TEMA 7 - DERIVADAS
MATEMÁTICAS CCSS. 2º BACHILLERATO
1. TASA DE VARIACIÓN MEDIA
1. TASA DE VARIACIÓN MEDIA
La TVM indica la variación de la función por cada x, es decir: el ritmo, la rapidez, la velocidad de variación.
ab
afbf
x
xfTVM ba
)()()(
],[
x
f
34
12
04
)0()4()(]4,0[
ff
x
xfTVM f
75,04
3
04
)0()4()(]4,0[
gg
x
xgTVM g
24
8
04
)0()4()(]4,0[
hh
x
xhTVM h
1.1 TVM en funciones lineales
El signo indica si aumenta (+) o disminuye (-) y el valor indica cuánto aumenta o disminuye.
1. TASA DE VARIACIÓN MEDIA
TVM de f(x) entre 1 y 2:
ab
afbf
x
xfTVM ba
)()()(
],[
41
)2(2
12
)1()2()(]2,1[
ff
x
xfTVM f
xxxf 3)( 3
1.2 TVM en cualquier función
02
22
02
)1()2()(]2,1[
ff
x
xfTVM f
TVM de f(x) entre -1 y 2:
PROBLEMA:
La TVM sólo tiene en cuenta el valor inicial y el final. Es transparente a lo que ocurre durante.
Ejemplo 1:
1. TASA DE VARIACIÓN MEDIA
TVM de f(x) entre 0 y 10:
45,010
45,05
10
)0()10()(]10,0[
ff
x
xfTVM f
1.2 TVM en cualquier función
09,06
45,01
6
)0()6()(]6,0[
ff
x
xfTVM f
TVM de f(x) entre 0 y 6:
Los beneficios de una empresa, en millones de euros, vienen dados por la función f(x), donde x son los años transcurridos desde su fundación (0 ≤x≤10).
Ejemplo 2:
11
5)(
x
xf Crece a un ritmo de 0,45 millones de € cada año. (0,45 mill€/año)
Crece a un ritmo de 0,09 mill€/año
14
15
4
)6()10()(]10,6[
ff
x
xfTVM f
TVM de f(x) entre 6 y 10:
Crece a un ritmo de 1 mill€ cada año.
1. TASA DE VARIACIÓN MEDIA
1.2 TVM en cualquier función
La TVM tiene en cuenta dos puntos, es decir, un intervalo, e ignora lo que ocurre en medio. Nos dice la media de crecimiento (o decrecimiento) de la función entre esos dos valores.
Sin embargo, si se desea saber a qué ritmo crece (o decrece) una función en un punto determinado y no perder información, hay que usar un intervalo cada vez más pequeño.
TASA DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA
2. TASA DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA:
LA DERIVADA
2. TASA DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA: LA DERIVADA
Los beneficios de una empresa, en millones de euros, vienen dados por la función f(x), donde x son los años transcurridos desde su fundación (0 ≤ x≤10).
Ejemplo
anterior:
11
5)(
x
xf
¿Cuál era el ritmo de crecimiento de la empresa en el año 6?
1]10,6[ fTVMPara h=4
33,0]8,6[ fTVMPara h=2
25,0]7,6[ fTVMPara h=1
22,0]5.6,6[ fTVMPara h=0,5
20,0]1.6,6[ fTVMPara h=0,1
En el año 6 la empresa crece, exactamente, a un ritmo de 0,2 millones de € cada año.
h
afhafTVMTVI
hhaa
hax
)()(limlim
0,
0
PROCESO
2. TASA DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA: LA DERIVADA
El proceso de calcular la tasa de variación media en un intervalo cada vez más pequeño, ínfimo, se puede llamar tasa de variación instantánea o DERIVADA.
La derivada indica el ritmo de variación instantáneo de una función en el punto x=a. Es decir, a qué ritmo crece o decrece una función en ese punto determinado.
h
afhafTVMTVIaf
hhaa
hax
)()(limlim)('
0,
0
Geométricamente:
El valor de la derivada coincide con la pendiente de la recta tangente en ese punto.
m=0,2
2. TASA DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA: LA DERIVADA
Ejemplo 1: ¿Cuál es el ritmo de crecimiento de f(x) en x=3?
7]6,3[ fTVMPara h=3
5]4,3[ fTVMPara h=1
5,4]5.3,3[ fTVMPara h=0,5
1,4]1.3,3[ fTVMPara h=0,1
01,4]01.3,3[ fTVMPara h=0,01
A medida que el intervalo se hace más pequeño, la tasa tiende a ser 4. Es decir, en x=3 , f(x) crece a un ritmo de 4 por cada aumento de x.
xxxf 2)( 2
2. TASA DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA: LA DERIVADA
Ejemplo 1: ¿Cuál es el ritmo de crecimiento de f(x) en x=3?
Calculando de forma correcta el límite cuando h tiende a cero, se obtiene de forma exacta la derivada de la función en x=3.
xxxf 2)( 2
h
fhfTVMTVIf
hh
hx
)3()3(limlim)3('
03,3
03
342669323)3( 222 hhhhhhhhf
3323)3( 2 f
44lim
4lim
4lim
334lim)3('
0
0
2
0
2
0
hh
hh
h
hh
h
hhf
h
hhh
2. TASA DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA: LA DERIVADA
Ejemplo 1: ¿Cuál es el ritmo de crecimiento de f(x) en x=3?
f(x) en el punto x=3 está creciendo a un ritmo de 4 unidades por cada x.
xxxf 2)( 2
4)3(' f
SIGNIFICADO:
La tangente de f(x) en el punto x=3 tiene una pendiente de 4.
SIGNIFICADO GEOMÉTRICO:
2. TASA DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA: LA DERIVADA
Ejemplo 2: El número de clientes de un hostal siguen la función f(x), donde x son las semanas transcurridas.
21)( xxf a) ¿Cuál es la tasa de crecimiento de la clientela a las 2 semanas?
En la segunda semana, la clientela crece a un ritmo de 4 clientes/semana.
h
fhfTVMTVIf
hh
hx
)2()2(limlim)2('
02,2
02
5444121)2( 222 hhhhhhf
541)2( f
44lim
4lim
4lim
554lim)2('
0
0
2
0
2
0
hh
hh
h
hh
h
hhf
h
hhh
Geométricamente, 4 es la pendiente de la recta tangente a la función en x=2.
2. TASA DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA: LA DERIVADA
Ejemplo 2: El número de clientes de un hostal siguen la función f(x), donde x son las semanas transcurridas.
21)( xxf
b) ¿Qué diferencia hay entre f(2) y f’(2)?
En la segunda semana la clientela es de 5 clientes.
5)2( f
En la segunda semana la clientela crece a 4 clientes por semana.
4)2(' f
2. TASA DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA: LA DERIVADA
Ejemplo 2: El número de clientes de un hostal siguen la función f(x), donde x son las semanas transcurridas.
21)( xxf c) ¿Cuál es la tasa de crecimiento para un valor genérico x, es decir, f’(x)?
h
xfhxfxf
h
)()(lim)('
0
222 211)( hxhxhxhxf 21)( xxf
xxhh
xhh
h
xhh
h
xxxhhxf
hhh
h
22lim2
lim2
lim
112lim)('
00
2
0
222
0
Para cualquier valor x, la derivada de la función se calcula como 2x.
2. TASA DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA: LA DERIVADA
La función que proporciona la derivada de una función en cualquier punto x se llama función derivada f’(x), y se calcula como:
f’(x) indica el ritmo de variación instantáneo de una función en cualquier punto x.
h
xfhxfxf
h
)()(lim)('
0
Geométricamente:
f’(x) es la función de pendientes de f(x).
3. REGLAS DE DERIVACIÓN
3. REGLAS DE DERIVACIÓN
')'(
'')'(
'')'(
fafa
gfgf
gfgf
2
''
'')'(
g
gfgf
g
f
gfgfgf
3.1 REGLAS BÁSICAS
3.2 DERIVADAS ELEMENTALES
axf )( 0)(' xf
xxf )( 1)(' xf
nxxf )( 1)(' nxnxf nfxf )( ')(' 1 ffnxf n
n xxf )(n nxn
xf1
1)('
n fxf )(
n nfn
fxf
1
')('
3. REGLAS DE DERIVACIÓN
3.2 DERIVADAS ELEMENTALES
xexf )( xexf )('
xaxf )( aaxf x ln)(' faxf )( afaxf f ln')('
xxf ln)( x
xf1
)(' fxf ln)( f
fxf
')('
xxf alog)( exax
xf alog1
ln
1)('
fxf alog)( ef
f
af
fxf alog
'
ln
')('
fexf )( ')(' fexf f
4. DERIVABILIDAD DE FUNCIONES A TROZOS
4. DERIVABILIDAD DE FUNCIONES A TROZOS
Ejemplo 1:
¿Es f(x) continua en x=2?
2128
24
)(2
2
xxx
xx
xf
Sí. Los límites laterales coinciden con el valor de f(2).
)2()(lim)(lim22
fxfxfxx
¿Es f(x) derivable en x=2?
No. La derivada por la izquierda de x=2 es negativa y por la derecha es positiva. Por tanto, no coinciden las derivadas laterales.
22 ffPUNTO ANGULOSO
4. DERIVABILIDAD DE FUNCIONES A TROZOS
Ejemplo 2:Estudia la continuidad y la derivabilidad en x=2
2117
237
)(2 xxx
xx
xf
CONTINUIDAD:
1)(lim)(lim22
xfxfxx
1)2( f1ª:
2ª:
3ª: 1)(lim)2(2
xffx
Continua en x=2
DERIVABILIDAD:
272
23
)(xx
x
xf
3)2( f
3722)2( f)2()2( ff
3)2( f Derivable en x=2
5. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS
5. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS
5.1 Ecuación de la recta tangente a una función en un punto
000 xxxfxfy
xxxf 3)( 3 Ejemplo: 33)( 2 xxf
a) Recta tangente en x=-2
2)2( f9)2( f
292 xy
b) Recta tangente en x=0
0)0( f
3)0( fxy 3
c) Recta tangente en x=1
2)1( f
0)1( f2y
5. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS
5.2 Monotonía y extremos relativos de una función
xxxf 3)( 3 33)( 2 xxf
Cuando f(x) crece, f’(x) es positiva. Y cuando f(x) decrece, f’(x) es negativa.
En los extremos relativos de f(x), la derivada f’(x) vale cero.
5. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS
5.2 Monotonía y extremos relativos de una función
xxxf 3)( 3
Ejemplo 1: Estudia la monotonía de f(x) y halla sus extremos relativos.
1 1
+ - +
33)( 2 xxf
1
1033
2
12
x
xx
)(xf )(xf
MONOTONÍA:
f(x) crece en ,11,x
f(x) decrece en 1,1x
EXTREMOS RELATIVOS:
máximo relativo 2,1 mínimo relativo 2,1
5. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS
5.3 Curvatura y puntos de inflexión de una función
xxxf 3)( 3 xxf 6)(
Cuando f(x) es convexa, f’’(x) es negativa. Y cuando f(x) es cóncava, f’’(x) es positiva.
En el punto de inflexión de f(x), la segunda derivada f’’(x) vale cero.
5. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS
5.3 Curvatura y puntos de inflexión de una función
xxxf 3)( 3
Ejemplo 1: Estudia la curvatura de f(x) y halla sus puntos de inflexión.
0
- +
33)( 2 xxf
006 1 xx
)(xf )(xf
CURVATURA:
f(x) es cóncava en ,0x
f(x) es convexa en 0,x
PUNTOS DE INFLEXIÓN:
Punto de inflexión 0,0
xxf 6)(
5. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS
5.3 Curvatura y puntos de inflexión de una funciónEjemplo 2:
5. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS
5.3 Curvatura y puntos de inflexión de una funciónEjemplo 3:
5. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS
5.3 Curvatura y puntos de inflexión de una funciónEjemplo 4:
TEMAS 5 y 6 - FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD.
MATEMÁTICAS CCSS. 2º BACHILLERATO
FIN
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