Respuesta a Gua de Ejercicios N 2
Problemas de Sistemas de un Grado de Libertad
1. Un instrumento de masa m es embalado soportado por un resorte de rigidez
k. Se supone que el paquete en su transporte podra caer de una altura h.
Asuma que el paquete cuando choca con el suelo queda en reposo
instantneamente. Si m= 15 Kg., h= 5 m y k=0.5 MN/m. Determine:
a) Amplitud de las vibraciones de m.
b) Mxima fuerza a la cual queda sometido el resorte.
c) Mxima aceleracin del instrumento.
Solucin:
a) Desde que choca se tiene que:
0 kxxm Solucin Ecuacin
diferencial:
ghx
x
2)0(
0)0(
)()( tSenxtx no
2
02
n
oo
xxX
0x
xtang on
Como las condiciones iniciales son las siguientes:
ghxx
xx
o
o
2)0(
0)0(
Entonces:
n
o
ghX
2 con
m
kn
Por lo tanto:
cmmk
hgmX o 4.5054.0
2
b) Mxima fuerza a la cual queda sometido el resorte:
m x
m
k
h
Caja Rgida
Instrumento
NXkF ok 27000054.0105.06 kNFk 27
c) Mxima aceleracin del instrumento:
ox
xtang on
0
0
t
m
kSen
k
mghtx
2)( Si derivamos dos veces esta ecuacin
encontramos que:
t
m
kSen
m
k
k
mghtx
2)( Para hacer x positivo se aumenta la fase, tal
que:
t
m
kSen
m
k
k
mghtx
2)( Evaluando se tiene que:
2
6
61800
15
105.0
105.0
510152)(
smtx
21800)( s
mtx
2. Disco de radio r y masa m unido en el punto medio de un eje de acero de
masa despreciable y largo L, el cual est empotrado en sus extremos.
Determine la mxima amplitud de giro en torsin si se le comunica al disco una
velocidad tangencial v.
Solucin:
2l
GJT
L
GJM
GJ
LMt
t
00 IM
042 00 GJIIT (ecuacin del movimiento del sistema)
Frecuencia natural del sistema: lI
GJn
0
4
Mxima amplitud de giro:
2
2
0
0
n
o
Condiciones iniciales: 00 ; r
v0
Por lo tanto,
lI
GJr
v
lI
GJ
rv
00
0
24
3. Si m= 12 (lb), k= 6 (lb/pulg), Fo= 2 (lb), c= 0.43 (lb/pulg/s). Determine:
FoSent
X(t)
a) Frecuencia natural.
b) Amplitud para n y amplitud de resonancia.
c) Desfase entre desplazamiento y fuerza en la resonancia.
d) Frecuencia de resonancia (correspondiente al peak de amplitudes).
e) Velocidad y aceleracin mxima.
Solucin:
La ecuacin del movimiento est dada por:
tSenFkxxcxm o
Ahora si se convierte el valor de la aceleracin de
la gravedad al sistema de pulgadas, se tiene que:
22
lg8.3858.9
s
pu
s
mg
Por lo tanto el valor de k es:
28.2314
s
lbk
a) Frecuencia natural:
srad
m
kn 9.13
12
8.2314
b) Amplitud para n y amplitud de resonancia:
Amortiguamiento crtico:
s
lbmc nc 6.3339.131222
s
lbs
pu
spu
lbc 9.165lg
8.385lg
43.0 2
Por lo tanto el factor de amortiguamiento es:
5.06.333
9.165
cc
c
y la Frecuencia Natural de Vibrar Amortiguada es:
s
radnd 04.125.019.131
22
m
c k
Ahora para la situacin solicitada en este tem del ejercicio, se tiene que la
amplitud es:
Si n lg33,05.02
62
2mx pu
kF
X
o
o
Si d
lg39,0
9.13
04.125.02
9.1304.121
62
21
222
222
puX
nn
kF
o
o
c) Desfase entre desplazamiento y fuerza en la resonancia: )( n
11
15.02
1
2
2
n
ntang
90
d) Frecuencia de resonancia:
sradn 83,95,0219,132122
e) Velocidad y aceleracin mxima:
La ecuacin diferencial que da solucin a este sistema es:
)()( tSenXtx o (respuesta estacionaria)
Derivando una vez esta ecuacin y reemplazando los valores se obtiene
el valor de la velocidad, el cual resulta ser:
spu
txlg
8,3)(
Derivando nuevamente y evaluando, se obtiene el valor de la aceleracin, el
cual es:
2lg
5,37)(s
putx
4. Determine las frecuencias naturales de vibrar en torsin y axialmente del
rotor de la figura de radio r y masa M. La masa de los ejes es despreciable.
Solucin:
La ecuacin del movimiento, se puede obtener a travs de los mtodos
de Lagrange o Newton, resultando este ltimo muy sencillo, con lo cual
realizando sumatoria de los momentos con respecto al punto fijo, es decir el
centro, se obtiene que:
0..
kJ se debe considerar que: 22
1MrJ
Luego:
L
GJ
L
GJk 21
32
)2( 4
1
DJ
32
)( 4
2
DJ
Entonces el valor de k se obtiene evaluando la expresin anterior, de lo cual
resulta:
L
DGk
32
17 4
Reemplazando estos valores en la ecuacin del movimiento se obtiene que:
032
17
2
1 4..2
L
DGMr Debemos considerar que:
16
44 rD
De aqu se obtiene la frecuencia natural, de su forma de clculo elemental:
2D
D
L L
2
4
2
4
16
17
2
132
17
MLr
DG
Mr
L
DG
n
Frecuencia Natural de Vibrar en
Torsin.
Axialmente:
0l
lEE
A
F
L
xEAF
L
xEAF
22
11
Si ahora se deduce la ecuacin del movimiento a travs del mtodo de Newton
se tiene que: 0)( 21
..
xL
AAExM
Por lo tanto usando la ecuacin bsica para el clculo de la frecuencia natural
se tiene que:
LM
AAEn
)( 21 221 )2(4
DDA
224
DA
Obteniendo:
LM
DE
n4
52
Finalmente: LM
EDn
2
4
5
F2 F1
5. Un motor elctrico de masa 40 Kg. Se monta en una viga en voladizo como
lo indica la figura, sobre dos tacos de goma. Cada taco tiene un factor de
prdida del material de 0.3. La deflexin esttica de los tacos bajo el peso del
motor es 4 mm. Para determinar la rigidez de la viga se le puso un peso de 20
Kg. en el lugar del motor deflectndose 2.5 mm. Para determinar el
amortiguamiento de la viga se le hizo un test de vibraciones libres. Un
desplazamiento inicial de 10 mm dado a la viga disminuy a 1.5 mm en 3
ciclos. El rotor del motor tiene una masa de 15 Kg. y un desbalanceamiento de
3102 Kg.m. Masa de la viga despreciable.
a) Determine la amplitud de las vibraciones estacionarias del motor girando a
980 cpm.
b) Si los tacos de goma se retiran y el motor se monta directamente en la viga,
determine la amplitud de las vibraciones estacionarias del motor girando a
980 cpm.
Solucin:
Mgk estt 2
m
Nk
est
Mg
t 49050004,02
81,9402
Rigidez de los tacos de goma
Viga
Tacos de Goma
Motor
M
kt kt
ct ct
mNkv 78480
0025,0
81,920
Rigidez de la viga
m
Nk
kkkeq
vteq
436001
2
11 Rigidez equivalente del sistema
Amortiguamiento de la Viga:
949,0)5,1
10ln(
2
1)ln(
1
N
o
x
x
N
15,01
2
2
v
Tenemos que:
sradn 6,102
60
2
sm
Nkmccv 2506207848022
vc 9,375250615,0 cvvc
La fuerza de desbalanceamiento es: NFo 216,10210223
M
kv
kt kt
M
keq
10
1.5
X1 X3
ct ct
Cv Ceq
El amortiguamiento equivalente de los tacos es:
sm
Nkc
eq
eqt 5.1276.102
3.043600
El amortiguamiento equivalente total del sistema es:
2,95
1
9,375
1
5,127
1111
veqteq ccc
sm
Nceq 2,95
La ecuacin del movimiento queda entonces definida como sigue:
txxx
tSenFkxxcxm o
6,102sen21436002,9540
a) Amplitud de las vibraciones:
srad
n 3340
43600
s
mN
mc nc 26402 036,02640
2,95
c
ceqeq
Luego utilizando la siguiente ecuacin se logra obtener la amplitud de las
vibraciones:
22
222
2
336,102036,02
336,1021
4360021
21
n
eq
n
eq
o
o
kF
X
ummxX o 55105.55
b) s
radn 3.44
40
78480
22
222
2
3,446,1021,02
3,446,1021
7848021
21
n
v
n
v
o
o
kF
X
ummxX o 61101,65
6. Un motor de combustin interna de cuatro tiempos se monta como indica la
figura. El motor est montado en dos soportes tal que es capaz de oscilar
respecto al eje x-x. Resortes de hoja conectan el block del motor y la base.
Cul debera ser la rigidez EI de dos resortes para que la amplificacin
dinmica (xo/xo esttico) a la frecuencia ms baja de excitacin del motor
girando a 1200 r.p.m. sea de 0.25 ? Determine la seccin transversal de la hoja
de resorte si la razn espesor/ancho es 0.1.
Momento de inercia de la masa del motor respecto a x-x es 2.1 Kg.m.
Longitud l de la hoja de resorte es 0.1 m.
Distancia L entre x-x y la fijacin motor-hoja es 0.17m.
Solucin:
Diagrama de Cuerpo Libre:
L
kL
n = 1200 rpm s
radn 6.12560
2
25.0est
o
X
X
La ecuacin del movimiento del sistema es: 02 2 kLI
Entonces la frecuencia natural es: I
kLn
22
Utilizando la frmula anteriormente enunciada (**), pero considerando ahora
que el valor del factor de amortiguamiento es 0, se tiene entonces que:
2
2
1
n
o
ok
F
X
k
FX oest
Considerando slo la raz negativa se tiene que:
25,0
1
12
n
est
o
X
X
s
radn 17,56
m
N
L
Ik n 114630
17,02
1.217,56
2 2
2
2
2
2
3
32,38
3
1146301,03NmEI
L
EIk
7. La figura representa un vehculo que se mueve por un pavimento senoidal.
Si m= 2000 Kg., 0.4, v= 72 Km/hr. K determinado de un ensayo mostr
que una fuerza de 50 Kg sobre el vehculo produca una deformacin de 2.0
mm. Determine la amplitud de las vibraciones estacionarias.
Solucin:
De la figura se puede apreciar que los resortes se encuentran en
paralelo, luego el valor de la constante elstica se determina de: kkk
keq 22
,
luego de los datos entregados de la aplicacin experimental de una fuerza, que
produce una deformacin se puede determinar el valor de la rigidez del resorte,
el cual ser el valor del equivalente, segn se ha mostrado anteriormente:
m
NFk 245000002,0
8,950
De los otros datos se obtiene que:
s
m
h
kmv 2072
T = 0,6 s Perodo. Luego se obtiene que: s
radT
5,102
Por lo tanto de la ecuacin bsica se obtiene la frecuencia natural del sistema:
12 m
3 cm
m
K/2 K/2
v
srad
m
kn 07,11
2000
245000
Por lo tanto, el modelo a usar es el siguiente:
Donde: tSentSenXX ob 5,1003,0
Por lo tanto, la ecuacin del movimiento se obtiene a partir del mtodo de
Newton, de la siguiente forma:
xmxxcxxk bb )()(
)(tfkxxcxm Donde: bb kxxctf )(
Entonces la amplitud de las vibraciones estacionarias se puede determinar de:
22
2
2
21
21
nn
n
bo XX
Evaluando esta expresin con los trminos conocidos y los que aqu hemos
obtenido, se tiene que:
22
2
2
07,115,104,02
07,115,101
07,115,104,021
03.0
oX
M
k c x
Vibraciones Forzadas
por Movimiento de la
base
Xb
Resultando que: cmmX o 93,40493,0
8. La figura representa esquemticamente un mecanismo de leva. La leva rota
a 500 cpm, k= 20 KN/m, M= 20 Kg, c= 0, masa del seguidor = 0. El
desarrollo en serie de Fourier del levantamiento que indica el grfico es
(observe que y(t)= 0 para ngulos de rotacin de la leva entre 120 y 360):
y(t)= 1.8 + 3.3Cos(2/T+20) + 1.5Cos (4/T-70) + 0.3Cos(6/T+50) +
0.1Cos(8/T+120) mm.
a) Dibuje el espectro (en frecuencias) del levantamiento.
b) Determine el mximo desplazamiento (estacionario) de la masa M.
Solucin:
a) Para dibujar el espectro en frecuencias, primero se debe obtener el perodo,
y a partir de ese valor la frecuencia o viceversa, pues son linealmente
dependientes, luego se deben transformar los datos a unidades tiles:
sradcpm 36,52500 34,8
2
36,52
f HZ
Lev
anta
mie
nto
H (
mm
)
Rotacin de la Leva (0)
0 30 60 90 120
2
6
10
m
k c
120
Por lo tanto el espectro tiene la siguiente forma:
Este espectro se da a partir de los siguientes valores:
1.0)1208(1.0
3.0)506(3.0
5.1)704(5.1
3.3)202(3.3
8.1
4
3
2
1
ftCosX
ftCosX
ftCosX
ftCosX
X
b
b
b
b
bo
b) Utilizamos la siguiente frmula para obtener el mximo desplazamiento en
estado estacionario:
22
2
2
21
21
nn
n
bo XX
Como el valor de c = 0, luego 0 .
Entonces la ecuacin se reduce y evaluando se tiene que:
22
62,3136,521
1
bo XX
Donde: 4321 bbbbb XXXXX = 1.8 + 3.3 + 1.5 + 0.3 + 0.1 = 7 mm.
Y(t)
f cpm
1.8
3.3
1.5
0.3 0.1
0 500 1000 1500 2000
Por lo tanto reemplazando este valor en la ecuacin anterior, se tiene que:
mmX o 02,4054,07
9. Despreciando la masa del eje, determine la primera velocidad crtica
utilizando el mtodo de Rayleigh.
Solucin:
44
6
lg57,132
1030
puD
J
psiE
Utilizando el mtodo de Rayleigh, se tiene:
Actuando slo W1:
La deflexin de la viga en su longitud x est dada por la siguiente ecuacin con
funciones de singularidad (obtenida del libro "Diseo de Mquinas" de Robert
L. Norton, 1999, Prentice Hall):
baaba
bxba
baxbx
b
ax
b
ab
EJ
Fy 223
3333
34
9
442
2"
10 "
10 " 8 "
W1=100 lb
W2=50 lb
a W1
b
x
lg1012,2600090001000200014005832256109761042,9
100
lg1012,26000900010002000500005001042,9
100
3
728
'
2
3
710
'
1
puy
puy
x
x
Actuando slo W2:
La deflexin de la viga en su longitud x est dada por la siguiente ecuacin con
funciones de singularidad (obtenida del libro "Diseo de Mquinas" de Robert
L. Norton, 1999, Prentice Hall):
xbabaxbx
b
ax
b
ab
EJ
Fy
333
6
lg1034,6448008,7168,878010826,2
50
lg1012,216000040010826,2
50
4
828
''
2
4
810
''
1
puy
puy
x
x
Luego, lg1091,1 3''1'
11 puyyy
lg105,1 3''2'
22 puyyy
De las deflexiones obtenidas se establece la deformacin de la siguiente forma:
Obtenindose la siguiente frecuencia fundamental:
b
x
a
W2
s
rad
yWyW
yWyWg464
105,1501091,1100
105,1501091,11003862323
33
2
22
2
11
2211
10. Una mquina rotatoria de masa 650 Kg, opera a 1500 cpm y tiene un
desbalanceamiento de 0,12 Kgm. Si el amortiguamiento en los aisladores es
=0,08.
a) Determine la rigidez de los aisladores tal que la transmisibilidad a la
velocidad de operacin sea menor o igual a 0,15.
b) Determine la magnitud de la fuerza transmitida.
Solucin:
a) En primer lugar se transformarn los datos entregados a unidades de
medida ms tiles, tal que:
sradcpm 1571500
Se considera que la transmisibilidad es igual o inferior a 0,15, luego:
2,3
m
kn Este valor es obtenido del grfico para 08,0
As se puede obtener el valor de k, de forma tal que:
m
Nmk 6
2
2
2
1056,124,10
650157
2,3
Por lo tanto el valor de la rigidez de los aisladores es:
m
MNk 56,1
b) La magnitud de la fuerza transmitida es:
o
tor
F
FT Donde: NrmF ooo 295815712,0
22
Luego: 295815,0 toF
Por lo tanto: NFto 8,443
11. Utilizando la integral de Duhamel determine la respuesta del sistema masa
resorte si sobre l acta la funcin escaln de la figura.
Solucin:
f(t) = Fo
tSenm
th nn
1)(
dthftxt
0
)(
t
n
no dm
tSenF
0
t
n
nn
n
o tCos
m
F0
tCosk
FtCos
m
Ftx n
on
n
o
11)(2
f(t)
F0
t