Trigonometría del
círculo
Sección 5.3
Slide 6.3 - 2
Un círculo con
centro en el origen
de un sistema de
coordenadas
rectangulares y
con radio igual a 1
se llama un
círculo unitario.
Slide 6.3 - 3
Si el punto P(x,y)
pertenece al
círculo unitario, y
el segmento OP es
un radio, entonces
OP intercepta un
arco dirigido q va
desde el eje de x
hasta P (arco S).
Slide 6.3 - 4
El arco
interceptado,
arco S, tiene la
misma medida
que el ángulo
central ϴ.
Slide 6.3 - 5
En el círculo unitario definimos
sin(s) = sin(ϴ) como la distancia, y, vertical desde P hasta el eje de x.
Similarmente, definimos cos(s)=cos(ϴ) como la distancia horizontal desde el origen hasta la coordenada en x del punto P.
Arco s
Slide 6.3 - 6
Si el círculo NO es unitario, entonces NO es de radio 1.
En este caso, se determina el seno y el coseno del ángulo central utilizando el triángulo recto imaginario que se forma y las razones que estudiamos para el triángulo recto.
Radio = 3
Slide 6.3 - 7
hipotenusa
opuesto)sin(
hipotenusa
adyacente)cos(
Utilizando el triángulo
recto imaginario podemos
traducir estas razones a:
r
y)sin(
r
x)cos(
Vimos anteriormente que
en un triángulo recto:
x
y
ady
op)tan(
Slide 6.3 - 8
Similarmente podemos
usar el triángulo recto
imaginario que se forma
dentro del círculo para
determinar las otras 3
razones trigonométricas:
y
x
op
ady)cot(
x
r
ady
hip)sec(
y
r
op
hip)csc(
Slide 6.3 - 9
2
2)sin(
r
y
2
2)cos(
r
x
2,2P
12
2)tan(
x
y
Ejemplo 1: Dado un círculo con radio igual a 2, y el
punto P, hallar los valores de las 6 razones
trigonométricos.
Slide 6.3 - 10
Ejemplo 1: (cont.)
2
2)csc(
y
r
2
2)sec(
x
r
12
2)cot(
y
x
2,2P
22
22
22
22
Slide 6.3 - 11
Para un ángulo arbitrario α (no necesariamente agudo, no necesariamente en el cuadrante I, no necesariamente en un círculo unitario), medido a partir del eje de x , en contra de las manecillas del reloj en un círculo unitario: l
Razones trigonométricas arbitrarias.
Slide 6.3 - 12
Para cada ángulo mostrado, calcule las 6 razones
trigonométricas.
Razones trigonométricas arbitrarias.
Slide 6.3 - 13
Ejemplo2: El punto P(x,y) se muestra en una
circunferencia unitaria. Encuentre los valores de las
razones trigonométricas del ángulo central que se muestra.
5
4,
5
3P
Sabemos que: •el radio es 1 •x= •y=
•Por lo tanto,
5
4)sin(
x
y
5
3
5
4
5
3)cos(
3
4)tan(
x
y
Slide 6.3 - 14
Ejemplo 2: (cont.)
5
4,
5
3P
Las relaciones recíprocas son:
4
5)csc(
x
y
3
5)sec(
4
3)cot(
y
x
Slide 6.3 - 15
Práctica
Hallar los valores de las 6 razones trigonométricas en
los siguientes círculos.
13
12
,13
5P
8,15P
Radio = 1 Radio = 17
Slide 6.3 - 16
Soluciones Hallar los valores de las 6 razones trigonométricas en los
siguientes círculos.
13
12
,13
5P
Radio = 1
8,15P
Radio = 17
13
5cos
13
12sin
5
12tan
5
13sec
12
13csc
12
5cot
17
15cos
17
8sin
15
8tan
15
17sec
8
17csc
8
15cot
Slide 6.3 - 17
En la Figura 2, el lado terminal del
ángulo α está en el cuadrante II. El
ángulo α NO es agudo. Si
construimos un triángulo recto, el
segmento que va desde el centro
hasta el punto es la hipotenusa.
Notamos que la coordenada de x del
punto es negativa y la
coordenada en y es positiva. El
ángulo de la base del triángulo recto,
ya no es α, ahora es (180 - α).
l
l
),(P yx
y
P
Figura 2
P
Este es un círculo
unitario.
Razones trigonométricas arbitrarias.
Slide 6.3 - 18
El ángulo (180 - α) se conoce como
un ángulo de referencia, por que
el cos(α) es igual en tamaño al
cos(180 - α), pero hay que
adjudicarle el signo apropiado.
Es decir, para un ángulo en el
cuadrante II, como la coordenada
de x del punto 𝑷𝜶 es negativa, el
cos(α) es negativo. Por razones
similares, en el segundo cuadrante,
sin(α) es positivo.
l
l
),(P yx
y
Figura 3
cos(α)
sin
(α)
Este es un círculo
unitario.
Razones trigonométricas arbitrarias.
Slide 6.3 - 19
Práctica: Para cada uno de los ángulos mencionados, dibujar el ángulo y determinar el ángulo de referencia. a. 140°
b. 240°
c. 380°
l
l
),(P yx
ángulo de referencia
Razones trigonométricas arbitrarias.
Slide 6.3 - 20
Soluciones:
l
l
),(P yx
ángulo de referencia
Razones trigonométricas arbitrarias.
Slide 6.3 - 21
Práctica: Para cada uno de los ángulos mencionados, encontrar el ángulo de referencia. Además, hallar el cos, sin y tan de cada ángulo.
l
l
),(P yx
1) 1200 2) 1350 3) 1500
ángulo de referencia
Razones trigonométricas arbitrarias.
Slide 6.3 - 22
Soluciones:
Angulos de Referencia
1) El ángulo de referencia de 120o es 60o.
2) El ángulo de referencia de 135o es 45o.
3) El ángulo de referencia de 150o es 30o. l
l
),(P yx
Razones Trigonométricas (Se puede usar la calculadora y obtener
aproximaciones a 4 lugares decimales. Aquí presento los valores exactos.)
1)cos(120)= - 1
2 sin(120) =
3
2 tan(120)=
sin(120)
cos(120)= − 3
2)cos(135)= - 2
2 sin(135) =
2
2 tan(120)=
sin(135)
cos(135)= 1
3)cos(150) = - 3
2 sin(150) =
1
2 tan(150)=
sin(150)
cos(150)= − 3
ángulo de referencia
Razones trigonométricas arbitrarias.
Slide 6.3 - 23
En la Figura 4, el lado terminal del ángulo α está en el cuadrante III. El ángulo α NO es agudo. Si construimos un triángulo recto, el segmento que va desde el centro hasta el punto es la hipotenusa. Notamos que ambas coordenadas del punto son negativas. El ángulo de la base del triángulo recto, ya no es α, ahora es (α-180).
l
l
P
P
),(P yx
y
Figura 4 Este es un círculo
unitario.
Razones trigonométricas arbitrarias.
Slide 6.3 - 24
),(P yx
y
Figura 5
El cos(α) es igual en tamaño al cos(α - 180), pero hay que adjudicarle el signo apropiado. Es decir, para un ángulo en el cuadrante III, como la coordenada de x del punto terminal es negativa, el cos(α) es negativo. Similarmente, sin(α) es negativo. Este es un círculo
unitario.
cos α
sin
α
Razones trigonométricas arbitrarias:
tercer cuadrante
Slide 6.3 - 25
Para cada uno de los ángulos mencionados, encontrar el ángulo de referencia. Hallar el secante, el cosecante y el cotangente de cada ángulo.. l
l
),(P yx
1) 2100 2) 2250
ángulo de referencia
Razones trigonométricas arbitrarias.
Slide 6.3 - 26
Solución: 1)sec(210) =
1
cos(210)=
1
−3
2
=2
3≈ - 1.1547
csc(210)= -1
sin(210)=
1
−1
2
= −2
cot(210)= cos(210)
𝑠𝑖𝑛(210)=
1
tan(210) = 3 ≈ 1.732
2) sec(225) =1
cos(225)=
1
−2
2
= −2
2≈ −1.4142
csc(225)= 1
sin(210)=
1
−2
2
= −2
2≈ −1.4142
cot(225)= cos(225)
𝑠𝑖𝑛(225)=
1
tan(225) =1
l
l
),(P yx
ángulo de referencia
Razones trigonométricas arbitrarias.
Slide 6.3 - 27
),(P yx
y
Figura 6
En la Figura 6, el lado terminal del ángulo α está en el cuadrante IV. El ángulo α NO es agudo. Si construimos un triángulo recto, el segmento que va desde el centro hasta el punto es la hipotenusa. Notamos que la coordenada de x del punto es positiva y la coordenada de y es negativa. El ángulo de la base del triángulo recto, ya no es α, ahora es (360-α).
P
P
Este es un círculo
unitario.
Razones trigonométricas arbitrarias.
Slide 6.3 - 28
Razones Trigonométricas
de ángulos arbitrarios
El cos(α) es igual en magnitud al cos(360 - α), pero hay que adjudicarle el signo apropiado. Es decir, para un ángulo en el cuadrante IV, como la coordenada de x del punto es positiva, el cos(α) es positivo. Similarmente, sin(α) es negativo.
),(P yx
y
Figura 7
P
Este es un círculo
unitario.
cos α sin
x
Slide 6.3 - 29
Para cada uno de los ángulos mencionados, encontrar el ángulo de referencia. Hallar las 6 razones trigonométricas correspondientes.
l
l
),(P yx
1) 3050 2) 3150 3) 3300
ángulo de referencia
Razones trigonométricas arbitrarias.
Slide 6.3 - 30
Para un ángulo arbitrario α (no necesariamente agudo, no necesariamente en el cuadrante I, no necesariamente en un círculo unitario), medido a partir del eje de x en contra de las manecillas del reloj en un círculo unitario:
l
Razones trigonométricas arbitrarias.
Slide 6.3 - 31
Funciones Trigonométricas
de ángulos arbitrarios
I II III IV
sen + + - -
cos + - - +
tan + - + -
¿Cómo obtuvimos la última hilera de la tabla?
VI
l
I II
III
1
P 2
P
3
P 4
P
n
P
¿Cómo completarías la tabla para las razones de csc, sec, y cot?
Slide 6.3 - 32
Funciones Trigonométricas
de ángulos arbitrarios
I II III IV
sen + + - -
cos + - - +
tan + - + -
l
I II
III VI
1
P 2
P
3
P 4
P
n
P
csc
sec
cot
+ + - -
+ - + -
+ - - +
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