no existe la conductividad en ese medio,
o que la conductividad es cero.
Las condiciones que se dan en este medio son las que se muestran en las
siguientes ecuaciones:
α = 0
La impedancia intrínseca se vuelve un numero real.
Ya que la conductividad se vuelve cero. Por lo tanto, solo tiene una parte real y no
parte imaginaria. La velocidad de fase de la onda se vuelve:
La siguiente ecuación nos dice como se propaga el campo eléctrico:
Ex = Emcos(ωt − βz + θ)
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A continuación, la propagación del campo magnético:
Consideraciones para la propagación en el espacio libre:
µ0 = 4πx10 − 7 H/m Permeabilidad en el espacio libre
V0 = 3x108 m/s Velocidad de Propagación en el espacio libre
Para cualquier otro tipo de material
m/s
Ω
rad/m
m
3.3.2 Propagación en medios con perdidas
Un medio con perdida existe cuando hay conductividad aunque sea mínima, y
como existe conductividad dentro de ese medio
dejar bien claro que existen dos diferencias muy notables entre las ondas planas
uniformes en medios sin pérdidas y las ondas planas uniformes en medios con
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A continuación, la propagación del campo magnético:
onsideraciones para la propagación en el espacio libre:
Permeabilidad en el espacio libre
F/m Permitividad en el espacio libre
m/s Velocidad de Propagación en el espacio libre
Para cualquier otro tipo de material y µ = µrµ0
Propagación en medios con perdidas
Un medio con perdida existe cuando hay conductividad aunque sea mínima, y
como existe conductividad dentro de ese medio la onda va a cambiar. Debemos
dejar bien claro que existen dos diferencias muy notables entre las ondas planas
uniformes en medios sin pérdidas y las ondas planas uniformes en medios con
Un medio con perdida existe cuando hay conductividad aunque sea mínima, y
la onda va a cambiar. Debemos
dejar bien claro que existen dos diferencias muy notables entre las ondas planas
uniformes en medios sin pérdidas y las ondas planas uniformes en medios con
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pérdidas. La primera es que la parte real de la constante de propagación se vuelve
distinta de cero, y por lo tanto se divide en dos como se muestra a continuación:
Podemos ver que la gamma se dividió en su parte real alpha se le conoce como
constante de atenuación y sus unidades están dadas en Np/m, su parte imaginaria
beta que se le conoce como constante de fase y está dada en rad/m.
La otra diferencia es la impedancia intrínseca que para medios con pérdidas
también se vuelve compleja y no tiene los mismos valores que para un medio sin
pérdidas. La impedancia intrínseca se calcula de la siguiente manera:
Y ahora las ecuaciones de onda:
Ex = Eme( − αz)cos(ωt − βz + θ)
3.4 Teorema de Poynting.
Desarrollado por John Henry Poynting, expresa la ley de conservación de la
energía. Establece que la disminución de energía electromagnética en una región
se debe a la disipación de potencia en forma de calor (por efecto Joule) y al flujo
hacia el exterior del vector de Poynting.
Relaciona la derivada temporal de la densidad de energía electromagnética con el
flujo de energía y el ritmo al que el campo realiza un trabajo. Puede resumirse
mediante la fórmula.
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donde U es la densidad de energía, S es el vector de Poynting, J la densidad de
corriente y E el campo eléctrico. Dado que el campo magnético no realiza trabajo
la parte derecha de la ecuación incluye todo el trabajo realizado por el campo
electromagnético.
De forma integral, se puede expresar como:
donde:
Pd : potencia disipada por efecto Joule
W : energía electromagnética
En términos generales el Vector Poynting indica la dirección del flujo de energía
(1) de una onda electromagnética. Este vector se determina por su valor
promedio y siempre apunta en sentido de la propagación de la onda. 2 3
456 el
promedio del vector de poynting nos determina la intensidad lumínica (I) de la
onda electromagnética, o sea: ⟨28⟩ : ;<5=
También debemos tener en cuenta el flujo de potencia que transporta una onda
electromagnética. Para cualquier onda con campo eléctrico E y campo magnético
H, el vector de Poynting S se define como S = E x H (W/m2). Ec. 3.0
La unidad de S es (V/m) x (A/m): (Wm2) y la dirección de S es a lo largo de la
dirección de propagación de la onda >?. Por lo tanto, S representa la potencia por
unidad de área (densidad de potencia) que transporta la onda, y si ésta incide en
una abertura de área A con vector unitario superficial !@ como se ilustra en la figura
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3.1, entonces la potencia total que fluye a través de la abertura o que es
interceptada por ella es
A B2. !@CD(E). 3.1
Para una onda plana uniforme que se propaga en una dirección >? que forma un
ángulo F con !@, G = HIJKLM, NKONPH = |H|.
Excepto por el hecho de que las unidades de S se dan por unidad de área, la
ecuación Ec.3.0 es el análogo vectorial de la expresión escalar para la potencia
instantánea P(z, t), que fluye a través de una línea de transmisión: es decir.
G(R, S) = T(R, S)U(R, S)VJ. W. X
Donde Y(Z, )[(Z, ) son el voltaje y corriente instantáneos en la línea.
Como E y H son funciones de tiempo, también lo es el vector de Poynting S. Sin
embargo, en la práctica, la cantidad de mayor interés es la densidad de potencia
promedio de la onda Sprom. Que el valor promedio con respecto al tiempo de S.
Lección No 4. Clasificación Y Características De Las Soluciones TEM , TE Y TM
Un punto importante y el cual abordaremos a continuación es las características
de la guía de onda Dado que la energía se transporta por ondas
electromagnéticas, las características de las guías de ondas tales como
Figura 3.1
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impedancia, potencia y atenuación se expresan mediante campos eléctricos
y magnéticos característicos de la guía en consideración.
Por lo general, las guías de onda poseen una sección transversal rectangular,
pero pueden tenerla circular ó elíptica. En las Figuras 4.1 y 4.2, se
muestran tanto una guía de onda rectangular como circular en una vista en
sección transversal.
Figuras 4.1. Guía de onda rectangular.
Figuras 4.2. Guía de onda circular.
Las dimensiones de la sección transversal se escogen de tal manera que la
onda electromagnética se propague en el interior de la guía de onda. Una guía
no está diseñada para conducir corriente, sino que sirve como límite que
confina a la onda en su interior, debido a que la guía de onda se encuentra
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compuesta de un material conductor se refleja la energía
electromagnética que choca con la superficie. Si la pared de la guía de onda
es un conductor muy delgado en sus paredes fluye poca corriente y como
consecuencia se disipa poca potencia. La conducción de la energía, en la
realidad no ocurre en las paredes, sino en el dieléctrico que se encuentra dentro
de la guía.
El análisis de las guías de onda se da en términos de los campos magnético y
eléctrico que se propagan en su interior y los cuales deben cumplir con las
condiciones de frontera dadas por las paredes conductoras.
Ya que la guía de onda se encuentra compuesta por un material real, la onda
electromagnética penetra en las paredes de ésta provocando que la onda ceda
energía al material de la guía, es por ello que la onda pierde amplitud conforme
a la distancia que avanza.
4.1 Clasificación de impedancias en una guía de onda.
Las impedancias en una guía de onda se pueden clasificar en:
o Impedancia característica se refiere a la relación de los fasores de
tensión y de corriente en una línea de transmisión infinita de dos
conductores.
o Impedancia intrínseca se refiere a la razón de campos fasoriales E y H
para una onda plana (TEM) en un medio no limitado.
o Impedancia de onda se refiere a la relación de una componente del campo
eléctrico a una del campo magnético en el mismo punto de la misma onda
TEM, la impedancia de onda es la misma impedancia intrínseca, pero para
modos de orden superior.
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4.2 Modos de propagación.
Las ondas electromagnéticas viajan a través de las guías por medio de
diversas configuraciones a las que llamamos modos de propagación. Un
modo es la manera en la que la energía se puede propagar a lo largo de la guía
de onda, cabe aclarar que todos estos modos deben satisfacer ciertas
condiciones de frontera para que se puedan dar. En teoría existen un
número infinito de modos de propagación y cada uno tiene su frecuencia de
corte a partir de la cual existe. En otras palabras a medida que se va
aumentando la frecuencia se irá incrementando el número de modos a partir de
cada frecuencia de corte de cada modo respectivamente. Específicamente una
guía soporta tres modos de propagación y los cuales son:
•Modo transverso magnético (TMmn), también denominado modo E, en el
cual las soluciones se derivan a través de la componente del campo
eléctrico Ez, con la condición de que Hz = 0, esto es, la componente axial del
campo magnético es cero, por lo cual se asegura la transmisión de la potencia en
la dirección z que es la que se ha seleccionado como la dirección de propagación
de la línea.
•Modo transverso eléctrico (TEmn) o modo H. En este caso las soluciones se
derivan de la componente del campo magnético Hz, con la condición Ez = 0.
•Modo transverso eléctrico magnético (TEM), en el cual Ez = Hz = 0. Este
modo tiene la característica de que no se puede propagar en una guía, debido a la
estructura misma de ésta, puesto que no puede transmitir ondas
electromagnéticas de baja frecuencia, la transmisión tiene lugar a un valor
determinado de frecuencia que depende de las dimensiones de la guía.
Sin embargo, es la representación por medio de campos electromagnéticos de
una línea de transmisión de baja pérdida.
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La notación TMmn y TEmn implica guías de onda rectangulares y TMmn, TEmn
circulares. Los subíndices m y n en rectangulares designan números enteros que
denotan el número de medias longitudes de onda de intensidad de campo
magnético para él TE y eléctrico para el TM, entre cada par de paredes. El
subíndice m se mide a lo largo del eje x y el n sobre el eje y. Las siglas TM
tanto TE significan que las líneas del campo magnético como el eléctrico son
transversales en todos los puntos, lo que quiere decir que todas las líneas son
perpendiculares a las paredes de la guía.
Dentro de una guía es posible la propagación de varios modos de ondas
electromagnéticas. Cada modo tiene una frecuencia de corte asociada, de
manera que si la frecuencia de la señal a transmitir es mayor que la frecuencia de
corte, la energía electromagnética se transmitirá a través de la guía sin
atenuación. En otro caso, si la frecuencia de la señal es menor que la de corte, la
energía se atenuará exponencialmente con la distancia, teniendo un valor
extremadamente bajo a una distancia muy corta (este caso se denomina onda
evanescente).
El modo dominante en una guía determinada es aquél que tiene la frecuencia de
corte más baja. Las dimensiones de la guía pueden escogerse de modo que para
una señal dada, sólo el modo principal pueda transmitirse por ella.
Los modos de orden superior son todas aquellas formas en que la energía se
propaga por arriba de la frecuencia de corte del modo dominante. Sin embargo
no es recomendable operar en frecuencias donde éstos tipos de modos se
presenten, puesto que no acoplan bien a la carga, ocasionando reflexiones y la
aparición de ondas estacionarias.
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Lección No 5. Guía Conductora Ideal.
Las líneas de transmisión spara transmitir, con más o de frecuencias desde aproximadament10GHz (1GHz) y superioreslíneas de transmisión uniformetransmisión de dos conductoreparalelos, se muestran enconductores paralelos muy líneas operan, generalmentemecánicamente en intervalotransmisión coaxial consistedieléctrica coaxial, que puedinterno y la pared interna desección transversal circular.dieléctrico, o región del espaciparalelos. En el caso de latodo el espacio; en todosconfinado al espacio limitado pootro de línea de transmisiónoperación y la capacidad de
La teoría de líneas de transmisió
teoría de campos electromagnético
circuitos eléctricos. La primer
en resolver las ecuacione
condiciones de contorno adecuadas
seguiremos en este tema
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Lección No 5. Guía Conductora Ideal.
se usan básicamente para conducir potenci menos perfección, información y se utilizan
aproximadamente 60 Hz, en electrónica de potenciasuperiores, en ingeniería de microondas. Algunos de
uniformes más usuales, tales como la dos conductores (línea bifilar), la línea coaxial y la guí
n la figura 1. La línea bifilar está formad próximos normalmente de sección recta circular
generalmente, en el espacio libre estando intervalos regulares por dieléctricos aislantes.
consiste, como su propio nombre indica, enpuede ser el vacío, entre la pared exterior de
del conductor externo hueco. Ambos conductore. La guía de planos paralelos consiste en unespacio libre, colocada entre dos conductorea línea bifilar el campo electromagnético se s los demás casos el campo electroma
limitado por los contornos metálicos. La elección transmisión, entre otros factores, depende de la frecuenci
e potencia requerida.
transmisión se puede desarrollar desde el punto
electromagnéticos o desde el punto de vista d
primera opción, que veremos en un tema posterior
las ecuaciones de Maxwell del problema concreto junt
contorno adecuadas. En la segunda opción, que
tema, la línea de transmisión se trata como un
potencia eléctrica y en un rango
potencia, hasta e los tipos de a línea de
guía de planos formada por dos
circular. Estas o sujetadas
. La línea de una región del conductor
conductores son de una lámina de
conductores planos extiende por
electromagnético está n de un tipo u frecuencia de
o de vista de
de teoría de
posterior, consiste
junto con las
e es la que
n circuito de
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parámetros distribuidos formado por ciertos valores de inductancias y resistencias
en serie y capacitancia y conductancia en paralelo. Los valores de estos
parámetros dependen de la geometría de la línea de transmisión y se tienen que
obtener, necesariamente, mediante la aplicación de la teoría de campos
electromagnéticos. Estudiaremos líneas de transmisión uniformes, esto es, todas y
cada una de las secciones de una línea son iguales entre sí. Este requerimiento de
uniformidad excluye líneas de transmisión de longitud finita, puesto que en ese
caso una sección cercana al final de la línea no sería igual que una sección en el
medio, por ejemplo. Así, la teoría que vamos a ver es estrictamente aplicable sólo a
líneas de transmisión de longitud infinita. En la mayoría de los casos prácticos, los
"efectos de borde" son suficientemente pequeños y su omisión queda justificada.
Siendo más específicos en referencia a una guía de onda ideal; En la figura 2a se
muestra una línea de transmisión uniforme de dos conductores cilíndricos (hilos)
paralelos. Consideraremos los conductores perfectos, es decir, con conductividad
infinita. Los conductores se extienden desde z=0 hasta infinito, formando una línea de
transmisión semiinfinita. En z=0 se aplica una tensión vg(t); si se conecta el
generador en t=0, a lo largo del conductor superior fluye una corriente i(t). Además,
debe retornar una corriente -i(t) por el conductor inferior, ya que la corriente en el
generador debe ser continua. Esta corriente que retorna, se produce por la acción
del campo eléctrico que se establece entre los dos conductores. Puesto que la línea
de transmisión es semiinfinita, no existe un camino directo entre los conductores
superior e inferior, por lo que supondremos que hay una capacitancia distribuida "C",
por metro, entre los dos conductores; así, tenemos una corriente de desplazamiento
que fluye desde el conductor superior hacia el inferior.
La corriente eléctrica provoca un campo magnético alrededor de los conductores,
por lo que la línea de transmisión también tendrá una inductancia serie distribuida L,
por metro. Podemos, entonces, modelar una sección diferencial dz de esta línea
de transmisión como una inductancia serie Ldz y una capacitancia paralelo Cdz, tal y
como se muestra en la figura 2b. Si los conductores tuviesen conductividad finita,
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se debería incluir, además
sección diferencial C. Lo
estuviera lleno con un material dieléctric
considerar una conductanci
no vamos a considerar, por
Puesto que los efectos electromagnético
(velocidad de la luz en el
punto arbitrario "z" de la líne
tiempo z/c después de qu
generador lanza ondas de
propagan con velocidad finita
obtienen aplicando las leye
sección diferencial de la líne
(condiciones de contorno) qu
Sean v(z,t) e i(z,t) la tensió
"z" de la línea de transmisión
y la corriente habrán cambiad
tensión y la corriente en z+dz Serán
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además, una resistencia serie en el circuito equivalent
o mismo sucedería si el espacio entre los
material dieléctrico con pérdidas; tendríamos, entonces
conductancia paralelo "G" en el circuito equivalente. Si
r ahora, estos dos últimos efectos.
electromagnéticos se propagan a una velocida
vacío), la tensión v(z,t) y la corriente i(z,t)
línea de transmisión serán cero hasta que hay
que el generador se haya conectado. Veremo
e tensión y corriente a la línea de transmi
finita. Las ecuaciones que describen esta
leyes circuitales de Kirchoff al circuito equivalent
línea de transmisión, junto con las relacione
que se deben cumplir en el generador.
tensión y la corriente, respectivamente, en un punto arbitrari
transmisión. A una distancia diferencial "dz" más allá
cambiado una pequeña cantidad tanto
tensión y la corriente en z+dz Serán
equivalente de una
s conductores
entonces, que
Sin embargo,
velocidad finita "c"
) en un
ya pasado un
Veremos que el
transmisión que se
estas ondas se
equivalente de una
relaciones terminales
punto arbitrario
allá, la tensión
la
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La suma de todas las caídas
entonces:
y operando
La suma de las corrientes
podemos escribir
y operando
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s de potencial a lo largo del circuito deben ser
(1.a)
s en el nudo de salida debe ser cero; po
(1.b)
r cero;
por lo tanto
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Estas dos ecuaciones diferenciale
tensión y de corriente en la
para la tensión v(z,t) diferenciand
para eliminar la corriente; así
O
De manera similar se obtiene
El producto LC tiene dimensione
ecuaciones son ecuacione
propagándose a una velocida
Consideremos la ecuación
Dos funciones arbitrarias d
ecuación, es decir, de
demostramos en temas anteriore
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diferenciales describen la relación entre la
a línea de transmisión. Podemos obtener un
diferenciando la ecuación (1.a) respecto a z y utilizand
así
(2.a)
e la ecuación diferencial para la corriente
(2.b)
dimensiones de inverso de velocidad al cuadrado
ecuaciones de onda unidimensionales y describe
velocidad (línea de transmisión ideal en aire)
(3)
de la forma f (t-z/c) y f (t-z/c) son solucione
la ecuación de ondas unidimensional
anteriores para una onda plana.
las ondas de
una ecuación
utilizando (1.b)
cuadrado. Estas dos
describen ondas
soluciones de esta
unidimensional, como ya
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+ -
La función f (t-z/c) es la mism
una cantidad z/c, que es igua
generador hasta que alcanz
solución puede, entonces
dirección z positiva, por lo
solución representa una onda
superíndice "-".
La solución general para la
Donde V son amplitudes constantes
Si consideramos que la corrient
Entonces
sin más que utilizar la relación
Inspeccionado estas ecuaciones
compatible con que la de la tensió
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misma que la función f (t) pero retrasada en el
igual al tiempo que tarda la señal desde
alcanza la posición marcada por la coordenad
entonces, interpretarse como una onda propagándos
cual se identifica con el superíndice "+"
onda propagándose en la dirección -z, y se identific
onda de tensión en la línea de transmisión es
(4)
constantes. Usando la ecuación (1.b) podemos
corriente es de la forma
relación
ecuaciones, vemos que la solución considerada par
tensión v(z,t) si escogemos
tiempo
e que sale del
coordenada z. Esta
ándose en la
"+". La otra
identifica con el
es
s poner
para i(z,t) es
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El parámetro cC tiene dimensione
La admitancia característica
parámetro. Su inverso se
trasmisión y vale
Utilizando este parámetro, la
transmisión se puede expresa
Como puede observarse d
de la línea es el cociente entr
viajan en un punto e instan
sentido negativo de z es lógico
y nuestro convenio de corrient
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dimensiones de admitancia y es también
a Yc de la línea de transmisión viene definida
denomina impedancia característica de la
(5)
a solución para las ondas de corriente en la
expresar como
(6)
de las ecuaciones (4) y (6) la impedancia característica
entre la tensión y la corriente para una de la
ante dados. El signo negativo para la onda vi
lógico, puesto que la onda se propaga hacia
corriente positiva es viajando hacia la derecha.
n igual a
a por este
a línea de
a línea de
característica
las ondas que
viajando en el
a la izquierda
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CAPÍTULO 2- Guías De Onda Conductoras.
Algunos sistemas de comunicaciones utilizan la propagación de ondas en el
espacio libre, sin embargo también se puede transmitir información mediante la
confinación de las ondas en cables o guías. En altas frecuencias las líneas
de transmisión y los cables coaxiales presentan atenuaciones muy elevadas
por lo que impiden que la trasmisión de la información sea la adecuada, son
imprácticos para aplicaciones en HF o de bajo consumo de potencia,
especialmente en el caso de señales cuyas longitudes de onda son del orden de
centímetros, esto es, microondas.
La transmisión de señales por guías de onda reduce la disipación de energía,
es por ello que se utilizan en las frecuencias denominadas de microondas con el
mismo propósito que las líneas de trasmisión en frecuencias más bajas, ya que
presentan poca atenuación para el manejo de señales de alta frecuencia.
El nombre de guías de onda se utiliza para designar los tubos de un material
conductor de sección rectangular, circular o elíptica, en los cuales la dirección
de la energía electromagnética debe ser principalmente conducida a lo largo de
la guía y limitada en sus fronteras. Las paredes conductoras del tubo confinan la
onda al interior por reflexión en la superficie, donde el tubo puede estar vacío o
relleno con un dieléctrico. El dieléctrico le da soporte mecánico al tubo (las
paredes pueden ser delgadas), pero reduce la velocidad de propagación.
En las guías los campos eléctrico y magnético están confinados en el espacio
que se encuentra en su interior, de este modo no hay pérdidas de potencia por
radiación y las pérdidas en el dieléctrico son muy bajas debido a que suele
ser aire. Este sistema evita que existan interferencias en el campo por otros
objetos, al contrario de lo que ocurría en los sistemas de transmisión abiertos.
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La guía de onda se puede visualizar de una manera simplificada en la
Figura 5.1, suponiendo que está formada por dos láminas conductoras y que
el transporte de la energía electromagnética se lleva a cabo mediante
reflexiones continuas y no por medio de corrientes superficiales, como en el caso
de las líneas de transmisión.
Figura 5.1. Transporte de la energía en la guía de onda.
La guía está diseñada fundamentalmente para operar un solo modo de
propagación con el ancho de banda requerido, atenuando los demás modos de
orden superior. En otras palabras, esto quiere decir que transmite óptimamente la
frecuencia portadora, para la cual se ha seleccionado la guía con su respectivo
ancho de banda de transmisión.
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Lección 6. Guías Conductora De Sección Rectangular
Vamos a considerar el
dimensiones transversales
como perfecto) y en cuyo interior
e isótropo (Fig. 6.1). La expresión
fasorial, excluyendo las
guiada), es:
Si el dieléctrico interior es
situación habitual, puede sustituirse
De las anteriores se obtiene
onda, para uno u otro campo:
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Lección 6. Guías Conductora De Sección Rectangular :
caso de una guía de onda limitada en
transversales por un material conductor (que aproxi
cuyo interior existe un medio dieléctrico lineal,
expresión de las ecuaciones de Maxwell
fuentes (que son las que rigen para la propagación
no magnético, lo que, por otra parte, es
sustituirse en todas las expresiones µ por µ0
Figura No 6.1
obtiene inmediatamente, como ya sabemos, la ecuación
po:
en sus dos
aproximaremos
homogéneo
en notación
la propagación
una
0.
ecuación de
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Tomaremos el eje Z como
de la guía, y las direcciones
la propagación. El tipo de
arriba se escribe, en forma
Donde β es la llamada constante
ecuación anteriormente vista,
y se caracteriza porque su
la dirección de propagación,
Independiente de ella.
completamente
Generales, pero constituy
onda que pueda propagarse en la
combinación lineal de esas funciones.
Lección No 7- Potencia T ransmitida
7.1 Potencia Transmitida
A partir de la expresión de la
la potencia que transporta un
las direcciones transversales
flujo neto de potencia
Si recordamos que para modos
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o dirección de propagación de las ondas en
direcciones X e Y serán siempre las direcciones trans
de soluciones que buscamos para las ecuaciones
fasorial:
constante de propagación. A una solución del
ecuación anteriormente vista, se le denomina modo de propagación
su fase depende linealmente de z, la coordenada
ación, pero su amplitud es
Este tipo de soluciones no son, por
yen un conjunto completo, esto es: cualquier
arse en la guía puede escribirse mediante la
esas funciones.
ransmitida Y Atenuación
de la densidad media de potencia podrá
un modo a lo largo de la guía (eje Z). Es claro
direcciones transversales la situación es estacionaria y no puede haber
odos TE y TM se cumplen las relaciones
en el interior
transversales a
ecuaciones de
del tipo de la
propagación de la guía,
coordenada en
sí mismas,
cualquier posible
la adecuada
podrá calcularse
claro que en
haber ningún
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(donde Zmn = ZTEmn o
respectivas), podemos escribir
La potencia media transportada
del vector de Poynting a través
7.2 Atenuación
En la práctica, la propagación
pérdidas, que se ponen
transmitida. Las pérdidas en una
causas: al hecho de que
caracterizarse más cuidadosa
conductor tiene una conducti
Como ya se había visto en lecciones anteriores
dieléctrico real debe escribirse
la permitividad del materia
lado, se define la impedancia
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Zmn = ZTMmn son las impedancias de
s escribir la densidad de potencia como:
transportada se obtiene, finalmente, como la integral
a través de una sección cualquiera de la guía:
ación guiada de la energía electromagnética
de manifiesto en una disminución de
Las pérdidas en una guía de paredes conductoras se deben a dos
el dieléctrico interior no es perfecto, (lo
cuidadosamente con una permitividad compleja),
conductividad finita.
Como ya se había visto en lecciones anteriores que la permitiv
escribirse en la forma
terial sin pérdidas y su conductividad efectiv
pedancia superficial de un conductor no perfecto
de onda
integral del flujo
la guía:
nética presenta
la potencia
uía de paredes conductoras se deben a dos
(lo cual debe
a), y a que el
vidad de un
, donde es
va. Por otro
perfecto como:
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La definición de esta impedancia
conductor no perfecto la
estrictamente nula en su superficie
cuestiones seguiremos considerándola
densidad de corriente que
estrictamente superficial, sino que
del conductor. Esa corriente
las pérdidas, que dan pie a
Lección No 8- Guía Conductora De Sección Circular.
Las leyes que rigen la
independientes de la forma
dimensiones, debido a esto
como la frecuencia de corte
guías de onda rectangulares se
exceptuando que el problema
se presentan en coordenadas
La guía de onda rectangul
no se puede doblar, lográndose que
circular es un ducto flexible
puede doblarse sin exces
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(7.1)
pedancia está relacionada con el hecho de
componente tangencial de campo eléctrico
superficie (aunque es tan pequeña que para
os considerándola despreciable) y, como consecuencia,
que se induce en la pared del conductor ta
ente superficial, sino que logra penetrar en alguna medida en
corriente (y el propio campo eléctrico) es la responsable
a la expresión (7.1).
Guía Conductora De Sección Circular.
la propagación de las ondas en las
la forma de la sección transversal de la guía
esto el concepto de campos eléctricos y magnéticos, así
corte y en general todos lo parámetros presentados
rectangulares se cumplen también para guías de onda
problema de los modos de transmisión para guías
en coordenadas cilíndricas Figura.8.1.
rectangular se utiliza en distancias cortas y debido
lográndose que la señal se refleje en otra dirección.
flexible de uno cuantos centímetros de diámetro,
sivas reflexiones.
de que en un
eléctrico no es
para el resto de
consecuencia, la
induce en la pared del conductor tampoco es
en el interior
la responsable de
guías son
guía y de sus
magnéticos, así
parámetros presentados en
onda circulares
guías circulares
a su rigidez
rección. La guía
diámetro, el cual
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A continuación se muestra
Fig.
Para evitar confusiones c
una guía rectangular, los
en coordenadas cilíndricas
TEnm. En las guías circulares,
de la intensidad de campo
subíndice m representa el
en λ/2 en dirección radial.
Las guías de ondas circulares tienen
son muy importantes, se
útiles para propagar ondas polarizadas
verticalmente en la mism
flexibilidad en su manejo, la
que la rectangular y sus conexiones son
éste tipo de guía presenta
frecuencia.
Para encontrar la frecuenc
circular se utilizan las funciones
Es importante tener en cuenta que el caso de cualquier guías o en especial las
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el sistema de referencia de la guía.
Fig. 8.1 Geometría de la guía circular
con la presentación de los modos de transmisión
cuales han sido representados como TMmn
cilíndricas se invierten los subíndices m y n; es decir,
circulares, el subíndice n denota el número de
ampo en una longitud de onda, o sea, en 2
el número de variaciones de la intensidad
dirección radial.
circulares tienen aplicaciones específicas
se usan en radar y microondas terrestres,
propagar ondas polarizadas tanto horizontalmente
sma guía. Además de la ventaja mencionada de
la guía de onda circular es de fabricación más
conexiones son más fáciles de realizar; sin
guía presenta más área que la rectangular que opera en
cia de corte así como la longitud de onda
funciones de Bessel.
Es importante tener en cuenta que el caso de cualquier guías o en especial las
transmisión de
mn y TEmn,
decir, TMnm y
de variaciones
2 π rad y el
intensidad de campo
específicas las cuales
terrestres, pues son
horizontalmente como
ventaja mencionada de la
más sencilla
sin embargo,
en la misma
en una guía
Es importante tener en cuenta que el caso de cualquier guías o en especial las
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circulares, Las guías de onda operan (propagan ondas) dentro de los
límites de un rango de frecuencias determinado por sus dimensiones. Para
que la propagación tenga lugar en la guía de onda, la configuración de campos
eléctricos y magnéticos de las ondas debe satisfacer ciertas condiciones.
Hay muchas posibles configuraciones, llamadas modos. Los modos se designan
según las direcciones que los campos eléctrico y magnético de la onda
electromagnética asumen respecto de la dirección de propagación. Así tenemos
modos "transversal-electromagnéticos" (TEM) donde tanto el campo eléctrico
como el magnético son perpendiculares a la dirección de propagación de la onda,
modos "transversales eléctricos" (TE) donde solo el campo eléctrico de la onda es
perpendicular a la dirección de propagación y modos "transversales magnéticos"
(TM) donde sólo el campo magnético es perpendicular a la dirección de
propagación.
El componente no transversal de campo eléctrico o magnético está asociado a
fenómenos de pérdidas inherentes a la interacción de la onda con materiales no
ideales. Pero pueden ocurrir varios modos TEM, TE, y TM diferentes en una
guía de ondas circular, según las veces que el campo eléctrico varíe a lo largo
de la circunferencia de la guía de ondas, o a lo largo de un radio de la misma.
La Figura 8.2, muestra algunas configuraciones de campo (modos) en guías de
onda circulares y la correspondiente designación. Lo que se observa son
configuraciones de ondas estacionarias dentro de la guía de onda, con las líneas
de puntos representando las líneas de fuerza del campo magnético y las líneas
continuas al campo eléctrico.
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Se puede observar que las líneas de fuerza del campo magnético y del eléctrico
son perpendiculares entre sí en cualquier punto de la guía de onda y que se
cumplen las condiciones de contorno del campo eléctrico y magnético.
Figura 8.2. Algunos modos de propagación.
Lección No 9- Cavidades Resonantes De Paredes Condu ctoras.
Una cavidad resonante de este tipo consiste en un volumen dieléctrico
(normalmente el aire) completamente rodeado de paredes conductoras.
Evidentemente los campos que pueda haber en el interior de la cavidad no
tienen el carácter de una onda viajera, con un término de propagación
(exponencial compleja), en la forma en que acabamos de ver en el estudio de las
guías de onda, puesto que ya no existe una dirección en la que puedan
extenderse ilimitadamente. En esta nueva situación las paredes conductoras
imponen condiciones adicionales. Se puede considerar que las ondas
experimentan reflexiones continuas sobre las superficies del sistema y
tienden a adoptar la forma de ondas estacionarias, en correspondencia con la
geometría de la cavidad. El estudio de los modos de vibración propios y de sus
frecuencias características se realiza mediante la superposición de los modos
de propagación de las guías abiertas, que interfieren al viajar en sentidos
opuestos.
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Las estructuras aquí descritas se deno
resonadores de cavidad, y tienen
frecuencia. Se utilizan en
con paredes dieléctricas). Presentan
aunque los principios generales
Como ejemplo específico de ca
generalidad de los resultados,
cavidad en forma de paralelepípedo
Sea, pues, el sistema representado
conductoras que encierran
dieléctrico, de dimensiones
respectivamente.
Fig.
Los fusores de campo eléctrico y magnético deben de satisfacer la ecuación de
onda:
Por lo que en coordenadas cartesianas cada
campos deben de cumplir la ecuación escalar:
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Las estructuras aquí descritas se denominan cavidades resonantes o,
y tienen interés como sintonizadores y medidores
radiofrecuencia y a frecuencias ópticas (en
dieléctricas). Presentan gran variedad de formas y di
enerales de funcionamiento son siempre los mi
plo específico de cavidad resonante y, teniendo en cuenta la
eneralidad de los resultados, vamos a considerar un caso simple
de paralelepípedo regular.
representado en la figura 5.8, con seis
que encierran en su interior un volumen de cierto
ensiones a, b y c, según las direcciones
Fig. 5.8 Cavidad resonante rectangular
Los fusores de campo eléctrico y magnético deben de satisfacer la ecuación de
Por lo que en coordenadas cartesianas cada una de las componentes de ambos
campos deben de cumplir la ecuación escalar:
idades resonantes o, también,
edidores de
(en este caso
y dimensiones,
ismos.
, teniendo en cuenta la
como es la
seis paredes
cierto medio
X, Y y Z
Los fusores de campo eléctrico y magnético deben de satisfacer la ecuación de
una de las componentes de ambos
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Si, como en nuestro caso,
aplicar la técnica de separación
Sustituyendo esta expresión
inmediatamente la solución
Con la condición adicional:
y donde A, B, C, D, E y F son
Lección No 10- Manejo De La Unidad Decibel (Db).
En el caso del manejo de las unidades de decibeles es importante referirnos al
factor de atenuación y carga resistiva de la onda, para determinar dichos
comportamiento de las guías de ondas se inicia con el factor de la
las guías de onda el cual es
• Obstáculos o discontinuidades.
• Pérdidas inherentes
• Pérdidas en los dieléctricos,
La medida de la atenuación
parámetro α, de tal manera
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el problema tiene simetría rectangular, pode
separación de variables:
expresión en la ecuación de arriba se obtiene
la solución como:
son constantes.
Manejo De La Unidad Decibel (Db).
En el caso del manejo de las unidades de decibeles es importante referirnos al
factor de atenuación y carga resistiva de la onda, para determinar dichos
comportamiento de las guías de ondas se inicia con el factor de la a
es causada por los siguientes factores:
o discontinuidades.
a las corrientes que pasan por las paredes
dieléctricos, si es que los hay en el interior de la
atenuación QdB, de la guía en decibles queda determinada
manera que:
rectangular, podemos
En el caso del manejo de las unidades de decibeles es importante referirnos al
factor de atenuación y carga resistiva de la onda, para determinar dichos
atenuación de
de la guía.
la guía.
erminada por el
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donde z es la longitud de la
alfa es igual a:
Por otro lado, de las ecuaciones
la cual se reduce a:
Las pérdidas por atenuac
plantea la guía. Otro elemento
éste tipo de cargas de material dieléctrico
perfecto que suelen ubicarse
energía absorbida por estas
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la guía y α el factor de atenuación, donde
ecuaciones (3.2.3 –1) y (3.2.3 –2) se tiene que para
ción se reducen de manera considerable
elemento importante en las guías son las cargas
material dieléctrico resulta ser un acoplamiento
ubicarse al final de la guía para evitar reflexiones.
tas cargas se disipa por medio de radiadores.
tenemos que
para QdB
nsiderable cuando se
cargas resistivas,
acoplamiento casi
reflexiones. La
radiadores.
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Interferometría
Un dispositivo que utiliza la interferencia de ondas para realizar mediciones de
alguna naturaleza es un interferómetro. Hasta mediados del siglo veinte, la
interferometría se realizaba exclusivamente con ondas de luz, pero luego se han
utilizado ondas electromagnéticas de múltiples frecuencias para diversos
propósitos, como veremos al final de esta sección. Aunque el modelo de
interferómetro más conocido es el de Michelson, conectado con la búsqueda de
las propiedades del “éter luminífero” y la historia de la teoría de la relatividad, el
sistema más simple es el modelo de Fabry-Perot, que consiste (en forma
simplificada) en un par de espejos paralelos de alta reflectividad. Cuando uno de
los espejos es móvil, modificando, como vemos más abajo, la longitud de onda de
la radiación a usar, se dice que el aparato es un interferómetro, mientras que
cuando la distancia entre los espejos es fija, pero se dispone de un mecanismo
para asegurar el paralelismo de los espejos, se dice que el aparato es un etalon.
Este tipo de aparato está ligado al desarrollo y construcción de la mayoría de los
láseres, incluidos los láseres semiconductores, que desempeñan un rol
fundamental en las comunicaciones ópticas. En el caso ideal, la radiación consiste
en ondas planas que viajan entre los dos planos espejados según una dirección
perpendicular a ellos. Los espejos son perfectos (es decir, la reflexión es total).
Esto se logra con espejos hechos de un material conductor perfecto. Dentro del
interferómetro se producen ondas estacionarias porque los espejos se colocan en
los nodos de la onda de campo eléctrico, tomando la distancia entre los espejos
como un múltiplo entero de media longitud de onda: L = N λ Si esta relación no se
cumple, los campos en el interior del aparato no satisfacen las condiciones de
contorno y no pueden existir. Para que la radiación pueda entrar y salir del aparato
en una aplicación práctica, se usan espejos imperfectos, de modo que tenemos
radiación reflejada y transmitida por el aparato. Dentro del interferómetro se
producen ahora ondas cuasi-estacionarias para la condición: L = N λ Si esta
relación no se cumple, la mayor parte de la energía incidente a la izquierda se
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refleja. En la figura se muestra una disposición donde la radiación incide formando
una ángulo θ con el eje óptico del sistema. La radiación que sale se enfoca sobre
una pantalla (o un dispositivo de foto detección) mediante una lente. La condición
de interferencia constructiva es ahora
Dado que los espejos no son perfectam
estacionaria no se cumple exactamente, como tampoco se cumple si la longitud de
onda se varía. Si se grafica la intensidad de la radiación transmitida en función de
la longitud de onda se observa una curva continua co
onda de resonancia. El ancho de estos picos depende de la reflectividad
espejos. Cuando mayor es la reflectividad, el sistema se acerca más al caso ideal
y los picos tienden a deltas centradas en las posiciones de
muestra en la gráfica de la figura. Las ecuaciones que describen esta gráfica son:
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refleja. En la figura se muestra una disposición donde la radiación incide formando
óptico del sistema. La radiación que sale se enfoca sobre
una pantalla (o un dispositivo de foto detección) mediante una lente. La condición
de interferencia constructiva es ahora 2Lcosθ = N λ .
Dado que los espejos no son perfectamente reflectores, la condición de onda
estacionaria no se cumple exactamente, como tampoco se cumple si la longitud de
onda se varía. Si se grafica la intensidad de la radiación transmitida en función de
la longitud de onda se observa una curva continua con picos en las longitudes de
onda de resonancia. El ancho de estos picos depende de la reflectividad
espejos. Cuando mayor es la reflectividad, el sistema se acerca más al caso ideal
y los picos tienden a deltas centradas en las posiciones de resonancia, como se
muestra en la gráfica de la figura. Las ecuaciones que describen esta gráfica son:
refleja. En la figura se muestra una disposición donde la radiación incide formando
óptico del sistema. La radiación que sale se enfoca sobre
una pantalla (o un dispositivo de foto detección) mediante una lente. La condición
ente reflectores, la condición de onda
estacionaria no se cumple exactamente, como tampoco se cumple si la longitud de
onda se varía. Si se grafica la intensidad de la radiación transmitida en función de
n picos en las longitudes de
onda de resonancia. El ancho de estos picos depende de la reflectividad R de los
espejos. Cuando mayor es la reflectividad, el sistema se acerca más al caso ideal
resonancia, como se
muestra en la gráfica de la figura. Las ecuaciones que describen esta gráfica son:
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Es la fineza o resolución del interferómetro, que es una medida de la habilidad del
aparato para resolver o distinguir entre longitudes de
mayor es la reflectividad de los espejos, mayor será el cambio en la intensidad
transmitida para un cambio en la longitud de onda (o la frecuencia) de la onda
incidente. Otra figura de mérito usada en el interferómetro es el
libre (FSR), que se define como la separación en longitud de onda entre dos
máximos sucesivos, y vale:
banda” del aparato, ya que si se varía la longitud de onda más allá de la distancia
entre máximos sucesivos se repite la respuesta y no es posible distinguir entre
longitudes de onda separadas más allá de este rango.
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o resolución del interferómetro, que es una medida de la habilidad del
aparato para resolver o distinguir entre longitudes de onda cercanas. Cuanto
mayor es la reflectividad de los espejos, mayor será el cambio en la intensidad
transmitida para un cambio en la longitud de onda (o la frecuencia) de la onda
incidente. Otra figura de mérito usada en el interferómetro es el rango es
(FSR), que se define como la separación en longitud de onda entre dos
máximos sucesivos, y vale: Este parámetro indica el “ancho de
banda” del aparato, ya que si se varía la longitud de onda más allá de la distancia
sucesivos se repite la respuesta y no es posible distinguir entre
longitudes de onda separadas más allá de este rango.
o resolución del interferómetro, que es una medida de la habilidad del
onda cercanas. Cuanto
mayor es la reflectividad de los espejos, mayor será el cambio en la intensidad
transmitida para un cambio en la longitud de onda (o la frecuencia) de la onda
rango es pectral
(FSR), que se define como la separación en longitud de onda entre dos
Este parámetro indica el “ancho de
banda” del aparato, ya que si se varía la longitud de onda más allá de la distancia
sucesivos se repite la respuesta y no es posible distinguir entre
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CAPÍTULO 3- Guías De Onda De Conductores Reales.
Parece evidente que, en cualquier situación realista en la que se quieran estudiar
los campos dependientes del tiempo, deben existir límites o paredes en la región
bajo análisis. En estos casos las soluciones para los campos en el medio no
podrán ser, en general, ondas planas uniformes de extensión infinita, ya que,
además de satisfacer las ecuaciones de Maxwell, deben cumplir las condiciones
de frontera en los límites de la región que se considera. En este capítulo,
avanzando un paso más en el grado de confinamiento de los campos respecto a
las situaciones que se vieron en el capítulo anterior (con la presencia de medios
semi infinitos), se van a estudiar el comportamiento de las guías de ondas en
conductores reales y conductores no perfectos los cuales determinamos como
medio dieléctrico y por el cual esta propagación se produce está limitado, como
es el caso de dieléctrico.
Lección 11. Sistemas De Trasmisión Con Condiciones De Conductores No Perfectos.
Para entender más claramente un Sistemas De Trasmisión Con Condiciones De
Conductores No Perfectos, que en la mayoría de autores o libros de
telecomunicaciones se trata dicho tema como GUÍAS DIELÉCTRICA, para ser
más específico en el tema debemos tomar como base un modelo simplificado, que
para este caso se aplicaría uno de dos dimensiones. Esto es necesario para tener
soluciones analíticas que nos permitan comprender el fundamento y las
características de la propagación en este tipo de estructuras. En numerosos casos
se obtiene, de esta forma, una buena aproximación al dispositivo real. Como ya se
ha visto en otras lecciones anteriores y al estudiar las guías de paredes
conductoras, el problema que debemos resolver se reduce a obtener soluciones
de la ecuación de onda que satisfagan las condiciones de contorno del problema.
Se verá que las guías planas son capaces de soportar los dos tipos de modos
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estudiados anteriormente: TE y TM. La forma de una guía dieléctrica plana es la
que se muestra en la figura 1. Sobre un substrato de vidrio, o de algún material
transparente, se deposita una fina capa de otro dieléctrico, con un grosor del
orden de la longitud de onda de la radiación luminosa. A esta capa se la denomina
capa guiante y será, principalmente, la encargada de confinar las ondas en su
interior. Sobre la capa guiante habrá aire o, quizá, una segunda capa de
recubrimiento dieléctrico.
Fig. 1 Geometría de una guía de onda dieléctrica plana Existen diversos métodos para fabricar guías dieléctricas. Puede crecerse la capa
guiante sobre el substrato, depositando sobre él, a alta temperatura, los
microcristales del material cristalino elegido. Esto se hace en, por ejemplo, la
técnica de sputtering, que es una de las más habituales.
En otras ocasiones se procede a bombardear con iones el substrato, provocando
la aparición en la superficie, y hasta cierta profundidad, de una capa con
propiedades diferentes a las del substrato original (por ejemplo, con iones de
titanio sobre niobato de litio, LiNbO3, se crea una capa de Ti:LiNbO3). También se
pueden producir guías difundiendo térmicamente átomos de metal en el interior del
substrato.
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Otro método es el de fotolitografía, utilizando máscaras y ataques químicos o
fotoquímicos, de igual forma que en la fabricación de circuitos electrónicos
integrados. Este procedimiento es habitual en guías fabricadas sobre
semiconductores. En cualquier caso la capa guiante debe tener mayor índice de
refracción que la cubierta o el substrato, para que sea capaz de confinar la luz. La
diferencia entre el índice de refracción de la capa guiante y el del substrato no es,
sin embargo, muy elevada: aunque podría llegar a ser del 10% en su valor
numérico en alguna ocasión, en otras no pasa del 1%, que es suficiente para que
se produzca la reflexión total.
En nuestro análisis vamos a suponer que todos los dieléctricos implicados son
lineales, homogéneos e isótropos, aunque hoy en día se fabrican frecuentemente
guías inhomogéneas, en su perfil transversal, y también con dieléctricos cristalinos
anisótropos, como el LiNbO3, que tiene otras interesantes propiedades.
Lección 12. Disipación De Los Conductores: Constant e De Atenuación
En la práctica, la constante De atenuación se define como la propagación guiada
de la energía electromagnética que presenta pérdidas, que se ponen de manifiesto
en una disminución de la potencia transmitida. Las pérdidas en una guía de
paredes conductoras se deben a dos causas: al hecho de que el dieléctrico interior
no es perfecto, (lo cual debe caracterizarse más cuidadosamente con una
permisividad compleja), y a que el conductor tiene una conductividad finita.
En conclusión La atenuación de las guías de onda es causada por los siguientes
factores:
• Obstáculos o discontinuidades.
• Pérdidas inherentes a las corrientes que pasan por las paredes de la guía.
• Pérdidas en los dieléctricos, si es que los hay en el interior de la guía.
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La medida de la atenuación QdB, de la guía en decibles queda determinada por el
parámetro α, de tal manera que:
Q = eαZ (12 –1) Donde z es la longitud de la guía y α el factor de atenuación, donde tenemos que alfa es igual a:
α = 2π/ λc (12 –2)
Por otro lado, de las ecuaciones (12 –1) y (12 –2) se tiene que para QdB:
Q dB = 20 log e αZ = 40πz /λc* log e
La cual se reduce a:
Q dB = 54.5z /λc * dB
De tal forma que la constante de atenuación se reducen de manera considerable
cuando se plantea la guía. Otro elemento importante en las guías son las cargas
resistivas, éste tipo de cargas de material dieléctrico resulta ser un acoplamiento
casi perfecto que suelen ubicarse al final de la guía para evitar reflexiones. La
energía absorbida por estas cargas se disipa por medio de radiadores.
Lección 13. Constante De Atenuación Para Diferentes Modos.
Para entender un poco mas esta lección y resumiendo de la forma mas sencilla y
eficiente podemos afirmar que hay que tener en cuenta dos contantes mas de
atenuación en las guías de ondas y a su vez dichas constante se aplican a los
diferentes modos de comportamiento de las guías de ondas; cabe anotar que se
deben de trabajar por separados dichos modos como lo son “Perdidas Dieléctricas
En Una Guía De Onda”, y “Perdidas Óhmicas O De Conducción”, para avanzar en
dicha temática podemos considerar:
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- Perdidas Dieléctricas En Una Guía De Onda:
de atenuación aplicada a diferentes modos de propagación guiada de la energía
electromagnética, el cual se considera para los modos
constante de propagación será dada por
Despejando dicho modo se obtendría:
Ahora podemos suponer que se cumple para buenos dieléctricos
Determinada y mediante un
cuadrada de la ecuación 2; llegamos a:
Entonces el término imaginario de
atenuación en la dirección Z
expresión de αmn:
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Perdidas Dieléctricas En Una Guía De Onda: se considera como una constante
de atenuación aplicada a diferentes modos de propagación guiada de la energía
electromagnética, el cual se considera para los modos TEmn o TMmn
stante de propagación será dada por:
(Ecuación. 1)
cho modo se obtendría:
(Ecuación
que se cumple para buenos dieléctricos la ecuación
mediante un desarrollo en serie de Taylor de la segunda raíz
la ecuación 2; llegamos a:
Entonces el término imaginario de β provoca la aparición de un término de
dirección Z, del tipo exp (-jαmnZ), podemos simplificar la
se considera como una constante
de atenuación aplicada a diferentes modos de propagación guiada de la energía
TEmn o TMmn cuya
(Ecuación. 2)
la ecuación
segunda raíz
provoca la aparición de un término de
), podemos simplificar la
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Que se ha escrito en función de
pérdidas). αmn recibe el nombre de constante de atenuación del medio para
pérdidas dieléctricas.
-Pérdidas óhmicas o de conducción:
disipada en forma de calor por cada una de las cuatro superficies
puede utilizarse una expresión análoga a la de pérdidas óhmicas debida a una
resistencia R utilizada en teoría de circuitos:
Donde
La determinamos como la
Con La suma de todas las pérdidas producidas sobre las cuatro
superficies puede ser relacionada posteriormente con un coeficiente de atenuación
αC, para conseguir una expresión más cómoda de manejar. Para ello
procederemos de la siguiente manera: si
transportada por un modo en un punto cualquiera de la guía, que tomamos como
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Que se ha escrito en función de η, la impedancia intrínseca del medio (sin
recibe el nombre de constante de atenuación del medio para
Pérdidas óhmicas o de conducción: Para calcular la potencia WC
disipada en forma de calor por cada una de las cuatro superficies (S
puede utilizarse una expresión análoga a la de pérdidas óhmicas debida a una
utilizada en teoría de circuitos:
La determinamos como la densidad de corriente superficial se tiene:
(Ecuación. 3)
La suma de todas las pérdidas producidas sobre las cuatro
superficies puede ser relacionada posteriormente con un coeficiente de atenuación
, para conseguir una expresión más cómoda de manejar. Para ello
procederemos de la siguiente manera: si W0 corresponde a la potencia
transportada por un modo en un punto cualquiera de la guía, que tomamos como
, la impedancia intrínseca del medio (sin
recibe el nombre de constante de atenuación del medio para
absorbida y
Si) de la guía
puede utilizarse una expresión análoga a la de pérdidas óhmicas debida a una
La suma de todas las pérdidas producidas sobre las cuatro
superficies puede ser relacionada posteriormente con un coeficiente de atenuación
, para conseguir una expresión más cómoda de manejar. Para ello
corresponde a la potencia
transportada por un modo en un punto cualquiera de la guía, que tomamos como
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Z=0 por sencillez, entonces, la potencia
anterior mediante la expresión habitual:
Donde el ‘2’ de la exponencial obedece a que se trata de la atenuación de la
potencia, que es cuadrática respecto a los campos.
La potencia disipada por el conductor durante una distancia de propagación
puede aproximarse en general en la forma:
Y de allí:
Expresión en la que WC pue
Lección 1 4. Variación De La Constante De
Variación De La Constante De
como una frecuencia de corte el cual se define como
ocurrir con muy baja pérdida si las longitudes de onda operativas son m
que un cierto valor crítico, llamado
longitud de onda es más larga, o la correspondiente frecuencia de operación es
mas baja que el valor de corte, ocurrirán pérdidas extremadamente altas.
Para cada modo de propagación, hay una frecuencia o longitud de onda de corte
diferente. En la guía de ondas circular, el límite está determinado por el diámetro
interno de la guía de onda. El modo con la frecuencia de corte más baja que se
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por sencillez, entonces, la potencia W(z) en un punto z se relaciona con la
anterior mediante la expresión habitual:
Donde el ‘2’ de la exponencial obedece a que se trata de la atenuación de la
potencia, que es cuadrática respecto a los campos.
La potencia disipada por el conductor durante una distancia de propagación
puede aproximarse en general en la forma:
puede calcularse a partir de la Ecuación 3.
4. Variación De La Constante De Atenuación Con La Frecuencia.
Variación De La Constante De Atenuación Con La Frecuencia es determinada
como una frecuencia de corte el cual se define como la propagación donde
ocurrir con muy baja pérdida si las longitudes de onda operativas son m
que un cierto valor crítico, llamado cuttoff (límite o corte) de longitud de onda. Si la
longitud de onda es más larga, o la correspondiente frecuencia de operación es
mas baja que el valor de corte, ocurrirán pérdidas extremadamente altas.
cada modo de propagación, hay una frecuencia o longitud de onda de corte
diferente. En la guía de ondas circular, el límite está determinado por el diámetro
interno de la guía de onda. El modo con la frecuencia de corte más baja que se
se relaciona con la
Donde el ‘2’ de la exponencial obedece a que se trata de la atenuación de la
La potencia disipada por el conductor durante una distancia de propagación z=l
Atenuación Con La Frecuencia.
Atenuación Con La Frecuencia es determinada
donde puede
ocurrir con muy baja pérdida si las longitudes de onda operativas son más cortas
(límite o corte) de longitud de onda. Si la
longitud de onda es más larga, o la correspondiente frecuencia de operación es
mas baja que el valor de corte, ocurrirán pérdidas extremadamente altas.
cada modo de propagación, hay una frecuencia o longitud de onda de corte
diferente. En la guía de ondas circular, el límite está determinado por el diámetro
interno de la guía de onda. El modo con la frecuencia de corte más baja que se
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propagará en la guía de onda circular es el modo "transversal eléctrico 11" (o
como le llamaremos de aquí en más TE11) y es por ello llamado el "modo
dominante". En la tabla #1, se muestra la comparación de las frecuencias y
longitudes de onda de corte para el caso de guías de onda circulares y para
distintos modos de propagación, en función del diámetro de la guía de onda, el
cual demuestra:
Tabla # 1 De longitudes de onda y frecuencias de corte en función del diámetro.
Notas:
1. D es el diámetro de la guía de ondas.
2. El verdadero valor de λc para el modo TE11 es 1,7065 × D pero lo he
redondeado.
Es mejor elegir un diámetro de guía de onda tal que la frecuencia de operación
deseada se encuentre entre la frecuencia de corte de los modos TE11 y TM01,
minimizando el diámetro. La frecuencia de operación debe quedar siempre debajo
de la frecuencia de corte del modo TE21. De esta forma, sólo el modo dominante
se propaga con muy poca atenuación. Los otros modos directamente no pueden
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propagarse (o se propagan con una aten
sólo la propagación de un modo es que los elementos de excitación de la guía se
calculan con mayor facilidad y operan en condiciones más simples.
Como se había mencionado anteriormente para encontrar la frecuencia
así como la longitud de onda en una guía circular se utilizan las funciones de
Bessel. Las primeras cuatro funciones de Bessel de primera clase son mostradas
en la siguiente Figura 1.
Figura 1. Funciones de Bessel de primera clase, Jm(hp).
Como la naturaleza de estas funciones es oscilatoria, esto nos da la oportunidad
de tabular los argumentos para los cuales éstas valgan cero. Un ejemplo de esto
sería el siguiente, de acuerdo a la Figura 1; la función J0(hp) vale cero cuando hp
= 2.405, 5.520, 8.654. Estas raíces
modos de propagación en la guía y nos sirven para calcular los
tabla 2, nos muestra las raíces mencionadas.
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propagarse (o se propagan con una atenuación altísima). La ventaja de permitir
sólo la propagación de un modo es que los elementos de excitación de la guía se
calculan con mayor facilidad y operan en condiciones más simples.
Como se había mencionado anteriormente para encontrar la frecuencia
así como la longitud de onda en una guía circular se utilizan las funciones de
Bessel. Las primeras cuatro funciones de Bessel de primera clase son mostradas
Figura 1. Funciones de Bessel de primera clase, Jm(hp).
o la naturaleza de estas funciones es oscilatoria, esto nos da la oportunidad
de tabular los argumentos para los cuales éstas valgan cero. Un ejemplo de esto
sería el siguiente, de acuerdo a la Figura 1; la función J0(hp) vale cero cuando hp
0, 8.654. Estas raíces (n = 1,2,3...) originan la nomenclatura de los
modos de propagación en la guía y nos sirven para calcular los modos TM
, nos muestra las raíces mencionadas.
uación altísima). La ventaja de permitir
sólo la propagación de un modo es que los elementos de excitación de la guía se
Como se había mencionado anteriormente para encontrar la frecuencia de corte
así como la longitud de onda en una guía circular se utilizan las funciones de
Bessel. Las primeras cuatro funciones de Bessel de primera clase son mostradas
o la naturaleza de estas funciones es oscilatoria, esto nos da la oportunidad
de tabular los argumentos para los cuales éstas valgan cero. Un ejemplo de esto
sería el siguiente, de acuerdo a la Figura 1; la función J0(hp) vale cero cuando hp
n = 1,2,3...) originan la nomenclatura de los
modos TM . La
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Tabla 2. De raíces (hp)
Debido a que la derivada de cada función J
y mínimos. Así, podemos ver en el diagrama que J’(hp) = 0 cuando hp = 1.841,
5.331, 8.536,... Y que cada una de estas raíces tiene asociado un modo mn
determinado. Por ejemplo cuando n = 1, la raíz es 1.841, con n = 2 es 5.331 y así
sucesivamente, con ayuda de estas raíces podemos obtener los
donde sus raíces se muestran en la tabla 3
Tabla 3. de raíces (hp)
Teniendo conocimiento de e
circular y modo de propagación TE se obtiene de:
Donde fc es la frecuencia de corte y
función de Bessel y por último a es el radio interno de la guía y
onda. Para una guía circular la longitud de onda de corte se obtiene:
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Tabla 2. De raíces (hp)mn para las cuales Jm(hp) = 0.
Debido a que la derivada de cada función Jm(hp) vale cero en sus puntos máximos
y mínimos. Así, podemos ver en el diagrama que J’(hp) = 0 cuando hp = 1.841,
5.331, 8.536,... Y que cada una de estas raíces tiene asociado un modo mn
cuando n = 1, la raíz es 1.841, con n = 2 es 5.331 y así
sucesivamente, con ayuda de estas raíces podemos obtener los
se muestran en la tabla 3.
Tabla 3. de raíces (hp)mn para las cuales J’m(hp) = 0.
Teniendo conocimiento de esto, la frecuencia de corte para una guía de onda
circular y modo de propagación TE se obtiene de:
es la frecuencia de corte y Smn es la solución de una ecuación de la
función de Bessel y por último a es el radio interno de la guía y v la
onda. Para una guía circular la longitud de onda de corte se obtiene:
(hp) vale cero en sus puntos máximos
y mínimos. Así, podemos ver en el diagrama que J’(hp) = 0 cuando hp = 1.841,
5.331, 8.536,... Y que cada una de estas raíces tiene asociado un modo mn
cuando n = 1, la raíz es 1.841, con n = 2 es 5.331 y así
sucesivamente, con ayuda de estas raíces podemos obtener los modos TE ,
sto, la frecuencia de corte para una guía de onda
es la solución de una ecuación de la
la velocidad de
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El modo de propagación en éste tipo de guías, con la longitud de onda de corte
más grande es la que tiene el valor de S
tabla 3, en esta guía el modo dominante es el modo TE
Algo importante con respecto al modo dominante de una guía rectangular y de una
circular es que con el primer modo de propagación TE de la guía de onda
rectangular con el de la onda circular, se logra hallar que los patrones de
distribución de los campos d
de ambas guías, lo cual hace posible que el modo dominante de una guía
rectangular pueda generar el modo dominante dentro de una guía circular, y
viceversa. Esto se logra con una unión de transición deno
modos, donde podemos ver su aplicación en los atenuadores de rotación.
Ahora si deseamos propagar un modo TM la frecuencia de corte se obtiene de:
Donde es la solución de una ecuación de Bessel.
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El modo de propagación en éste tipo de guías, con la longitud de onda de corte
más grande es la que tiene el valor de Smn más pequeño, por lo tanto, revisado la
a 3, en esta guía el modo dominante es el modo TE11.
Algo importante con respecto al modo dominante de una guía rectangular y de una
circular es que con el primer modo de propagación TE de la guía de onda
rectangular con el de la onda circular, se logra hallar que los patrones de
distribución de los campos de estos modos son similares, sobre todo en el centro
de ambas guías, lo cual hace posible que el modo dominante de una guía
rectangular pueda generar el modo dominante dentro de una guía circular, y
viceversa. Esto se logra con una unión de transición denominada transformador de
modos, donde podemos ver su aplicación en los atenuadores de rotación.
Ahora si deseamos propagar un modo TM la frecuencia de corte se obtiene de:
Donde es la solución de una ecuación de Bessel.
El modo de propagación en éste tipo de guías, con la longitud de onda de corte
más pequeño, por lo tanto, revisado la
Algo importante con respecto al modo dominante de una guía rectangular y de una
circular es que con el primer modo de propagación TE de la guía de onda
rectangular con el de la onda circular, se logra hallar que los patrones de
e estos modos son similares, sobre todo en el centro
de ambas guías, lo cual hace posible que el modo dominante de una guía
rectangular pueda generar el modo dominante dentro de una guía circular, y
minada transformador de
modos, donde podemos ver su aplicación en los atenuadores de rotación.
Ahora si deseamos propagar un modo TM la frecuencia de corte se obtiene de:
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En matemática, las funciones de Bessel
más tarde generalizadas por Friedrich Bessel, son soluciones canónicas
diferencial de Bessel:
Donde es un número real o complejo. El caso más común es
aunque la solución para no enteros es similar. El número
funciones de Bessel asociadas a dicha ecuación.
Dado que la ecuación anterior es una
soluciones linealmente independientes. A aunque
es conveniente definir diferentes funciones de Bessel para estos dos parámetros, pues las
funciones de Bessel en función del parámetro
funciones de Bessel se denominan también funciones cilíndricas, o armónicos cilíndricos porque
son solución de la ecuación de Laplace
La Ecuación de Bessel aparece cuando se buscan soluciones a la
la ecuación de Helmholtz por el
cilíndricas oesféricas. Por ello, las funciones de Bessel son especialmente importantes en muchos
problemas de propagación de ondas, potenciales estáticos y cualquier otro problema
las ecuaciones de Helmholtz o Laplace en simetrías cilíndricas o esféricas. Cuando se resuelven
sistemas en coordenadas cilíndricas, se obtienen funciones de Bessel de orden entero (
en problemas resueltos en coordenadas esféricas, se obti
semientero ( ), por ejemplo:
Ondas electromagnéticas en
Modos transversales electromagnéticos
Conducción del calor en objetos cilíndricos.
Modos de vibración de una membrana
Difusión en una red.
También se usan funciones de Bessel en otro tipo de problemas como en procesado de
señales.
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funciones de Bessel , primero definidas por el matemático Daniel Bernoulli
Friedrich Bessel, son soluciones canónicas y(x)
es un número real o complejo. El caso más común es cuando es un
no enteros es similar. El número se denomina orden de las
funciones de Bessel asociadas a dicha ecuación.
Dado que la ecuación anterior es una ecuación diferencial de segundo orden, tiene dos
linealmente independientes. A aunque y dan como resultado la misma función,
es conveniente definir diferentes funciones de Bessel para estos dos parámetros, pues las
funciones de Bessel en función del parámetro son funciones suaves casi doquiera. Las
funciones de Bessel se denominan también funciones cilíndricas, o armónicos cilíndricos porque
ecuación de Laplace en coordenadas cilíndricas.
La Ecuación de Bessel aparece cuando se buscan soluciones a la ecuación de Laplace
por el método de separación de variables en
oesféricas. Por ello, las funciones de Bessel son especialmente importantes en muchos
propagación de ondas, potenciales estáticos y cualquier otro problema
las ecuaciones de Helmholtz o Laplace en simetrías cilíndricas o esféricas. Cuando se resuelven
sistemas en coordenadas cilíndricas, se obtienen funciones de Bessel de orden entero (
en problemas resueltos en coordenadas esféricas, se obtienen funciones de Bessel de orden
), por ejemplo:
en guías de onda cilíndricas.
Modos transversales electromagnéticos en guías ópticas.
Conducción del calor en objetos cilíndricos.
Modos de vibración de una membrana delgada circular (o con forma de anillo).
También se usan funciones de Bessel en otro tipo de problemas como en procesado de
Daniel Bernoulli y
de la ecuación
es un entero ,
se denomina orden de las
de segundo orden, tiene dos
dan como resultado la misma función,
es conveniente definir diferentes funciones de Bessel para estos dos parámetros, pues las
son funciones suaves casi doquiera. Las
funciones de Bessel se denominan también funciones cilíndricas, o armónicos cilíndricos porque
ecuación de Laplace o a
en coordenadas
oesféricas. Por ello, las funciones de Bessel son especialmente importantes en muchos
propagación de ondas, potenciales estáticos y cualquier otro problema descrito por
las ecuaciones de Helmholtz o Laplace en simetrías cilíndricas o esféricas. Cuando se resuelven
sistemas en coordenadas cilíndricas, se obtienen funciones de Bessel de orden entero ( ) y
enen funciones de Bessel de orden
También se usan funciones de Bessel en otro tipo de problemas como en procesado de
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Lección 1 5. Modos Degenerados.
Es importante destacar la gran diferencia en este tema como
Para una mayor compresión en dicho tema debemos abordar en primera instancia
lo relacionado En guías de ondas el tema denominado como
modo fundamental, “Modo dominante TE
frecuencia de corte es menor. Si partimos de una frecuencia elevada y con
numerosos modos excitados en la guía, y vamos disminuyendo paulatinamente la
frecuencia, sería el último modo en desaparecer (en entrar en corte). A partir de la
ecuación:
Y si asumimos que las dimensiones transversales de la guía cumplen la relación
a>b según la siguiente figura 1:
Fig. 1 Guía de onda conductora de sección rectangular
Podemos ver que el modo de menor frecuencia de corte es el de orden 10 (uno
cero). Se comprueba, además, que los modos TM comienzan en el modo TM11
(en general no son posibles los modos TMm0 ni los TM0n), por lo que el modo
fundamental es el modo TE10. El siguiente modo será el de orden 01, 20 o,
incluso, 30, en función de cuál sea la relaci
de la guía. Las frecuencias de corte de los posibles primeros modos son:
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5. Modos Degenerados.
Es importante destacar la gran diferencia en este tema como también lo influyente;
Para una mayor compresión en dicho tema debemos abordar en primera instancia
lo relacionado En guías de ondas el tema denominado como modo dominante, o
Modo dominante TE 10“; de la guía de onda a aquel cuya
ia de corte es menor. Si partimos de una frecuencia elevada y con
numerosos modos excitados en la guía, y vamos disminuyendo paulatinamente la
frecuencia, sería el último modo en desaparecer (en entrar en corte). A partir de la
Y si asumimos que las dimensiones transversales de la guía cumplen la relación
según la siguiente figura 1:
Guía de onda conductora de sección rectangular
Podemos ver que el modo de menor frecuencia de corte es el de orden 10 (uno
omprueba, además, que los modos TM comienzan en el modo TM11
(en general no son posibles los modos TMm0 ni los TM0n), por lo que el modo
fundamental es el modo TE10. El siguiente modo será el de orden 01, 20 o,
incluso, 30, en función de cuál sea la relación concreta entre las dimensiones
de la guía. Las frecuencias de corte de los posibles primeros modos son:
también lo influyente;
Para una mayor compresión en dicho tema debemos abordar en primera instancia
modo dominante, o
de la guía de onda a aquel cuya
ia de corte es menor. Si partimos de una frecuencia elevada y con
numerosos modos excitados en la guía, y vamos disminuyendo paulatinamente la
frecuencia, sería el último modo en desaparecer (en entrar en corte). A partir de la
Y si asumimos que las dimensiones transversales de la guía cumplen la relación
Podemos ver que el modo de menor frecuencia de corte es el de orden 10 (uno-
omprueba, además, que los modos TM comienzan en el modo TM11
(en general no son posibles los modos TMm0 ni los TM0n), por lo que el modo
fundamental es el modo TE10. El siguiente modo será el de orden 01, 20 o,
ón concreta entre las dimensiones a y b
de la guía. Las frecuencias de corte de los posibles primeros modos son:
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En el caso particular en que
misma frecuencia de corte y, de hecho, la misma constante de propagación
(β10 = β01). Cuando esto sucede se dice que son
La expresión particular del modo dominante TE10 (si
Ejemplo 5.2: Sea una guía
cuyo interior es aire. Calcule la frecuencia de corte de los tres primeros modos
guiados.
-Podemos hacer una tabla con los primeros valores de
modos.
No es necesario calcular más
frecuencia de corte es 7,5 GHz Los dos siguientes son el TE
TM11).
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En el caso particular en que a = b ocurre que los modos TE10 y TE
misma frecuencia de corte y, de hecho, la misma constante de propagación
). Cuando esto sucede se dice que son modos degenerados
La expresión particular del modo dominante TE10 (si a>b) es:
Sea una guía rectangular, de dimensiones a=2,0 cm y b=1,3 cm,
interior es aire. Calcule la frecuencia de corte de los tres primeros modos
Podemos hacer una tabla con los primeros valores de m y n para los posibles
No es necesario calcular más valores. El modo fundamental es el TE
frecuencia de corte es 7,5 GHz Los dos siguientes son el TE01 y el TE
y TE01 tienen la
misma frecuencia de corte y, de hecho, la misma constante de propagación
modos degenerados .
rectangular, de dimensiones a=2,0 cm y b=1,3 cm,
interior es aire. Calcule la frecuencia de corte de los tres primeros modos
para los posibles
valores. El modo fundamental es el TE10, cuya
y el TE11 (o el