Post on 02-Feb-2016
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RESPUESTA DINÁMICA Y ESTABILIDAD DE SISTEMASTiempo continuo Tiempo discreto
Función de transferencia
Función de transferencia
Polos y ceros
(reales o
complejos)
Salida para una entrada escalón, expansión en fracciones y antitransformada.
Polos reales Salida para una entrada escalón, expansión en fracciones y antitransformada. Polos complejos
( )( ) ( ) ; ( )
( )
Y zH z h k H z
X z
1 20 1 2 1
1 21 2 1
( )( )
( )
m m mm m
n n nn n
b s b s b s b s b B sH s
s a s a s a s a A s
1 20 1 2 1
1 21 2 1
( )( )
( )
n n nn n
n n nn n
b z b z b z b z b B zH z
z a z a z a z a A z
1
1
( )
( )( )
n polos de valores: m ceros de valores:
m
jj
n
ii
i j
K s c
H ss p
p c
1
1
( )
( )( )
n polos de valores: n ceros de valores:
n
jj
n
ii
i j
K z c
H zz p
p c
1( ) ( ) ( ) ; ( ) ( )Y s H s X s y t L Y s 1( ) ( ) ( ) ; ( ) ( )Y z H z X z y k Y z
1 2
1 2
( ) e n
n
d dd dY s
s s p s p s p
1 2
01 2
( )1
e n
n
d z d zd z d zY z d
z z p z p z p
1 21 2 1( ) np tp t p t
e ny t d d e d e d e u t 0 1 1 2 2 1( ) ( ) k k k
e n ny k d k d d p d p d p u k
1 2
1 2
*
( )( )
( )
e l
l nl dl
l n
l nl dl n
d dd dY s
s s p s p s j
d d
s j s p
1 20
1 2
*
( )1
+
l
l
e lj
l
l nj
nl
d z d zd z d zY z d
z z p z p z e
d z d z
z pz e
0 1 1 2 2( ) ( ) cos( )
0
k k ke l l l l
kn n
y k d k d d p d p D k
d p
k
1 21 2( ) cos( )
0
l nl
n
tp t p te l dl l
p tn
y t d d e d e D e t
d e
t
( )( ) ( ) ; ( )
( )
Y sH s h t H s
X s
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Desde el punto de vista de la variación de la respuesta, se distinguen dos etapas: transitoria y permanente
DEMO “Exploring the s-plane”: Orden 1 y variaciones. Orden 2 y variaciones. Orden superior y polos dominantes
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4.3 Sistemas de primer orden
Figura 4.4 a) Sistema de primer orden b) Patrón de polos y ceros
1
1 1( ) ( ) ( )
( )
( ) 1 ( )at
aC s R s G s
s s a s s a
c t e u t
ssR
1)(
Ecuación de sistema de primer orden con entrada escalón unitario
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Constante de tiempo esta definida como el tiempo que le toma a la respuesta a escalón alcanzar el 63% de su valor final.
Características dinámicas de la respuesta de un sistema de primer orden a un escalón unitario
Figura 4.5
1
a
5
4.4 Sistemas de segundo orden: introducción
Figura 4.7
6
4.4 Sistemas de segundo orden: introducción
Figura 4.7
7
Figura 4.10
Respuestas escalón para casos de amortiguamiento en sistemas de segundo orden
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Sistema de 2° orden subamortiguado, dos polos complejos conjugados. Función de transferencia normalizada y sus parámetros
Frecuencia natural, ωn, que es la frecuencia de oscilación del sistema sin amortiguamiento, en rad/seg.Factor de amortiguamiento, ζ es la cantidad que surge de la comparación de la frecuencia a la cual disminuye la envolvente de la exponencial con respecto de la frecuencia natural.
La función normalizada de este tipo de sistemas es:
Ej. Encontrar ζ y ωn para la siguiente función de transferencia :
2
36( )
4.2 36G s
s s
2
2 2( ) 0 1
2n
n n
G ss s
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Figura 4.17
Patrón de polos para un sistema de segundo orden subamortiguado
10
Figura 4.11Respuesta de segundo orden en función del factor de amortiguamiento
Figura 4.11
2
22 1
1( ) 1 ( )
1
11 ; tan
ntd
d n
y t e sen t
Solución analítica
11
Figura 4.11Respuesta de segundo orden en función del factor de amortiguamiento
Figura 4.11
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Ejercicio 4.4 Para cada uno de los sistemas mostrados a continuación halle los valores de ζ y y diga que tipo de respuesta es de esperarse
Figura 4.12
n
13
4.6 Sistemas de segundo orden subamortiguados
Figura 4.13
Respuestas subamortiguadas de segundo orden para diferentes valores de ζ
Al disminuir el factor de amortiguamiento hace mas oscilatoria la respuesta y la frecuencia natural solo escala en el tiempo la respuesta.
Figura 4.13
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Figura 4.14 Parámetros de especificación de sistemas subamortiguados
1.- Tiempo de levantamiento
2.- Tiempo sobrepaso
3.- Porcentaje de sobrepaso
4.- Tiempo de asentamiento
-1 ; =cosrd
T
pd
T
2( / 1 )%0 (100)S e 4
sn
T
15
Figura 4.15
Figura 4.16
Figura 4.15
Porcentaje de sobrepaso vs ζ
Figura 4.16
Tiempo de levantamiento normalizado vs ζ
21Mp OS e
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Figura 4.19
Regiones de parámetros constantes
a) parte real constante
b) parte imaginaria constante
c) factor de amortiguamiento relativo constante
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Regiones de parámetros constantes en Matlab
18Figura 4.23
Polos dominantesEn los sistemas de orden superior, alguno o algunos de los polos se encuentran más cerca del eje imaginario. A dichos polos se les llama polos dominantes porque determinan en mayor medida el comportamiento y respuesta del sistema. complejos.