Post on 07-Jul-2018
8/18/2019 100412 -216-Trabajo fase 2 (1).pdf
1/20
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
ECUACIONES DIFERENCIALES
Cod. 100412
ECUACIONES DIFERENCIALES
ACTIVIDAD COLABORATIVA MOMENTO 2
PRESENTADO POR:
LUKDARY ABRIL RUEDA CÓDIGO: 1.091.653.080
MARITZA ANDREA FUENTES CASTELLANO CODIGO:
KAREN ANDREA JARDÍN CASTRO CÓDIGO: 1036936410
CARLOS ARTURO MORA CODIGO:
PRESENTADO A: LIC.DIEGO FRANCISCO MARTÍNEZ
GRUPO: 216
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIAESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA
Abril 14 2016
8/18/2019 100412 -216-Trabajo fase 2 (1).pdf
2/20
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
ECUACIONES DIFERENCIALES
Cod. 100412
INTRODUCCION
El estudio de series y funciones especiales para la solución de ecuaciones diferenciales es un tema
necesario y que todo estudiante debe realizar para resolver este tipo de ecuaciones clasificadas
en lineales, de orden dos o superior con coeficientes constantes buscando la solución que se pueda
expresar explícita o implícitamente en términos de las funciones elementales llevando a un proceso
complejo, en donde las series y funciones especiales se constituyen como un factor muy
importante en el desarrollo de este tipo de ecuaciones basado en métodos, gráficos, numéricos y
en especial las series de potencias y las series de Taylor y maclaurin. Con la adquisición de estos
conocimientos el estudiante contara con una herramienta valiosa a la hora de trabajar con este tipo
de ecuaciones buscando de forma más efectiva y mejor orientada la solución y aplicación del
conocimiento obtenido en diferentes áreas relacionadas con este tema. En el desarrollo del curso,
el estudiante tiene la oportunidad de encontrar las definiciones de los temas tratados, así mismos
encontraremos ejemplos prácticos por cada tema a tratar como también ejercicios para resolver.
8/18/2019 100412 -216-Trabajo fase 2 (1).pdf
3/20
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
ECUACIONES DIFERENCIALES
Cod. 100412
DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD INDIVIDUAL
Temática: ecuaciones diferenciales de orden superior
Indique cuáles de las siguientes ecuaciones son diferenciales lineales homogéneas concoeficientes constantes y cuáles son diferenciales lineales no homogéneas y resuélvalas.
A. ′′ + ′ = = , ´ = Nombre estudiante que realiza elejercicio:
Lukdary abril Rueda
PROPOSICION ENUNCIADO OEXPRESION MATEMATICA
RAZON O EXPLICACION
′′+2
′
8
=0
ó
ℎé + 2 m 8 = 0 m + 4 m 2 = 0 Comenzamos de la ecuación auxiliar:
= 4 y = 2 Las raíces de la ecuación auxiliar son
y = +
y = −
+
Como son raíces reales y distintas, entonces
y = −∗ + ∗ = 0, da que + =0, Por lo tanto sonopuestos.
Ahora, aplicando las condiciones iniciales a lasolución general de la ecuación. Primero,
́= 4Ce− + 2Ce 0 = 4C + 2C = 1 A partir de la derivada:
C + 2C =0 y4C + 2 = 1 Ahora, resolviendo algebraicamente
= ⁄ = ⁄ se tiene que:
8/18/2019 100412 -216-Trabajo fase 2 (1).pdf
4/20
8/18/2019 100412 -216-Trabajo fase 2 (1).pdf
5/20
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
ECUACIONES DIFERENCIALES
Cod. 100412
y = 0 − 14 − la solución del problema de valor inicial es:
.′′ + ′ = = , ´ = Respuesta
Nombre estudiante que realiza elejercicio:
CARLOS ARTURO MORA
PROPOSICION ENUNCIADO OEXPRESIÓN MATEMÁTICA
RAZON O EXPLICACION
′′ + 2′ = 0 Solución: Retomemos la ecuación original2 + 2 1 = 0
1 ( + 1)2 = 0
Ecuación característica
1 = 2 = 1 = 1 + 2
Tiene dos raíces complejas repetidas:
= 11 + 22 Luego la solución general es:
= 11 + 22 Es una ecuación diferencial lineal homogénea con coeficienteconstante
8/18/2019 100412 -216-Trabajo fase 2 (1).pdf
6/20
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
ECUACIONES DIFERENCIALES
Cod. 100412
D.′′ + ′ + = = ,′ = Respuesta
Nombre estudiante que realiza elejercicio:
Lukdary Abril
PROPOSICION ENUNCIADO OEXPRESIÓN MATEMÁTICA
RAZON O EXPLICACION
3 +14+58 = 0 =≫
= ± √ 42
Solución: Retomemos la ecuación originalcon la formula
= 14± 14 435823 =
14± √ 1966966 = 14± √ 500
6 =14±10√ 5
6 27 ± 5√ 5
6 = 7 ± 5√ 5
3
=≫ −±√ − , −−√ − ,
Damos inicio a la Solución
= 5√ 53 + 5√ 53
= 5√ 53 + 5√ 5
3
Por tanto la solución general de la ecuación
diferencial es:
8/18/2019 100412 -216-Trabajo fase 2 (1).pdf
7/20
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
ECUACIONES DIFERENCIALES
Cod. 100412
. ′′ ′ + = = , ′ = Respuesta
Nombre estudiante que realiza elejercicio:
Maritza Andrea Fuentes Castellanos
PROPOSICION ENUNCIADO OEXPRESIÓN MATEMÁTICA
RAZON O EXPLICACION
4 + 4 = 0 2 2 = 0 = 2 = 2
= + 1 = +
′ = 2 + 2 1 = 2 + 2
+ =12 2 + 2 = 1
2 2 = 2
2 + 2 = 1 0 = 1
Es inconsistente para esas condiciones iniciales.
8/18/2019 100412 -216-Trabajo fase 2 (1).pdf
8/20
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
ECUACIONES DIFERENCIALES
Cod. 100412
2. Demostrar que3
X y3
x ; son soluciones linealmente independientes de la
siguiente ecuación diferencial: 0642 y
dx
dy x y x en el intervalo:
x
Respuesta
Nombre estudiante que realiza el ejercicio: Lukdary Abril RuedaPROPOSICION ENUNCIADO OEXPRESIÓN MATEMÁTICA
RAZON O EXPLICACION
xy 4xy + 6 y = 0 wy, y = y yy y = [
x |x|3x 3|x|]
Lo primero que debemos corroborar, es elWronskiano para el par de soluciones dadas, y1 y y2:
w = 3 x
|x|
3x
|x| Por lo tanto:
El cual es diferente de cero, para todo valornegativo de x, por lo cual podemos concluirque en el intervalo ∞ < x < ∞,
D =4 D = 4 Por tanto las raíces son:Son linealmente independientes para todo xmenor que cero, pero son linealmentedependientes para todo x mayor que cero.Do otro modo:
x6Cx + 6 C|x|4x3Cx + 3C|x|+6Cx + C|x| = 0 Remplazando tenemos:
6Cx + 6Cx|x| 12Cx 12Cx|x|+ 6Cx + 6C|x| = 0 Factorizando.
6Cx|x| 12Cx|x| + 6C|x| ≠ 0 Simplificando:
Podemos concluir de igual forma que para cualquier valor negativo de x, la ecuación es diferentede cero, dado el exponente del valor absoluto.
8/18/2019 100412 -216-Trabajo fase 2 (1).pdf
9/20
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
ECUACIONES DIFERENCIALES
Cod. 100412
3. Resolver la siguiente ecuación diferencial por el método de variación de parámetros:
+ = Respuesta
Nombre estudiante que realiza elejercicio: Maritza Andrea Fuentes Castellanos
PROPOSICION ENUNCIADO OEXPRESIÓN MATEMÁTICA
RAZON O EXPLICACION
+ = 0 + 1 = 0
= 1
, = ±√ 1
= ± 1
Solución complementaria de la ED homogéneaasociada
= ± = 0 ± 1
Teniendo en cuenta la forma
= cos+ sin = cos1+ sin1
= cos+ sin
Por lo anterior, es una solución compleja y la
ecuación complementaria será de la forma:
= ′ ′ = [cos sincos cos]
= 1
Calculamos Wronskiano, teniendo como base:
=cos =sin ℎ=sec
= [ 0 ℎ ] = [0 sin
sec cos]=tansec
Encontramos y
8/18/2019 100412 -216-Trabajo fase 2 (1).pdf
10/20
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
ECUACIONES DIFERENCIALES
Cod. 100412
= [ 0′ ℎ] = [cos 0
cos sec ]= s e c
′ = = tansec1 ′ = =
sec1
= ∫ t a n s e c = s e c +
= ∫ s e c = l n s e c + t a n +
= + =seccos
+lnsec+tansin =1+lnsec+tansin
Con esto, encontramos la solución particular:
= + = 1 + l nsecx+tanx sinx +C c o s x + C sinx
= 1 + 2 + | + | ∗ + 1
Solución general
4 Resolver la siguiente ecuación diferencial por el método de coeficientes
indeterminados
8/18/2019 100412 -216-Trabajo fase 2 (1).pdf
11/20
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
ECUACIONES DIFERENCIALES
Cod. 100412
5. + + = + Respuesta
Nombre estudiante que realiza elejercicio:
KAREN ANDREA JARDIM CASTRO
PROPOSICION ENUNCIADO O
EXPRESIÓN MATEMÁTICA RAZON O EXPLICACION
= + La solución de esta ecuación está dada por:
+ 3 + 2 = 0 + 3 + 2 = 0 + 2 + 1 = 0 Primero debemos hallar :
= 2
= 1
Las soluciones son:
= + La solución es:
= − + − Entonces:
= 3 + 1 = +
=
= 0
Ahora debemos hallar :
+ 3 + 2 = 3 + 1 0 + 3 + 2 + = 3 + 1 0 + 3 + 2 + 2 = 3 + 1 2 + 3 + 2 = 3 + 1 2 + 3 + 2 = 3 + 1
Reemplazando:
2 = 3 = 3
2
3 + 2 = 1
Se tiene que:
3 32 + 2 = 1 92 + 2 = 1 2 = 1 92
Reemplazando A:
8/18/2019 100412 -216-Trabajo fase 2 (1).pdf
12/20
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
ECUACIONES DIFERENCIALES
Cod. 100412
2 = 72 = 74
= +
= 32 74 Entonces:
= 32 74 = +
= + + 32 74
La solución es:
6. Encontrar un operador diferencial que anule a
. + 3 .3 22 1 . Respuesta
Nombre estudiante que realiza elejercicio:
Lukdary Abril
PROPOSICION ENUNCIADO O
EXPRESIÓN MATEMÁTICA
RAZON O EXPLICACION
. + 3 . 2 1 . Solución:
. . .:
= 1 = 2 Por lo tanto el operador diferencial que anula la ecuación es: 1 = 0
8/18/2019 100412 -216-Trabajo fase 2 (1).pdf
13/20
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
ECUACIONES DIFERENCIALES
Cod. 100412
6. Resolver la siguiente ecuación diferencial:′′ + ′ + = Respuesta
Nombre estudiante que realiza elejercicio: Lukdary abril
PROPOSICION ENUNCIADO OEXPRESIÓN MATEMÁTICA
RAZON O EXPLICACION
= dydt
= 2
dydt
: = : =
− yd dydt + −
dydt + y = 0
Reemplazando en la ecuación diferencial:
y
d dy
dt+ dy
dt+ y = 0 Simplificamos
= + 1 = 0 1 = ; 2 = Es una ecuación diferencial homogénea decoeficientes constantes, por lo tantoEl polinomio característico es:
= c o s + ; = = + Luego la solución general es:
8/18/2019 100412 -216-Trabajo fase 2 (1).pdf
14/20
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
ECUACIONES DIFERENCIALES
Cod. 100412
DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD COLABORATIVA
Primera Actividad
Una masa que pesa 4 lb, estira un resorte 3 pulgadas al llegar al reposo en equilibrio y se le aplica una
velocidad de √2 pies/seg dirigida hacia abajo. Despreciando todas las fuerzas de amortiguación o externas
que puedan estar presentes, determine la ecuación de movimiento de la masa junto con su amplitud,
periodo y frecuencia natural. Cuánto tiempo transcurre desde que se suelta la masa hasta que pasa por la
posición de equilibrio?
PROPOSICION ENUNCIADO OEXPRESION MATEMATICA
RAZON O EXPLICACION
La ecuación diferencial del movimiento libre noamortiguado es:
1) + = 0
+ = 0
Como vamos a emplear el sistema técnicode unidades inglesas, las medidasempleadas en pulgadas se deben pasar a pies.
3 = 1 4 Como 1=12, entonces:
= ; 4 = 32 /
= 432 = 18
Ya que hay que convertir las unidades de peso, que están en libras, en unidades de
masa.
= = 4 = pie4 = 14 →=16/
También según la ley de Hooke,
+
161/8 =→
+ 1 2 8 = 0
Por lo tanto la ecuación diferencial setransforma.
Ahora, como el contrapeso parte de laposición de equilibrio, el desplazamiento y la
velocidad iniciales son (0)=0, ′0=√2donde el signo es positivo porque la masa
recibe una velocidad inicial en dirección
positiva o hacia abajo.
8/18/2019 100412 -216-Trabajo fase 2 (1).pdf
15/20
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
ECUACIONES DIFERENCIALES
Cod. 100412
=1+28√2+28√2
′=8√218√2+8√228√2
Entonces, 2=128, o sea, =8√2, de modoque la solución general d la ecuación
diferencial es:
0=0,′0=√2 Al aplicar las condiciones inicialesSe obtiene 1 = 0 , 2 = 1 / 8 Así, laecuación del movimiento es:=
8√2
Por lo tanto, la amplitud = 1 8⁄ EL periodo =/=/√=/√ →=√/ y lafrecuencia natural = /2 = 8√2/2 → = 4√2/.
8/18/2019 100412 -216-Trabajo fase 2 (1).pdf
16/20
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
ECUACIONES DIFERENCIALES
Cod. 100412
Segunda Actividad
EJERCICIO Y SOLUCIÓN
PLANTEADA
OBSERVACIONES, ANEXOS,
MODIFICACIONES A LA SOLUCIÓN
PLANTEADA
Enunciado:
Enunciado: El movimiento de un sistema masa-resorte
con amortiguación está regido por la ecuación
diferencial:
0252
2
xdt
dxb
dt
xd
En donde, 1)0( x , 0)0(' x . Encuentre laecuación del movimiento para los siguientes casos:
Caso 1 : Movimiento su amortiguado: 6b .Caso 2 : Movimiento críticamente amortiguado: 10b .
Caso 3 : Movimiento sobre amortiguado: 14b .
Instrucción para los enunciados, hice de color rojo, negro y azul.
Lo que está de color negro son, los enunciados y ecuaciones
que considere Correctas.
Lo que está de color rojo, son las ecuaciones que considere
erróneas.
Lo que está de color azul, son las correcciones y
procedimientos anexos.
Solución:
Caso 1: 6b La ecuación característica es:
0252 b , cuyas raíces son
i432
10066 2
Solución:
Caso 1: =6 La ecuación característica es: + + = + b m + 2 5 = 0Cuyas raíces son
6 ± √ 62 4 ∗ 1 ∗ 2 5 22 =
6 ± √ 62 10022
= 3 ± 4 i La ecuación de movimiento tiene la forma:
t eC t seneC t x t t 3cos3)( 424
1
)3cos3(3)(' 21
4
1 t C t senC et x t
)33cos(4 213 t senC t C e t
La ecuación de movimiento tiene la forma:
La ecuación de movimiento tiene la forma:xt = C1e 4tsin3t+C2e 4tcos3t|xt = C1e 3tcos4t+C2e 3tsin4t=314+24x′t = 31e 4tC1sin3t+C2cos3t+4e 3tC1cos3+ C2sin3txt =3e 3t(C1cos4t+C2sin4t) + e
3t(4C1sin4t+4C2cos4t)
8/18/2019 100412 -216-Trabajo fase 2 (1).pdf
17/20
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
ECUACIONES DIFERENCIALES
Cod. 100412
Para 1)0( x y 0)0(' x , se tiene el sistema:
11 C ,
21 430 C C Por tanto: 1
1 C y
4
32 C
Finalmente, la ecuación de movimiento tiene la forma:
)3cos4
33()( 4 t t senet x t
Para x0 = 1 , x ′0 = 0, se tiene el sistema: 1 = C1, 0 = 3 C1 + 4C2. Por tanto: C1 = 1 , C2 = 3
4⁄
Finalmente, la ecuación de movimiento tiene la forma:
xt = e 4tsin3t+ 34 cos3t
xt = e 3tcos4t+ 34 sin4t Caso 2: 10b La ecuación característica es:
0252 b , cuyas raíces son
52
1001010 2
La ecuación de movimiento tiene la forma:t t t et C C teC eC t x 5
21
5
2
5
1 )()(
t t et C C eC t x
5
21
5
2 )(5)('
Para 1)0( x y 0)0(' x , se tiene el sistema:
11 C ,
12 50 C C
Por tanto: 11 C y 5
2 C
Finalmente, la ecuación de movimiento tiene la forma:
)51()( 5 t et x t
Caso 2: =10 La ecuación característica es:
λ 2 + b λ + 2 5 = 0 m2 + b m + 2 5 = 0Cuyas raíces son−±√−
= 5 =5 −±√ 2− =-5La ecuación de movimiento tiene la forma:xt = C1e5t + C2te5t = C1 + C2te5txt = C1e 5t + C2te 5t = C1 + C2te 5 txt = C2e5t 5(C1 + C2t)e5t(=55(1+2)+5(2) 0=1 ′0=0, : 1
= 1 , 0 = 2 5 1 . : 1 = 1 2 = 5Finalmente, la ecuación de movimiento tiene la forma:
= 1 + 5 = −1+5 Caso 3: 14b La ecuación característica es:
a. 0252 b ,
cuyas raíces son
2472
1001414 2
La ecuación de movimiento tiene la forma:t t eC eC t x )247(
2
)247(
1)(
t t eC eC t x )247(2
)247(
1 )247()247()('
Para 1)0( x y 0)0(' x , se tiene el sistema:
Caso 3: =14 La ecuación característica es:λ 2 + b λ + 2 5 = 0 | m2 + b m + 2 5 = 0
cuyas raíces son
2472
1001414 2
La ecuación de movimiento tiene la forma:t t eC eC t x )247(
2
)247(
1)(
t t eC eC t x )247(2
)247(
1 )247()247()('
Para 1)0( x y 0)0(' x , se tiene el sistema:
211 C C )247()247(0 21 C C
8/18/2019 100412 -216-Trabajo fase 2 (1).pdf
18/20
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
ECUACIONES DIFERENCIALES
Cod. 100412
211 C C
)247()247(0 21 C C
Por tanto:
48
247241
C y
48
247242
C
Finalmente, la ecuación de movimiento tiene la forma:
t t eet x )247()247(
48
24724
48
24724)(
Entonces.
C1(7 √ 24)+ C2(7 √ 2 4 ) = ( 7 √ 24)
C17+√24+C2 7 √24= 02(2√ 2 4 ) = ( 7 √ 24)
C2 = 7 √242√24 ∗2√ 242√ 24 =
14√242√24∗√242√24
= −√ = −√
Ahora se remplaza C2 para hallar C1.Así:C1 + C2 = 1
C1 + 247√2448 = 1
C1 = 1 2 4 7√ 2448 =4824+7√24
48 24+7√24
48
Por tanto:
: 1 = 24+7√2448 2 =247√24
48 , ó :Finalmente, la ecuación de movimiento tiene
la forma: t t eet x )247()247(
48
24724
48
24724)(
8/18/2019 100412 -216-Trabajo fase 2 (1).pdf
19/20
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
ECUACIONES DIFERENCIALES
Cod. 100412
CONCLUSIONES
Se utilizaron los métodos explicados en el módulo y en diferentes bibliografías para solucionar
ecuaciones diferenciales homogéneas de segundo orden y orden superior.
Se identificaron ecuaciones diferenciales no homogéneas por el método de coeficientes
indeterminados y de variación de parámetros.
Se revisaron los procedimientos aplicados en el desarrollo de problemas empleando la modelación
de ecuaciones diferenciales.
El desarrollo de la actividad generó espacios para la aplicación de los conocimientos adquiridos en
el transcurso de la Unidad 2 de Ecuaciones Diferenciales; de igual manera, permitió aclarar
dificultades y falencias presentadas mediante la consulta de ayudas didácticas alternas al módulo.
Las ecuaciones diferenciales constituyen uno de los más poderosos instrumentos teóricos para la
interpretación y modelación de fenómenos científicos y técnicos de la mayor variedad, a saber,
aquellos que contienen dinámicas, que expresan evolución, transformación o cambio en términos
de algún conjunto de parámetros. Son, por eso, de especial importancia práctica y teórica para los
ingenieros de cualquier rama. Se realizaron aportes individuales y aportes para la actividad
colaborativa, donde se realizó el desarrollo de las ecuaciones diferenciales y problema planteado.
Se plantea las soluciones a los ejercicios descritos en la guía para tal fin
8/18/2019 100412 -216-Trabajo fase 2 (1).pdf
20/20
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
ECUACIONES DIFERENCIALES
Cod. 100412
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
García, A. (2014). Ecuaciones diferenciales. Larousse - Grupo Editorial Patria. 68-91. Recuperado
de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?docID=11017467
Alonso, A., Álvarez, J. Calzada, J. (2008). Ecuaciones diferenciales ordinarias: ejercicios y problemas resueltos.
Delta Publicaciones. 131-202. Recuperado de:
http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/id/10876923
López, M., & Acero, I. (2007). Ecuaciones diferenciales: teoría y problemas (2a. ed.). España:Editorial Tébar. 59-93. Recuperado
de:http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/detail.action?docID=10505343
http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?docID=11017467http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?docID=11017467http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?docID=11017467http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/id/10876923http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/id/10876923http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/detail.action?docID=10505343http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/detail.action?docID=10505343http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/detail.action?docID=10505343http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/detail.action?docID=10505343http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/id/10876923http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?docID=11017467