Métodos Numéricos - Cap 3: Solución de Ecuaciónes no Lineales 8/10/2018
1
Solución de Sistemas de Ecuaciones
Unidad 4
Métodos Numéricos – 2do Cuatrimestre de 2018
Unidad 4 – Solución de Sistemas de Ecuaciones
• Un número 𝛼 se dice raíz o cero de la ecuación f(x) si f () = 0 .
• Los métodos numéricos para encontrar una raíz de una ecuación f(x), generarán una sucesión 𝑥𝑛 con𝑛 = 1,2,3, … tal que lim
𝑛→∞𝑥𝑛 = 𝛼.
• El sistema de ecuaciones está formado por un conjunto de ecuaciones del tipo 𝑓𝑖 𝑥1, 𝑥2 , … , 𝑥𝑚 , con𝑖 = 1,2, … ,𝑚.
𝐹 = 𝑓1, 𝑓2, … , 𝑓𝑚
𝑋 = 𝑥1 , 𝑥2, … , 𝑥𝑚
• Un vector 𝐴 = 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑚 se dice solución de un sistema de ecuaciones 𝐹 𝑋 si 𝐹 𝐴 = 0.
• Los métodos numéricos para encontrar la solución de un sistema de ecuaciones 𝐹 𝑋 generarán unasucesión 𝑋𝑛 , 𝑛 = 1,2,3, … tal que lim
𝑛→∞𝑋𝑛 = 𝐴.
Métodos Numéricos – 2do Cuatrimestre de 2018
Representación matricial para sistemas de ecuaciones
Métodos Numéricos – 2do Cuatrimestre de 2018
Criterios de aproximación para sistemas de ecuaciones
1er Criterio:
Dado un número 휀1 > 0 y adecuadamente pequeño,que llamaremos tolerancia, podemos escoger comoaproximación a la raíz 𝛼 a un término 𝑥𝑛 de lasucesión mencionada, donde 𝑛 es el menor enteropositivo que satisface:
𝑓 𝑥𝑛 < 휀1
2do Criterio:
Sea lim𝑛→∞
𝑥𝑛 = 𝛼 entonces dado 휀2 > 0 ,
adecuadamente pequeño, ∃𝑛 tal que 𝑥𝑛 − 𝛼 <휀2.
El término 𝑥𝑛 de la sucesión mencionada puede serconsiderado una aproximación a la raíz, donde 𝑛 esel menor entero positivo que cumple la condición:
𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1 < 휀2
En sistemas
Para una ecuación
Unidad 4 – Solución de Sistemas de Ecuaciones
𝐹 = 𝑓1, 𝑓2, … , 𝑓𝑚 𝑋 = 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑚
𝐹 𝑋 < 휀1 𝑋𝑛 − 𝑋𝑛−1 < 휀2
Unidad 4 – Solución de Sistemas de Ecuaciones
Métodos Numéricos – 2do Cuatrimestre de 2018
Normas vectoriales
Una norma vectorial es una función ∙ : ℝ𝑛 → ℝ / 𝑋 → 𝑋 ,
y satisfice que ∀𝑋, 𝑌 ∈ ℝ𝑛, ∀𝛼 ∈ ℝ:
i. 𝑋 ≥ 0, 𝑋 = 0 ⇒ 𝑋 = 0
ii. 𝛼𝑋 = 𝛼 𝑋
iii. 𝑋 + 𝑌 ≤ 𝑋 + 𝑌
• Distancia asociada con la norma euclidiana: 𝑋 − 𝑌 2 = σ𝑖=1𝑛 𝑥𝑖 − 𝑦𝑖
2
• Distancia asociada con la norma suma: 𝑋 − 𝑌 1 = σ𝑖=1𝑛 𝑥𝑖 − 𝑦𝑖
• Distancia asociada con la norma del máximo: 𝑋 − 𝑌 ∞ = max1≤𝑖≤𝑛
𝑥𝑖 − 𝑦𝑖
• Norma euclidiana (o norma 2):
𝑋 2 =
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖2
• Norma suma (o norma 1):
𝑋 1 =
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖
• Norma del máximo (o norma ∞):𝑋 ∞ = max
1≤𝑖≤𝑛𝑥𝑖
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2
Unidad 4 – Solución de Sistemas de Ecuaciones
Métodos Numéricos – 2do Cuatrimestre de 2018
Norma matricial inducida por la correspondiente norma vectorial ∙ :
𝐴 = max𝑋≠0
𝐴𝑋
𝑋𝐴 ∈ ℝ𝑚×𝑛
Entonces:
• 𝐴 2 = max𝑋≠0
𝐴𝑋 2
𝑋 2
• 𝐴 1 = max𝑋≠0
𝐴𝑋 1
𝑋 1.
Si 𝑋 1 = 1, 𝐴 1 = max1≤𝑗≤𝑛
σ𝑖=1𝑛 𝑎𝑖𝑗 norm(A,1)
• 𝐴 ∞ = max𝑋≠0
𝐴𝑋 ∞
𝑋 ∞
Si 𝑋 ∞ = 1, 𝐴 ∞ = max1≤𝑖≤𝑛
σ𝑗=1𝑛 𝑎𝑖𝑗 norm(A,inf)
Normas matriciales
Una norma matricial es una función
∙ : ℝ𝑚×𝑛 → ℝ / 𝑋 → 𝑋 , y
satisfice que ∀𝑋, 𝑌 ∈ ℝ𝑚×𝑛, ∀𝛼 ∈ ℝ:
i. 𝑋 ≥ 0, 𝑋 ≥ 0 ⇒ 𝑋 = 0
ii. 𝛼𝑋 = 𝛼 𝑋
iii. 𝑋 + 𝑌 ≤ 𝑋 + 𝑌
Si 𝑚 = 𝑛: 𝑋 𝑌 ≤ 𝑋 𝑌
Unidad 4 – Solución de Sistemas de Ecuaciones
Métodos Numéricos – 2do Cuatrimestre de 2018
Para resolver sistemas de ecuaciones no lineales, se pueden aplicar los métodos abiertos aplicados a la resolución de ecuaciones no lineales:
• Punto fijo
• Newton-Raphson
siendo necesario hacer una transformación a variables vectorizadas.
Sistema de ecuaciones no lineales
Unidad 4 – Solución de Sistemas de Ecuaciones
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Método de punto fijo: Para resolución de ecuaciones teníamos: 𝑓 𝑥 = 0, 𝑥 = 𝑔 𝑥
Para sistemas de ecuaciones no lineales: Sean 𝐹 = 𝑓1, 𝑓2, … , 𝑓𝑛 y 𝑋 = 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 .
𝐺 = 𝑔1, 𝑔2, … , 𝑔𝑛 donde: 𝑥1 = 𝑔1 𝑋 , 𝑥2 = 𝑔2 𝑋 , ..., 𝑥𝑛 = 𝑔𝑛 𝑋
𝐹 𝑋 = 0, 𝑋 = 𝐺 𝑋 ⇒ 𝑋 𝑘+1 = 𝐺 𝑋 𝑘
Condición de convergencia para resolución de ecuaciones: 𝑔′ 𝑥 < 1. Sabemos que: 𝛼 − 𝑥𝑛 ≤𝐾𝑛
1−𝐾𝑥1 − 𝑥0
Para sistemas de ecuaciones no lineales:
𝜕𝑔1
𝜕𝑥1+
𝜕𝑔1
𝜕𝑥2+⋯+
𝜕𝑔1
𝜕𝑥𝑛≤ 𝐾1 < 1
𝜕𝑔2
𝜕𝑥1+
𝜕𝑔2
𝜕𝑥2+⋯+
𝜕𝑔2
𝜕𝑥𝑛≤ 𝐾2 < 1 ….
En general, existe un único punto fijo, si: 𝜕𝑔𝑖
𝜕𝑥𝑗≤
𝐾
𝑛para 0 ≤ 𝐾 < 1, y 𝐴 − 𝑋 𝑛
∞≤
𝐾𝑛
1−𝐾𝑋 1 − 𝑋 0
∞
Sistema de ecuaciones no lineales
Unidad 4 – Solución de Sistemas de Ecuaciones
Métodos Numéricos – 2do Cuatrimestre de 2018
Para resolución de ecuaciones: Además, si 𝑔′ 𝑥 existe para todo 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 y 𝑔′ 𝑥 ≤ 𝐾 < 1 para todo 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 , 𝐾 constante, entonces 𝑔 𝑥 tiene un único punto fijo 𝛼 en 𝑎, 𝑏 .
Para resolución de ecuaciones: Si 𝑔 𝑥 es una función continua en 𝑎, 𝑏 y 𝑔 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 para todo 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 ,entonces 𝑔 𝑥 tiene por lo menos un punto fijo en 𝑎, 𝑏 .
Para resolución de sistemas: Si 𝐷 = 𝑥1, 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ∈ ℝ𝑛 ∕ 𝑎𝑖 ≤ 𝑥𝑖 ≤ 𝑏𝑖, 𝑖 = 1, … , 𝑛 , 𝑔𝑖 𝑋 continuas y𝐺 𝑋 ∈ 𝐷 para todo 𝑋 ∈ 𝐷, entonces 𝐺 𝑋 tiene por lo menos un punto fijo en 𝐷.
Para resolución de sistemas: Además, si existen las derivadas parciales𝜕𝑔𝑖 𝑋
𝜕𝑥𝑗continuas en 𝐷 y para todo 𝑋 ∈ 𝐷
𝜕𝑔𝑖 𝑋
𝜕𝑥𝑗≤
𝐾
𝑛entonces 𝐺 𝑋 tiene un único punto fijo en D .
Teorema del punto fijo para sistemas de ecuaciones
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Unidad 4 – Solución de Sistemas de Ecuaciones
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Ejemplo 1
൝𝑥2 + 𝑦2 − 1 = 0
𝑥2 − 𝑦2 − 1 = 0
𝑥2 + 𝑦2 − 1 𝑥2 − 𝑦2 − 1
Unidad 4 – Solución de Sistemas de Ecuaciones
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no converge
Ejemplo 1: Punto Fijo
Si 𝐷 = 𝑥1, 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ∈ ℝ𝑛 ∕ 𝑎𝑖 ≤ 𝑥𝑖 ≤ 𝑏𝑖, 𝑖 = 1,… , 𝑛 , 𝑔𝑖 𝑋 continuas y 𝐺 𝑋 ∈ 𝐷 para todo 𝑋 ∈ 𝐷 ,entonces 𝐺 𝑋 tiene por lo menos un punto fijo en 𝐷.
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5sqrt(-y2+1)
y
𝑓1 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 + 𝑦2 − 1
𝑔1 𝑥, 𝑦 = 𝑥 = −𝑦2 + 1
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
x
sqrt(x2-1)
𝑓2 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 − 𝑦2 − 1
𝑔2 𝑥, 𝑦 = 𝑦 = 𝑥2 − 1
𝐺 = −𝑦2 + 1, 𝑥2 − 1
𝑋 = 𝑥, 𝑦 𝐷 = −1.5,1.5𝐺 ∉ ℝ para todo 𝑋 ∈ 𝐷
Opción A:
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no converge
Ejemplo 1: Punto Fijo
Si 𝐷 = 𝑥1, 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ∈ ℝ𝑛 ∕ 𝑎𝑖 ≤ 𝑥𝑖 ≤ 𝑏𝑖, 𝑖 = 1,… , 𝑛 , 𝑔𝑖 𝑋 continuas y 𝐺 𝑋 ∈ 𝐷 para todo 𝑋 ∈ 𝐷 ,entonces 𝐺 𝑋 tiene por lo menos un punto fijo en 𝐷.
𝐺 = −𝑥2 + 1, 𝑦2 + 1
𝑋 = 𝑥, 𝑦 𝐷 = −1.5,1.5𝐺 ∉ ℝ para todo 𝑋 ∈ 𝐷
𝑓1 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 + 𝑦2 − 1
𝑔1 𝑥, 𝑦 = 𝑦 = −𝑥2 + 1
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
x
sqrt(-x2+1)
𝑓2 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 − 𝑦2 − 1
𝑔2 𝑥, 𝑦 = 𝑥 = 𝑦2 + 1
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
y
sqrt(y2+1)
Opción B:
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dg1/dy = diff('sqrt(-y^2+1)','y')dg1/dy = -1/(-y^2+1)^(1/2)*y
dg1/dx = diff('sqrt(-y^2+1)',‘x')dg1/dx = 0
Analizando en -1.5≤ x,y ≤1.5dg1/dy + dg1/dx n en [-1,1]dg1/dy + dg1/dx < 1 en [-0.7,0.7]
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-15
-10
-5
0
5
10
15
dg2/dx = diff('sqrt(x^2-1)','x')dg2/dx = 1/(x^2-1)^(1/2)*x
dg2/dy = diff('sqrt(x^2-1)',‘y')dg2/dy= 0
Analizando en -1.5≤ x,y ≤1.5dg2/dy + dg2/dx n en [-1,1]dg2/dy + dg2/dx > 1 en [-1.5,-1] y [1,1.5]
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
no converge
Ejemplo 1: Punto Fijo
Opción A: ൝𝑥2 + 𝑦2 − 1 = 0
𝑥2 − 𝑦2 − 1 = 0⇒
𝑓1 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 + 𝑦2 − 1
𝑓2 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 − 𝑦2 − 1𝐹 =
𝑥2 + 𝑦2 − 1
𝑥2 − 𝑦2 − 1𝑋 = 𝑥 𝑦
൝𝑓1 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 + 𝑦2 − 1 = 0
𝑓2 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 − 𝑦2 − 1 = 0⇒ ቐ
𝑔1 𝑥, 𝑦 = 𝑥 = −𝑦2 + 1
𝑔2 𝑥, 𝑦 = 𝑦 = 𝑥2 − 1⇒ 𝐺 = −𝑦2 + 1, 𝑥2 − 1
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Unidad 4 – Solución de Sistemas de Ecuaciones
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dg1/dx = diff('sqrt(-x^2+1)',‘x')dg1/dx = -1/(-x^2+1)^(1/2)*x
dg1/dy = diff('sqrt(-x^2+1)',‘y')dg1/dy = 0
Analizando en -1.5≤ x,y ≤1.5dg1/dy + dg1/dx n ó >1
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-15
-10
-5
0
5
10
15
dg2/dy = diff('sqrt(y^2+1)',‘y')dg2/dy = 1/(y^2+1)^(1/2)*y
dg2/dx = diff('sqrt(y^2+1)',‘x')dg2/dx= 0
Analizando en -1.5≤ x,y ≤1.5dg2/dy + dg2/dx < 1
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
no converge
Verificar en un intervalo menor, por ej:
[-0.7,0.7]
Ejemplo 1: Punto Fijo
Opción B: ൝𝑓1 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 + 𝑦2 − 1 = 0
𝑓2 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 − 𝑦2 − 1 = 0⇒ ቐ
𝑔1 𝑥, 𝑦 = 𝑦 = −𝑥2 + 1
𝑔2 𝑥, 𝑦 = 𝑥 = 𝑦2 + 1⇒ 𝐺 = −𝑥2 + 1, 𝑦2 + 1
Unidad 4 – Solución de Sistemas de Ecuaciones
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Para 0 ≤ 𝑥, 𝑦 ≤ 1.5:
0 ≤𝑥2 + 𝑦2 + 8
10≤ 1.25 ≤ 1.5
0 ≤𝑥𝑦2 + 𝑥 + 8
10≤ 1.287 ≤ 1.5
𝐺 𝑋 ∈ 𝐷 para todo 𝑋 ∈ 𝐷 entonces 𝐺 𝑋tiene por lo menos un punto fijo en 𝐷.
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
x
y
x y2-10 y+x+8 = 0
x2-10 x+y2+8 = 0
>> ezplot('x^2-10*x+y^2+8',[-10,10])>> ezplot('x*y^2-10*y+x+8',[-10,10])
Ejemplo 2: Punto Fijo
ቐ𝑓1 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 − 10𝑥 + 𝑦2 + 8
𝑓2 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑦2 + 𝑥 − 10𝑦 + 8⇒ ൝
𝑥2 − 10𝑥 + 𝑦2 + 8 = 0
𝑥𝑦2 + 𝑥 − 10𝑦 + 8 = 0
𝑥 =𝑥2 + 𝑦2 + 8
10= 𝑔1 𝑥, 𝑦
𝑦 =𝑥𝑦2 + 𝑥 + 8
10= 𝑔2 𝑥, 𝑦
Unidad 4 – Solución de Sistemas de Ecuaciones
Métodos Numéricos – 2do Cuatrimestre de 2018
dg1/dx=diff('(x^2+y^2+8)/10','x')dg1/dx =1/5*x
dg1/dy=diff('(x^2+y^2+8)/10','y')dg1/dy =1/5*y
dg2/dx=diff('(x*y^2+x+8)/10','x')dg2/dx =1/10*y^2+1/10 =(y^2+1)/10
dg2/dy=diff('(x*y^2+x+8)/10','y')dg2/dy =1/5*x*y
Máx. para 0 ≤ x,y ≤1.5
dg1/dx = x/5 = 0.3
dg1/dy = y/5 = 0.3
dg2/dx = (y^2+1)/10 = 0.325
dg2/dy = x*y/5 = 0.45
converge
Ejemplo 2: Punto Fijo
𝜕𝑔𝑖
𝜕𝑥𝑗𝑥, 𝑦 ≤
𝐾
𝑛=
0,9
2
Unidad 4 – Solución de Sistemas de Ecuaciones
Métodos Numéricos – 2do Cuatrimestre de 2018
>> X=[0.5,0.5]
>> X=[(X(1)^2+X(2)^2+8)/10, (X(1)*X(2)^2+X(1)+8)/10]
X = 0.8500 0.8625
>> X=[(X(1)^2+X(2)^2+8)/10, (X(1)*X(2)^2+X(1)+8)/10]
X = 0.9466 0.9482
>> X=[(X(1)^2+X(2)^2+8)/10, (X(1)*X(2)^2+X(1)+8)/10]
X = 0.9795 0.9798
>> X=[(X(1)^2+X(2)^2+8)/10, (X(1)*X(2)^2+X(1)+8)/10]
X = 0.9919 0.9920
>> X=[(X(1)^2+X(2)^2+8)/10, (X(1)*X(2)^2+X(1)+8)/10]
X = 0.9968 0.9968
>> X=[(X(1)^2+X(2)^2+8)/10, (X(1)*X(2)^2+X(1)+8)/10]
X = 0.9987 0.9987
>> X=[(X(1)^2+X(2)^2+8)/10, (X(1)*X(2)^2+X(1)+8)/10]
X = 0.9995 0.9995
>> X=[(X(1)^2+X(2)^2+8)/10, (X(1)*X(2)^2+X(1)+8)/10]
X = 0.9998 0.9998
>> X=[(X(1)^2+X(2)^2+8)/10, (X(1)*X(2)^2+X(1)+8)/10]
X = 0.9999 0.9999
>> X=[(X(1)^2+X(2)^2+8)/10, (X(1)*X(2)^2+X(1)+8)/10]
X = 1.0000 1.0000
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Unidad 4 – Solución de Sistemas de Ecuaciones
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Sistema de ecuaciones no lineales
Método de Newton: Para resolución de ecuaciones teníamos: 𝑥𝑘+1 = 𝑥𝑘 −𝑓 𝑥
𝑓′ 𝑥
Para sistemas de ecuaciones no lineales: Sean 𝐹 = 𝑓1, 𝑓2, … , 𝑓𝑛 y 𝑋 = 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 .
𝐹 𝑋 = 0 ⇒ 𝑋 𝑘+1 = 𝑋 𝑘 − 𝐽−1 𝐹 𝑋 𝑘 , 𝑋 𝑘 ∗ 𝐹 𝑋 𝑘 con: 𝐽 𝐹 𝑋 𝑘 , 𝑋 𝑘 ≠ 0
donde el Jacobiano es:
𝐽 𝐹, 𝑋 =
𝜕𝑓1𝜕𝑥1
𝜕𝑓1𝜕𝑥2
𝜕𝑓2𝜕𝑥1
𝜕𝑓2𝜕𝑥2
En Matlab, el jacobiano se determina de la siguiente manera: (toolbox symbolic)syms var1 var2 .....Jacobian ([f1,f2,...],[var1,var2,.....])
Unidad 4 – Solución de Sistemas de Ecuaciones
Métodos Numéricos – 2do Cuatrimestre de 2018
−=
yx
yxJ
22
22
0.0313
1.0000
0.0625
1.0003
1250
0251
0.125
0.225
250
251
0.5
0.625
11
2020
250
251
1250251
1250251
25022512
25022512
250
251
250
251
250
750
50
50
1
50
5050
5050
50
50
1
50
11
11
50
50
15050
15050
502502
502502
50
50
50
50
43
22
221
2
1
22
221
1
0
=
=
=
−
=
=
−−
=
−−
−+
−−
=
=
−−
=
−
−
−−
=
−
−
−−
=
−−
−+
−−
=
=
−
−−
X,X,.
.
.
.
*..
.
.
..
..*
.*.*
.*.*
.
.X
.
.
.
.
.
..*
..
..
.
.
.*
.
.
..
..*
.*.*
.*.*
.
.X
.
.X
syms x yJ=Jacobian ([‘x^2+y^2-1, x^2-y^2-1’],[x,y])
Va convergiendo
Ejemplo 1: Newton
𝑋 𝑘+1 = 𝑋 𝑘 − 𝐽−1 𝐹 𝑋 𝑘 , 𝑋 𝑘 ∗ 𝐹 𝑋 𝑘
𝑋 = 𝑥 𝑦൝𝑥2 + 𝑦2 − 1 = 0
𝑥2 − 𝑦2 − 1 = 0⇒
𝑓1 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 + 𝑦2 − 1
𝑓2 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 − 𝑦2 − 1
=
−
−−
=
=
−
−−
=
=
−
−−
=
+−+
++−
−+
−−
=
=
−
−−
0001
0001
01030
00720
0058899681
9968100268
99840
99870
99840
99870
37310
38440
2387888201
8783112468
93920
93770
93920
93770
6253
53
59251
19
50
50
85010505050
850501050
1050502150
50210502
50
50
50
50
1
3
2
1
2
221
21
0
.
.
.
.*
..
..
.
.X
.
.
.
.*
..
..
.
.X
.
.
.
.*
...
.
.*..*.
..*.*
.*.*.
.*.*
.
.X
.
.X
Unidad 4 – Solución de Sistemas de Ecuaciones
Métodos Numéricos – 2do Cuatrimestre de 2018
=+−+=
=++−=
0810
08102
2
22
1
yxxy)y,x(f
yxx)y,x(f
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
x
y
x y2-10 y+x+8 = 0
x2-10 x+y2+8 = 0
−+=
1021y
2y10-2x 2 xy
J
−
=
−
+
+
)y,x(f
)y,x(f
y
x,
)y,x(f
)y,x(fJ
y
x
y
x
kk
kk
k
k
kk
kk
k
k
k
k
2
1
1
2
1
1
1Ejemplo 2: Newton
Unidad 4 – Solución de Sistemas de Ecuaciones
Métodos Numéricos – 2do Cuatrimestre de 2018
syms x y>>F=[x^2-10*x+y^2+8;x*y^2-10*y+x+8]F =x^2-10*x+y^2+8x*y^2-10*y+x+8>> X=[x;y]X =xy
>> N=X-jacobian(F)\F % o N=X-F/jacobian(F)‘ con F y X vector filaN =x-(-40+5*y^2+7*x*y-8*y-10*x^2*y+x^3*y+50*x-5*x^2)/(-y^3-y+2*x^2*y-10*x*y-10*x+50)y-1/2*(-88+x^2-20*x*y+100*y+16*x-9*y^2+y^2*x^2-y^4)/(-y^3-y+2*x^2*y-10*x*y-10*x+50)
Ejemplo 2: Newton – Empleando Matlab
>>X=subs(N,[x;y],[0.5;0.5])X =
0.93770.9392
>> X=subs(N,[x;y],X)X =
0.99870.9984
>> X=subs(N,[x;y],X)X =
1.00001.0000
Métodos Numéricos - Cap 3: Solución de Ecuaciónes no Lineales 8/10/2018
6
Unidad 4 – Solución de Sistemas de Ecuaciones
Métodos Numéricos – 2do Cuatrimestre de 2018
=
+
=+=
=
+−+
++−−=
−+
−
+++
+
93920
93770
50
50
43920
43770
43920
43770
85010505050
850501050
1050502150
50210502
111
2
22
12
.
.
.
.
.
.XZX,
.
.Z
.*..*.
..*.Z*
.*.*.
.*.*
kkkk
k
Xk+1 = Xk – J-1 (F(xk), xk) * F(xk) Xk+1 - Xk = – J-1 (F(xk), xk) * F(xk)
J (F(xk), xk) *(Xk+1 - Xk ) = –F(xk)
Si Zk+1 = (Xk+1 - Xk ) J (F(xk), xk) *Zk+1 = –F(xk) con |Zk+1|<
=+−+=
=++−=
0810
08102
2
22
1
yxxy)y,x(f
yxx)y,x(f
−+=
1021y
2y10-2x 2 xy
J
=
50
500
.
.X
Se evita invertir el Jacobiano en cada iteración
Método de Newton Simplificado – Ejemplo 2
Unidad 4 – Solución de Sistemas de Ecuaciones
Métodos Numéricos – 2do Cuatrimestre de 2018
• No es fácil encontrar buenos valores iniciales.Conocer el problema.
• No es posible graficar superficies multidimensionales (n>2).Reducción de ecuaciones.Partición del sistema de ecuaciones.
Dificultades en la solución de sistemas de ecuaciones no lineales
Unidad 4 – Solución de Sistemas de Ecuaciones
Métodos Numéricos – 2do Cuatrimestre de 2018
Solución numérica de sistemas de ecuaciones lineales
Un sistema de 𝑛 ecuaciones, con coeficientes reales en las 𝑛-incógnitas 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 se dice que es un sistemalineal si es de la forma:
𝐹 𝑋 =
𝑓1 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 = 0
𝑓2 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 = 0⋮
𝑓𝑛 𝑥1, 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 = 0
con 𝑓𝑖 𝑥1, 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 = 𝑎𝑖1𝑥1 + 𝑎𝑖2𝑥2 +⋯+ 𝑎𝑖𝑛𝑥𝑛 − 𝑏𝑖 donde 𝑎𝑖𝑗 ∈ ℝ y 𝑏𝑖 ∈ ℝ son contantes, ∀𝑖, 𝑗 = 1,… , 𝑛.
Si 𝑋 = 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 , 𝐹 𝑋 = 0 y 𝑋 ∈ ℝ𝑛 entonces 𝑋 es una solución real del sistema.
Un sistema de 𝑛 ecuaciones lineales puede escribirse de la forma:
𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 +⋯+ 𝑎1𝑛𝑥𝑛 − 𝑏1 = 0𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 +⋯+ 𝑎2𝑛𝑥𝑛 − 𝑏2 = 0
⋮𝑎𝑛1𝑥1 + 𝑎𝑛2𝑥2 +⋯+ 𝑎𝑛𝑛𝑥𝑛 − 𝑏𝑛 = 0
con 𝑎𝑖𝑗 ∈ ℝ y 𝑏𝑖 ∈ ℝ, ∀𝑖, 𝑗 = 1,… , 𝑛.
ó en la forma matricial equivalente 𝐴𝑋 = 𝑏 con:
𝐴 =
𝑎11 𝑎12⋯ 𝑎1𝑛𝑎21 𝑎22⋯ 𝑎2𝑛⋮𝑎𝑛1
⋮𝑎𝑛2⋯
⋮𝑎𝑛𝑛
, 𝑋 =
𝑥1𝑥2⋮𝑥𝑛
, 𝑏 =
𝑏1𝑏2⋮𝑏𝑛
𝐴 es la matriz de coeficientes del sistema, el vector columna 𝑋 es el vector de incógnitas y 𝑏 es el vector de términos independientes.
Unidad 4 – Solución de Sistemas de Ecuaciones
Métodos Numéricos – 2do Cuatrimestre de 2018
Consideraremos únicamente sistemas de ecuaciones lineales 𝐴𝑋 = 𝑏 con 𝐴 ∈ ℝ𝑛×𝑛 que tengan solución única para cada vector 𝑏 ∈ ℝ𝑛, es decir, con 𝐴 invertible ⇒ 𝑋 = 𝐴−1𝑏.
Matlab introduce una notación particular implementando los operadores \ y /. La solución a un sistema es expresada como:
X=A\b (con b vector columna) equivalente a inv(A)*b.óX=b/A (con b vector fila) equivalente a b*inv(A).
Emplea eliminación Gaussiana
Sistemas con solución única
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Unidad 4 – Solución de Sistemas de Ecuaciones
Métodos Numéricos – 2do Cuatrimestre de 2018
Se anula el determinante, matriz singular, no inversible.En Matlab:det(A)ans = 0
Si det → 0 , no implica que la matriz → singular, puede depender de los coeficientes de la matriz
X=b/AWarning: Matrix is singular toworking precision.X = Inf Inf Inf
Sistemas sin solución única
Unidad 4 – Solución de Sistemas de Ecuaciones
Métodos Numéricos – 2do Cuatrimestre de 2018
Métodos directos
Los métodos directos nos proporcionan una solución del sistema en un número finito de pasos.
Si usamos aritmética finita para los cálculos, obtendremos por lo general una solución aproximada,debido únicamente a los errores de redondeo, puesto que no hay errores de truncamiento o de fórmula.
Los métodos directos más usados tienen como base la eliminación de Gauss.
Unidad 4 – Solución de Sistemas de Ecuaciones
Métodos Numéricos – 2do Cuatrimestre de 2018
Sustitución
Si la matriz A es triangular (superior o inferior) con todas sus componentes sobre la diagonal principal no-nulas.
Como 𝑎𝑛𝑛 ≠ 0, se puede despejar 𝑥𝑛 de la última ecuación y obtenemos:
Este método se denomina sustitución regresiva o hacia atrás. (Aproximadamente n2+n operaciones)
Si A es triangular inferior, se despeja 𝑥1 de la primera ecuación. En este caso se denomina sustituciónprogresiva o hacia adelante.
𝑎11 𝑎12 𝑎12 ⋯ 𝑎1𝑛0 𝑎22 𝑎12 ⋯ 𝑎2𝑛0⋮0
0 𝑎33 ⋯⋮
0 0 ⋯
𝑎3𝑛⋮
𝑎𝑛𝑛
𝑥1𝑥2𝑥3⋮𝑥𝑛
=
𝑏1𝑏2𝑏3⋮𝑏𝑛 𝑥𝑛 =
𝑏𝑛𝑎𝑛𝑛
𝑥𝑚 =𝑏𝑚 −σ𝑘=𝑚+1
𝑛 𝑎𝑚𝑘𝑥𝑘𝑎𝑚𝑚
𝑚 = 𝑛 − 1,… , 1
Unidad 4 – Solución de Sistemas de Ecuaciones
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Transformaciones elementales
Cualquiera de las siguientes operaciones aplicadas a la matriz ampliada produce un sistemas lineal equivalente:
• Intercambio: En el orden de las ecuaciones (filas), no altera el resultado. En el orden de las variables(columnas), altera el orden de las variables en el resultado.
• Escalado: Producto de la ecuación por constante no nula
• Sustitución: Suma de la ecuación más múltiplo de otra ecuación: 𝐸𝑟(1)
= 𝐸𝑟 + 𝑐 ∗ 𝐸𝑞
Matriz ampliada: ȁ𝐴 𝐵 =
𝑎11 𝑎12⋯ 𝑎1𝑛 𝑏1𝑎21 𝑎22⋯ 𝑎2𝑛 𝑏2⋮
𝑎𝑛1
⋮𝑎𝑛2⋯
⋮𝑎𝑛𝑛 𝑏𝑛
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Unidad 4 – Solución de Sistemas de Ecuaciones
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Eliminación de Gauss
Si la matriz 𝐴 no es triangular, puede convertirse mediante el método de eliminación Gaussiana. El sistema 𝐴𝑋 = 𝐵 tiene la forma:
𝐸1:𝐸2:𝐸3:⋮𝐸𝑛:
𝑎11 𝑎12 𝑎12 ⋯ 𝑎1𝑛𝑎21 𝑎22 𝑎12 ⋯ 𝑎2𝑛𝑎31⋮
𝑎𝑛1
𝑎32 𝑎33 ⋯⋮
𝑎𝑛2 𝑎𝑛3 ⋯
𝑎3𝑛⋮
𝑎𝑛𝑛
𝑥1𝑥2𝑥3⋮𝑥𝑛
=
𝑏1𝑏2𝑏3⋮𝑏𝑛
Se elimina el coeficiente de 𝑥1 en cada una de las ecuaciones 𝐸2, 𝐸3, … , 𝐸𝑛 para obtener un sistema equivalente
𝐴(1)𝑋 = 𝐵(1), realizando las transformaciones elementales:
𝐸1(1):
𝐸2(1):
𝐸3(1):
⋮
𝐸𝑛(1):
𝑎11 𝑎12 𝑎12 ⋯ 𝑎1𝑛0 𝑎22 𝑎12 ⋯ 𝑎2𝑛0⋮0
0 𝑎33 ⋯⋮
0 0 ⋯
𝑎3𝑛⋮
𝑎𝑛𝑛
𝑥1𝑥2𝑥3⋮𝑥𝑛
=
𝑏1𝑏2𝑏3⋮𝑏𝑛
𝐸𝑖 −𝑎𝑖1
𝑎11𝐸1 → 𝐸𝑖
(1)𝑖 = 2,3, … , 𝑛
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Pivoteo
Si algún 𝑎𝑗𝑗 = 0 se deben intercambiar filas, si 𝑎𝑗𝑗 → 0 el intercambio de filas disminuye el error.
Operaciones aproximadas: 2
3𝑛3 +
5
2𝑛2 −
1
6𝑛
Ejemplo:
𝐸1: 10𝑥1 − 7𝑥2 = 7𝐸2: −3𝑥1 + 2𝑥2 + 6𝑥3 = 4𝐸3: 5𝑥1 − 𝑥2 + 5𝑥3 = 6
Luego se elimina el coeficiente de 𝑥2 en las ecuaciones 𝐸3, 𝐸4, … , 𝐸𝑛 y así sucesivamente hasta eliminar elcoeficiente de 𝑥𝑛−1. En general:
n,...,ji,EEa
aE j
i
)j(
j)j(
jj
)j(
ijj
i 11
1
1
1 +=→
− −
−
−
−
pivote
multiplicador
Matriz ampliada: ȁ𝐴 𝐵 =10 −7 0 7−35
2 6 4−1 5 6
Unidad 4 – Solución de Sistemas de Ecuaciones
Métodos Numéricos – 2do Cuatrimestre de 2018
E1*(5/10)E3E3
E1*3/10)(E2E2
2.5
6.1
7
52.50
60.10
0710
E3
E2
E1
(1)
(1)
(1)
(1)
(1)
−=
−−=
−
−
El coeficiente 10 de 𝑥1 es el pivote –0.3 y 0.5 los multiplicadores
−
−
−
6
4
7
515
623
0710
3E
2E
1E
Ejemplo – Continuación:
Matriz ampliada:n,...,ji,EE
a
aE j
i
)j(
j)j(
jj
)j(
ijj
i 11
1
1
1 +=→
− −
−
−
−
pivote
multiplicador
(1)(1)(2)(2)
(2)
(2)
E2*0.1)(2.5/E3E3155
6.1
7
15500
60.10
0710
E3
E2
E1
−−=
−
−
El propósito de las estrategias de pivoteo parareducir errores es usar como “pivote” elelemento de mayor magnitud y, una vezcolocado en la diagonal principal, usarlo paraeliminar los restantes elementos de su columna(los que están por debajo de él).
Unidad 4 – Solución de Sistemas de Ecuaciones
Métodos Numéricos – 2do Cuatrimestre de 2018
E1*(5/10)E3E3
E1*3/10)(E2E2
2.5
6.1
7
52.50
60.10
0710
E3
E2
E1
(1)
(1)
(1)
(1)
(1)
−=
−−=
−
−
El coeficiente 10 de 𝑥1 es el pivote –0.3 y 0.5 los multiplicadores
−
−
−
6
4
7
515
623
0710
3E
2E
1E
Ejemplo – Continuación:
Matriz ampliada:n,...,ji,EE
a
aE j
i
)j(
j)j(
jj
)j(
ijj
i 11
1
1
1 +=→
− −
−
−
−
pivote
multiplicador
6.2*x3 = 6.2 x3 = 1. 2.5*x2 + (5)*(1) = 2.5 x2 = -1. 10*x1 + (-7)*(-1) = 7 x1 = 0.
'3E*)5.2/1.0('2E'2E2.6
5.2
7
2.600
55.20
0710
'2E
'3E
'1E
1.6
5.2
7
61.00
55.20
0710
'2E
'3E
'1E
)1()1()2()2(
)2(
)2(
)1(
)1(
)1(
−−=
−
−
−
Intercambio de filas
Pivote 2.5Multiplicador –0.04
Pivote 6.2
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9
Unidad 4 – Solución de Sistemas de Ecuaciones
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Factorización LU
L contiene los multiplicadores utilizados en la eliminación,U la matriz final de coeficientes y P describe las permutaciones.LU = PA
AX = 𝒃𝟏 PAX = P 𝒃𝟏 LUX = P 𝒃𝟏 UX = L- 1 P 𝒃𝟏 = c Lc = P 𝒃𝟏
Los pasos a seguir son:Paso 1. Calcular P 𝒃𝟏 .Paso 2. Resolver c, en Lc = P𝒃𝟏 por sustitución progresiva.Paso 3. Resolver X, en UX = c por sustitución regresiva.
=
−
=
−−
=
010
100
001
2600
5520
0710
104030
0150
001
P,
.
.U,
..
.LMultiplicadores
Pivotes
Siendo 𝒃𝟏 un nuevo término independiente
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Ejemplo: LU
=
−
=
−−
=
010
100
001
2600
5520
0710
104030
0150
001
P,
.
.U,
..
.L
1er Ejemplo
−
−
−
6
4
7
515
623
0710
3E
2E
1E
2do Ejemplo con términos independientes cambiados
−
−
−
5
6
9
515
623
0710
3E
2E
1E
Lc=Pb, UX = c
−
−
=
=
−=
−=
=
−
=
++=
−=
=
=
−−
41.1
62.2
93.0
2.6/72.8
5.2/)41.1*55.0(
10/)62.2*79(
,
72.8
50.0
00.9
*
2.600
55.20
0710
72.8
50.0
00.9
5*04.09*3.06c
9*5.05
9
,
6
5
9
*
0.104.03.0
00.15.0
000.1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
*
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
c
c
c
c
c
c
c
c
cXU
cbPcL
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Métodos Numéricos – 2do Cuatrimestre de 2018
Otras posibilidades a partir del método de eliminación de Gauss
• Eliminación de Jordan: Se genera una matriz diagonal para eliminar la sustitución. Se eliminan elementos arribay abajo del pivote.
• Inversión de matrices: A partir de [A|B], con B matriz identidad, aplicando Jordan y escalado, se obtiene [I|B’]con B’ inversa de A.
• Determinante: A partir de la matriz triangulada det 𝐴 = −1 𝑟ς𝑎𝑖𝑖, con 𝑟 = número de intercambios de filas.
• Factorización LU: Permite reservar los parámetros de la eliminación de Gauss, para ser aplicados en la resoluciónde sistemas con igual matriz A.
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Funciones MATLAB
[L,U,P] = LU(A) Donde A puede ser una matriz rectangular
L es la matriz triangular inferior de LU con elementos 1 en la diagonalU es la matriz triangular superior de LUP es la matriz de permutaciones tal que P*A = L*U.
X=U\(L\b)
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Unidad 4 – Solución de Sistemas de Ecuaciones
Métodos Numéricos – 2do Cuatrimestre de 2018
En los métodos iterativos o indirectos se parte de una aproximación inicial a la solución del sistema dado y se genera, a partirde dicha aproximación, una sucesión de vectores 𝑋𝑛 que deberían converger a la solución del sistema.
Son métodos que progresivamente van calculando aproximaciones a la solución de un problema.
Se repite un mismo proceso de mejora sobre una solución aproximada.
Se espera que la nueva solución sea más aproximada que la solución inicial.
El proceso se repite sobre esta nueva solución hasta que el resultado más reciente satisfaga ciertos requisitos.
A diferencia de los métodos directos, en los cuales se debe terminar el proceso para tener la respuesta, en los métodositerativos se puede suspender el proceso al término de una iteración y se obtiene una aproximación a la solución.
Además de los errores de redondeo, si se usa aritmética finita, habrá errores de truncamiento o de fórmula.
Los métodos iterativos más simples y conocidos están basados en Iteraciones de Punto Fijo.
Métodos Indirectos
Objetivo: que converja a la solución del sistema de ecuaciones 𝑋 = 𝑋(∞)
Valor Inicial:Fórmulas de Iteración
𝑋(0) 𝑋(1), 𝑋(2), … , 𝑋(𝑛)
Como es imposible hacer un número infinito de iteraciones, se hace un número finito de iteraciones hasta que se cumpla cierta condición
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Sea un sistema de ecuaciones 𝐴𝑋 = 𝑏, donde 𝐴 es no-singular. Dicho sistema se puede transformar en unsistema equivalente de la forma 𝑋 = 𝐵𝑋 + 𝑐 para alguna matriz 𝐵 y algún vector 𝑐.
Método de Jacobi
Matriz de iteración de Jacobi G(X)=BX+C entonces G(X)=X
𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 +⋯+ 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 𝑏1𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 +⋯+ 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 𝑏2
⋮𝑎𝑛1𝑥1 + 𝑎𝑛2𝑥2 +⋯+ 𝑎𝑛𝑛𝑥𝑛 = 𝑏𝑛
𝑥1 =𝑏1 − 𝑎12𝑥2 −⋯− 𝑎1𝑛𝑥𝑛
𝑎11
𝑥2 =𝑏2 − 𝑎21𝑥1 −⋯− 𝑎2𝑛𝑥𝑛
𝑎22
𝑥𝑛 =𝑏𝑛 − 𝑎𝑛1𝑥1 −⋯− 𝑎𝑛𝑛−1𝑥𝑛−1
𝑎𝑛𝑛
𝑥𝑖 =𝑗=1𝑗≠𝑖
𝑛
−𝑎𝑖𝑗𝑎𝑖𝑖
𝑥𝑗 +𝑏𝑖𝑎𝑖𝑖
Sea:
𝐵𝑖𝑗 =
−𝑎𝑖𝑗
𝑎𝑖𝑖𝑖 ≠ 𝑗
0 𝑖 = 𝑗
y 𝑐𝑖 =𝑏𝑖
𝑎𝑖𝑖
𝑋 = 𝐵𝑋 + 𝑐
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Fórmula de iteración del Método de Jacobi
Se construye la sucesión de vectores 𝑋(𝑘)𝑘
a partir de la fórmula de iteración 𝑋(𝑘+1) = 𝐺 𝑋(𝑘) = 𝐵𝑋(𝑘) + 𝑐 y se espera
que converja a la única solución 𝑋 del sistema.
𝑥𝑖(𝑘+1)
=
𝑏𝑖 −σ𝑗=1𝑗≠𝑖
𝑛 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗(𝑘)
𝑎𝑖𝑖
Criterios de aproximación:
i) 𝑅(𝑘+1) = 𝐴𝑋(𝑘+1) − 𝑏 < 휀
ii) 𝑋(𝑘+1) − 𝑋(𝑘) < 휀
iii) 𝑋(𝑘+1)−𝑋(𝑘)
𝑋(𝑘)< 휀
Cotas para error de truncamiento:
i) 𝑋 − 𝑋(𝑘) ≤ 𝐵 𝑘 𝑋 − 𝑋 0 , 𝑘 ≥ 1
ii) 𝑋 − 𝑋(𝑘) ≤𝐵 𝑘
1− 𝐵𝑋 1 − 𝑋 0 , 𝑘 ≥ 1, 𝐵 < 1
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Convergencia del Método de Jacobi
Definición: Una matriz 𝐴 es Estrictamente Diagonal Dominante (EDD) satisface: 𝑎𝑖𝑖 > σ𝑗=1𝑗≠𝑖
𝑛 𝑎𝑖𝑗
Sea un sistema de ecuaciones 𝐴𝑋 = 𝑏, si 𝐴 es EDD entonces el método de Jacobi CONVERGE a una única solución.
𝑑𝑒𝑡 𝐵 − 𝜆𝐼 = Ecuación Característica de B
𝜌 𝐵 = 𝑚𝑎𝑥 𝑟𝑎í𝑐𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑎𝑟𝑎𝑐𝑡𝑒𝑟í𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎
𝜌 𝐵 < 1
𝜌 𝐵 ≥ 1 DIVERGE
CONVERGE
𝑋(𝑘+1) = 𝐵𝑋(𝑘) + 𝑐
𝐵 < 1 CONVERGE
𝐵 ≥ 1 No se puede asegurar la convergencia
Radio Espectral 𝜌 𝐵
Si 𝐴 es EDD entonces 𝐵 < 1 𝐵 depende de la reubicación de las filas
Métodos Numéricos - Cap 3: Solución de Ecuaciónes no Lineales 8/10/2018
11
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Sea el sistema equivalente de la forma 𝑋 = 𝐵𝑋 + 𝑐:
𝑥1𝑥2𝑥3
=0 −7 32 0 8−5 2 0
𝑥1𝑥2𝑥3
+2−13
𝐵 − 𝜆𝐼 =−𝜆 −7 32 −𝜆 8−5 2 −𝜆
𝑑𝑒𝑡 𝐵 − 𝜆𝐼 = −𝜆 𝜆2 − 16 + 7 −2𝜆 + 40 + 3 4− 5𝜆 = −𝜆3 − 13𝜆 + 292
𝜌 𝐵 = max 5.983430269 , −2,991715 + 6,312771𝑖 , −2,991715 − 6,312771𝑖
El Método de Jacobi NO CONVERGE
ቐ
−𝑥1 − 7𝑥2 + 3𝑥3 = −22𝑥1 − 𝑥2 + 8𝑥3 = 15𝑥1 − 2𝑥2 + 𝑥3 = 3
−1 −7 32 −1 85 −2 1
𝑥1𝑥2𝑥3
=−213
𝐴
Forma matricial:
Se analiza si la matriz 𝐴 es EDD:
𝐴 =−1 −7 32 −1 85 −2 1
−1 ≯ −7 + 3
−1 ≯ 2 + 8
1 ≯ 5 + −2
𝐴 NO ES EDDNo se puede asegurar la convergencia. Se debe
analizar el radio espectral
Método de Jacobi - Ejemplo 1
𝜌 𝐵 = max 5.983430269 , 6.985802 = 6,985802 ≥ 1
Unidad 4 – Solución de Sistemas de Ecuaciones
Métodos Numéricos – 2do Cuatrimestre de 2018
ቐ
−𝑥1 − 7𝑥2 + 3𝑥3 = −22𝑥1 − 𝑥2 + 8𝑥3 = 15𝑥1 − 2𝑥2 + 𝑥3 = 3
𝐴 NO ES EDD𝐴 =−1 −7 32 −1 85 −2 1
Intercambiando las filas obtenemos una matriz EDD:
𝑥1𝑥2𝑥3
=
02
5−1
5
−1
70
3
7
−1
4
1
80
𝑥1𝑥2𝑥3
+
3
52
71
8
𝐵 ∞ = 𝑚𝑎𝑥3
5,4
7,3
8=3
5< 1
De acuerdo al análisis de convergencia, el método iterativo de Jacobi converge a una única solución, cualquiera sea la
aproximación inicial 𝑋(0).
ቐ5𝑥1 − 2𝑥2 + 𝑥3 = 3
−𝑥1 − 7𝑥2 + 3𝑥3 = −22𝑥1 − 𝑥2 + 8𝑥3 = 1
𝐴 ES EDD ⇒ CONVERGE5 −2 1−1 −7 32 −1 8
Sea el sistema equivalente de la forma 𝑋 = 𝐵𝑋 + 𝑐:
Método de Jacobi - Ejemplo 1
Unidad 4 – Solución de Sistemas de Ecuaciones
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Iterando con el método de Jacobi 𝑋(𝑘+1) = 𝐵𝑋(𝑘) + 𝑐, tomando como aproximación inicial 𝑋(0) = 0,0,0 ′ y usando como
criterio de aproximación 𝑋(𝑘) − 𝑋(𝑘−1) < 10−5, obtenemos:
𝑥1(𝑘+1)
𝑥2(𝑘+1)
𝑥3(𝑘+1)
=
02
5−1
5
−1
70
3
7
−1
4
1
80
𝑥1(𝑘)
𝑥2(𝑘)
𝑥3(𝑘)
+
3
52
71
8
𝒌 𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 Error
0 0 0 0
1 0.6 0.28571 0.125 0.67621
2 0.68928 0.25357 0.01071 0.14855
3 0.69929 0.19184 -0.01563 0.06786
4 0.67986 0.17912 -0.02584 0.02537
5 0.67682 0.17752 -0.02257 0.00474
6 0.67552 0.17935 -0.02201 0.00231
𝒌 𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 Error
7 0.67614 0.17978 -0.02146 0.00093
8 0.67620 0.17992 -0.02156 0.00019
9 0.67621 0.17987 -0.02156 0.0001
10 0.67628 0.17986 -0.02159 0.00004
11 0.67626 0.17985 -0.02158 0.00001
12 0.67626 0.17986 -0.02158 < 𝟏𝟎−𝟓
Norma Euclidea:
𝒊=𝟏
𝟑
𝒙𝒊
(𝒌)− 𝒙
𝒊
(𝒌−𝟏) 𝟐
Método de Jacobi - Ejemplo 1
Unidad 4 – Solución de Sistemas de Ecuaciones
Métodos Numéricos – 2do Cuatrimestre de 2018
Método de Jacobi - Ejemplo 2
El método Jacobi no converge. Verificar intercambiando filas
=++
=++
−=+−
4533
03
12
321
321
321
xxx
xxx
xxx
No es E.D.D||BJ||=4 >1Radio espectral (BJ) , de la matriz de iteración BJ.r_espec = max(abs(eig(B))) ó r_espec = max(abs(roots(poly(B))))
c
X
3
2
1
BX
3
2
1
5
4
0
2
1
x
x
x
05
3
5
3
301
2
1
2
10
x
x
x
1k
J
k
−
+
−−
−−
−
=
−
05
3
5
8
5
3
5
3
31
2
1
2
1
)I-Bdet( 3
J =++−=
−−−
−−−
−−
=421954
1.42195 1
3
2
1
.−−
11.42195 .421954 -,1.42195,1-max)B( G ==
Métodos Numéricos - Cap 3: Solución de Ecuaciónes no Lineales 8/10/2018
12
Unidad 4 – Solución de Sistemas de Ecuaciones
Métodos Numéricos – 2do Cuatrimestre de 2018
Método de Jacobi - Ejemplo 2
=++
=++
−=+−
0x3xx
4x5x3x3
1xxx2
321
321
321
c
X
B
X k
J
k
x
x
x
x
x
x
−
+
−−
−−
−
=
−
03
42
1
03
1
3
13
501
2
1
2
10
1
3
2
1
3
2
1
09
1
9
23 =++
No es E.D.D||BJ||=8/3 >1 no se puede asegurar la convergencia, por lo tanto debemos encontrar el radio espectral (BJ). La ecuación característica es:
1631096.419595,.631096.Max
i276567.155483.,i276567.315548.-,631096.Max)B(
i276567.155483.
i276567.155483.
631096.
J
3
2
1
=
−−+
−−
+−
cuyas raíces son:
Unidad 4 – Solución de Sistemas de Ecuaciones
Métodos Numéricos – 2do Cuatrimestre de 2018
Método de Jacobi - Ejemplo 2
De acuerdo al análisis de convergencia, el método iterativo de Jacobi converge a una única solución, cualquiera sea la aproximación inicial X(0) .
Iterando con el método de Jacobi, tomando como aproximación inicial X(0) = [0,0,0]’ , y usando como criterio de aproximación ||X(k) – X(k-1)|| < 0.001 obtenemos:
X(1) = [-.5, 1.3333, 0]’, X(2) = [.16667, 1.8333, -.27778]’…X(15) = [.99798, 1.9990, -.99842]’ X(16)=[.99873, 1.9994, -.99901]’
Como k = 16 es el primer entero positivo para el cual ||X(k) – X(k-1)|| < 0.001 entonces XX(16) es solución al problema.
Unidad 4 – Solución de Sistemas de Ecuaciones
Métodos Numéricos – 2do Cuatrimestre de 2018
Fórmula vectorial de iteración del Método de Jacobi
Sea el sistema de ecuaciones 𝐴𝑋 = 𝑏. La matriz 𝐴 puede descomponerse como:
𝐴 = 𝐷 + 𝐿 + 𝑈
𝐷: matriz diagonal de 𝐴𝐿: matriz triangular
estrictamente inferior de 𝐴𝑈: matriz triangular
estrictamente superior de 𝐴
𝐷 =5 0 00 −7 00 0 8
𝐿 =0 0 0−1 0 02 −1 0
𝑈 =0 −2 10 0 30 0 0
𝐴 =5 −2 1−1 −7 32 −1 8
Entonces: 𝐴𝑋 = 𝑏 ⇔ 𝐷 + 𝐿 + 𝑈 𝑋 = 𝑏𝐷𝑋 + 𝐿 + 𝑈 𝑋 = 𝑏𝐷𝑋 = − 𝐿 + 𝑈 𝑋 + 𝑏𝑋 = −𝐷−1 𝐿 + 𝑈 𝑋 + 𝐷−1𝑏
𝐵 𝑐
𝑋(𝑘) = −𝐷−1 𝐿 + 𝑈 𝑋 𝑘−1 +𝐷−1𝑏 , k = 1,2,…
Matlab:[B|c] = Bc = [ -diag(1./diag(A))*(tril(A,-1)+triu(A,1)) , diag(1./diag(A))*b ]
B*X+c= X= [-diag(1./diag(A))*(tril(A,-1)+triu(A,1))*X+diag(1./diag(A))*b ]
con b y X vectores columna
La fórmula vectorial de iteración es:
Unidad 4 – Solución de Sistemas de Ecuaciones
Métodos Numéricos – 2do Cuatrimestre de 2018
Método de Gauss-Seidel
Una mejora del método de Jacobi es obtener 𝑥𝑖(𝑘)
utilizando los 𝑥1(𝑘), 𝑥2
(𝑘), … , 𝑥𝑖−1
(𝑘)ya calculados, dado que son
mejores aproximaciones a la solución exacta.
Sea el valor inicial 𝑥1(0), 𝑥2
(0), … , 𝑥𝑛
(0) , aplicando el método de Jacobi se obtiene:
𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 +⋯+ 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 𝑏1𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 +⋯+ 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 𝑏2
⋮𝑎𝑛1𝑥1 + 𝑎𝑛2𝑥2 +⋯+ 𝑎𝑛𝑛𝑥𝑛 = 𝑏𝑛
𝑥2(1)
=𝑏2 − 𝑎21𝑥1
(0)−⋯− 𝑎2𝑛𝑥𝑛
(0)
𝑎22
𝑥𝑛(1)
=𝑏𝑛 − 𝑎𝑛1𝑥1
(0)−⋯− 𝑎𝑛𝑛−1𝑥𝑛−1
(0)
𝑎𝑛𝑛
Dado el sistema de ecuaciones:
Para la primera iteración se tiene que:
⋮
𝑥1(1)
=𝑏1 − 𝑎12𝑥2
(0)−⋯− 𝑎1𝑛𝑥𝑛
(0)
𝑎11
𝑥𝑖(𝑘+1)
=
𝑏𝑖 −σ𝑗=1𝑗≠𝑖
𝑛 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗(𝑘)
𝑎𝑖𝑖
Fórmula de iteración:
VALORES INICIALES
𝑥1(1)
=𝑏1 − 𝑎12𝑥2
(0)−⋯− 𝑎1𝑛𝑥𝑛
(0)
𝑎11
𝑥2(1)
=𝑏2 − 𝑎21𝑥1
(1)−⋯− 𝑎2𝑛𝑥𝑛
(0)
𝑎11
𝑥𝑛(1)
=𝑏𝑛 − 𝑎𝑛1𝑥1
(1)−⋯− 𝑎𝑛𝑛−1𝑥𝑛−1
(1)
𝑎𝑛𝑛
⋮
Métodos Numéricos - Cap 3: Solución de Ecuaciónes no Lineales 8/10/2018
13
Unidad 4 – Solución de Sistemas de Ecuaciones
Métodos Numéricos – 2do Cuatrimestre de 2018
𝑥𝑖(1)
=𝑏𝑖 −σ𝑗=1
𝑖−1 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗1 −σ𝑗=𝑖+1
𝑛 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗0
𝑎𝑖𝑖
En general para la primera iteración:
𝑥1(1)
=𝑏1 − 𝑎12𝑥2
(0)−⋯− 𝑎1𝑛𝑥𝑛
(0)
𝑎11
𝑥2(1)
=𝑏2 − 𝑎21𝑥1
(1)−⋯− 𝑎2𝑛𝑥𝑛
(0)
𝑎22
𝑥𝑛(1)
=𝑏𝑛 − 𝑎𝑛1𝑥1
(1)−⋯− 𝑎𝑛𝑛−1𝑥𝑛−1
(1)
𝑎𝑛𝑛
⋮
En general para la iteración 𝑘 + 1 :
𝑥𝑖(𝑘+1)
=𝑏𝑖 −σ𝑗=1
𝑖−1 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗𝑘+1
−σ𝑗=𝑖+1𝑛 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗
𝑘
𝑎𝑖𝑖
El análisis de convergencia coincide con el del método de Jacobi, aunque suele converger más rápido.
Fórmula de iteración
Unidad 4 – Solución de Sistemas de Ecuaciones
Métodos Numéricos – 2do Cuatrimestre de 2018
𝑥1(𝑘+1)
=2
5𝑥2(𝑘)
−1
5𝑥3
𝑘+3
5
𝑥2(𝑘+1)
= −1
7𝑥1𝑘+1
+3
7𝑥3
𝑘+2
7
𝑥3(𝑘+1)
= −1
4𝑥1
𝑘+1+1
8𝑥2
𝑘+1+1
8
ቐ5𝑥1 − 2𝑥2 + 𝑥3 = 3
−𝑥1 − 7𝑥2 + 3𝑥3 = −22𝑥1 − 𝑥2 + 8𝑥3 = 1
Sea el sistema:
𝑋(𝑘+1) =
02
5−1
5
0 −2
35
16
35
0 −3
28
3
28
𝑋(𝑘) +
3
51
50
Despejando se obtiene:
Tomando como aproximación inicial 𝑋 0 = 0,0,0 ′ y usando como criterio de aproximación 𝑋(𝑘) − 𝑋(𝑘−1) < 10−5, se
obtiene:
𝐵𝐺𝑆 = 𝑚𝑎𝑥3
5,18
35,3
14=3
5< 1 CONVERGE
𝒌 𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 Error
0 0 0 0
1 0.6 0.2 0 0.63246
2 0.68 0.18857 -0.02143 0.08361
3 0.67971 0.17943 -0.0225 0.00921
4 0.67627 0.17946 -0.02164 0.00355
𝒌 𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 Error
5 0.67611 0.17985 -0.02155 0.00043
6 0.67625 0.17987 -0.02158 0.00014
7 0.67626 0.17986 -0.02158 0.000014
8 0.67626 0.17986 -0.02158 < 𝟏𝟎−𝟓
Método de Gauss-Seidel - Ejemplo 1
Unidad 4 – Solución de Sistemas de Ecuaciones
Métodos Numéricos – 2do Cuatrimestre de 2018
𝒌 𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 Error
0 0 0 0
1 0.6 0.28571 0.125 0.67621
2 0.68928 0.25357 0.01071 0.14855
3 0.69929 0.19184 -0.01563 0.06786
4 0.67986 0.17912 -0.02584 0.02537
5 0.67682 0.17752 -0.02257 0.00474
6 0.67552 0.17935 -0.02201 0.00231
7 0.67614 0.17978 -0.02146 0.00093
8 0.67620 0.17992 -0.02156 0.00019
9 0.67621 0.17987 -0.02156 0.0001
10 0.67628 0.17986 -0.02159 0.00004
11 0.67626 0.17985 -0.02158 0.00001
12 0.67626 0.17986 -0.02158 < 10−5
𝒌 𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 Error
0 0 0 0
1 0.6 0.2 0 0.63246
2 0.68 0.18857 -0.02143 0.08361
3 0.67971 0.17943 -0.0225 0.00921
4 0.67627 0.17946 -0.02164 0.00355
5 0.67611 0.17985 -0.02155 0.00043
6 0.67625 0.17987 -0.02158 0.00014
7 0.67626 0.17986 -0.02158 0.000014
8 0.67626 0.17986 -0.02158 < 10−5
Método de Jacobi Método de Gauss-Seidel
Comparación de los métodos
Unidad 4 – Solución de Sistemas de Ecuaciones
Métodos Numéricos – 2do Cuatrimestre de 2018
Método de Gauss-Seidel - Ejemplo 2
||BG|| = 3 >1
𝜌 𝐵𝐺 = 𝑚𝑎𝑥 0 , −1
2,9
5=9
5> 1
Entonces el método diverge
En este caso, como la matriz BG es triangular, los autovalores son los elementos de la diagonal.
=++
=++
−=+−
4533
03
12
321
321
321
xxx
xxx
xxx
c
X
3
2
1
B
X
3
2
1
5
42
12
1
x
x
x
5
900
2
5
2
10
2
1
2
10
x
x
x
1k
G
k
−
+
−−
−
=
−
5
x3x34x
,x3xx
,2
xx1x
)k(
2
)k(
1k
3
)1k(
3
)k(
1
k
2
)1k(
3
)1k(
2k
1
−−=
−−=
−+−=
−
−−
5
x94x
,2
x5x1x
,2
xx1x
)1k(
3k
3
)1k(
3
)1k(
2k
2
)1k(
3
)1k(
2k
1
−
−−
−−
+=
−−=
−+−=
Métodos Numéricos - Cap 3: Solución de Ecuaciónes no Lineales 8/10/2018
14
Unidad 4 – Solución de Sistemas de Ecuaciones
Métodos Numéricos – 2do Cuatrimestre de 2018
Método de Gauss-Seidel - Ejemplo 2
=++
=++
−=+−
0x3xx
4x5x3x3
1xxx2
321
321
321
Como ||BG|| >1 no podemos asegurar la convergencia, pero (BG) = Max {0,1/2,5/9} <1 entonces el método de Gauss-Seidel converge a la única solución del sistema dado, cualquiera sea la aproximación inicial.
XX(13) = [.99898 ,1.9996 , -.99952] es solución al problema.
c
X
3
2
1
B
X
3
2
1
5
46
112
1
x
x
x
9
500
6
7
2
10
2
1
2
10
x
x
x
1k
G
k
−
+
−−
−
=
−
Intercambiando filas obtenemos:
Unidad 4 – Solución de Sistemas de Ecuaciones
Métodos Numéricos – 2do Cuatrimestre de 2018
Fórmula vectorial de iteración del Método de Gauss-Seidel
𝑥𝑖(𝑘+1)
=𝑏𝑖 −σ𝑗=1
𝑖−1 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗𝑘+1
−σ𝑗=𝑖+1𝑛 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗
𝑘
𝑎𝑖𝑖Partiendo de la fórmula de iteración:
𝑎𝑖𝑖 𝑥𝑖(𝑘+1)
= 𝑏𝑖 −
𝑗=1
𝑖−1
𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗𝑘+1
−
𝑗=𝑖+1
𝑛
𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗𝑘
𝑎𝑖𝑖 𝑥𝑖(𝑘+1)
+
𝑗=1
𝑖−1
𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗𝑘+1 =
𝑗=𝑖+1
𝑛
−𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗𝑘 + 𝑏𝑖
𝑗=1
𝑖
𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗𝑘+1 =
𝑗=𝑖+1
𝑛
−𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗𝑘 + 𝑏𝑖
𝐴 = 𝐷 + 𝐿 + 𝑈
𝐷: matriz diagonal de 𝐴
𝐿: matriz triangular estrictamente inferior de 𝐴
𝑈: matriz triangular estrictamente superior de 𝐴
𝐷 + 𝐿 𝑋(𝑘+1) = −𝑈 𝑋(𝑘) + 𝑏
𝑋(𝑘+1) = 𝐷 + 𝐿 −1 −𝑈 𝑋 𝑘 + 𝐷 + 𝐿 −1𝑏 , k = 1,2,…
Entonces:
Matlab:[B|c] = Bc=[tril(A)^-1*-triu(A,1) , (tril(A))^-1*b ]
B*X+c= X=[tril(A)^-1*-triu(A,1)*X+(tril(A))^-1*b ]
Unidad 4 – Solución de Sistemas de Ecuaciones
Métodos Numéricos – 2do Cuatrimestre de 2018
Ventajas:
• Más eficientes que los directos para sistemas de orden muy alto.
• Más simples de programar.
• Pueden encontrarse aproximaciones a la solución.
• Son menos sensibles a los errores de redondeo (importante en sistemas mal condicionados).
Desventajas:
• Si se tienen varios sistemas que comparten la matriz de coeficientes, esto no representará ahorro decalculo, ya que por cada vector a la derecha de A tendrá que aplicarse el método.
• Aunque la convergencia esté asegurada puede ser lenta (En Gauss no es predecible).
• No se obtiene ni det(A) ni A-1
Métodos indirectos o iterativos
Unidad 4 – Solución de Sistemas de Ecuaciones
Métodos Numéricos – 2do Cuatrimestre de 2018
Matrices ralas
Las matrices asociadas con los sistemas de ecuaciones lineales se clasifican en densas y ralas.
Las matrices densas tienen pocos elementos nulos y su orden es relativamente pequeño (≤ 100). Pararesolver sistemas con matrices densas pueden ser utilizados los métodos directos.
Las matrices ralas tienen pocos elementos no nulos y surgen, por ejemplo, al resolver ecuacionesdiferenciales por métodos de diferencias finitas; su orden puede ser muy grande. Para resolver sistemascon matrices ralas son recomendados los métodos iterativos.
Matlab, de todos modos, posee funciones para trabajar con matrices ralas (consideradas un tipo de dato)y particularmente para resolver sistemas de ecuaciones con métodos directos. ( luinc, cholinc ).
Métodos Numéricos - Cap 3: Solución de Ecuaciónes no Lineales 8/10/2018
15
Unidad 4 – Solución de Sistemas de Ecuaciones
Métodos Numéricos – 2do Cuatrimestre de 2018
Condicionamiento del sistema
El hecho de que las computadoras pueden representar sólo un número finito de números reales y de forma aproximada, tiene
una consecuencia inmediata en el cálculo numérico. Aún cuando un algoritmo haya sido diseñado teóricamente para producir
la respuesta exacta a un problema, su implementación es una computadora rara vez producirá tal respuesta. La cuestión
entonces radica en saber cuándo se puede confiar en una respuesta obtenida.
Los algoritmos en los que se puede confiar son algoritmos ESTABLES, es decir, son aquellos que producen una respuesta casi
exacta cuando se aplican a datos que son casi exactos.
Otros sistemas de ecuaciones lineales son extremadamente sensibles a los errores de redondeo que puedan producirse en el
proceso de resolución. En algunos casos esto podría arreglarse mediante el uso de estrategias de pivoteo. En otros casos, ni
siquiera el uso de esas técnicas consiguen llevar a una resolución precisa. Estamos frente a los sistemas MAL
CONDICIONADOS.
Unidad 4 – Solución de Sistemas de Ecuaciones
Métodos Numéricos – 2do Cuatrimestre de 2018
Condicionamiento del sistema
En el cálculo numérico, los errores están siempre presentes. Hay errores de muy diversas procedencias, principalmente:
• Errores en las mediciones o en las estimaciones previas (posiblemente grandes: a menudo los datos en ingeniería oeconomía son conocidos con pocos dígitos).
• Errores en la forma en que las computadoras almacenan los números (32 o 64 bits, según sea simple o doble precisión, porlo tanto se producen errores de redondeo).
• Errores como resultado de cálculos anteriores si, por ejemplo, los datos proceden de soluciones numéricas a problemasprevios.
Hay problemas que son especialmente sensibles a estos tipos de errores. El estudio de cómo éstos afectan a las respuestascalculadas pertenece a una disciplina denominada “Teoría de la Perturbación”. En ella se pretende estimar cuanto puedecambiar la solución de un problema cuando los datos de partida son modificados ligeramente.
El objetivo del “Análisis Numérico” es diseñar algoritmos que sean lo más insensibles posible a los errores, es decir, generaralgoritmos ESTABLES.
Unidad 4 – Solución de Sistemas de Ecuaciones
Métodos Numéricos – 2do Cuatrimestre de 2018
0 1 2 3 4 50
1
2
3
4
5
-1/2*x+y=1
-x+2*y=2 ∞ soluciones
0 1 2 3 4 50
1
2
3
4
5
-1/2*x+y=1
-2.3/5*x+y=1.1
Mal condicionado
Condicionamiento del sistema
0 1 2 3 4 50
1
2
3
4
5
-1/2*x+y=1
-1/2*x+y=1/2
Sin solución
0 1 2 3 4 50
1
2
3
4
5
-1/2*x+y=1
3*x+2*y=18
Solución únicaBien condicionado
Unidad 4 – Solución de Sistemas de Ecuaciones
Métodos Numéricos – 2do Cuatrimestre de 2018
Si 𝑋 es solución exacta de un sistema lineal 𝐴𝑋 = 𝑏, 𝐴 invertible, 𝑏 ≠ 0, y ෨𝑋 es una solución aproximada de
dicho sistema, entonces 𝑒 = ෨𝑋 − 𝑋 es el vector error de 𝑋 (desconocido) y 𝑅 = 𝐴 ෨𝑋 − 𝑏 es el vector error
residual, el cual mide hasta dónde la solución aproximada ෨𝑋 satisface el sistema.
Si 𝑅 = 0 entonces ෨𝑋 = 𝑋 . Por lo tanto, 𝑒 = 0.
෨𝑋 tal que 𝐴 ෨𝑋 = 𝑅 + 𝑏 y ෨𝑋 es solución de una perturbación del sistema 𝐴𝑋 = 𝑏.
Si 𝑹 es “pequeño” entonces 𝒆 también es “pequeño”?
Condicionamiento del sistema
Métodos Numéricos - Cap 3: Solución de Ecuaciónes no Lineales 8/10/2018
16
Unidad 4 – Solución de Sistemas de Ecuaciones
Métodos Numéricos – 2do Cuatrimestre de 2018
Ejemplos: Sea 𝑋 =𝑥𝑦
1) ቊ𝑥 + 𝑦 = 2
10,05𝑥 + 10𝑦 = 21𝑋1 =
20−18
Un coeficiente perturbado en aproximadamente 0,5%:
ቊ𝑥 + 𝑦 = 2
10,1𝑥 + 10𝑦 = 21෪𝑋1 =
10−8
Cambio relativo de aproximadamente el 50% en la solución.
𝑅1 = 𝐴෪𝑋1 − 𝑏 =1 1
10,05 1010−8
−221
=2
20,5−
221
=0
−0,5
𝑒1 ∞ = 𝑚𝑎𝑥 −10 , 10 = 10
𝑅1 ∞ = 𝑚𝑎𝑥 0 , −0,5 = 0,5
Sistemas mal condicionados
𝑒1 = ෪𝑋1 − 𝑋1 =−1010
El error en la solución es “grande” y el error residual es “pequeño”.
Unidad 4 – Solución de Sistemas de Ecuaciones
Métodos Numéricos – 2do Cuatrimestre de 2018
Ejemplos: Sea 𝑋 =𝑥𝑦
2) ቊ4,1𝑥 + 2,8𝑦 = 4,19,7𝑥 + 6,6𝑦 = 9,7
𝑋2 =10
Una perturbación de aproximadamente 0,2% en el término independiente:
ቊ4,1𝑥 + 2,8𝑦 = 4,119,7𝑥 + 6,6𝑦 = 9,7
෪𝑋2 =0,340,97
Cambio relativo de aproximadamente 66% en la solución.
𝑅2 = 𝐴෪𝑋2 − 𝑏 =4,1 2,89,7 6,6
0,340,97
−4,19,7
=4,119,7
−4,19,7
=0,010
𝑒2 ∞ = 𝑚𝑎𝑥 0,34 , 0,97 = 0,97
𝑅2 ∞ = 𝑚𝑎𝑥 0,1 , 0 = 0,01
Sistemas mal condicionados
El error en la solución es “grande” y el error residual es “pequeño”.
𝑒2 = ෪𝑋2 − 𝑋2 =0,660,97
Se puede probar que si 𝑅
𝑏es “pequeño” entonces
𝑒
𝑋es “pequeño” si se satisface la condición 𝐴 𝐴−1 ≈ 1
Unidad 4 – Solución de Sistemas de Ecuaciones
Métodos Numéricos – 2do Cuatrimestre de 2018
Ejemplos: Sea 𝑋 =𝑥𝑦
3) ቊ4𝑥 + 5𝑦 = 1410𝑥 + 6𝑦 = 22
𝑋3 =12
Un coeficiente perturbado en aproximadamente 11%:
ቊ4,5𝑥 + 5𝑦 = 1410𝑥 + 6𝑦 = 22
෪𝑋3 =1,13041,7826
Cambio relativo de aproximadamente el 15% en la solución.
𝑅3 = 𝐴෪𝑋3 − 𝑏 =4 510 6
1,13041,7826
−1422
=13,434621,9996
−1422
=−0,5654−0,0004
𝑒3 ∞ = 𝑚𝑎𝑥 0,1304 , −0,2174 = 0,2174
𝑅3 ∞ = 𝑚𝑎𝑥 −0,5654 , −0,0004 = 0,5654
Sistemas bien condicionados
𝑒3 = ෪𝑋3 − 𝑋3 =0,1304−0,2174
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Número de condición
El número resultante de 𝐴 𝐴−1 se llama número de condición de la matriz no-singular 𝐴 relativo a unanorma matricial y se denota por 𝐶𝑜𝑛𝑑 𝐴 .
𝐶𝑜𝑛𝑑 𝐴 ≥ 1, cualquiera sea la norma matricial inducida.
𝐼𝑛 = 𝐴𝐴−1, 𝐼𝑛 ≤ 𝐴 𝐴−1 𝑦 𝐼𝑛 = max𝑋≠0
𝐼𝑛𝑋
𝑋= max
𝑋≠0
𝑋
𝑋= 1
Si 𝐶𝑜𝑛𝑑 𝐴 ≈ 1 entonces 𝐴 está bien condicionada, es decir, el sistema 𝐴𝑋 = 𝑏 está bien condicionado.
Si 𝐶𝑜𝑛𝑑 𝐴 ≫ 1 entonces 𝐴 está mal condicionada, es posible que 𝐴 tenga un mal comportamiento, en elsentido que un error residual relativo pequeño puede corresponder a una solución aproximada mala. Elsistema 𝐴𝑋 = 𝑏 está mal condicionado.
Por ejemplo, para el ejemplo 1 desarrollado anteriormente se tiene que:
𝐶𝑜𝑛𝑑1 1
10,05 10=
1 110,05 10 ∞
−200 20201 −20 ∞
= 20,05 ∗ 221 = 4431,05 ≫ 1
Métodos Numéricos - Cap 3: Solución de Ecuaciónes no Lineales 8/10/2018
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Relación residuo-error solución
La relación entre 𝑅
𝑏y
𝑒
𝑋es:
𝑅
𝑏∗
1
𝐶𝑜𝑛𝑑 𝐴≤
𝑒
𝑋≤
𝑅
𝑏∗ 𝐶𝑜𝑛𝑑 𝐴
𝑒1 ∞ = 𝑚𝑎𝑥 −10 , 10 = 10
𝑅1 ∞ = 𝑚𝑎𝑥 0 , −0,5 = 0,5
𝐶𝑜𝑛𝑑1 1
10,05 10=
1 110,05 10 ∞
−200 20201 −20 ∞
= 20,05 ∗ 221 = 4431,05
ቊ𝑥 + 𝑦 = 2
10,05𝑥 + 10𝑦 = 21𝑋1 =
20−18
෪𝑋1 =10−8
0,5
21∗
1
4431,05≤
𝑋 − ෨𝑋
𝑋≤0,5
21∗ 4431,05 ⇒ 5,37 ∗ 10−6 ≤
𝑋 − ෨𝑋
𝑋≤ 105,50
Para el ejemplo 1:
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Relación residuo-error solución
La relación entre 𝑅
𝑏y
𝑒
𝑋es:
𝑅
𝑏∗
1
𝐶𝑜𝑛𝑑 𝐴≤
𝑒
𝑋≤
𝑅
𝑏∗ 𝐶𝑜𝑛𝑑 𝐴
𝐶𝑜𝑛𝑑4,1 2,89,7 6,6
= 2249,4
ቊ4,1𝑥 + 2,8𝑦 = 4,19,7𝑥 + 6,6𝑦 = 9,7
𝑋2 =10
෪𝑋2 =0,340,97
0,01
9,7∗
1
2249,4≤
𝑋 − ෨𝑋
𝑋≤0,01
9,7∗ 2249,4 ⇒ 4,5831 ∗ 10−7 ≤
𝑋 − ෨𝑋
𝑋≤ 2,2494
Para el ejemplo 2:
𝑒2 ∞ = 𝑚𝑎𝑥 0,34 , 0,97 = 0,97
𝑅2 ∞ = 𝑚𝑎𝑥 0,1 , 0 = 0,01
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Relación residuo-error solución
La relación entre 𝑅
𝑏y
𝑒
𝑋es:
𝑅
𝑏∗
1
𝐶𝑜𝑛𝑑 𝐴≤
𝑒
𝑋≤
𝑅
𝑏∗ 𝐶𝑜𝑛𝑑 𝐴
𝐶𝑜𝑛𝑑4 510 6
= 6,6575
ቊ4𝑥 + 5𝑦 = 1410𝑥 + 6𝑦 = 22
𝑋3 =12
෪𝑋3 =1,13041,7826
0,2174
22∗
1
6,6575≤
𝑋 − ෨𝑋
𝑋≤0,2174
22∗ 6,6575 ⇒ 0,0039 ≤
𝑋 − ෨𝑋
𝑋≤ 0,0257
Para el ejemplo 3:
𝑒3 ∞ = 𝑚𝑎𝑥 0,1304 , −0,2174 = 0,2174
𝑅3 ∞ = 𝑚𝑎𝑥 −0,5654 , −0,0004 = 0,5654
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Cota del error relativoDado un sistema 𝐴𝑋 = 𝑏, si 𝛿𝐴 y 𝛿𝑏 denotan perturbaciones en 𝐴 y 𝑏 respectivamente, se puede establecer unacota para el error relativo en términos de las perturbaciones relativas y el número de condición de 𝐴.
Si 𝑋 es la solución exacta de 𝐴𝑋 = 𝑏 y ෨𝑋 es la solución exacta del sistema perturbado 𝐴 + 𝛿𝐴 ෨𝑋 = 𝑏 + 𝛿𝑏.
Si 𝐴 es no-singular, 𝛿𝐴 <1
𝐴−1, lo que asegura que 𝐴 + 𝛿𝐴 es invertible y que 1 − 𝐶𝑜𝑛𝑑 𝐴
𝛿𝐴
𝐴> 0.
Por lo tanto:
𝑋 − ෨𝑋
𝑋≤
𝐶𝑜𝑛𝑑 𝐴
1 − 𝐶𝑜𝑛𝑑 𝐴𝛿𝐴𝐴
𝛿𝑏
𝑏+
𝛿𝐴
𝐴
Para el ejemplo 2:
𝛿𝐴 = 0 𝐶𝑜𝑛𝑑 𝐴 ∗𝛿𝑏
𝑏= 𝐶𝑜𝑛𝑑 𝐴 ∗
0,01
9,7= 2249,4 ∗ 0,001 = 2,2494 ≥
𝑋 − ෨𝑋
𝑋
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