Tres Cuerpos Presentación

Problema de los tres cuerpos

Manuel Lanz

6 de junio de 2015

Problema de Kepler

Problema de dos cuerpos

Problema de los tres cuerposSoluciones exactasClasicacin de las soluciones

Problema restringido de los tres cuerposPuntos de Lagrangerbitas peridicas

Problema de Kepler

Masa Posicin

Ecuacin de Newton:

= 2

Constantes del movimiento

3 + 3 = 6 grados de libertad.

Momento angular =

Vector de excentricidad = uuu

Excentricidad de la rbita u = u Direccin del vector: semieje de la cnica.

Energa = 122

Ligado a los anteriores: u2 1 = 2u2

uu2u



Momento angular = Vector de excentricidad = uuu


Energa = 122


uu2u




Excentricidad de la rbita u = u

Direccin del vector: semieje de la cnica.

Energa = 122


uu2u





Energa = 122


uu2u

rbitas

Ecuacin de una cnica:

= cos()

1=

2

(1 + cos )

Clasicacin de las rbitas

Curva Excentricidad Energa

Hiprbola > 1 > 0Parbola = 1 = 0Elipse 0 < 1 < 0Crculo = 0 = uu

2

2u2

Tabla: Forma de la rbita en funcin de la excentricidad u y la energa u.

Clasicacin de las rbitas

-1.0 -0.5 0.5 1.0

-1.0-0.5

0.5

1.0

-

(a) Circunferencia

-3 -2 -1 1

-1.5-1.0-0.50.5

1.0

1.5

-

(b) Elipse

-1.0 -0.5 0.5 1.0

-3-2-1

1

2

3

(c) Circunferencia

-0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

-3-2-1

1

2

3

(d) Hiprbola

Problema de dos cuerpos

Masas 1,2 Posicin 1, 2

Ecuaciones:1 =

2u u

2 21

2 = 1

u u2 12

Cambios de variable

Masa total: = 1 +2 Masa reducida: = u1u1u Posicin centro de masas: = u1uu+u2uuu Distancia entre partculas: = u u

= 0

= 122

Soluciones

-1.0 -0.5 0.5-0.5

0.5

-

(a) Elipses

-1.0 -0.5 0.5

-2-1

1

2

(b) Parbolas

Figura: Soluciones al problema de los dos cuerpos. u = 1 y u1 = u2. Lalinea de puntos es la trayectoria de u.

Solucin

-0.5 0.5

-0.6-0.4-0.20.2

0.4

0.6

-

Figura: rbitas del problema de los dos cuerpos cuando la velocidad delcentro de masas no es 0. Mismo caso que el anterior, pero con unmomento total u = 0.15u.

Problema de los tres cuerpos

Masas u Posiciones u

Ecuaciones:

u = uu u

u u3 u

u uu u

3

Donde (, , ) son permutaciones cclicas de (1, 2, 3)


3 6 = 18 grados de libertad.

Posicin inicial del centro de masas (3 dimensiones). Velocidad inicial del centro de masas (3 dimensiones). Energa (1 dimensin). Momento angular total (3 dimensiones).

Faltan 8Se pueden hallar ms constantes?

Hay que buscar otros mtodos.

Otros mtodos

Aproximaciones: mtodos perturbativos. Serie de potencias

u() =

u=0

uuu/3

Cambio de variable

Cambios de variable

Masa total: =uu

Distancias entre partculas: u = u u

u = u3u

+

=u

u3u

Si = 0 las ecuaciones se desligan y el problema se convierteen 3 problemas de Kepler.

Soluciones triangulares de Lagrange

Por denicin de u, u u = 0

Si tomamos u = :

=13

u

u = 0

Las ecuaciones del movimiento se reducen a:

u = u3u

Soluciones en forma de tringulo equiltero.


Por denicin de u, u u = 0 Si tomamos u = :

=13

u

u = 0

Las ecuaciones del movimiento se reducen a:

u = u3u

Soluciones en forma de tringulo equiltero.


-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5

-1.5-1.0-0.5

0.5

1.0

1.5

-

(a) Elipses

-2 2 4

-4

-2

2

4

(b) Parbolas

Figura: Soluciones triangulares. u = 1 y u1 = u2 = u3.

Soluciones colineales de Euler

Los 3 vectores el mismo plano (suponiendo 2 en el centro):

1 = 32 = (1 )3

Introducimos esto en las ecuaciones:

3 = 2 +3(1 )

2

2 +3(1 + )333

Donde

(1 +2)5 + (31 + 22)

4 + (31 +2)3

(2 + 33)2 (22 + 33) (2 +3) = 0

3 soluciones contenidas en una recta y con un ratio jo entredistancias.

Soluciones colineales de Euler

Figura: Soluciones colineales de Euler.

Clasicacin de las soluciones

> 0 Explosin HiperblicoHiperblico-parablico

Escape Hiperblico-elptico

= 0 Explosin ParablicoEscape Hiperblico-elptico

< 0 Escape Hiperblico-elpticoParablico-elptico

Movimiento acotado InteraccinExpulsinRevolucinEquilibrioPeridico

Movimiento oscilatorio

Tabla: Clasicacin de las rbitas en funcin de la energa.

Ejemplos de rbitas

1 2 3

-3-2-1

-

(a) Interaccin y expulsin

-3 -2 -1 1 2 3-1

1

2

3

4

-

(b) Revolucin

Figura: rbitas con energa negativa (u < 0. En la primera se produce unescape de la partcula 3 (verde)) despus de una fase de interaccin. Lasegunda es una solucin de revolucin.

Problema restringido de los tres cuerpos

3 despreciable. Tomamos = 1 +2 Coordenadas de Jacobi:

Posicin de 3 respecto a CM: u. Posicin de 2 respecto a 1 u Condenadas auxiliares (posicin de 3 respecto a 1 y 2):

u1 = u+u2uu

u2 = uu1uu

Ecuaciones:

= 3

= 1131

2131

Problema restringido circular

1 y 2 describen movimiento circular con velocidad angular =

Consideramos el problema en el sistema de referencia donde 1 y2 estn en reposo. Transformamos los vectores rotando unngulo .

+ 2 = ( ) 1131

2131

= ()

Hay un potencial con = .

() = 12( )2

11

22

Constante del movimiento (integral de Jacobi).

=122 + ()

Puntos de Lagrange

+ 2 = ()

Puntos de equilibrio. Podemos resolver

() = ( ) 1131

2131

= 0

Las soluciones de Euler y Lagrange dan puntos de equilibrio.

-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

-2.75-2.50-2.25-2.00-1.75-1.50

Figura: Representacin del potencial y lneas de fuerza en el problema detres cuerpos circular restringido en el sistema de referencia en rotacin. Enrojo aparecen las masas u1 = 0.9 y u2 = 0.1

rbitas peridicas

-1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5

-1.0-0.5

0.5

1.0

1.5

2.0

Figura: Solucin peridica al problema restringido de los tres cuerpos en elsistema de referencia en rotacin para dos masas iguales u1 = u2.

Problema de KeplerProblema de dos cuerposProblema de los tres cuerposSoluciones exactasClasificacin de las soluciones

Problema restringido de los tres cuerposPuntos de Lagrangerbitas peridicas

Tres Cuerpos Presentación

Documents

Transcript of Tres Cuerpos Presentación