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ESTABILIDAD III CAPITULO I: TEOREMAS FUNDAMENTALES Pg 1
1TEOREMAS FUNDAMENTALES
1.1 CONSIDERACIONES GENERALES.El diseo de Estructuras implica un profundo conocimiento del comportamiento de las
mismas, lo cual hace imprescindible el estudio de las cargas permanentes y accidentales, los
materiales a utilizar ya que sus propiedades hacen a las condiciones de diseo, las necesidades
para el funcionamiento que se le ponen al proyectista y, entre otras cosas el Anlisis de la
Estructura, entendindose por Anlisis el clculo de solicitaciones (Reacciones, Momentos
flectores y torsores, Esfuerzos normales y de corte) y de deformaciones.
El Anlisis de Estructuras es el principal objetivo de la Asignatura, con la salvedad de
que si slo fuera hallar los valores numricos de solicitaciones y deformaciones, no tendramos
mas que explicar el uso de alguno de los Programas para el Clculo de Estructuras que se venden
en el mercado y que cada da son ms potentes.El objetivo de la Asignatura es la formacin ms amplia del estudiante en el
conocimiento de las Estructuras que le permitan poder analizar en la prctica futura los datos
obtenidos con el objetivo de optimizar el diseo y/o salvar los posibles errores que se pudieran
cometer en el proceso de Anlisis y Diseo.
Nos ser necesario en el curso un buen conocimiento de la Esttica y Resistencia de
Materiales, ya vistos en asignaturas anteriores, y la utilizacin de los estados de deformacin del
sistema para lo cual estudiaremos en el presente Captulo algunos Teoremas y Principios
Generales con una presentacin orientada a su aplicacin a Sistemas Estructurales de la
Ingeniera.
1.2-PRINCIPIO DE SUPERPOSICION DE EFECTOS
Si tenemos un slido elstico lineal al cual aplicamos un sistema de fuerzas (causa) se
producirn distintos efectos, como por ejemplo: reacciones de apoyo, tensiones, deformaciones,
solicitaciones, etc.(efectos).
Si pensamos en una estructura podemos decir: El efecto que produce un conjunto de
fuerzas que actan en forma simultnea es igual a la suma de los efectos que produce cada una
de las fuerzas por separado.
En su expresin ms general dice: La relacin entre causa y efecto es lineal.
Como consecuencia de ello:
A una causa C1 le corresponde un efecto E1 y a una causa C2 le corresponde un efecto
E2 a una causa 21 CCC += , con y constantes, le corresponder un efecto
21 EEE += .
El principio implica una absoluta linealidad, para el caso de estructuras, entre las cargas
y las deformaciones, esfuerzos o solicitaciones.
Esta linealidad no se da principalmente en los siguientes casos:
a) Cuando no se cumple la ley de Hooke, o sea, no existe linealidad entre tensionesy deformaciones.
b) Cuando la geometra de la estructura cambia en forma apreciable, y para elequilibrio es necesario tomar en cuenta la modificacin sufrida por el sistema.
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ESTABILIDAD III CAPITULO I: TEOREMAS FUNDAMENTALES Pg 2
En la mayor parte del curso utilizaremos el principio de Superposicin de efectos para la
resolucin de estructuras (anlisis elstico y campo de las pequeas deformaciones).
Como en el curso se vern problemas de Trabajo de Deformacin y Energa es
importante tener en cuenta que no es aplicable este principio al no existir una relacin lineal
entre las fuerzas y el Trabajo que estas producen al deformar la Estructura.
1.3 TRABAJO Y ENERGIA POTENCIAL DE DEFORMACIN
Para introducirnos en el tema de las deformaciones y de Trabajo y Energa que se
producen, veamos un simple ejemplo unidireccional como el de la figura donde la fuerzaFe escolineal con el eje coordenados
En la primer figura se tiene un sistema
indeformado antes de la aplicacin de la fuerza
Fe y por lo tanto la partcula de masa m seencuentra ens = o origen de coordenadas.
En la segunda figura esta aplicada la
fuerzaFe, con la salvedad de haber sido aplicada
lentamente en forma creciente de manera tal queno se produzcan aceleraciones y velocidades
apreciables y por lo tanto no se genere Energa
Cintica, estando en cada instante en equilibrio la
fuerza exterior Fe con la Fuerza interior Fiequilibrante producida por la resistencia al
alargamiento del resorte que tiene un coeficiente
constante de resorte kmayor que cero.
Fi k s= negativa pues tiene sentido contrario a s.Si evaluamos el trabajo que efecta la fuerzaFi durante su desplazamiento ds
dsskdsFidTi ==
y si queremos el trabajo total deFi:
2s
0
s
0sk
2
1dsskTidTi ===
Este trabajo es negativo pues se realiza en contra de la fuerza Fi del resorte, queequilibra a la Fe. Si hacemos el mismo anlisis del trabajo Te que efecta la carga Fe, por seresta igual y contraria aFi, el mismo valdr:
Fe Fi k s= = Te Ti k s= = 1
2
2
En este anlisis hemos considerado un sistema formado por la partcula m en equilibrio.
Tomemos ahora en el sistema formado por el resorte y la partcula m y tratemos de daruna interpretacin a Te y Ti.
Al trabajo Te de la fuerza externa lo denominamos Trabajo Externo y se produce a lo
largo del desplazamiento externos:
= 2sk2
1Te
Ahora bien, el resorte es una parte (interna) del sistema resorte - partcula que produce
el TrabajoInterno Ti al deformarse de manera tal que:
m
Fe
Fe
Fe
Fi
Fe=0
s
s = 0
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ESTABILIDAD III CAPITULO I: TEOREMAS FUNDAMENTALES Pg 3
Te Ti k s= = 1
2
2
Podemos decir que el trabajo de la fuerza externa (Te)se gasta en deformar el resorte(elemento interno) que acumula el trabajo en forma de una Energa Elstica Potencial de
Deformacin (U). Si retiramos la fuerzaFe la partcula regresara a su posicin originals = 0 y la
Fi producir un Trabajo positivo producto de la Energa acumulada.En el anlisis producido se cumple:
0TiTe =+ UTiTe ==
Ntese que en todo el proceso no se producen perdidas de trabajo por rozamiento, calor,
etc., y es posible aplicar los Principios Generales del Trabajo y Energa y principalmente el de
Conservacin de la Energa para sistemas conservativos.
Supongamos ahora un Slido Elstico y tratmoslo de visualizar como si estuviera
formado por un conjunto de partculas unidas por elementos o vnculos elsticos (resortes)
internos y tratemos de extrapolar para este caso el ejemplo visto hasta aqu.
Al aplicar fuerzas sobre un slido elstico se producen tensiones internas (, ),deformaciones especficas (, ) y desplazamientos internos de los puntos de aplicacin de lasfuerzas.
Las fuerzas externas efectuarn un Trabajo Externo Te a lo largo de los desplazamientosexternos que se emplea en deformar el slido utilizndose para vencer los rozamientos de los
vnculos externos e internos, producir energa cintica por los movimientos, y acumular Energa
Potencial de Deformacin debida a las tensiones y deformaciones internas.
En general en las Estructuras y para cargas de servicio se pueden hacer las siguientes
consideraciones:
a) Las fuerzas se aplican en forma paulatina de manera que los desplazamientos sonmuy lentos y no se produce Energa Cintica al no existir aceleraciones yvelocidades sensibles.
b) No existen rozamientos en los vnculos externos, y por lo tanto no se gasta ningntrabajo que en caso contrario se disipara como Calor o Energa Trmica.
c) El cuerpo es perfectamente elstico y al no haber deformaciones plsticas lasdeformaciones son reversibles, no existiendo prdidas de Energa por rozamiento de
vnculos internos.
Bajo estas premisas podemos decir que nuestro sistema es conservativo, de manera tal
que: El Trabajo Externo se utiliza para vencer la resistencia de los vnculos internos
PiP1
Pn
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ESTABILIDAD III CAPITULO I: TEOREMAS FUNDAMENTALES Pg 4
representados por las tensiones internas de manera que al no existir un intercambio de Trabajo y
Energa con el exterior se cumple:
Te + Ti = 0Te = - Ti = U
donde U es la Energa Potencial de Deformacin.De la ltima expresin surge que en valor absoluto se cumple que Te = Ti y en la
bibliografa distintos autores realizan estas igualdades cambiando el signo de Ti.El criterio docente que adoptaremos es que el Trabajo Externo que realizan las fuerzas
exteriores a lo largo de las deformaciones que ellas mismas producen es positivo y se gasta en
vencer la resistencia de las tensiones internas que produce un Ti negativo, trabajo que se acumulacomo Energa Potencial de Deformacin U que puede ser recuperada al eliminar las cargasexternas y volver el slido a su posicin original sin deformacin. Veamos para distintos casos
de solicitaciones las expresiones que nos dan el clculo de los Trabajos y Energa producidos.
1.3.1-ESFUERZOS NORMALESSea una barra simple
traccionada con una fuerza extrema
(P) que va creciendo en formapaulatina desde un valor 0 hasta un valor
finalP.En un instante la carga tendr
un valor(P) donde 0 1 Siendo
= 0 para el inicio de la carga y = 1para la carga final.
El desplazamiento final que
produce la carga finalP ser y dado
que estamos en un material que cumplela Ley de Hooke es valido el Principio
de Superposicin y a una carga (P)
corresponder un corrimiento () porsu dependencia lineal.
Asimismo en una seccin dada
tendremos tensiones internas normales
, cuya resultante conocemos como
esfuerzo normal = dN siendo el rea para coordenada s.
Valuemos el Trabajo Externo en el instante en que con la carga aplicada (P) se
produce un incremento (dP)para pasar a la carga (+d)Pcon un incremento (d).
( ) ( ) ( ) ( ) += dPddPdTe donde el segundo trmino se desprecia por ser un infinitsimo de 2 orden:
( ) ( )dTe P d P d = = (rea sombreada)
l
P
ds
s
(+d)P
(+d)
P
A
B
P
C
P
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ds
(ds)
s
Integrando entre = 0 y = 1 tendremos el Te total
Te P d P d P = = = =
=
=
=
0
1
0
1 1
2(rea ABC)
Analicemos ahora el trabajo interno Ti en el volumen ds en el cual, para la fuerza P
corresponder un esfuerzo normal N que es la resultante de las tensiones normales en la
seccin , producindose para el elemento ds un alargamiento ds cuando la carga sea P y elesfuerzo normal N. Se cumplir
dsN
Eds=
Cuando la carga sea P:
N=
E
N
ds
ds
=
=
Al incrementarse la fuerza un dP se producir un d N y un incremento dedeformacin.
==ds
dsd)d(d
lo cual implica un trabajo incremental efectuado en contra de las tensiones actuantes:
( )( ) ( )( )
( )( )
=
==
==
ddsE
Ndds
E
NNdsddTi
.dsddsddTi
2
Integrando entre = 0 y = 1 para el volumen ds
dsE
N
2
1dds
E
Ndds
E
NdTi
21
0
21
0
2
===
=
=
=
=
y el Ti en toda la barra:
TiN
Eds
Ti U
N
E ds
s
l
s
l
=
= =
=
=
1
2
1
2
2
0
2
0
La bibliografa que toma un cambio de signo en el Ti lo hace considerando un cambioentre las solicitaciones equilibrantes y las equivalentes que son iguales y de sentido contrario.
A la energa por unidad de volumen se la denomina Energa especfica de deformacin
u y vale:
udU
ds
dTi
ds
N
E E=
=
= + =
1
2
1
2
2
2
2
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y teniendo en cuenta = E
u E= 1
2
2 , o bien u = 1
2
1.3.2-ESFUERZOS DE CORTE
Supongamos una viga sometida a
esfuerzo de corte Q resultante de las
tensiones tangenciales internas a la cual
corresponden distorsiones segn:
=
Q Se
I b
Con Se = Momento esttico de la
seccin superior respecto al eje neutro
baricntrico.
I = Momento de inercia respecto al
mismo eje.
=G
El trabajo interno del diferencial de volumen si las cargas se aplican lentamente ser:
( )( ) ( ) = = = dTi dU b dy dsG
b dy ds1
2
1
2
2
= =
dTi dU Q
G
Se
I bdy ds
1
2
2 2
2
Donde llamando =
ys
yi 2dy
bI
Se =coeficiente de forma que depende
del tipo de seccin
= =dTi dU Q
Gds
1
2
2
para un volumen de longitud ds
==l
2
0ds
G
Q
2
1UTi
para la barra completa
s
l
Pi
P2P1
ds
ys
yib
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ESTABILIDAD III CAPITULO I: TEOREMAS FUNDAMENTALES Pg 7
1.3.3-MOMENTO FLECTOR
En este caso si queremos el trabajo
interno en el elemento de longitud ds
tendremos:
( )( ) = =dTi dU Mf d
1
2
ya que en estos casos es el producto del
momento por el giro producido,
apareciendo siempre el al aplicarse en
forma paulatina los esfuerzos.
Remplazando:
dMf
EIds=
= =dTi dU Mf
EIds
1
2
2
En la viga completa:
= = Ti UMf
EIds
l1
2
2
0
1.3.4-MOMENTOS TORSORES
Con cargas paulatinas en el volumen de longitud ds se producir un giro ds con ngulo dedistorsin unitaria:
=Mt
GIp
s
l
Pi
MfMf
P2P1
ds
d
MfMf
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ESTABILIDAD III CAPITULO I: TEOREMAS FUNDAMENTALES Pg 8
( )( ) = = =dTi dU Mf dsMt
GIpds
1
2
1
2
2
= = Ti UMt
GIpds
l1
2
2
0
Para un elemento en que acten en forma simultanea las 4 solicitaciones, el trabajointerno total cambiado de signo, igual a la energa de deformacin ser:
= = + + + =Ti UMf
EIds
N
Eds
Q
Gds
Mt
GIpds
l
s
l l l1
2
1
2
1
2 01
2
2
0
2
0
2 2
0
Expresin en la que se han sumado los trabajos de las distintas solicitaciones, a pesar de
lo expresado en el ultimo prrafo de 1-2.
Esto es as por que consideramos al Mf, N, Q y Mt solicitaciones de un mismo estado de
cargas P1; P2; .....Pi y no estamos sumando trabajo debido a estados de carga que se van
sumando. Los productos EI; E; G; GIp se denominan rigidez a la Flexin, Esfuerzo Normal,
Corte y Torsin respectivamente y nos indican:
=EI
1Rotacin d para Mf = 1 en una barra de longitud unitaria.
1
E= Alargamiento para N = 1 en una barra de longitud unitaria.
G= desplazamiento para Q = 1 en una barra de longitud unitaria.
1GIp
= Rotacin para Mt = 1 en una barra de longitud unitaria.
Cuando mayor sea la rigidez menor ser la deformacin para una misma solicitacin.
1.4 - PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES
El principio tratado de diversas formas en la bibliografa es una herramienta
poderossima para la esttica y los corrimientos de los cuerpos rgidos o deformables a tal punto
que las condiciones de equilibrio o de la esttica pueden ser demostradas si se acepta este
Principio, o por el contrario, a partir de las condiciones de equilibrio el Principio de los Trabajos
Virtuales puede ser demostrado. Con otras palabras podemos decir que si un cuerpo est en
equilibrio cumplir con el P.T.V. o por el contrario si el cuerpo cumple con este Principio
necesariamente est en equilibrio.
En la Mecnica Racional se enuncia como:
En una partcula en equilibrio bajo un sistema de fuerzas, el trabajo de dichasfuerzas a lo largo de un desplazamiento virtual es nulo
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ESTABILIDAD III CAPITULO I: TEOREMAS FUNDAMENTALES Pg 9
Explicitemos que definimos como desplazamiento virtual a un desplazamiento ideal,arbitrario, pequeo y compatible con los vnculos donde es:
Ideal: real, arbitrario o debido a cualquier causa.
Pequeo: pequeo, pero no necesariamente infinitsimo de manera tal que las
ecuaciones no pierdan su linealidad por dicha causa.
Compatible con los vnculos. Los desplazamientos deben cumplir con las condicionesde vinculacin interna o externa de las partculas o el cuerpo.
Es importante explicitar que el sistema de fuerzas en equilibrio que realiza los trabajos
es independiente de los desplazamientos virtuales o de las causas que los producen.
Tratemos de pensar en un slido elstico como si fuera una barra sometida a una fuerza
externa de traccin de valor P que est formada por partculas elsticas de longitud ds como la
AABB.
En una seccin genrica ii las
tensiones que produce la carga P nos dar unesfuerzo normal n = que equilibra a P ouno igual y contrario que equivale a P.
Demos ahora a la barra un
desplazamiento virtual (independiente de la
carga P y de los desplazamientos que produce
dicha carga) que designaremos como *.
El elemento AABB, elstico, que
imaginamos formado por resortes que estn
sufriendo las tensiones que nos dan N,
sufrirn un alargamiento interno virtual * ds= ds*
En cuanto a los trabajos virtuales que
se producen tendremos
Trabajo Virtual Externo:
*P*Te =
mientras que en cada partcula AABB de long. ds se producir un Trabajo Virtual Interno:
( ) ds*ds*N*dsN*dTi ===
y en toda la barra:
( ) ===l
0
l
0
l
0ds*ds*N*dsN*Ti
P
*
l
AA
BB
i iN
N
s
ds
N
AA
BB
ds
B* B*
(ds *
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ESTABILIDAD III CAPITULO I: TEOREMAS FUNDAMENTALES Pg 10
Estando el cuerpo formado por todas las partculas y siendo la suma de todos los
trabajos nulos:
0*dsN*Pl
0= 0ds**P
l
0=
0*Ti*Te =+
Esta ultima expresin no dice que los Trabajos Virtuales Externos e Internos deben seriguales y de signo contrario y su aplicacin es vlida an en el campo plstico.
Aqu tambin algunos autores cambian el signo del Ti* al considerar las solicitaciones
equivalentes N y expresan el principio como que el Trabajo Virtual externo es igual al Trabajo
Virtual Interno.
1.4.1-CUERPOS RIGIDOS
En el caso presente al no existir deformaciones * el Ti* es nulo y en consecuencia secumplir que:
Te* = 0
expresndose el P.T.V. de la siguiente forma:
Si damos una traslacin virtual a un slido rgido en equilibrio, la suma delos Trabajos del sistema de fuerzas externas en equilibrio a lo largo de losdesplazamientos virtuales es cero.
En cursos anteriores lo hemos aplicando para distintos problemas, entre ellos el Calculo
de las Lneas de Influencia por el Mtodo de la cadena Cinemtica.
1.5-TEOREMA DE CLAPEYRON
Consideremos un Slido elstico al
cual se le puede aplicar el principio de
superposicin, existiendo una relacin
lineal entre cargas y deslizamientos.
Aplicamos un sistema de cargas P1, P2,
, Pi, Pn, y sean 1,2,,n, loscorrimientos correspondientes con las
cargas (aquellos a lo largo se producen los
trabajos) y 1 2, , ,K Ki n son
corrimientos reales
Si las cargas se aplican gradualmente, los valores absolutos de Te y Ti sern iguales ydependern nicamente del estado final de cargas y deslizamientos, y no del orden en que se
aplique las cargas.
Asumamos que las cargas se aplican con un incremento porcentual similar en todas ellas
mediante un parmetro que crece variando desde 0 hasta 1(01)
2
1
i n
__
__
i __n
PiPn
P2P1
RA
RB
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ESTABILIDAD III CAPITULO I: TEOREMAS FUNDAMENTALES Pg 11
En un instante t estarn aplicadas las cargas:
P P P i Pn1 2 K K
a las que correspondern desplazamientos
1 2 K Ki n
Al crecer las cargas un
d P d P d Pi d Pn 1 2 K K,.
se producirn incrementos de desplazamiento
d d d i d n 1 2 K K,
con un incremento en el Trabajo externo igual al incremento de Energa Potencial de
Deformacin
( )( )dTe dU Pi d i Diferencial de ordeni
n
= = +=
1
2
dTe dU d Pi ii
n
= = =
1
El Trabajo o Energa total durante todo el proceso de carga ser:
Te U Pi i d Pi ii
n
i
n
= = = ==
=
=
1
2 10
1
1
[ ]nPniPiPP2
1UTe 2211 +++++== KK
DondePi es el vector fuerza o momento y i el vector desplazamiento o rotacin.La ltima expresin es el Teorema de CLAPEYRON y nos dice:
El trabajo desarrollado durante la carga de un slido elstico, por un sistemade cargas en equilibrio, es independiente del orden de aplicacin de las cargas,
y su valor es igual a la mitad de la suma del producto del valor final de lasfuerzas por el valor final de los desplazamientos correspondientes de su puntode aplicacin
Reiteramos que desplazamiento correspondiente es aquel en el cual la fuerza desarrolla
su trabajo, o sea colineal con la fuerza.
Otras formas de expresar este trabajo son las siguientes:Denomino como coeficiente de influencia (o flexibilidad) ij al desplazamiento
correspondiente conPi del punto i para una carga unitaria en j dePj=1.El corrimiento del punto i valdr:
i P i P i Pi ii Pn in Pj ijj
n
= + + + + + ==1 1 2 2
1
K K
y Te U Pi Pj iji
n
j
n
= = = =
1
2 1 1
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ESTABILIDAD III CAPITULO I: TEOREMAS FUNDAMENTALES Pg 12
Te U Pi Pj ijj
n
i
n
= = ==
1
2 11
funcin cuadrtica de las cargas Pi
Anlogamente se pueden definir coeficientes kij que nos den una expresin cuadrtica
de los i de la forma:
Te U kij i jj
n
i
n
= = ==
1
2 11
1.6-TEOREMA DE BETTI (Ley de reciprocidad)
De la relacin del Trabajo con funciones cuadrticas de las fuerzas y deformaciones,
ratificamos lo ya sealado en el tema (1-2) de que no es aplicable el Principio de Superposicin y
por lo tanto el trabajo de deformacin de varias fuerzas no es igual a la suma de los trabajos de
cada una de ellas por separado.
Supongamos que sobre un cuerpo acta un sistema de fuerzas P que producedeformaciones y una energa de deformacin Uigual a un trabajo Te, y dicho sistema de cargas
Pesta formado por la suma de dos estados de carga que llamaremosPyP
P = P+ P
Si es el conjunto de desplazamientos correspondientes a la carga P y es elcorrespondiente a las cargas P se cumplir:
= +
cualquiera sea el orden en que se aplican las fuerzas.
P; producen Te = Uy veamos de aplicarlas cargas P de dos formas distintas:
a) PrimeroPy luegoPU =U+U+ U (a)
Donde Ui, j representa el valor de laenerga o trabajo externo de las cargasPi a lo largode los desplazamientos debido a las cargasPj (i y j
con valores y )
b) PrimeroP y luegoPU =U+U+ U (b)
Como los dos estados finales son iguales,
tambin lo sern los Trabajos finales y de igualar
las expresiones de a) y b) obtendremos:
P
PP
P
P
P
P
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ESTABILIDAD III CAPITULO I: TEOREMAS FUNDAMENTALES Pg 13
U= U
O sus iguales:
Te=Te
Expresin del Teorema de BETTI:
El trabajo de un estado de cargas en equilibrio P a lo largo de los
desplazamientos producidos por otro estado de cargas en equilibrio Pes igual al trabajo
de las cargas Pa lo largo de los desplazamientos producidos por P.
A estos trabajos se los denomina recprocos o indirectos.
Una aplicacin terica a una viga permite explicitar el significado de las expresiones:
[ ]c2a1 PP2
1U +=
[ ]U P e =1
23
U P Pd f = +1 2
U P b = 3
Caso a)
( )f2d1e3c2a1 PP
2
P
2
P
2
PU ++
+
+
=
Caso b)
b3c2a1e3 P
2
P
2
P
2
PU +
+
+
+=
De la igualdad en los dos casos:
==+= UPPPU bfd 321
Tomando estados finales P y , por teorema de CLAPEYRON:
P1 P2
P
a b c
P3PII
d e f
P1 P3 P2P
a+d b+ec+f
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ESTABILIDAD III CAPITULO I: TEOREMAS FUNDAMENTALES Pg 14
( ) ( ) ( )[ ]fcebda PPPU +++++= 2312
1
1.7-TEOREMA DE MAXWELL
Este Teorema tratado aqu como un caso particular del Teorema de Betti fue enunciadocon anterioridad a este ultimo. Betti solo generalizo las conclusiones a que haba llegado
Maxwell.
En la figura siguiente de una viga tenemos dos estados de carga y deformaciones, con la
salvedad que ambos estados de cargas son unitarios.
P1=1 11 21 P2=1 12 22
Aplicando el Teorema de Betti:
212121 = PP
y siendo ambas cargas unitarias
2112 =
El valor del corrimiento de un punto 1 segn una cierta direccin P1 debido auna fuerza unitaria aplicada en 2 segn una direccin P2, es igual al valor del corrimientoen 2 segn la direccin P2 , provocado por una fuerza unitaria aplicada en 1 segn unadireccin P1.
Mencionamos especficamente el valor, pues como se aprecia en el ejemplo, la
igualdad no incluye a las unidades, pues 12 es un desplazamiento que se mide en unidades delongitud y 21 es un ngulo que se mide en radianes, ya que cuando hablamos de corrimientosentendemos tanto a un desplazamiento lineal como una rotacin, dependiendo del tipo de vector
carga con el que se evala el trabajo. En otras palabras es un corrimiento correspondientecomo ya que fue mencionado en 1-5 y por lo tanto el vector carga es colineal con el vector
corrimiento.
P1=I
(d
(22
(2111
12II
1 2
P2=1
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ESTABILIDAD III CAPITULO I: TEOREMAS FUNDAMENTALES Pg 15
1.8-TEOREMA DE CASTIGLIANOConsideremos un slido elstico
que por simplicidad sea una viga como la
de la figura, que esta sometida a un
sistema de fuerzas Pi: P1, P2 ,... Pi,... Pn,al cual corresponde un conjunto de
corrimientos correspondientes 1: 2,...i..., n.
Se cumplir que de acuerdo con
el teorema de Clapeiron ser:
( ) ( )PUPiTeTe == funcin delas fuerzas Pi y por lo tanto derivable
parcialmente respecto a una cualquiera de
ellas, para lo cual debemos hallar el limite
del cociente incremental:
Pi
U
Pi
Ulim
Pi
Telim
PiPi
=
=
00
Aplico entonces en el punto i una fuerza dPi, mientras las otras permanecen constantes,
producindose desplazamientos d1, d2 ,... di,... dn en correspondencia con el sistema defuerzasPi y un trabajo:
=
+==n
j
ordendeinitesimosjdPjdUdTe1
2inf o
Este incremento de Trabajo o Energa por aplicacin del Teorema de Betti ser igual a:
idPidUdTe ==
y en consecuencia:
iPi
U
Pi
Te=
=
que expresa: La derivada parcial del Trabajo de Deformacin respecto de una de las fuerzas,es igual al desplazamiento de su punto de aplicacin medido en la direccin de la fuerza.
A esta ultima expresin se puede tambin llegar a partir de la ecuacin del tema 1.5
= =
==n
k
n
j
kjPjPkUTe1 12
1
==
==n
j
n
k
PjkjPkUTe112
1
+
=
=
=== =
n
j
n
k
n
k
n
j Pi
PjkjPkPjkj
Pi
Pk
Pi
U
Pi
Te
111 12
1
dondeb
a
P
P
es igual a 0 si a b e igual a 1 si a = b
RARB
MA P2 PiP1 Pn
(1 (2 i n
P2 dPiP1 Pn
d1d2 di
dn
8/4/2019 Teorema fundamentales: Estabilidad III
16/25
ESTABILIDAD III CAPITULO I: TEOREMAS FUNDAMENTALES Pg 16
+
=
=
== Pi
PikiPkPjij
Pi
Pi
2
1
Pi
U
Pi
Te n
1k
n
1j
+=
=
==
n
1k
n
1j
PkkiPjij
2
1
Pi
U
Pi
Tey como
==
=n
j
n
j
PkikPjij11
ser: iPi
U
Pi
Te=
=
segn la expresin del tema1.5
En forma semejante s posible expresar lo que se conoce como Segundo Teorema deCastigliano, definido matemticamente mediante la ecuacin:
Pii
U
i
Te
=
=
1.9-TEOREMA DE MENABREA
Sea un slido elstico como el
de la figura con vnculos rgidos que esta
sometido a un sistema de cargas P(P1;P2; P3; ...), Con lo cual se producirnreaccionesR(RA; RB) yX(X1; X2).
Explicitemos las reaccionesX1yX2 eliminando los Vnculos
sobreabundantes, en este caso los apoyosintermedios.
Es inmediato que las X sonfunciones de las P y que los puntos
donde actan los corrimientos x se anularan. Ser adems:
U = U(P, X)
y podremos hacer las derivadas parciales con respecto de lasX, que por Castigliano valdrn:
011
1 =
=
= XTe
X
UX
022
2 =
=
=X
Te
X
UX
RA RBX1 X2
P1 P2 P3A B21
RAX1 X2
P1 P2 P3
RB
8/4/2019 Teorema fundamentales: Estabilidad III
17/25
ESTABILIDAD III CAPITULO I: TEOREMAS FUNDAMENTALES Pg 17
Lo cual implica que si consideramos a la Energa Potencial de Deformacin como una
funcin de las variablesX, dicha Energa cumple con la condicinX
U
necesaria para tomar un
valor extremo mximo o mnimo. Se cumplir que la Energa pasa por un mnimo si:
0==
x
X
U y 0
X
x
X
U2
2
>
=
para la cual debemos interpretar que representa la derivada de un desplazamiento x respecto a lafuerzaX.
Recordando el tema 1.5 estudimoslo para una fuerza genricaPi
inniii2i21i1 PPPPiPi
U++++==
K
iiPi
U=
2
2
corrimiento del punto i para una carga Pi = 1, coeficiente
necesariamente positivo
Anlogamente 02
2 >= xxX
U corrimiento del punto de aplicacin de Xpara un X=1,
con lo cual se cumple que estamos en un caso de mnimos.
En un sistema hiperesttico con vnculos rgidos sometido a fuerzas externas,las reacciones hiperestticas toman valores que hacen mnimo el Trabajo dedeformacin.
8/4/2019 Teorema fundamentales: Estabilidad III
18/25
ESTABILIDAD III CAPITULO I: TEOREMAS FUNDAMENTALES Pg 18
1.10-APLICACIONES DE LOS TEOREMAS DE TRABAJO A SISTEMASESTRUCTURALES
Analizaremos algunas aplicaciones tericas con vistas a su utilizacin docente en el
curso, pensando ya en sistemas estructurales formados por barras.
1.10.1-TRABAJO VIRTUAL INTERNO
Evaluaremos el Trabajo Virtual Interno Ti* de las solicitaciones internas M(momentoflector), Q (esfuerzo de corte),N(esfuerza normal), Mt(momento torsor), en una barra sometidaa un estado de cargas externasP.
El estado de desplazamiento virtual supondremos que es debido a solicitaciones
producidas por cargas virtualesP* que denominamos M*; N*; Q*; Mt* y un incremento de
temperatura ts (superior) y ti (inferior) que nos dar desplazamientos virtuales d*; ds*; *ds y
*ds para un elemento de longitud ds:
a) CargasP*dsEI
M
d
*
* =
dsE
Nds
=
**
dsG
Qds
=
**
dsGIp
Mtds
** =
b) Temperatura ts y ti con tG en el baricentro y coeficiente de dilatacin lineal.dstsaa = '*
dstG'bb
**ds ==
dsticc = '*
dsh
tsti*d =
y se cumplir en ese elemento:
d*
ts
h
ds
tg
ti
a a
b b
cc
P
M
QMtN
Q
Mt
M
N
P*
s ds
d**ds
*ds
ds*
8/4/2019 Teorema fundamentales: Estabilidad III
19/25
ESTABILIDAD III CAPITULO I: TEOREMAS FUNDAMENTALES Pg 19
( ) ( ) ( ) ( )ds*Mtds*Q*dsN*dMdTi =
dsh
tstiMdstNds
GIp
*MtMtds
G
*QQds
E
*NNds
EI
*MM*dTi*dTe G
+++
+
+==
y por lo tanto en la barra:
+
++
+
+==
l
0
l
0
l
0
l
0
l
0
l
0
tGdsNdsh
tstiMds
GIp
*MtMtds
G
*QQds
E
*NNds
EI
*MM*Te*Ti
donde los dos ltimos trminos se deben a efectos de temperatura, con los cuales no
trabajaremos en el curso, pero que no provoca ninguna dificultad especial en su aplicacin.
Explicitemos ahora una propiedad de la expresin;
+++==llll
dsGIp
MtMtds
G
QQds
E
NNds
EI
MMTeTi
0000
******
que por la simetra puede ser considerada el trabajo virtual de las cargas P a lo largo de losdesplazamientos virtuales producidos porP*, o como el trabajo de las cargasP* a lo largo de losdesplazamientos virtuales producidos por un sistema de cargasP.
A esta misma conclusin podramos llegar por el Teorema De Betti, considerando a P
como el estado de cargas y aP* como el estado de cargas .
1.10.2-DESPLAZAMIENTO EN SISTEMAS RIGIDOS
Sea un arco de tres articulaciones de la figura en la cual se a producido undesplazamiento Horizontal *H del apoyoB del lado derecho y se desea conocer el descenso *Ven la articulacin C.
Para ello coloco una cargaP(que puede ser unitaria o no) en el punto Cy que producir
trabajos a travs del corrimiento desconocido V*.P producir las reacciones que forman un sistema en equilibrio con:
H
l H*
f
V*
P
HH
V V
A
C
B
8/4/2019 Teorema fundamentales: Estabilidad III
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ESTABILIDAD III CAPITULO I: TEOREMAS FUNDAMENTALES Pg 20
PV2
1=
f
lP
f
lVH
=
=42
Pensando en los desplazamientos como virtuales y el sistema de cargas como real puedo
aplicar el Principio de los Trabajos Virtuales para rgidos donde:
Te* = 0
*4*0***HVHV
f
lHPTe ===
Este ejercicio podra resolverse de forma geomtrica utilizando los mtodos de cadena
cinemtica.
1.10.3-CALCULO DE UNA REACCION ISOSTATICA
Sea la viga isostatica de la
figura en la cual queremos conocer el
valor de la reaccionRB para el sistema de
cargas P enequilibrio con las reaccionesenA, B, y C.
Elimino el apoyoB explicitando
la reaccin RB como carga externa. Elsistema se convierte en un mecanismo de
1 grado o cadena cinemtica a la cual
doy un desplazamiento virtual cuyo
valor en B es igual a . En este casotambien Te* = 0 :
0
3
2PR
2
P*Te B =+
= P
6
7RB =
No dependiendo naturalmente del desplazamiento virtual arbitrario dado al punto B.
1.10.4-DEFORMACIONES EN SISTEMAS ELASTICOS DE ALMA LLENA
a) DesplazamientosSea un portico sometido a un estado de cargas P que
produce un estado de solicitaciones M, N, Q y dedeformaciones de las cuales deseo conocer el desplazamiento
de un punto generico i en la direccion s-s (s).
Aplico en i una carga virtualP* = 1 en la direccions-s que produce solicitaciones M*, N*, Q*.
Calculo los Trabajos Virtuales de acuerdo con
1.10.1. tomando como cargas lasP* y como desplazamientos virtuales los reales debidos aP:
++===l
0
l
0
l
0
dsG
*QQds
E
*NNds
EI
*MMs*PTe*Ti*-
P
RB
P
PP
/2
l /2 l /3 l /3 l /3
4/32/3
RB
l /2
P
M
Q
N
P s
s
i
i
s
8/4/2019 Teorema fundamentales: Estabilidad III
21/25
ESTABILIDAD III CAPITULO I: TEOREMAS FUNDAMENTALES Pg 21
+
+=
l
0
l
0
l
0
dsG
*QQds
E
*NNds
EI
*MM
t1
1s
b) Rotaciones:Sea el ejemplo anterior donde me interesa
conocer la rotacin de un punto genrico j, como por
ejemplo el nudo (j).
Aplico en j una carga virtual
P* = M* = 1tm,
que produce M*, N*, Q*.
Anlogamente con Ti* dado por unaexpresin similar al caso anterior:
jtm1j*M*Te*Ti ===
+= KK
l
0
dsEI
*MM
tm1
1j
Es de hacer notar que tanto en el caso anterior como en este si el desplazamiento (o la
rotacin) es positivo significa que tiene la direccin de la carga virtual P*= 1, y en caso de sernegativo el sentido es contrario al de la cargaP*.
c) Rotacion relativa de dos secciones:Sea nuestra incgnita la rotacin relativa de la
articulacin k (k) donde:
dik =
Donde i es la rotacin a la izquierda y d es larotacin a la derecha de la n:
La carga virtual a aplicar en k ser un par de
momentos M* igual a +1 tm y 1tm
M*
Q*
N*
P*=1t
M*Q*
N*
MQ
N
Pj
j
P* = M* = 1 tm
M*
Q*
N*
MQ
N
P > 0k
k
M*=1 tm M*=1 tm
k
d
i
k
8/4/2019 Teorema fundamentales: Estabilidad III
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ESTABILIDAD III CAPITULO I: TEOREMAS FUNDAMENTALES Pg 22
dsE
*NNds
EI
*MMtm1tm1itm1
l
0
l
0kd
+==
+=
KKds
EI
*MM
tm1
1 l
0k
1.10.5-DEFORMACIONES EN SISTEMAS ELASTICOS RETICULADOS
En caso de sistemas reticulados, las expresiones del tema 1.10.1. quedan reducidas a;
=
=
==
n
1i
l
0
l
0
dsiE
*NiNids
E
*NN*Te*Ti
donde i indica a la barra de longitud li seccin i y esfuerzos normales constantes en la barra i:Ni = Si; Ni* = Si* de un reticulado de n barras.
liE
*SiSids
E
*SiSids
iE
*NiNi l
0
l
0
=
=
=
==
n
1i
liE
*SiSi*Te*Ti
Sea un reticulado como el de la figura con un estado de cargas P que producesolicitaciones en las barras Si.
Utilizando la expresin ultima donde:
=
==
n
1i
liE
*SiSi*P*Te
P* es la carga virtual que produce trabajo a lo largo del desplazamiento real cuyo
significado se expresa a continuacin para 3 casos:
P
B
A
D
C
i
8/4/2019 Teorema fundamentales: Estabilidad III
23/25
ESTABILIDAD III CAPITULO I: TEOREMAS FUNDAMENTALES Pg 23
a) Desplazamiento de un nudo
Descenso del nudoA: = A
Carga virtualP* = 1 t en el sentido de A
=
=n
1iA li
iE
*SiSi
t1
1
b) Desplazamiento relativo de 2 nudos
Desplazamiento relativo entreB y C = BC
Carga virtual: dos cargasP* = 1 tde sentido contrario
=
=n
1iBC li
iE
*SiSi
t1
1
c) Rotacin de una barra
Rotacin de la barraDC = BCCarga virtual: dos cargasP* = 1 tm/ lDC
=
=n
1i
BC liiE
*SiSi
tm1
1
P*=1 t
A
P=1 tB
C
P=1 t
P*=1 tm/ lCDD
C
lDC
P*=1 tm/ lCD
8/4/2019 Teorema fundamentales: Estabilidad III
24/25
ESTABILIDAD III CAPITULO I: TEOREMAS FUNDAMENTALES Pg 24
1.11-APLICACIN DEL TEOREMA DE CASTIGLIANO AL CALCULO DEDESPLAZAMIENTOS
Partiendo de las ecuaciones de Trabajo y Energa
+
+
+===l
0
2l
0
2l
0
2l
0
2
ds
GIp
Mt
2
1ds
G
Q
2
1ds
E
N
2
1ds
EI
Mf
2
1P
2
1UTe
En adelante y por razones de simplicidad en las expresiones tomaremos solo el trabajo
del primer termino debido a los momentos flectores Mf con lo cual por analoga se podraagregar la influencia deN, Q, Mten forma muy simple para tener las expresiones generales.
Esto tambin podra equivaler a
despreciar los trabajos y por lo tanto las
deformaciones debidas a N, Q, Mt, lo cuales bastante comn y aceptable para sistemas
de alma llena sometidos a flexin.
Con =l
0
2
dsEI
Mf
2
1U ser
( )i
2
dsPi
Mf
EI
Mf
EI
ds
Pi
Mf
2
1
Pi
U=
=
=
i = desplazamiento del punto i en el sentido de la fuerza Pi que puede existir o no, ya quepodra tener un valor 0 (cero)
Por el principio de superposicin ser:
( )s,Pn,,Pi,P,P,qMfMf 21 K=
y llamando Mj(s) al valor del momento flector para Pj = 1, el momento flector para el verdadero
valor de PJ ser ( ) )s(MjPjPjsMf =
( ) ( ) ( ) ( ) ( )s,PMfs,PMfs,PMfs,PMfs,qMfMf nnii2211q ++++++= KK
( )[ ]( )sMi
Pi
sMiP
Pi
Mf
Pi
Mf ii =
=
=
=Diagrama de momento paraPi = 1 en el pto. I.
Entonces:
==
=l
0
l
0
dsMiEI
Mfds
Pi
Mf
EI
Mfi
Expresin idntica a la encontrada por ejemplo en el tema (1-10.4) a)
=l
0
ds*MEI
M
t1
1s ya que en esta representan
M= Momento flector de las fuerzasP(Mf)
M*= Momento flector paraP*=1 MiPi
Mf=
s = desplazamiento correspondiente conP*i correspondiente conPi
is
P1 P2 P3 Pn
q
1 2 in3
8/4/2019 Teorema fundamentales: Estabilidad III
25/25
ESTABILIDAD III CAPITULO I: TEOREMAS FUNDAMENTALES Pg 25
1.12-APLICACIN DEL TEOREMA DE MENABREA
Recordemos que en una estructura hiperesttica con incgnitasXi se cumple:
( )0
Xi
x;fUxi =
= y con dsEI
Mf
2
1U
l
0
2
=
Ser: ==
=
l
0
2
0dsXiMf
EIMf
XiUxi
Sea un sistema hiperesttico como el de la figura en el cual se eligen como incgnitas
hiperestticas:
X1 = Momento flector en C (Mfc)X2 = momento enB (MB)X3 = Reaccin Horizontal enB (HB)
Los sistemas de las dos figuras son
equivalentes siempre que losXi tomen los verdaderosvalores Mfc, MB, HB para los cuales se cumplir:
0x
Ux
11 =
= Rotacin relativa en C
0x
Ux
22 =
= Rotacin apoyo B
0x
Ux
33 =
= Desplaz. horiz. apoyo B
Siendo Mf = Mf (P, q, X1, X2, X3)
Y denominando como: Mo = Mo (P, q) = momento debido a cargas exteriores
)1xi(MiMiXi
Mf===
= Momento debido aXi = 1
332211 MXMXMXMoMf +++=
3
3
2
2
1
1
MX
Mf;M
X
Mf;M
X
Mf=
=
=
( )
( )
( )0dsM
EI
MXMXMXMo
0dsMEI
MXMXMXMo
0dsMEI
MXMXMXMo
3332211
X
2
332211
X
1332211
X
3
2
1
=+++
=
=
+++
=
=+++
=
Sistema de 3 ecuaciones con tres incgnitas que nos permiten calcular lasX1 X2 y X3y por lotanto:
332211 MXMXMXMoMf +++=
qP
HA HB
MA
VA
MB
VB
C
P
HA
MA
VA
X2
VB
q
X3BA
X1
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