TEMA 7 - DERIVADAS MATEMÁTICAS CCSS. 2º BACHILLERATO.

TEMA 7 - DERIVADAS

MATEMÁTICAS CCSS. 2º BACHILLERATO

1. TASA DE VARIACIÓN MEDIA


La TVM indica la variación de la función por cada x, es decir: el ritmo, la rapidez, la velocidad de variación.

ab

afbf

x

xfTVM ba

)()()(

],[

x

f

34

12

04

)0()4()(]4,0[

ff

x

xfTVM f

75,04

3

04

)0()4()(]4,0[

gg

x

xgTVM g

24

8

04

)0()4()(]4,0[

hh

x

xhTVM h

1.1 TVM en funciones lineales

El signo indica si aumenta (+) o disminuye (-) y el valor indica cuánto aumenta o disminuye.


TVM de f(x) entre 1 y 2:

ab

afbf

x

xfTVM ba

)()()(

],[

41

)2(2

12

)1()2()(]2,1[

ff

x

xfTVM f

xxxf 3)( 3

1.2 TVM en cualquier función

02

22

02

)1()2()(]2,1[

ff

x

xfTVM f

TVM de f(x) entre -1 y 2:

PROBLEMA:

La TVM sólo tiene en cuenta el valor inicial y el final. Es transparente a lo que ocurre durante.

Ejemplo 1:



45,010

45,05

10

)0()10()(]10,0[

ff

x

xfTVM f


09,06

45,01

6

)0()6()(]6,0[

ff

x

xfTVM f


Los beneficios de una empresa, en millones de euros, vienen dados por la función f(x), donde x son los años transcurridos desde su fundación (0 ≤x≤10).

Ejemplo 2:

11

5)(

x

xf Crece a un ritmo de 0,45 millones de € cada año. (0,45 mill€/año)

Crece a un ritmo de 0,09 mill€/año

14

15

4

)6()10()(]10,6[

ff

x

xfTVM f


Crece a un ritmo de 1 mill€ cada año.



La TVM tiene en cuenta dos puntos, es decir, un intervalo, e ignora lo que ocurre en medio. Nos dice la media de crecimiento (o decrecimiento) de la función entre esos dos valores.

Sin embargo, si se desea saber a qué ritmo crece (o decrece) una función en un punto determinado y no perder información, hay que usar un intervalo cada vez más pequeño.

TASA DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA

2. TASA DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA:

LA DERIVADA

2. TASA DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA: LA DERIVADA

Los beneficios de una empresa, en millones de euros, vienen dados por la función f(x), donde x son los años transcurridos desde su fundación (0 ≤ x≤10).

Ejemplo

anterior:

11

5)(

x

xf

¿Cuál era el ritmo de crecimiento de la empresa en el año 6?

1]10,6[ fTVMPara h=4

33,0]8,6[ fTVMPara h=2

25,0]7,6[ fTVMPara h=1

22,0]5.6,6[ fTVMPara h=0,5

20,0]1.6,6[ fTVMPara h=0,1

En el año 6 la empresa crece, exactamente, a un ritmo de 0,2 millones de € cada año.

h

afhafTVMTVI

hhaa

hax

)()(limlim

0,

0

PROCESO


El proceso de calcular la tasa de variación media en un intervalo cada vez más pequeño, ínfimo, se puede llamar tasa de variación instantánea o DERIVADA.

La derivada indica el ritmo de variación instantáneo de una función en el punto x=a. Es decir, a qué ritmo crece o decrece una función en ese punto determinado.

h

afhafTVMTVIaf

hhaa

hax

)()(limlim)('

0,

0

Geométricamente:

El valor de la derivada coincide con la pendiente de la recta tangente en ese punto.

m=0,2


Ejemplo 1: ¿Cuál es el ritmo de crecimiento de f(x) en x=3?

7]6,3[ fTVMPara h=3

5]4,3[ fTVMPara h=1

5,4]5.3,3[ fTVMPara h=0,5

1,4]1.3,3[ fTVMPara h=0,1

01,4]01.3,3[ fTVMPara h=0,01

A medida que el intervalo se hace más pequeño, la tasa tiende a ser 4. Es decir, en x=3 , f(x) crece a un ritmo de 4 por cada aumento de x.

xxxf 2)( 2



Calculando de forma correcta el límite cuando h tiende a cero, se obtiene de forma exacta la derivada de la función en x=3.

xxxf 2)( 2

h

fhfTVMTVIf

hh

hx

)3()3(limlim)3('

03,3

03

342669323)3( 222 hhhhhhhhf

3323)3( 2 f

44lim

4lim

4lim

334lim)3('

0

0

2

0

2

0

hh

hh

h

hh

h

hhf

h

hhh



f(x) en el punto x=3 está creciendo a un ritmo de 4 unidades por cada x.

xxxf 2)( 2

4)3(' f

SIGNIFICADO:

La tangente de f(x) en el punto x=3 tiene una pendiente de 4.

SIGNIFICADO GEOMÉTRICO:


Ejemplo 2: El número de clientes de un hostal siguen la función f(x), donde x son las semanas transcurridas.

21)( xxf a) ¿Cuál es la tasa de crecimiento de la clientela a las 2 semanas?

En la segunda semana, la clientela crece a un ritmo de 4 clientes/semana.

h

fhfTVMTVIf

hh

hx

)2()2(limlim)2('

02,2

02

5444121)2( 222 hhhhhhf

541)2( f

44lim

4lim

4lim

554lim)2('

0

0

2

0

2

0

hh

hh

h

hh

h

hhf

h

hhh

Geométricamente, 4 es la pendiente de la recta tangente a la función en x=2.



21)( xxf

b) ¿Qué diferencia hay entre f(2) y f’(2)?

En la segunda semana la clientela es de 5 clientes.

5)2( f

En la segunda semana la clientela crece a 4 clientes por semana.

4)2(' f



21)( xxf c) ¿Cuál es la tasa de crecimiento para un valor genérico x, es decir, f’(x)?

h

xfhxfxf

h

)()(lim)('

0

222 211)( hxhxhxhxf 21)( xxf

xxhh

xhh

h

xhh

h

xxxhhxf

hhh

h

22lim2

lim2

lim

112lim)('

00

2

0

222

0

Para cualquier valor x, la derivada de la función se calcula como 2x.


La función que proporciona la derivada de una función en cualquier punto x se llama función derivada f’(x), y se calcula como:

f’(x) indica el ritmo de variación instantáneo de una función en cualquier punto x.

h

xfhxfxf

h

)()(lim)('

0

Geométricamente:

f’(x) es la función de pendientes de f(x).

3. REGLAS DE DERIVACIÓN


')'(

'')'(

'')'(

fafa

gfgf

gfgf

2

''

'')'(

g

gfgf

g

f

gfgfgf

3.1 REGLAS BÁSICAS

3.2 DERIVADAS ELEMENTALES

axf )( 0)(' xf

xxf )( 1)(' xf

nxxf )( 1)(' nxnxf nfxf )( ')(' 1 ffnxf n

n xxf )(n nxn

xf1

1)('

n fxf )(

n nfn

fxf

1

')('


3.2 DERIVADAS ELEMENTALES

xexf )( xexf )('

xaxf )( aaxf x ln)(' faxf )( afaxf f ln')('

xxf ln)( x

xf1

)(' fxf ln)( f

fxf

')('

xxf alog)( exax

xf alog1

ln

1)('

fxf alog)( ef

f

af

fxf alog

'

ln

')('

fexf )( ')(' fexf f

4. DERIVABILIDAD DE FUNCIONES A TROZOS


Ejemplo 1:

¿Es f(x) continua en x=2?

2128

24

)(2

2

xxx

xx

xf

Sí. Los límites laterales coinciden con el valor de f(2).

)2()(lim)(lim22

fxfxfxx

¿Es f(x) derivable en x=2?

No. La derivada por la izquierda de x=2 es negativa y por la derecha es positiva. Por tanto, no coinciden las derivadas laterales.

22 ffPUNTO ANGULOSO


Ejemplo 2:Estudia la continuidad y la derivabilidad en x=2

2117

237

)(2 xxx

xx

xf

CONTINUIDAD:

1)(lim)(lim22

xfxfxx

1)2( f1ª:

2ª:

3ª: 1)(lim)2(2

xffx

Continua en x=2

DERIVABILIDAD:

272

23

)(xx

x

xf

3)2( f

3722)2( f)2()2( ff

3)2( f Derivable en x=2

5. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS


5.1 Ecuación de la recta tangente a una función en un punto

000 xxxfxfy

xxxf 3)( 3 Ejemplo: 33)( 2 xxf

a) Recta tangente en x=-2

2)2( f9)2( f

292 xy

b) Recta tangente en x=0

0)0( f

3)0( fxy 3

c) Recta tangente en x=1

2)1( f

0)1( f2y


5.2 Monotonía y extremos relativos de una función

xxxf 3)( 3 33)( 2 xxf

Cuando f(x) crece, f’(x) es positiva. Y cuando f(x) decrece, f’(x) es negativa.

En los extremos relativos de f(x), la derivada f’(x) vale cero.


5.2 Monotonía y extremos relativos de una función

xxxf 3)( 3

Ejemplo 1: Estudia la monotonía de f(x) y halla sus extremos relativos.

1 1

+ - +

33)( 2 xxf

1

1033

2

12

x

xx

)(xf )(xf

MONOTONÍA:

f(x) crece en ,11,x

f(x) decrece en 1,1x

EXTREMOS RELATIVOS:

máximo relativo 2,1 mínimo relativo 2,1


5.3 Curvatura y puntos de inflexión de una función

xxxf 3)( 3 xxf 6)(

Cuando f(x) es convexa, f’’(x) es negativa. Y cuando f(x) es cóncava, f’’(x) es positiva.

En el punto de inflexión de f(x), la segunda derivada f’’(x) vale cero.


5.3 Curvatura y puntos de inflexión de una función

xxxf 3)( 3

Ejemplo 1: Estudia la curvatura de f(x) y halla sus puntos de inflexión.

0

- +

33)( 2 xxf

006 1 xx

)(xf )(xf

CURVATURA:

f(x) es cóncava en ,0x

f(x) es convexa en 0,x

PUNTOS DE INFLEXIÓN:

Punto de inflexión 0,0

xxf 6)(


5.3 Curvatura y puntos de inflexión de una funciónEjemplo 2:

TEMAS 5 y 6 - FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD.

MATEMÁTICAS CCSS. 2º BACHILLERATO

FIN

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