Modelamiento y Simulacin Ingeniera Metalrgica y ciencia de Materiales UIS Prof. Rafael G. Ardila Montero

Taller 1. Modelamiento y simulacin

Ingeniera Metalrgica

Universidad Industrial de Santander

Fundamentos de programacin de

computadores Mtodos numricos

aplicables en simulacin de procesos en

Estado estacionario- Herramientas

computacionales

Ejercicio # 1

Una reaccin qumica reversible:

2A + B = C

Se caracteriza por la relacin de equilibrio

K =

2

Donde la nomenclatura representa la concentracin del componente . Suponga que se define una variable que representa el nmero de moles de producido. La conservacin de la masa se utiliza para reformular la relacin de equilibrio

como

K =,0 +

(,0 2)2(,0 )

El subndice 0 indica la concentracin inicial de cada componente. Si K = 0.016, , 0 = 42, , 0 = 28 y , 0 = 4, calcule , empleando el mtodo numrico de la biseccin programndolo

en un Blank-file de Scilab (programando la funcin

objetivo como una funcin independiente) y

analice la conveniencia de usar el algoritmo de

Illinois, en trminos de velocidad y aseguramiento

de la convergencia, adicionalmente compare sus

resultados con los generados por la herramienta

solver de MsExcel para solucionar el problema.

Ejercicio # 2

Para el flujo estacionario de un fluido

incompresible a travs de un tubo rugoso de

longitud L y dimetro interior D, la cada de presin

viene expresada por la siguiente relacin:

=fMuM

2L

2D

Donde es la densidad del fluido uM es la velocidad media del fluido y fM es el factor de friccin de Moody (adimensional). El factor de

friccin de Moody es una funcin de la rugosidad

y del nmero de Reynolds.

=uM

Donde es la viscosidad del fluido. Para

2000

fM =64

Mientras que para > 2000 , fM viene expresada

por la ecuacin de Colebrook ,

1

fM= 2 Log10 (

3.7 D+

2.51

RefM)

Un buen punto de arranque para la solucin

iterativa de esta ecuacin puede encontrarse a partir

de la Ecuacin de Blasius,

fM = 0.316Re0.25

Apropiada para flujo turbulento en tubos lisos.

Escribir una funcin de nombre PDELTA que

calcule la cada de presin del fluido, a nivel de

mdulo estndar en VBA a partir de la lectura de

datos de entrada en la Hoja de Excel (ya sea como

escalares, vectores o matrices), y que pueda ser

llamada en cualquier sub-procedimiento dentro de

un proyecto. Ud. deber seleccionar el mtodo

numrico ms adecuado para obtener

correctamente la cada de presin del fluido.

(Incluir anlisis de errores), adicionalmente

compare sus resultados con los generados por la

herramienta Buscar Objetivo de MsExcel para

solucionar el problema.

Datos sugeridos para correr el programa:

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Ejercicio # 3

La ley de los gases ideales est dada por

=

Donde es la presin absoluta, es el volumen, es el nmero de moles, es la constante universal de los gases y es la temperatura absoluta. Aunque esta ecuacin se utiliza ampliamente por ingenieros

y cientficos, slo es exacta en un rango limitado de

presin y temperatura y adems es apropiada

solamente para algunos gases. En la industria

metalrgica es comn trabajar con una amplia

gama de gases en condiciones variables de

temperatura y presin, por lo tanto una ecuacin de

estado alternativa para los gases est dada por:

( +

2) ( ) =

Conocida como la ecuacin de van der Waals,

donde = / es el volumen molar, y son constantes empricas que dependen del gas que se

analiza. Un proyecto de diseo metalrgico de fundicin de

aleaciones requiere que se calcule exactamente el

volumen molar (v) del dixido de carbono y del

oxgeno para diferentes combinaciones de

temperatura y presin de tal forma que los

recipientes que contengan dichos gases se puedan

seleccionar apropiadamente. Adicionalmente es

requerido el clculo de la diferencia entre los

volmenes molares calculados con las dos

ecuaciones, Las presiones de diseo de inters son

de 1, 10 y 100 atmosferas para combinaciones de

temperatura de 300, 500 y 700 K. Desarrollar una

rutina de clculo en VBA - Excel que permita

obtener la informacin requerida, seleccionando el

mtodo numrico ms adecuado (Incluir anlisis de

errores), y adicionalmente compare sus resultados

con los generados por la herramienta Solver de

MsExcel para solucionar el problema,

programando la misma desde el entorno VBA

(Solver Ok).

Datos:

R = 0.082054 L atm

mol K

Dixido de carbono:

a = 3.592 b = 0.04267

Oxigeno:

a=1.36 b=0.03183 Ejercicio # 4

La ecuacin de estado de Redlich-Kwong est dada por:

p =RT

v b

a

v(v + b)T

Donde = la constante universal de los gases [= 0.518 kJ/(kg K)], = temperatura absoluta (K), = presin absoluta (kPa) y = volumen de un kg de gas (m3/kg). Los parmetros a y b se calculan mediante:

a = 0.427R2Tc

2.5

pc

b = 0.0866Tc

pc

Donde = 4 580 y = 191 . Como ingeniero Metalrgico, se le pide determinar la cantidad de combustible metano (CH4) que se puede almacenar en tanques de 3, 4 , 5 y 6 m3 a una temperatura de 50C con una presin de 65 000 kPa. Programe en un Blank-File de Scilab el mtodo numrico de las aproximaciones sucesivas para calcular y luego determine la masa de metano contenida en el tanque, comparando la eficiencia del clculo con respecto a la implementacin del algoritmo acelerador de convergencia de Wegestein (si es posible), adicionalmente compare sus resultados con los generados por la

herramienta solver de MsExcel para solucionar el

problema.

Parametro Unidades Valor 1 Valor 2

Q gal/min 170 4

D pulgada 3,068 0,622

L pie 10.000 100

RHO lbm/pie3 62,4 80,2

MU lbm/pie seg. 0,0007 0,05

E pulgada 0,002 0,0005

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Ejercicio # 5

Para el flujo isoentrpico de un gas perfecto que

fluye desde un reservorio a travs de una boquilla

convergente - divergente operando con velocidad

snica en la constriccin, se puede demostrar que:

Donde P es la presin sobre el rea transversal A

de la boquilla, Pr es la presin en el reservorio, Ac

es la seccin transversal en la constriccin y es la relacin entre el calor especfico a presin

constante y el calor especfico a volumen

constante. Si Ac, Pr y A (> Ac) se conocen, evale

la conveniencia de uso del algoritmo de aceleracin

de convergencia de Pegasus para calcular las dos

posibles presiones P que satisfacen la ecuacin no

lineal de arriba (seleccione segn su preferencia la

plataforma Scilab o MsExcel-VBA).

Ejercicio # 6

En un proceso de pirometalrgico cierto volumen de vapor de agua (H2O) se calienta a temperaturas lo suficientemente altas para que una porcin significativa se disocie, o se rompa, para formar oxgeno (O2) e hidrgeno (H2):

H2O = H2 + (1/2)O2 Si se asume que sta es la nica reaccin que se lleva a cabo, la fraccin molar de H2O que se disocia se representa por:

=

1

2

2 +

Donde = la constante de equilibrio de la reaccin y = la presin total de la mezcla. Seleccionado un mtodo numrico iterativo y programndolo en un Blank-file de Scilab calcular el valor de la fraccin molar para las siguientes condiciones: = 3.5, 4, 4.5, 5 atm, y = 0.04, 0.05, 0.06, 0.07

Compare los resultados con los generados con la herramienta Solver de MsExcel (programndolo desde el entorno VBA). Ejercicio # 7

En mecnica de materiales, la forma general para representar un campo tensorial de esfuerzos de tres dimensiones es la siguiente:

xx xy xzxy yy yzxz yz zz

En la que los trminos de la diagonal principal representan esfuerzos a la tensin o compresin, y los trminos fuera de la diagonal representan los esfuerzos cortantes. Un campo tensorial est dado por la siguiente matriz:

10 14 2514 7 1525 15 16

Para resolver cuales son los esfuerzos principales, es necesario construir la siguiente matriz (en MPa):

10 14 2514 7 1525 15 16

1, 2 y 3, Se obtienen con la ecuacin:

3 I2 + II III = 0

Donde: I = xx + +

II = xxyy + xx zz + yy zz xy

2 xz2 yz

2

III=xxyy ZZ xxyz

2 yyxz2 ZZxy

2 + 2xyxzyz

I, II, y III se conocen como las variantes de esfuerzos, seleccionando un mtodo numrico y programndolo en VBA-MsExcel encontrar los esfuerzos principales 1 ,2 3. adicionalmente compare los resultados con los generados con herramienta Solver o Buscar objetivo de Ms Excel.

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Ejercicio # 8

Para el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

9x1 + 2x2 = 3 2x1 + 3x2 + x3 = 4

5x2 + 4x3 + 8x4 = 8 3x3 x4 = 0

Evaluar la conveniencia de resolucin a travs del mtodo de Gauss Seidel, se Puede aprovechar la estructura particular del sistema para facilitar el

clculo? Adicionalmente disee una estrategia de programacin para solucionar el sistema, a travs del uso de las funciones matriciales de y herramienta Solver de Ms Excel, la cual debe ser llamada desde un control ActiveX (CommandButton), mediante la programacin de la funcin Sol verO k en el mdulo VBA de Ms Excel.

Ejercicio # 9

En un proceso metalrgico se llevan a cabo las siguientes reacciones:

2A + B = C (1) A + D = C (2)

En donde se tiene que las concentraciones iniciales de los reactivos en kmol/m3 , son:

CA,0 = 30.5 CB,0 = 12.7

CC,0 = 0 CD,0 = 12.34

Adicionalmente se conoce el valor de las constantes de equilibrio para las dos reacciones, de tal forma que:

k1 = 5x104

k2 = 4x102

Haciendo uso del principio de conservacin de la

masa, plantee las ecuaciones de conversin de los

reactivos A, B y D al producto C, asumiendo que

1 es la conversin de la reaccin 1 y 2 la conversin de la reaccin 2, para calcular las

conversiones de equilibrio. Haciendo uso del

mtodo de Newton Rhapson para sistemas de

ecuaciones no lineales, realice el clculo de las tres

primeras iteraciones para evaluar la convergencia

del mtodo para aproximaciones iniciales

arbitrarias en aras de solucionar el sistema de

ecuaciones resultante. Adicionalmente obtenga la

solucin aproximada mediante la implementacin

de la herramienta Solver de MsExcel para

solucionar el sistema de ecuaciones resultante.