SISTEMAS EN EQUILIBRIO POR MOMENTOS O TORQUES

Presenta:MTRO. JAVIER SOLIS NOYOLA

Cuando se aplica una fuerza en algún punto de un cuerpo rígido, dicho cuerpo tiende a realizar un movimiento de rotación en torno a algún eje.

Ahora bien, la propiedad de la fuerza aplicada para hacer girar al cuerpo se mide con una magnitud física que llamamos torque o momento de la fuerza.

Entonces, se llama torque (T ) o momento (M) de una fuerza a la capacidad de dicha fuerza para producir un giro o rotación alrededor de un punto.

Para explicar gráficamente el concepto de torque , cuando se gira algo, tal como una puerta, se está aplicando una fuerza rotacional. Esa fuerza rotacional es la que se denomina torque o momento .

Concepto de Momento o Torque

Considerando intensidad de la fuerza y distancia de aplicación desde su eje, el momento de una fuerza es, matemáticamente, igual al producto de la intensidad de la fuerza (módulo) por la distancia desde el punto de aplicación de la fuerza hasta el eje de giro .

La fórmula del cálculo Momento es:

M = F • d

Cálculo del Momento o Torque

Donde:

M= es momento o torqueF = fuerza aplicadad = distancia al eje de giroEl torque se expresa en unidades de fuerza-distancia , se mide comúnmente en Newton metro (Nm).

d

F

Casos Especiales del Momento de una Fuerza

M = F • d M = F • d • sen Ɵ

M = 0El Momento es nulo

Ɵ

Ɵ d

d

F

FFF

FF

F

Fd

d

Fuerza Aplicada perpendicularmente al brazo de

palanca

Fuerza Aplicada con ángulo de inclinación Ɵ al brazo de palanca

Fuerzas:• coincidente con brazo de

palanca• sobre eje de rotación

d

FyFx

• Fy (Componente que incide perpendicularmente al brazo de palanca) • Fx (Componente coincidente al brazo de palanca que se anula)

Sentido contrario a las manecillas de l reloj, el Momento es (+)

Sentido de las manecillas del reloj, el Momento es (-)

Sentido del Momento o Torque

El Momento es nulo (cero), ya que la fuerza actúa coincidentemente sobre el brazo de palanca.

Ejemplo. En la figura se muestran tres barras de 2 m de largo que pueden girar alrededor de un pivote, O. En uno de los extremos se aplica una fuerza de 50 N que forma con la barra un ángulo de 300. Determinar el valor del torque o momento en cada caso.

Figura (a)T = F.d.senƟT = (50 N).(2 m).sen300

T = 50N.m

Figura (b)T = - F.d.senƟT = - (50 N).(2 m).sen300

T = - 50N.m

Figura (c)T = F.d.senƟT = (50 N).(2 m).sen300

T = 50N.m

Las Fuerzas , son dos para abajo y una para arriba. Por lo tanto, el Momento Resultante, es:

MR = M1 – M2 + M3 MR = F1d1 – F2d2 + F3d3

MR= 20 (7) – 10 (5) + 25 (3) MR= 140 – 50 + 75

MR= 165 Nm

Momento o Torque Resultante MR n

MR = ∑Mi = M1 + M2 + … + Mn

i=1Calcular el Momento Total o Resultante con respecto al punto de apoyo de la palanca:

punto de apoyo de la palanca

Considérese los signos por el sentido del momento concreto

sentido del Momento Resultantees anti horario

300300

6 m 2 m

4 m20 N30 N

40 NA

Encuentre el momento de torsión resultante en torno al eje A para el arreglo que se muestra abajo:

MR = -M20 - M30 + M40 = - 40 Nm -120 Nm + 80 Nm

MR = - 80 Nm

Ejemplo de ejercicio para desarrollar en pizarrón

Un cuerpo se encuentra en equilibrio de rotación respecto a un punto, si la suma de momentos respecto a ese punto es cero.

En forma práctica (ver sistema de figura) la suma de momentos a derecha debe ser igual a la suma de momentos a izquierda de un eje fijo de rotación, esto es:

Condición de Equilibrio en Momentos o Torques

n

∑Mi = 0 M1 + M2 + … + Mn = 0

i=1

Sistema en equilibrio

=

Determinar la intensidad de la fuerza F4 según los datos del sistema en donde actúan 4 fuerzas

Datos:F1 = 80 NF2 = 120 NF3 = 75 NF4 = ?d1 = 60 cm + 70 cm = 130 cm = 1.3 md2 = 70 cm = 0.70 md3 = 80 cm + 1.40 m = 0.80 m + 1.40 m = 2.20 md4 = 1.40 m

Condición de equilibrio: La sumatoria de los momentos de todas las fuerzas con respecto a un punto debe ser nulo:

∑M = 0

Procedimiento Matemático: n=4

∑ Mi = 0 i=1 M3 + M4 + M1 + M2 = 0 Considere sentido de Momentos

M3 + M4 - M1 - M2 = 0 M3 + M4 = M1 + M2

F3d3 + F4d4 = F1d1 + F2d2

75 (2.20) + F4 (1.40) = 80 (1.30) + 120 (0.70) 165 + F4 (1.40) = 104 + 84 F4 (1.40) = 104 + 84 - 165 F4(1.40 ) = 23 F4 = 23/1.40 F4 = 16.43 Nm

NN

N

En un hospital se tiene un soporte para suero de un metro de longitud, el cual está fijado en su centro como se muestra en la figura de abajo. Se colocan a la izquierda dos bolsas de suero cuyas masas conocemos, del lado derecho vamos a colocar una bolsa con sangre. Desconocemos el valor de la masa de la bolsa de la derecha, pero si conocemos la distancia a la que está colocada cada bolsa con respecto a las otras.

? n=4

∑ Mi = 0 i=1 M1 + M2 - M3 = 0Donde:M = Momento o torque en N.mm = masa en Kgs. g = gravedad = 9.81 m/s2 d= Distancia en metros (m) Solución: masa 3 = m3 = 0.35 Kg ó 350 grs.

Ejemplo de ejercicio para desarrollar en pizarrón

Imagine que la persona de peso 600 N de la figura se mueve hacia afuera sobre la viga que pesa 200 N. Llegando a 2 metros de distancia del punto de inicial O en que se soporta la viga. El otro extremo de la viga es sujetada por una cuerda de la cual se desea saber la Tensión ( T ), bajo la condición esta condición concreta de la posición de la persona.

O

O

8 m

53°

600 N. 200 N.

2m 2m

Centro de masa de la Viga

n=3

∑ Mi = 0 i=1 - M600 - M200 + MT = 0

Solución: T = 313.03 N

T

Ejemplo de ejercicio para desarrollar en pizarrón

Imagine que la persona de peso 600 N de la figura se mueve hacia afuera sobre la viga que pesa 200 N. Llegando a X metros de distancia del punto de inicial O en que se soporta la viga. El otro extremo de la viga es sujetada por una cuerda de la cual se desea saber la Tensión ( T ), bajo la condición esta condición concreta de la posición de la persona, obtenga una función matemática T(X) que describa el comportamiento de la Tensión en función del cambio de posición X, en el intervalo de O a 8 m.

O

O

8 m

53°

600 N. 200 N.X m 2m

Centro de masa de la Viga

n=3

∑ Mi = 0 i=1 - M600 - M200 + MT = 0 -600 (X) - 200 (4) + T (8) sen 53 ° = 0 -600 X – 800 + 6.389 T = 0 6.389 T = 600 X + 800

Función: T = 93.91 X + 125.21

T

Ejemplo de ejercicio para desarrollar con Software de Cálculo en Línea

Gráfica de la Función de Tensión calculada: T = 93.91 X + 125.21

http://www.mathe-fa.de/es#result

T = 93.91 X + 125.21

Dirección de acceso a Software para graficar y evaluar funciones matemáticas

Función T(X):

T = 93.91 X + 125.21

Valores concretos de la Tensión (T) de: 0 ≤ X ≤ 8 metros.

T(X)

X (metros)

T(X)X

Referencias Informáticas

• Halliday, David; Resnick, Robert. Fundamentals of Physics. Edit. John Wiley and Sons. 2010

• G.Hewitt. Física Conceptual . Edit. John Wiley and Sons. • Serway, Raymond. Física Moderna, Tomo I.

• Solis Noyola, Javier. TIPOS DE FUERZAS. Presentación diseñada para la asignatura de Física en UVM, Campus Torreón. Acceso en:

http://www.slideshare.net/javiersolisp/tipos-de-fuerzas-vectoriales-y-sus-diagramas-de-cuerpo-libre

• Graficador de Funciones en Línea MAFA. Acceso en: http://www.mathe-fa.de/es#result