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Prof. Gil Sandro Gómez 1

Unidad 3. Ecuaciones Lineales de Orden Superior y Sus Aplicaciones

3.1 Ecuaciones Diferenciales Homogéneas

Una ecuación diferencial lineal de orden superior de la forma

11 1 0( ) ( )( ) ( ) ... ( ) '( ) ( ) ( ) 0 ~ (1)n n

n nx xa x y a x y a x y x a x y x

es homogénea, mientras que la ecuación 1

1 1 0( ) ( )( ) ( ) ... ( ) '( ) ( ) ( ) ( ) ~ (2),n nn nx xa x y a x y a x y x a x y x g x

con ( )g x no igual a cero, es no homogénea. El concepto homogénea en este contexto no se refiere con en la ocasión anterior a los coeficientes que son funciones homogéneas.

Más adelante veremos que para resolver una ecuación lineal no homogénea (2), primero se debe resolver la ecuación homogénea asociada (1).

3.2 Los Operadores Diferenciales Lineales

En el cálculo, la diferenciación se denota por la letra D , es decir

.Dydydx

El símbolo se llama operador diferencial, porque transforma

una función diferenciable en otra función.

Un ejemplo clásico es:

2 2) sec 2(tan x xD x x . Las derivadas de orden superior se expresan en términos de D de forma normal:

2

22 y, en general, ,

nn

ndy D Dy D y D ydx

d d y d ydx dx dx

donde y representa una función diferenciable. En general, se define como operador diferenciable de n-ésimo orden u operador polinomial como

11 1 0( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) ~ (3).n n

n nL y a x D y a x D y a x Dy a x y 1

1 Preparado por: Gil Sandro Gómez.


Teorema 1. Principio de superposición, ecuaciones homogéneas

Sean 1,..., ny y solución de la ecuación diferencial homogénea de

orden n , la ecuación (1), donde x está en el intervalo I . La combinación lineal

1 1 2 2( ) ( ) ... ( ),n ny x y x y xy c c c

en donde 1 2, ,..., nc c c son constantes arbitrarias, también es una

solución cuando x está en el intervalo.

Dependencia e Independencia Lineal

Definición 3.1. Un conjunto de funciones 1 2 3( ), ( ),..., ( ), ( )nx x x xf f f f es

linealmente dependiente en un intervalo I si existen constantes 1 2 3( ), c ( ),..., c ( ), c ( )nc x x x x no todas cero, tales que

1 1 2 2( ) ( ) ... ( ) 0n nc f x c f x c f x

Para toda x en el intervalo. Si el conjunto de funciones no es linealmente dependiente en el intervalo, se dice que es linealmente independiente.

En otras palabras, un conjunto de funciones es linealmente independiente en un intervalo I si las únicas constantes para las que

1 1 2 2( ) ( ) ... ( ) 0n nc f x c f x c f x

para toda x en el intervalo son 1 2 ... 0nc c c .

Para entender de una forma más sencilla estas definiciones escogemos

un conjunto que consiste en dos funciones 1 1 2 2( ) ( ) 0c f x c f x . Por

consiguiente, si se asume que 1 0c , se deduce que

2 11 2( ) ( )c cf x f x ; es decir, si un conjunto de dos funciones es

linealmente dependiente, entonces una función es simplemente un múltiplo constante del otro. Un conjunto de dos funciones 1 2( ) ( )f x y f xes linealmente independiente cuando ninguna función es múltiplo constante de la otra en el intervalo.2

2 Preparado por: Gil Sandro Gómez


Soluciones de ecuaciones diferenciales

Se tiene un gran interés sobre soluciones linealmente independientes de una ecuación diferencial lineal. Aunque se podría apelar de forma directa a la definición 3.1, resulta que la cuestión de si el conjunto de nsoluciones 1, 2, ..., ny y y de una ecuación diferencial lineal homogénea

de n-ésimo orden (1) es linealmente independiente se puede establecer de forma práctica mediante un determinante, el cual definiremos más adelante.

Wronskiano

Definición 3.2. Sean 1 2, ,.., nf f f n funciones diferenciables ( 1)n veces.

La función

1 2

1 2

1 2

1 1 11 2

( ) ( ) ... ( )' ( ) ' ( ) ... ' ( )

, ,.., ~ (4)

( ) ( ) ... ( )

n

n

n

n n nn

f x f x f xf x f x f x

W f f f

f x f x f x

es el Wronskiano de 1 2, ,.., .nf f f

Teorema 2. Criterio para soluciones linealmente independientes

Sean 1, 2 , ..., n ny y y soluciones de la ecuación diferencial lineal

homogénea de n-ésimo orden (1) en el intervalo I . El conjunto de soluciones es linealmente independiente en I sí y sólo si

1 2, ,.., 0nW f f f para toda x en el intervalo.

Conjunto fundamental de soluciones

Definición 3.3. Cualquier conjunto de soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea de

n-ésimo orden (1) en un intervalo I es un conjunto fundamental de soluciones en el intervalo.3

3 Preparado por: Prof. Gil Sandro Gómez


Teorema 3. Solución general de una ecuación homogénea

Sean 1, 2, ..., n ny y y soluciones en ( , )a b de

( 1)1( ) ( )( ) ( ) ... ( ) 0~(5),n n

nx xy x p y x p y x

donde 1 2, , ..., np p p son continuas en ( , )a b . Si en cierto punto 0x en

( , )a b estas soluciones satisfacen

1 2, ,.., 0 ~ (6),nW y y y

entonces toda solución de (5) en ( , )a b se puede expresar de la forma

1 1 2 2( ) ( ) ... ( ) ~ (7),( ) n ny x y x y xy x C C C

donde 1 2, , ..., nC C C son constantes.4

La combinación lineal de 1 2, ,..., ny y y en (7), con constantes arbitrarias

1 2, ,..., nC C C , se conoce como solución general de (5).

3.3 Reducción de Orden

Introducción.

La solución general de una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden

2 1 0( ) '' ( ) ' ( ) 0 ~ (8)a x y a x y a x y

es una combinación lineal 1 1 2 2y c y c y , donde 1 2 y y y son soluciones

que constituyen un conjunto linealmente independiente en algún intervalo I .

Reducción de orden. Asumamos que 1y denota la solución no trivial de

(8) y que 1y se define en un intervalo I . Se busca una segunda solución

2y , tal que 1 2 y y y sean un conjunto linealmente independiente en I . Si

1 2 y y y son linealmente independientes, entonces su cociente 2

1

yy no

4 Preparado por: Prof. Gil Sandro Gómez


es constante en I , es decir, 22 1

1

( ) ( ) ( ).( )y x u x o y y u xy x La función

( )u x se determine al sustituir 2 1 ( )y y u x en la ecuación diferencial que

se proporciona. A este método se le llama reducción de orden, porque se debe resolver una ecuación diferencial lineal de primer orden para hallar u .

Caso general. Dividimos entre 2( )a x con el objetivo de escribir la

ecuación (8) en la forma estándar

'' ( ) ' ( ) 0 ~ (9)y P x y Q x y

donde ( ) ( )P x y Q c son continuas en un intervalo I . Supónganse

además que es una solución conocida de (9) en I y que 1 0 xy en

el intervalo. Si se define 1 ( ) ~ (10)y y u x , se deduce que

1 1 1 1 1, 2 ''( ) ~(11)' '( ) ( ) ' '' ( ) '' '( ) ' u xy yu x u x y y u x y u x y y

Sustituyendo (10) y (11) en (9):

1 1 1 1 1 1'' ' '' (2 ' ) ' 0u y Py Qy y u y Py u

Hagamos 1 1 1 0'' 'y Py Qy entonces,

1 1 1'' (2 ' ) ' 0 ~ (12)y u y Py u

Si 'u w tenemos que:

1 1 1' (2 ' ) 0 ~ (13)wy y Py w

Como se observa, la ecuación (13) es lineal y se puede resolver como tal o por separación de variable.5

1

1

2 ' 0 ~ (14)y dx Pdxy

dww

5 Preparado por: Prof. Gil Sandro Gómez.


Integrando la expresión (14):6

1

1

1

'2 0

ln 2ln

ydw dx Pdxw yw y Pdx C

Por las propiedades de los logaritmos:

21 ln ~ (15)ln Pdx Cwy

Por definición de funciones inversas

12

1 ~ (16)Pdx

c ewy

Despajando a w de (16) y expresando la solución en función de la variable u :

1

21

Pdxc ewy

Como 'w u tenemos que:

122 2

1 1

112

1'

Pdx PdxPdx

ce eu u dx dx cy y

ce cy

Seleccionado 1 21 0yc c , se encuentra de 1( ) ( )y u x y x que una

segunda solución de la ecuación (9) viene dada por

2 1 21

~(17).Pdx

yy e dxy

Nota: un buen ejercicio para comprobar el conocimiento de diferenciación es verificar que la expresión (17) es una solución de la ecuación dada. Esto pondría a prueba la paciencia.



Ejemplo. La función indicada 1( )y x es una solución de la ecuación

diferencial proporcionada. Utilice la reducción de orden para hallar la segunda solución 2( )y x .7

2

31( )9 '' 12 ' 4 0; x

x ey y y y

Dividimos la ecuación dada entre 9 para expresarla en su forma estándar:

43

4 44 43 33 3

2 423 3

( )

2 1 21

2

2 2

2 2 23 3 3

2 23 3

4 4'' ' 03 9

4( ) entonces usando la ec. (17) tenemos que:3

4 4( )3 3

( ) ( )( )

( )

( ) ( )

x

x xx x

x x

p x dx

x x x

x x

y y y

P x

P x dx dx x e

e edx dx e e dxe e

dx

ex y x dxy x

x

x x x

y

y e e e

y e y e

La solución general viene dada por:

2 23 3

1 2

1 1 2 2x x

y c e c xe

y c y c y

3.4 Ecuaciones Lineales Homogéneas de Coeficientes Constantes

Definición. Una ecuación diferencial lineal de n orden que tiene la forma

1 21 2 2 1 0( ) ( ) ( ) ... ''( ) '( ) ( ) 0 ~ (1)n n n

n n na y x a y x a y x a y x a y x a y x

se llama ecuación diferencial homogénea (1). Donde 10, ,...,n na a

1 0,a a son constantes reales. 8



Dado que las funciones constantes son continuas en todas sus partes, la ecuación (1) tiene soluciones definidas para toda x en , . Si

podemos hallar n soluciones linealmente independientes de (1) en , , digamos 1 2 2, , ,..., ny y y y , entonces podemos expresar una

solución de (1) en la forma

1 1 2 2( ) ( ) ... ( ) ~ (2),( ) n ny x y x y xy x C C C

donde 1 2, ,..., nC C C son constantes arbitrarias.

Si L es el operador diferencial definido mediante el lado izquierdo de (1), es decir,

1 21 2 2 1 0( ) ( ) ( ) ( ) ... ''( ) '( ) ( ) ~ (3)n n n

n n nL y a y x a y x a y x a y x a y x a y x

entonces podemos escribir (1) en la forma de operador

( ) 0 ~ (4).L y

Para rxy e tenemos

1 21 2 1 0

1 21 2 1 0

( ) ...

( ... ) ( ) ~ (5),

n n nn n n

n n nn n n

rx rx rx rx rx rx

rx rx

x a r a r a r a r a

a r a r a r a r a P r

L e e e e e ee e

donde ( )P r es el polinomio 1 21 2 1 0...n n n

n n na r a r a r a r a . Así, rxe es

una solución de la ecuación (4), siempre que r sea una raíz de la ecuación auxiliar (o característica)

1 21 2 1 0( ) ... ) 0 ~ (6).n n n

n n nP r a r a r a r a r a

De acuerdo al teorema fundamental del álgebra, la ecuación auxiliar tienen raíces, que pueden ser reales o complejas. Estas raíces pueden obtenerse por medio de cualquier método o utilizando un CAS.

Ahora iniciaremos el análisis de los diferentes casos:9

Caso 1. Raíces reales distintas.

Si las raíces de la ecuación auxiliar (6) son reales y diferentes, entonces la solución general de la ecuación (1) viene dada por la suma de las funciones linealmente independientes, la cual se escribe



3 11 21 2 3 1... ~ (7).n n

n nr x r x r xrx r xy c c c c ce e e e e

Ejemplo. Halle la solución general de la ecuación

4 3 2

4 3 26 7 6 8 0y

d y d y d y dydx dx dx dx

Escribimos la ecuación auxiliar de la ecuación dada:

4 3 26 7 6 8 0r r r r

Determinamos las raíces de la ecuación auxiliar:

1 2 3 44, 2, 1 y 1r r r r

Usando la ec. (7), escribimos la solución general de la ecuación dada

4 21 2 3 4( ) x x x xy x c e c e c e c e

Caso 2. Raíces reales repetidas.

Si r es una raíz de multiplicidad m de la ec.(1), entonces cada función de las n soluciones de (7) no son linealmente independientes. En este caso para garantizar que no se vaya anular ninguna de las funciones, la solución general se escribe como

2 2 11 2 3 1( ) ... ~ (8).rx rx rx m rx m rx

nny x c e c xe c x e c x e c x e

Ejemplo. Resuelva la ecuación diferencial

(5) (4)7 12 ''' 8 '' 02 y yy y

Primero escribimos la ecuación auxiliar de la E.D.O dada

25 4 37 82 12 0r r r r

Las raíces de la ecuación auxiliar son: 1 212

0 y r r , donde la primera

raíz es de multiplicidad dos y la segunda raíz es de multiplicidad tres.10

Ahora escribimos la solución general utilizando la expresión (8).

22 2 21 2 3 4 3( )

x x xy x c c x c e c xe x c e



Caso 3. Raíces complejas y conjugadas11

Si ( , )i reales es una raíz compleja de la ecuación auxiliar (6), entonces lo es su conjugado complejo i , pues los coeficientes de

( )P r tienen valores reales. Si aceptamos funciones con valores

complejos como soluciones, entonces tanto ( )i xe como ( )i xe son soluciones de (1). Para hallar dos soluciones con los valores reales que pertenecen a las raíces i , podemos considerar solamente las

partes reales e imaginarias de ( )i xe ; es decir,

( ) cos s ~ (9),x xi x e x ie en xe

entonces dos soluciones linealmente independientes de (1) viene dada por

cos , s ~ (10).x xe x e en x

Al emplear estas soluciones en lugar de ( )i xe y ( )i xe en (7) conservamos la independencia lineal de n soluciones. La solución general puede escribirse en la forma

1 2cos s ~ (11).x xy c e x c e en x

En caso que haya raíces complejas conjugadas repetidas, la solución general tiene la forma

1 2cos s ... cos s ~ (12).n nn n

x x x xx xy c e x c e en x c e x c e en x

Ejemplo. Halle la solución de la ecuación diferencial homogénea de coeficientes constantes.

4 2

4 23). 16 24 9 0d y d y ydx dx

Primero escribimos la ecuación auxiliar de la EDO dada:

4 216 24 9 0 ~ (4)t t

Ahora procedemos hallar las raíces de la ecuación auxiliar:

2 Si z t , tenemos que la ecuación (4) se transforma en:



2 24 9 0 ~ (5)16 zz

Resolviendo la ecuación (5) tenemos:12

1 234

zz

de ahí que: 3 34 2

it con multiplicidad dos, entonces la solución

viene expresada en la forma:

1 2 3 43 3 3 3cos s cos s

2 2 2 2y c x c en x c x x c x en x

3.5 Superposición y Ecuaciones no Homogéneas

Teorema 4. Sean 1 2, ,..., p p pky y y soluciones particulares de la ecuación

diferencial lineal no homogénea de n-ésimo orden (2) en un intervalo Ique corresponde, a su vez, a K funciones distintas 1 2, ,..., ng g g . Es decir,

se supone que ipy denota una solución particular de la ecuación

diferencial correspondiente

11 1 0

1 2

( ) ( ) ... ( ) ' ( ) ( ),~ (13) i=1, 2, ..., K. Entonces

( ) ( ) ... ( ) ~ (14)

n nn n i

p p p pk

a x y a x y a x y a x y g xdondey y x y x y x

es una solución particular de

11 1 0 1 2( ) ( ) ... ( ) ' ( ) ( ) ( ) ... ( ) ~ (15)n n

n n ka x y a x y a x y a x y g x g x g x

Métodos para resolver Ecuaciones no Homogéneas

3.6 Método del Anulador

Definición. Si ( )y f x es una función que tiene n derivadas y ( )L D es un operador diferencial lineal con coeficientes constantes, tal que

( ) ( ) ( ) 0;L D y L D f x



entonces, decimos que el operador ( )L D es el anulador de ( )y f x .

Los operadores diferenciales anuladores son:

1. El operador diferencial 1nD anula cualquier función de la forma: 2 1, , ,..., , . es una constante.n nk x x x x K

2. ( )nD es el anulador de las funciones: 2 3 1, , , ,..., .x x x x n xx x x xe e e e e

3. 2 2 2( 2 )nD D es el anulador las funciones: 2 3 1

2 3 1

cos , cos , cos , cos , ..., cos .s , s , s , s ,..., s .

x x x x n x

x x x x n x

x x x x x x x x xen x x en x x en x x en x x en x

e e e e ee e e e e

Si 0 , entonces 2 2( )nD es el anulador de:

2 3 1

2 3 1

cos , cos , cos , cos , ..., cos .s , s , s , s ,..., s .

n

n

x x x x x x x x xen x x en x x en x x en x x en x

S i 0 1y n , tenemos que 2 2( )D es el anulador de: cos , sx en x

o de su combinación lineal 1 2cos sc x c en x .

Ejemplo. Encuentre el anulador de cada una de las expresiones siguientes:

21). 13 9 4x x sen x

Analicemos cada término de forma individual:

El anulador de 13x es 2D , el anulador de 29x es 3D y el de 4sen x es 2( 16)D , entonces como es una combinación lineal, el anulador total

es: 3 2( 16).D D

22. cosx xe senx e x

El anulador de xe senx viene dado por: 2 2 22 )( nDD

22 2 2 ] 2 2

1, 1 1, entonces2( 1) ( 1) (1)[ D D

n yDD

El anulador de 2 cosxe x se expresa por: 2 2 22 )( nDD


2 2 2 22(2) (2) (1) 4 5

1, 2 1, entoncesD D D D

n y

Como es una combinación lineal, el anulador de (2) es:

2 22 2 4 5D D D D .

Nota: La solución de una ecuación diferencial lineal no homogénea, ( ) ( ) 0D L y g x consta de la suma de dos soluciones que son:

i. La solución de la ecuación diferencial homogénea asociada, es decir, ( ) 0.D L y

ii. La solución particular de la ecuación diferencial no homogénea.

La suma de las dos soluciones es la solución general, es decir, hy es la

solución de la homogénea asociada ( ) 0D L y y py es la solución

particular de ( ) ( )D L y g x , entonces la solución general viene expresada por:

.h pyy y

De ahí que,

( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( )h p h pD L y y D L D L g x g xy y

Ahora desarrollaremos los métodos para determinar la solución particular de las E.D.O no homogéneas. Estos son:

3.7 Coeficientes Indeterminados

El método de coeficientes indeterminados se puede utilizar por superposición o el anulador. Explicaremos el procedimiento desde ambas perspectiva:

i. Coeficientes Indeterminados\Superposición La idea fundamental que sustenta este método es una conjetura acerca de la forma de py , que en realidad no es

más que una suposición informada, motivada por las clases de funciones que constituyen la función de entrada ( )g x . El método general se limitada a E. D lineales como (13) donde


Los coeficientes , 0, 1, 2, ..., i i na son constantes. ( )g x es una constante K , una función polinomial, una función

exponencial xe , una función seno o coseno cossenbx o bx o sumas finitas y productos de estas funciones.

Caso 1. Ninguna de la solución particular supuesta es una solución de la ecuación homogénea asociada.

En la siguiente tabla se muestran algunos ejemplos concretos de ( )g x en (13) junto con la solución particular.

Tabla 3.1 Soluciones particulares de prueba

( )g x Forma de py

2 2

3 3 2

9 4. 2 7

1. 1 ( tan ) 2. 2 1 3. 5 Ax Bx C

x x Ax Bx

cualquier cons te Ax Ax Bx

7 7

7 7 7

2 7

5. 6 cos 6 cos6 66. 7. (5 -10) 8.

x x

x x x

x

Cx Esen x o x A x Bsen xe Ae

x e Axe Bex e

2 7

2 2 2

2 2 2

3

( )4 4 cos 4

10. 8 cos 2 ( ) cos 2 ( ) 211. cos 4

9.

x

x x x

x

x A xB C ee sen x Ae sen x Be x

x x Ax Bx C x Ex Fx G sen xxe x

3 3 ( ) cos 4 ( ) 4x xAx B e x Cx E e sen x

Regla de forma para el caso 1. La forma de py es una combinación

lineal de las funciones linealmente independientes que se generan mediante diferenciaciones repetidas de ( )g x .

Caso 2. Una función en la solución particular supuesta también es una solución de la ecuación diferencial homogénea relacionada.

Regla de la multiplicación para el caso2. Si alguna py contiene

términos que duplican los de cy , se debe multiplicar por nx , donde nes el menor entero positivo que elimine esa duplicación.


Ejemplo caso 1. Halle la solución de la ecuación diferencial, utilizando el método de coeficientes indeterminados/superposición.

2

22

1 2 ~ (1)4

d y dydxdx

y x x

Multiplicamos la ecuación (1) por 4:

2

22 4 4 4 8 ~ (2)d y dy

dxdxy x x

Procedemos a escribir la ecuación homogénea asociada a la E.D.O (2):

2

2 0 ~ (3)4 4d y dydxdx

y

Hallamos la solución de la ecuación homogénea.

La ecuación característica es: 2 4 4 0

2 , es raíz de multiplicidad dos, entonces

2 21 2

x xhy c e xc e

Ahora construimos la solución particular, la cual tiene la forma:

2 ~ (4)py Ax Bx C

Sustituyendo (4) en (2) tenemos:

22 2 2

2

2

2

2

( ) 4 ( ) 4( )

4 4 4

4 8

2 8 4 4 8 ~ (5)

Ax Bx C Ax Bx C Ax Bx C

Ax Bx C

d ddx dx

x x

A Ax B x x

Aplicando la teoría de la igualdad de los polinomios:

4 48 4 8 ~ (6)2 4 0

AA BA C

Resolviendo el sistema de ecuaciones (6) tenemos que:

11, 4 2

A B y C


Entonces la solución particular es:

2 142py x x

La solución general viene dada por:

2 2 21 2

142

h p

x x

y y y

y c e xc e x x

Ejemplo caso 2. Determine la solución general de E. D. O

2

22). 4 3 2y sen xd ydx

Escribimos la ecuación homogénea asociada de la ec. (2):

2

2 4 0 ~ (3)yd ydx

La ecuación característica de (3) es:

2 4 0 ~ (4) ,

la solución de (4) es

2 4 2i ,

de ahí que la solución de (3) se expresa como:

1 2cos2 2hy c x c sen x

La supuesta solución particular, de acuerdo a la tabla 1, viene dada por:

cos2 2py A x Bsen x

Haciendo una comparación entre la supuesta py y la hy , nos damos

cuenta que existe una duplicidad de los términos cos2 y 2x sen x , por lo

que debemos multiplicar por un nx que elimine este inconveniente.

Entonces cos 2 2 ~ (5)py Ax x Bxsen x


Sustituyendo (5) en (2):

2

2 cos2 2 4 cos2 2 3 2

4 cos2 4 2 4 2 4 cos2 4 cos2 4 2 3 23 2 ~ (6)4 2 4 cos2

Ax x Bxsen x Ax x Bxsen x sen x

Ax x Asen x Bxsen x B x Ax x Bxsen x sen xsen x

ddx

Asen x B x

Comparando términos en la ecuación (6):

33 2 y 4

4 2 4 cos2 0 0sen x AAsen x B x B

Entonces tenemos que:

3 cos 2

4px xy

La solución general es igual a

1 2

3 cos 2cos 2 24

h py y y

x xy c x c sen x

Después de haber analizado el método de coeficientes indeterminados por medio de superposición, ahora lo haremos por el criterio del anulador.

ii. Coeficientes Indeterminados\Anulador

La ecuación diferencial ( ) ( )L y g x tiene coeficientes constantes, y la función ( )g x consiste en sumas y productos finitos de constantes,

polinomios, funciones exponenciales axe , senos y cosenos.

i) Encuentre la función complementaria para la ecuación homogénea ( ) 0.L y

ii) Opere ambos lados de la ecuación no homogénea( ) ( )L y g x con un operador diferencial 1L que elimine la

función ( )g x . iii) Determine la solución general de la ecuación diferencial

homogénea de orden superior 1 ( ) 0.L L y iv) Anule de la solución del paso (iii) los términos que se duplican

en la solución complementaria cy encontrada en el paso (i).


Forme una combinación lineal py de los términos restantes.

Ésta es la forma de una solución particular de ( ) ( )L y g x . v) Sustituya py encontrada en el paso (iv) en ( ) ( )L y g x . Iguale

los coeficientes de las distintas funciones en cada lado de la igualdad y resuelva el sistema ecuaciones resultante a fin de determinar los coeficientes desconocidos de py .

vi) Con la solución particular hallada en el paso (v), forme la solución general c py y y de la ecuación diferencial que se proporciona.

Nota: El método de coeficientes indeterminados se aplica sólo a no homogeneidades que sean polinomios, exponenciales, senos o cosenos, o productos de estas funciones. Tampoco se puede aplicar a ecuaciones con coeficientes variables.

Ejemplo. Utilizando el método coeficientes indeterminados\anulador encuentre la solución de

3. '' 25 6y y senx

1. Hallamos la solución complementaria de la ecuación homogénea asociada 2

2

25 0

25 0 5

D y

r r i

Entonces, 1 2cos5 s 5cy c x c en x 2. El operador diferencial que anula a 6senx es:

2 1D

3. Operamos ambos lados de la ecuación diferencial no homogénea dada:

2 2 2

2 2

2 2

1 25 1 6

1 25 6 6

1 25 0

D D y D senx

D D y senx senx

D D y

La solución de la ecuación homogénea resultante es:

2

2 2

1 2

1 2 3 4

1) 25) 0, 5

cos s cos5 s 5

( (

c

ientonces y c x c enx c x c en x


4. Eliminamos los términos que se duplican en la solución complementaria obtenida en el paso (1). La solución particular vendrá expresada como:

cos spy A x B enx

5. Sustituimos a py en la ecuación (3) y luego resolvemos las ecuaciones resultantes:

2 cos s 25 cos s 66

624 0 10,24 6 4

cos s 25 cos 25 s24 cos 24 s

A x B enx A x B enx senxsenx

senxA

A BB

DA x B enx A x B enxA x B enx

4psenxy

6. La solución general de (3) es:

1 2cos5 s 54

senxy c x c en x

3.8 Método de Variación de Parámetros

Cuando se tiene la ecuación no homogénea

''( ) '( ) ( )ay x by x cy g x y ( ) 0g x no satisface las condiciones

previstas por la técnica de coeficientes indeterminados, se procede

bajo la técnica de Variación de Parámetros resumida así:

i. Dada la ecuación ''( ) '( ) ( )ay x by x cy g x se resuelve la

homogénea asociada ''( ) '( ) 0ay x by x cy , de donde se

obtiene cy .

ii. Se propone py con la misma estructura de cy pero las constantes

que se incluyen se sustituyen por parámetros variables, es decir,

funciones µ1(x) y µ2(x), desconocidas por determinar. Así

1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )p x y x x y xy .


iii. Se deriva la py tantas veces indica la ecuación, pero en la primera

derivada de py se hacen los términos 1 1 2 2( ) ( ) 0.' 'x xy y

Mientras en la segunda derivada debido a la sustitución en la

ecuación diferencial propuesta resulta que

1 1 2 2( ) ( ) ( ) /' ' ' 'x x g x ay y .

iv. Se resuelve el sistema simultáneo con incógnitas µ’1(x) y µ’2(x),

obtenido en el paso previo, por medio del método de Cramer

(preferiblemente). Esto permite obtener las soluciones 11'

ww

y

22'

ww

.

v. Se resuelven las integrales 11

w dxw

y 2

2 .w dxw

vi. Se construye la solución particular

1 21 21 2 .p

w wy y y dx dxw w

vii. Se enuncia la solución general de la ecuación como .c py y y

Nota: En realidad el método de Variación de Parámetros se aplica sin

importar la forma de ( )g x , sin embargo en lo general si en una

ecuación dada es aplicable el método de Coeficientes indeterminados,

casi siempre será más sencillo aplicarlo preferiblemente a la variación

de parámetros.

Este método será generalizado para ecuaciones de orden superior, después del ejemplo.


Ejemplo. Usando el método de variación de parámetros, halle la solución de la E.D.O dada.

2

2 sec csc ~ (1)d y y x xdx

i. Resolvemos la ecuación homogénea asociada de (1)

2

2

2

2 2

0

1 0

1 0 1

d y ydxD y

de ahí que: 1 2cos sci y c x c enx

ii. Se propone 1 2cos spy x enx

iii. Derivamos a py y obtenemos el sistema de ecuaciones.

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

cos s

De donde ' cos ' s 0 - ' s ' cos sec csc' cos ' s 0

~ (2)- ' s ' cos sec csc

py x enx

x enxy enx x x x

x enxenx x x x

iv. Resolvemos el sistema de ecs. (2)

2 2

1

2

coscos 1

cos

0sec csc cos

' sec

cos 0sec csc

' csc

x senxx sen x

senx x

senxx x x

x

xsenx x x

x

v. Calculamos 1 2 :y

1 2sec ln sec tan csc ln csc cotxdx x x y xdx x x

vi. Tenemos que: (cos )ln sec tan ( )ln csc cotpy x x x senx x x


vii. La solución general viene dada por: c py y y

1 2cos (cos )ln sec tan ( ) ln csc coty c x c senx x x x senx x x

Método de Variación de Parámetros para E. D.O de Orden Superior

Este método puede ser generalizado para ecuaciones diferenciales lineales de orden superior.

El propósito nuestro es determinar una solución particular de la ecuación en la forma canónica

11 1 0( ) ... ( ) ' ( ) ( ) ~ (1)n n

ny P x y P x y P x y g x

Este método requiere que previamente hallemos una solución a la ecuación homogénea asociada a (1). La ecuación homogénea asociada es

11 1 0( ) ... ( ) ' ( ) 0 ~ (2)n n

ny P x y P x y P x y

Y la solución complementaria viene dada por:

1 1 2 2 1 1... ~ (3)c n n n ny c y c y c y c y , una solución particular de (1) es:

1 1 2 2 1 1... ~ (4)p n n n ny u y u y u y u y ,

donde ' , 1,2,...,ku k n se determinan mediante las n ecuaciones

1 1

( 2) ( 2)1 1

( 1) ( 1)1 1

' ... ' 0

' ... ' 0

' ... ' ( )

n n

n nn n

n nn n

y u y u

y u y u

y u y u g x

~ (5)

Una condición necesaria para que el sistema (5) tenga solución para xen ( , )a b es que el determinante de la matriz formada por los coeficientes de 1 2' , ' ,... 'nu u u sea diferente de cero para toda x en ( , ).a b Este determinante es precisamente el Wronskiano:

1

1 2( 2) ( 2)1

( 1) ( 2)1

...

, ,..., ( ) ~ (6)....

...

n

nn nn

n nn

y y

W y y y xy y

y y


que nunca se anula en ( , )a b , pues 1,..., ny y es un conjunto fundamental de soluciones.

Al resolver el sistema de ecuaciones mediante la regla de Cramer, tenemos:

1 1

( )' ( ) ~ (7), 1,... ,( ,..., )( )

kk

W xu x k nW y y x

donde ( )kW x es el determinante

que se obtiene al remplazar la k-ésima columna de Wronskiano por la columna formada por los términos independientes del sistema de ecuaciones (6).

Si integramos (7), tenemos que:

( )( ) , 1,... ~ (8).k

kW xu x dx k n

W

Al sustituir (8) en (4), la solución particular de (1) es:

1

( ) ~ (9).n

kp k

k

W xy y dxW

La solución general de (1) viene dada por la expresión:

~ (10).c py y y

Observaciones:

El método de variación de parámetros tiene una ventaja comparativa con la técnica de coeficientes indeterminados en cuanto a que siempre se produce una solución particular cada vez que se puede resolver la ecuación homogénea relacionada con (1).

La técnica es un poco laboriosa para ecuaciones de orden mayor que tres.

Ejemplo. Determine la solución de la ecuación dada

2

2 2 ~ ( )d y y senh x adx

Escribimos la ecuación homogénea a la ecuación (a):

2 1 0 ~ ( )D y b

La ecuación característica es: 2 1 0m y sus raíces son: 1 21 y 1m m


de ahí que la solución complementaria viene dada por:

1 2x x

cy c e c e

Construyamos la solución particular a partir de la solución complementaria, entonces 1 2( ) ( )x x

py u x e u x e

1 2

1 2

' ( ) ' ( ) 0~ ( )

' ( ) ' ( ) 2

x x

x x

u x e u x ec

u x e u x e senh x

Resolviendo el sistema de ecuaciones (c) tenemos que:

1 2

2

0 02 , 2

2 2

x x

x x

x xx x

x x

e eW

e e

e eW e senh x W e senh x

senh x e e senh x

1 21 2

2 2 2 2' ~ ( ), ' ~ ( )2 2 2 2

x x x xW e senh x e senh x W e senh x e senh xu d u eW W

Procedemos a integrar a (d) y (e):

1

2

1 22 cosh 22 3 2

1 22 cosh 22 3 2

xx

xx

e senh xu e senh xdx x

e senh xu e senh xdx x

Por tanto, 2 2cosh 2 cosh 2

3 2 3 2

x x

pe senh x e senh xy x x

La solución general es: c py y y

1 22 2cosh 2 cosh 2

3 2 3 2

x xx x e senh x e senh xy c e c e x x


3.9 Ecuación de Cauchy-Euler

Definición. Una ecuación diferencial lineal de la forma

1 2

1 21 2 1 01 2 ( ) ~ (11),

n n nn n n

n n nn n n

d y d y d y dya x a x a x a x a y g xdx dx dx dx

donde los coeficientes 1 0, ,...,n na a a son constantes, se conoce como

ecuación de Cauchy-Euler. Los coeficientes monomiales kx

coinciden con el orden k de diferenciación k

k

d ydx

.

Método de solución

Asumamos una solución de la forma my x , donde m es un valor a

determinar. Similar a lo que ocurre cuando se sustituye mxe en una ecuación lineal con coeficientes constantes, sucede cuando se sustituye mx , cada término de una ecuación de Cauchy-Euler se convierte en un polinomio por mx , puesto que

( 1)...( 1) ( 1)( 2)...( 1) ~ (12).k

k m k mk k kk

d ya a x m m m k x a m m m k xdx

Así my x , es una solución de la ecuación diferencial, siempre que msea una solución de la ecuación auxiliar.

Tenemos tres casos distintos a considerar:

Caso 1. Raíces reales diferentes. Sean 1 2, ,..., km m m las raíces de la ecuación homogénea asociada de (11), con 1 2 ... km m m .

Entonces 11 ,..., kmm

ky x y x forman un conjunto fundamental de soluciones. Por consiguiente, la solución de la ecuación homogénea asociada a (11) viene expresada por

11 ... ~ (13).kmm

h k ky c x c y x

Caso 2. Raíces repetidas. Si las raíces de la ecuación homogénea asociada a (11) son repetidas, entonces hay una solución a saber

1my x . Como 1m es una raíz de multiplicidad k , entonces, la solución de la homogénea asociada a (11) viene dada por

1 1 1... (ln ) ~ (14).m m khy x x x

La ecuación (14) se obtiene por medio del método de reducción de orden, de una ecuación de n-ésimo orden.


Caso 3. Raíces complejas conjugadas.

Analicemos una situación particular para explicar el caso 3.

Sea 2

22 0 ~ (15).d y dyax bx cy

dx dx

Si las raíces de (15) son el par conjugado 1 2, m i m i , donde 0y son reales, entonces la solución es

1 2i iy c x c x . Después de realizar algunas operaciones y

haciendo uso de la fórmula de Euler, concluimos que dichas soluciones pueden escribirse 1 2cos( ln ), ( ln )y x x y x sen x . Por

tanto la solución general es 1 2cos( ln ) ( ln ).y c x x c x sen x

Ejemplo. Encuentre la solución de la siguiente E. D

22 2

2 10 8 ~ (4)d y dyx x y xdx dx

La ecuación homogénea asociada a (4) es:

22

2 10 8 0 ~ (5)d y dyx x ydx dx

Asumamos que ~ (6)my x es una solución de la ec. (5).

Derivamos (6):

21 2

2, ( 1) ~ (7)m mdy d ymx m m xdx dx

Sustituyamos (6) y (7) en (5):

2 2 1

2

( 1) 10 8 0 ~ (8)( 1) 10 8 0

9 8 0 ~ (9)

m m mx m m x xmx xm m mm m

La solución de la ecuación característica (9) es:

1 2( 8)( 1) 0 8, 1m m m m

La solución de la ecuación homogénea es:

8 11 2hy c x c x


Mediante el método de coeficientes indeterminados encontramos la solución particular de la ecuación (4) dada

2py Ax Bx D

Derivamos a py :

' 2 , '' 2p py Ax B y A

Sustituyamos a py y sus derivadas en (4):

2 2 2 2

2 2

2 20 10 8 8 830 18 8 ~ (10)

Ax x A Bx Ax Bx D xAx Bx D x

Aplicando la teoría de polinomios en (10):

30 1118 0 , 0 0

308 0

AB A B y D

D

Entonces, 2

30pxy

La solución general es: h py y y

28 1

1 2 30xy c x c x