Problema de los tres cuerpos
Manuel Lanz
6 de junio de 2015
Problema de Kepler
Problema de dos cuerpos
Problema de los tres cuerposSoluciones exactasClasicacin de las soluciones
Problema restringido de los tres cuerposPuntos de Lagrangerbitas peridicas
Problema de Kepler
Masa Posicin
Ecuacin de Newton:
= 2
Constantes del movimiento
3 + 3 = 6 grados de libertad.
Momento angular =
Vector de excentricidad = uuu
Excentricidad de la rbita u = u Direccin del vector: semieje de la cnica.
Energa = 122
Ligado a los anteriores: u2 1 = 2u2
uu2u
Constantes del movimiento
3 + 3 = 6 grados de libertad.
Momento angular = Vector de excentricidad = uuu
Excentricidad de la rbita u = u Direccin del vector: semieje de la cnica.
Energa = 122
Ligado a los anteriores: u2 1 = 2u2
uu2u
Constantes del movimiento
3 + 3 = 6 grados de libertad.
Momento angular = Vector de excentricidad = uuu
Excentricidad de la rbita u = u
Direccin del vector: semieje de la cnica.
Energa = 122
Ligado a los anteriores: u2 1 = 2u2
uu2u
Constantes del movimiento
3 + 3 = 6 grados de libertad.
Momento angular = Vector de excentricidad = uuu
Excentricidad de la rbita u = u Direccin del vector: semieje de la cnica.
Energa = 122
Ligado a los anteriores: u2 1 = 2u2
uu2u
Constantes del movimiento
3 + 3 = 6 grados de libertad.
Momento angular = Vector de excentricidad = uuu
Excentricidad de la rbita u = u Direccin del vector: semieje de la cnica.
Energa = 122
Ligado a los anteriores: u2 1 = 2u2
uu2u
Constantes del movimiento
3 + 3 = 6 grados de libertad.
Momento angular = Vector de excentricidad = uuu
Excentricidad de la rbita u = u Direccin del vector: semieje de la cnica.
Energa = 122
Ligado a los anteriores: u2 1 = 2u2
uu2u
rbitas
Ecuacin de una cnica:
= cos()
1=
2
(1 + cos )
Clasicacin de las rbitas
Curva Excentricidad Energa
Hiprbola > 1 > 0Parbola = 1 = 0Elipse 0 < 1 < 0Crculo = 0 = uu
2
2u2
Tabla: Forma de la rbita en funcin de la excentricidad u y la energa u.
Clasicacin de las rbitas
-1.0 -0.5 0.5 1.0
-1.0-0.5
0.5
1.0
-
(a) Circunferencia
-3 -2 -1 1
-1.5-1.0-0.50.5
1.0
1.5
-
(b) Elipse
-1.0 -0.5 0.5 1.0
-3-2-1
1
2
3
(c) Circunferencia
-0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
-3-2-1
1
2
3
(d) Hiprbola
Problema de dos cuerpos
Masas 1,2 Posicin 1, 2
Ecuaciones:1 =
2u u
2 21
2 = 1
u u2 12
Cambios de variable
Masa total: = 1 +2 Masa reducida: = u1u1u Posicin centro de masas: = u1uu+u2uuu Distancia entre partculas: = u u
= 0
= 122
Cambios de variable
Masa total: = 1 +2 Masa reducida: = u1u1u Posicin centro de masas: = u1uu+u2uuu Distancia entre partculas: = u u
= 0
= 122
Soluciones
-1.0 -0.5 0.5-0.5
0.5
-
(a) Elipses
-1.0 -0.5 0.5
-2-1
1
2
(b) Parbolas
Figura: Soluciones al problema de los dos cuerpos. u = 1 y u1 = u2. Lalinea de puntos es la trayectoria de u.
Solucin
-0.5 0.5
-0.6-0.4-0.20.2
0.4
0.6
-
Figura: rbitas del problema de los dos cuerpos cuando la velocidad delcentro de masas no es 0. Mismo caso que el anterior, pero con unmomento total u = 0.15u.
Problema de los tres cuerpos
Masas u Posiciones u
Ecuaciones:
u = uu u
u u3 u
u uu u
3
Donde (, , ) son permutaciones cclicas de (1, 2, 3)
Constantes del movimiento
3 6 = 18 grados de libertad.
Posicin inicial del centro de masas (3 dimensiones). Velocidad inicial del centro de masas (3 dimensiones). Energa (1 dimensin). Momento angular total (3 dimensiones).
Faltan 8Se pueden hallar ms constantes?
Hay que buscar otros mtodos.
Otros mtodos
Aproximaciones: mtodos perturbativos. Serie de potencias
u() =
u=0
uuu/3
Cambio de variable
Cambios de variable
Masa total: =uu
Distancias entre partculas: u = u u
u = u3u
+
=u
u3u
Si = 0 las ecuaciones se desligan y el problema se convierteen 3 problemas de Kepler.
Cambios de variable
Masa total: =uu
Distancias entre partculas: u = u u
u = u3u
+
=u
u3u
Si = 0 las ecuaciones se desligan y el problema se convierteen 3 problemas de Kepler.
Cambios de variable
Masa total: =uu
Distancias entre partculas: u = u u
u = u3u
+
=u
u3u
Si = 0 las ecuaciones se desligan y el problema se convierteen 3 problemas de Kepler.
Soluciones triangulares de Lagrange
Por denicin de u, u u = 0
Si tomamos u = :
=13
u
u = 0
Las ecuaciones del movimiento se reducen a:
u = u3u
Soluciones en forma de tringulo equiltero.
Soluciones triangulares de Lagrange
Por denicin de u, u u = 0 Si tomamos u = :
=13
u
u = 0
Las ecuaciones del movimiento se reducen a:
u = u3u
Soluciones en forma de tringulo equiltero.
Soluciones triangulares de Lagrange
Por denicin de u, u u = 0 Si tomamos u = :
=13
u
u = 0
Las ecuaciones del movimiento se reducen a:
u = u3u
Soluciones en forma de tringulo equiltero.
Soluciones triangulares de Lagrange
Por denicin de u, u u = 0 Si tomamos u = :
=13
u
u = 0
Las ecuaciones del movimiento se reducen a:
u = u3u
Soluciones en forma de tringulo equiltero.
Soluciones triangulares de Lagrange
-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5
-1.5-1.0-0.5
0.5
1.0
1.5
-
(a) Elipses
-2 2 4
-4
-2
2
4
(b) Parbolas
Figura: Soluciones triangulares. u = 1 y u1 = u2 = u3.
Soluciones colineales de Euler
Los 3 vectores el mismo plano (suponiendo 2 en el centro):
1 = 32 = (1 )3
Introducimos esto en las ecuaciones:
3 = 2 +3(1 )
2
2 +3(1 + )333
Donde
(1 +2)5 + (31 + 22)
4 + (31 +2)3
(2 + 33)2 (22 + 33) (2 +3) = 0
3 soluciones contenidas en una recta y con un ratio jo entredistancias.
Soluciones colineales de Euler
Los 3 vectores el mismo plano (suponiendo 2 en el centro):
1 = 32 = (1 )3
Introducimos esto en las ecuaciones:
3 = 2 +3(1 )
2
2 +3(1 + )333
Donde
(1 +2)5 + (31 + 22)
4 + (31 +2)3
(2 + 33)2 (22 + 33) (2 +3) = 0
3 soluciones contenidas en una recta y con un ratio jo entredistancias.
Soluciones colineales de Euler
Los 3 vectores el mismo plano (suponiendo 2 en el centro):
1 = 32 = (1 )3
Introducimos esto en las ecuaciones:
3 = 2 +3(1 )
2
2 +3(1 + )333
Donde
(1 +2)5 + (31 + 22)
4 + (31 +2)3
(2 + 33)2 (22 + 33) (2 +3) = 0
3 soluciones contenidas en una recta y con un ratio jo entredistancias.
Soluciones colineales de Euler
Figura: Soluciones colineales de Euler.
Clasicacin de las soluciones
> 0 Explosin HiperblicoHiperblico-parablico
Escape Hiperblico-elptico
= 0 Explosin ParablicoEscape Hiperblico-elptico
< 0 Escape Hiperblico-elpticoParablico-elptico
Movimiento acotado InteraccinExpulsinRevolucinEquilibrioPeridico
Movimiento oscilatorio
Tabla: Clasicacin de las rbitas en funcin de la energa.
Ejemplos de rbitas
1 2 3
-3-2-1
-
(a) Interaccin y expulsin
-3 -2 -1 1 2 3-1
1
2
3
4
-
(b) Revolucin
Figura: rbitas con energa negativa (u < 0. En la primera se produce unescape de la partcula 3 (verde)) despus de una fase de interaccin. Lasegunda es una solucin de revolucin.
Problema restringido de los tres cuerpos
3 despreciable. Tomamos = 1 +2 Coordenadas de Jacobi:
Posicin de 3 respecto a CM: u. Posicin de 2 respecto a 1 u Condenadas auxiliares (posicin de 3 respecto a 1 y 2):
u1 = u+u2uu
u2 = uu1uu
Ecuaciones:
= 3
= 1131
2131
Problema restringido circular
1 y 2 describen movimiento circular con velocidad angular =
Consideramos el problema en el sistema de referencia donde 1 y2 estn en reposo. Transformamos los vectores rotando unngulo .
+ 2 = ( ) 1131
2131
= ()
Hay un potencial con = .
() = 12( )2
11
22
Constante del movimiento (integral de Jacobi).
=122 + ()
Puntos de Lagrange
+ 2 = ()
Puntos de equilibrio. Podemos resolver
() = ( ) 1131
2131
= 0
Las soluciones de Euler y Lagrange dan puntos de equilibrio.
Puntos de Lagrange
+ 2 = ()
Puntos de equilibrio. Podemos resolver
() = ( ) 1131
2131
= 0
Las soluciones de Euler y Lagrange dan puntos de equilibrio.
-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
-2.75-2.50-2.25-2.00-1.75-1.50
Figura: Representacin del potencial y lneas de fuerza en el problema detres cuerpos circular restringido en el sistema de referencia en rotacin. Enrojo aparecen las masas u1 = 0.9 y u2 = 0.1
rbitas peridicas
-1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5
-1.0-0.5
0.5
1.0
1.5
2.0
Figura: Solucin peridica al problema restringido de los tres cuerpos en elsistema de referencia en rotacin para dos masas iguales u1 = u2.
Problema de KeplerProblema de dos cuerposProblema de los tres cuerposSoluciones exactasClasificacin de las soluciones
Problema restringido de los tres cuerposPuntos de Lagrangerbitas peridicas
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