Modelamiento y Simulacin Ingeniera Metalrgica y ciencia de Materiales UIS Prof. Rafael G. Ardila Montero
Taller 1. Modelamiento y simulacin
Ingeniera Metalrgica
Universidad Industrial de Santander
Fundamentos de programacin de
computadores Mtodos numricos
aplicables en simulacin de procesos en
Estado estacionario- Herramientas
computacionales
Ejercicio # 1
Una reaccin qumica reversible:
2A + B = C
Se caracteriza por la relacin de equilibrio
K =
2
Donde la nomenclatura representa la concentracin del componente . Suponga que se define una variable que representa el nmero de moles de producido. La conservacin de la masa se utiliza para reformular la relacin de equilibrio
como
K =,0 +
(,0 2)2(,0 )
El subndice 0 indica la concentracin inicial de cada componente. Si K = 0.016, , 0 = 42, , 0 = 28 y , 0 = 4, calcule , empleando el mtodo numrico de la biseccin programndolo
en un Blank-file de Scilab (programando la funcin
objetivo como una funcin independiente) y
analice la conveniencia de usar el algoritmo de
Illinois, en trminos de velocidad y aseguramiento
de la convergencia, adicionalmente compare sus
resultados con los generados por la herramienta
solver de MsExcel para solucionar el problema.
Ejercicio # 2
Para el flujo estacionario de un fluido
incompresible a travs de un tubo rugoso de
longitud L y dimetro interior D, la cada de presin
viene expresada por la siguiente relacin:
=fMuM
2L
2D
Donde es la densidad del fluido uM es la velocidad media del fluido y fM es el factor de friccin de Moody (adimensional). El factor de
friccin de Moody es una funcin de la rugosidad
y del nmero de Reynolds.
=uM
Donde es la viscosidad del fluido. Para
2000
fM =64
Mientras que para > 2000 , fM viene expresada
por la ecuacin de Colebrook ,
1
fM= 2 Log10 (
3.7 D+
2.51
RefM)
Un buen punto de arranque para la solucin
iterativa de esta ecuacin puede encontrarse a partir
de la Ecuacin de Blasius,
fM = 0.316Re0.25
Apropiada para flujo turbulento en tubos lisos.
Escribir una funcin de nombre PDELTA que
calcule la cada de presin del fluido, a nivel de
mdulo estndar en VBA a partir de la lectura de
datos de entrada en la Hoja de Excel (ya sea como
escalares, vectores o matrices), y que pueda ser
llamada en cualquier sub-procedimiento dentro de
un proyecto. Ud. deber seleccionar el mtodo
numrico ms adecuado para obtener
correctamente la cada de presin del fluido.
(Incluir anlisis de errores), adicionalmente
compare sus resultados con los generados por la
herramienta Buscar Objetivo de MsExcel para
solucionar el problema.
Datos sugeridos para correr el programa:
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Ejercicio # 3
La ley de los gases ideales est dada por
=
Donde es la presin absoluta, es el volumen, es el nmero de moles, es la constante universal de los gases y es la temperatura absoluta. Aunque esta ecuacin se utiliza ampliamente por ingenieros
y cientficos, slo es exacta en un rango limitado de
presin y temperatura y adems es apropiada
solamente para algunos gases. En la industria
metalrgica es comn trabajar con una amplia
gama de gases en condiciones variables de
temperatura y presin, por lo tanto una ecuacin de
estado alternativa para los gases est dada por:
( +
2) ( ) =
Conocida como la ecuacin de van der Waals,
donde = / es el volumen molar, y son constantes empricas que dependen del gas que se
analiza. Un proyecto de diseo metalrgico de fundicin de
aleaciones requiere que se calcule exactamente el
volumen molar (v) del dixido de carbono y del
oxgeno para diferentes combinaciones de
temperatura y presin de tal forma que los
recipientes que contengan dichos gases se puedan
seleccionar apropiadamente. Adicionalmente es
requerido el clculo de la diferencia entre los
volmenes molares calculados con las dos
ecuaciones, Las presiones de diseo de inters son
de 1, 10 y 100 atmosferas para combinaciones de
temperatura de 300, 500 y 700 K. Desarrollar una
rutina de clculo en VBA - Excel que permita
obtener la informacin requerida, seleccionando el
mtodo numrico ms adecuado (Incluir anlisis de
errores), y adicionalmente compare sus resultados
con los generados por la herramienta Solver de
MsExcel para solucionar el problema,
programando la misma desde el entorno VBA
(Solver Ok).
Datos:
R = 0.082054 L atm
mol K
Dixido de carbono:
a = 3.592 b = 0.04267
Oxigeno:
a=1.36 b=0.03183 Ejercicio # 4
La ecuacin de estado de Redlich-Kwong est dada por:
p =RT
v b
a
v(v + b)T
Donde = la constante universal de los gases [= 0.518 kJ/(kg K)], = temperatura absoluta (K), = presin absoluta (kPa) y = volumen de un kg de gas (m3/kg). Los parmetros a y b se calculan mediante:
a = 0.427R2Tc
2.5
pc
b = 0.0866Tc
pc
Donde = 4 580 y = 191 . Como ingeniero Metalrgico, se le pide determinar la cantidad de combustible metano (CH4) que se puede almacenar en tanques de 3, 4 , 5 y 6 m3 a una temperatura de 50C con una presin de 65 000 kPa. Programe en un Blank-File de Scilab el mtodo numrico de las aproximaciones sucesivas para calcular y luego determine la masa de metano contenida en el tanque, comparando la eficiencia del clculo con respecto a la implementacin del algoritmo acelerador de convergencia de Wegestein (si es posible), adicionalmente compare sus resultados con los generados por la
herramienta solver de MsExcel para solucionar el
problema.
Parametro Unidades Valor 1 Valor 2
Q gal/min 170 4
D pulgada 3,068 0,622
L pie 10.000 100
RHO lbm/pie3 62,4 80,2
MU lbm/pie seg. 0,0007 0,05
E pulgada 0,002 0,0005
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Ejercicio # 5
Para el flujo isoentrpico de un gas perfecto que
fluye desde un reservorio a travs de una boquilla
convergente - divergente operando con velocidad
snica en la constriccin, se puede demostrar que:
Donde P es la presin sobre el rea transversal A
de la boquilla, Pr es la presin en el reservorio, Ac
es la seccin transversal en la constriccin y es la relacin entre el calor especfico a presin
constante y el calor especfico a volumen
constante. Si Ac, Pr y A (> Ac) se conocen, evale
la conveniencia de uso del algoritmo de aceleracin
de convergencia de Pegasus para calcular las dos
posibles presiones P que satisfacen la ecuacin no
lineal de arriba (seleccione segn su preferencia la
plataforma Scilab o MsExcel-VBA).
Ejercicio # 6
En un proceso de pirometalrgico cierto volumen de vapor de agua (H2O) se calienta a temperaturas lo suficientemente altas para que una porcin significativa se disocie, o se rompa, para formar oxgeno (O2) e hidrgeno (H2):
H2O = H2 + (1/2)O2 Si se asume que sta es la nica reaccin que se lleva a cabo, la fraccin molar de H2O que se disocia se representa por:
=
1
2
2 +
Donde = la constante de equilibrio de la reaccin y = la presin total de la mezcla. Seleccionado un mtodo numrico iterativo y programndolo en un Blank-file de Scilab calcular el valor de la fraccin molar para las siguientes condiciones: = 3.5, 4, 4.5, 5 atm, y = 0.04, 0.05, 0.06, 0.07
Compare los resultados con los generados con la herramienta Solver de MsExcel (programndolo desde el entorno VBA). Ejercicio # 7
En mecnica de materiales, la forma general para representar un campo tensorial de esfuerzos de tres dimensiones es la siguiente:
xx xy xzxy yy yzxz yz zz
En la que los trminos de la diagonal principal representan esfuerzos a la tensin o compresin, y los trminos fuera de la diagonal representan los esfuerzos cortantes. Un campo tensorial est dado por la siguiente matriz:
10 14 2514 7 1525 15 16
Para resolver cuales son los esfuerzos principales, es necesario construir la siguiente matriz (en MPa):
10 14 2514 7 1525 15 16
1, 2 y 3, Se obtienen con la ecuacin:
3 I2 + II III = 0
Donde: I = xx + +
II = xxyy + xx zz + yy zz xy
2 xz2 yz
2
III=xxyy ZZ xxyz
2 yyxz2 ZZxy
2 + 2xyxzyz
I, II, y III se conocen como las variantes de esfuerzos, seleccionando un mtodo numrico y programndolo en VBA-MsExcel encontrar los esfuerzos principales 1 ,2 3. adicionalmente compare los resultados con los generados con herramienta Solver o Buscar objetivo de Ms Excel.
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Ejercicio # 8
Para el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
9x1 + 2x2 = 3 2x1 + 3x2 + x3 = 4
5x2 + 4x3 + 8x4 = 8 3x3 x4 = 0
Evaluar la conveniencia de resolucin a travs del mtodo de Gauss Seidel, se Puede aprovechar la estructura particular del sistema para facilitar el
clculo? Adicionalmente disee una estrategia de programacin para solucionar el sistema, a travs del uso de las funciones matriciales de y herramienta Solver de Ms Excel, la cual debe ser llamada desde un control ActiveX (CommandButton), mediante la programacin de la funcin Sol verO k en el mdulo VBA de Ms Excel.
Ejercicio # 9
En un proceso metalrgico se llevan a cabo las siguientes reacciones:
2A + B = C (1) A + D = C (2)
En donde se tiene que las concentraciones iniciales de los reactivos en kmol/m3 , son:
CA,0 = 30.5 CB,0 = 12.7
CC,0 = 0 CD,0 = 12.34
Adicionalmente se conoce el valor de las constantes de equilibrio para las dos reacciones, de tal forma que:
k1 = 5x104
k2 = 4x102
Haciendo uso del principio de conservacin de la
masa, plantee las ecuaciones de conversin de los
reactivos A, B y D al producto C, asumiendo que
1 es la conversin de la reaccin 1 y 2 la conversin de la reaccin 2, para calcular las
conversiones de equilibrio. Haciendo uso del
mtodo de Newton Rhapson para sistemas de
ecuaciones no lineales, realice el clculo de las tres
primeras iteraciones para evaluar la convergencia
del mtodo para aproximaciones iniciales
arbitrarias en aras de solucionar el sistema de
ecuaciones resultante. Adicionalmente obtenga la
solucin aproximada mediante la implementacin
de la herramienta Solver de MsExcel para
solucionar el sistema de ecuaciones resultante.
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