Respuesta a Gua de Ejercicios N 2

Problemas de Sistemas de un Grado de Libertad

1. Un instrumento de masa m es embalado soportado por un resorte de rigidez

k. Se supone que el paquete en su transporte podra caer de una altura h.

Asuma que el paquete cuando choca con el suelo queda en reposo

instantneamente. Si m= 15 Kg., h= 5 m y k=0.5 MN/m. Determine:

a) Amplitud de las vibraciones de m.

b) Mxima fuerza a la cual queda sometido el resorte.

c) Mxima aceleracin del instrumento.

Solucin:

a) Desde que choca se tiene que:

0 kxxm Solucin Ecuacin

diferencial:

ghx

x

2)0(

0)0(

)()( tSenxtx no

2

02

n

oo

xxX

0x

xtang on

Como las condiciones iniciales son las siguientes:

ghxx

xx

o

o

2)0(

0)0(

Entonces:

n

o

ghX

2 con

m

kn

Por lo tanto:

cmmk

hgmX o 4.5054.0

2

b) Mxima fuerza a la cual queda sometido el resorte:

m x

m

k

h

Caja Rgida

Instrumento

NXkF ok 27000054.0105.06 kNFk 27

c) Mxima aceleracin del instrumento:

ox

xtang on

0

0

t

m

kSen

k

mghtx

2)( Si derivamos dos veces esta ecuacin

encontramos que:

t

m

kSen

m

k

k

mghtx

2)( Para hacer x positivo se aumenta la fase, tal

que:

t

m

kSen

m

k

k

mghtx

2)( Evaluando se tiene que:

2

6

61800

15

105.0

105.0

510152)(

smtx

21800)( s

mtx

2. Disco de radio r y masa m unido en el punto medio de un eje de acero de

masa despreciable y largo L, el cual est empotrado en sus extremos.

Determine la mxima amplitud de giro en torsin si se le comunica al disco una

velocidad tangencial v.

Solucin:

2l

GJT

L

GJM

GJ

LMt

t

00 IM

042 00 GJIIT (ecuacin del movimiento del sistema)

Frecuencia natural del sistema: lI

GJn

0

4

Mxima amplitud de giro:

2

2

0

0

n

o

Condiciones iniciales: 00 ; r

v0

Por lo tanto,

lI

GJr

v

lI

GJ

rv

00

0

24

3. Si m= 12 (lb), k= 6 (lb/pulg), Fo= 2 (lb), c= 0.43 (lb/pulg/s). Determine:

FoSent

X(t)

a) Frecuencia natural.

b) Amplitud para n y amplitud de resonancia.

c) Desfase entre desplazamiento y fuerza en la resonancia.

d) Frecuencia de resonancia (correspondiente al peak de amplitudes).

e) Velocidad y aceleracin mxima.

Solucin:

La ecuacin del movimiento est dada por:

tSenFkxxcxm o

Ahora si se convierte el valor de la aceleracin de

la gravedad al sistema de pulgadas, se tiene que:

22

lg8.3858.9

s

pu

s

mg

Por lo tanto el valor de k es:

28.2314

s

lbk

a) Frecuencia natural:

srad

m

kn 9.13

12

8.2314

b) Amplitud para n y amplitud de resonancia:

Amortiguamiento crtico:

s

lbmc nc 6.3339.131222

s

lbs

pu

spu

lbc 9.165lg

8.385lg

43.0 2

Por lo tanto el factor de amortiguamiento es:

5.06.333

9.165

cc

c

y la Frecuencia Natural de Vibrar Amortiguada es:

s

radnd 04.125.019.131

22

m

c k

Ahora para la situacin solicitada en este tem del ejercicio, se tiene que la

amplitud es:

Si n lg33,05.02

62

2mx pu

kF

X

o

o

Si d

lg39,0

9.13

04.125.02

9.1304.121

62

21

222

222

puX

nn

kF

o

o

c) Desfase entre desplazamiento y fuerza en la resonancia: )( n

11

15.02

1

2

2

n

ntang

90

d) Frecuencia de resonancia:

sradn 83,95,0219,132122

e) Velocidad y aceleracin mxima:

La ecuacin diferencial que da solucin a este sistema es:

)()( tSenXtx o (respuesta estacionaria)

Derivando una vez esta ecuacin y reemplazando los valores se obtiene

el valor de la velocidad, el cual resulta ser:

spu

txlg

8,3)(

Derivando nuevamente y evaluando, se obtiene el valor de la aceleracin, el

cual es:

2lg

5,37)(s

putx

4. Determine las frecuencias naturales de vibrar en torsin y axialmente del

rotor de la figura de radio r y masa M. La masa de los ejes es despreciable.

Solucin:

La ecuacin del movimiento, se puede obtener a travs de los mtodos

de Lagrange o Newton, resultando este ltimo muy sencillo, con lo cual

realizando sumatoria de los momentos con respecto al punto fijo, es decir el

centro, se obtiene que:

0..

kJ se debe considerar que: 22

1MrJ

Luego:

L

GJ

L

GJk 21

32

)2( 4

1

DJ

32

)( 4

2

DJ

Entonces el valor de k se obtiene evaluando la expresin anterior, de lo cual

resulta:

L

DGk

32

17 4

Reemplazando estos valores en la ecuacin del movimiento se obtiene que:

032

17

2

1 4..2

L

DGMr Debemos considerar que:

16

44 rD

De aqu se obtiene la frecuencia natural, de su forma de clculo elemental:

2D

D

L L

2

4

2

4

16

17

2

132

17

MLr

DG

Mr

L

DG

n

Frecuencia Natural de Vibrar en

Torsin.

Axialmente:

0l

lEE

A

F

L

xEAF

L

xEAF

22

11

Si ahora se deduce la ecuacin del movimiento a travs del mtodo de Newton

se tiene que: 0)( 21

..

xL

AAExM

Por lo tanto usando la ecuacin bsica para el clculo de la frecuencia natural

se tiene que:

LM

AAEn

)( 21 221 )2(4

DDA

224

DA

Obteniendo:

LM

DE

n4

52

Finalmente: LM

EDn

2

4

5

F2 F1

5. Un motor elctrico de masa 40 Kg. Se monta en una viga en voladizo como

lo indica la figura, sobre dos tacos de goma. Cada taco tiene un factor de

prdida del material de 0.3. La deflexin esttica de los tacos bajo el peso del

motor es 4 mm. Para determinar la rigidez de la viga se le puso un peso de 20

Kg. en el lugar del motor deflectndose 2.5 mm. Para determinar el

amortiguamiento de la viga se le hizo un test de vibraciones libres. Un

desplazamiento inicial de 10 mm dado a la viga disminuy a 1.5 mm en 3

ciclos. El rotor del motor tiene una masa de 15 Kg. y un desbalanceamiento de

3102 Kg.m. Masa de la viga despreciable.

a) Determine la amplitud de las vibraciones estacionarias del motor girando a

980 cpm.

b) Si los tacos de goma se retiran y el motor se monta directamente en la viga,

determine la amplitud de las vibraciones estacionarias del motor girando a

980 cpm.

Solucin:

Mgk estt 2

m

Nk

est

Mg

t 49050004,02

81,9402

Rigidez de los tacos de goma

Viga

Tacos de Goma

Motor

M

kt kt

ct ct

mNkv 78480

0025,0

81,920

Rigidez de la viga

m

Nk

kkkeq

vteq

436001

2

11 Rigidez equivalente del sistema

Amortiguamiento de la Viga:

949,0)5,1

10ln(

2

1)ln(

1

N

o

x

x

N

15,01

2

2

v

Tenemos que:

sradn 6,102

60

2

sm

Nkmccv 2506207848022

vc 9,375250615,0 cvvc

La fuerza de desbalanceamiento es: NFo 216,10210223

M

kv

kt kt

M

keq

10

1.5

X1 X3

ct ct

Cv Ceq

El amortiguamiento equivalente de los tacos es:

sm

Nkc

eq

eqt 5.1276.102

3.043600

El amortiguamiento equivalente total del sistema es:

2,95

1

9,375

1

5,127

1111

veqteq ccc

sm

Nceq 2,95

La ecuacin del movimiento queda entonces definida como sigue:

txxx

tSenFkxxcxm o

6,102sen21436002,9540

a) Amplitud de las vibraciones:

srad

n 3340

43600

s

mN

mc nc 26402 036,02640

2,95

c

ceqeq

Luego utilizando la siguiente ecuacin se logra obtener la amplitud de las

vibraciones:

22

222

2

336,102036,02

336,1021

4360021

21

n

eq

n

eq

o

o

kF

X

ummxX o 55105.55

b) s

radn 3.44

40

78480

22

222

2

3,446,1021,02

3,446,1021

7848021

21

n

v

n

v

o

o

kF

X

ummxX o 61101,65

6. Un motor de combustin interna de cuatro tiempos se monta como indica la

figura. El motor est montado en dos soportes tal que es capaz de oscilar

respecto al eje x-x. Resortes de hoja conectan el block del motor y la base.

Cul debera ser la rigidez EI de dos resortes para que la amplificacin

dinmica (xo/xo esttico) a la frecuencia ms baja de excitacin del motor

girando a 1200 r.p.m. sea de 0.25 ? Determine la seccin transversal de la hoja

de resorte si la razn espesor/ancho es 0.1.

Momento de inercia de la masa del motor respecto a x-x es 2.1 Kg.m.

Longitud l de la hoja de resorte es 0.1 m.

Distancia L entre x-x y la fijacin motor-hoja es 0.17m.

Solucin:

Diagrama de Cuerpo Libre:

L

kL

n = 1200 rpm s

radn 6.12560

2

25.0est

o

X

X

La ecuacin del movimiento del sistema es: 02 2 kLI

Entonces la frecuencia natural es: I

kLn

22

Utilizando la frmula anteriormente enunciada (**), pero considerando ahora

que el valor del factor de amortiguamiento es 0, se tiene entonces que:

2

2

1

n

o

ok

F

X

k

FX oest

Considerando slo la raz negativa se tiene que:

25,0

1

12

n

est

o

X

X

s

radn 17,56

m

N

L

Ik n 114630

17,02

1.217,56

2 2

2

2

2

2

3

32,38

3

1146301,03NmEI

L

EIk

7. La figura representa un vehculo que se mueve por un pavimento senoidal.

Si m= 2000 Kg., 0.4, v= 72 Km/hr. K determinado de un ensayo mostr

que una fuerza de 50 Kg sobre el vehculo produca una deformacin de 2.0

mm. Determine la amplitud de las vibraciones estacionarias.

Solucin:

De la figura se puede apreciar que los resortes se encuentran en

paralelo, luego el valor de la constante elstica se determina de: kkk

keq 22

,

luego de los datos entregados de la aplicacin experimental de una fuerza, que

produce una deformacin se puede determinar el valor de la rigidez del resorte,

el cual ser el valor del equivalente, segn se ha mostrado anteriormente:

m

NFk 245000002,0

8,950

De los otros datos se obtiene que:

s

m

h

kmv 2072

T = 0,6 s Perodo. Luego se obtiene que: s

radT

5,102

Por lo tanto de la ecuacin bsica se obtiene la frecuencia natural del sistema:

12 m

3 cm

m

K/2 K/2

v

srad

m

kn 07,11

2000

245000

Por lo tanto, el modelo a usar es el siguiente:

Donde: tSentSenXX ob 5,1003,0

Por lo tanto, la ecuacin del movimiento se obtiene a partir del mtodo de

Newton, de la siguiente forma:

xmxxcxxk bb )()(

)(tfkxxcxm Donde: bb kxxctf )(

Entonces la amplitud de las vibraciones estacionarias se puede determinar de:

22

2

2

21

21

nn

n

bo XX

Evaluando esta expresin con los trminos conocidos y los que aqu hemos

obtenido, se tiene que:

22

2

2

07,115,104,02

07,115,101

07,115,104,021

03.0

oX

M

k c x

Vibraciones Forzadas

por Movimiento de la

base

Xb

Resultando que: cmmX o 93,40493,0

8. La figura representa esquemticamente un mecanismo de leva. La leva rota

a 500 cpm, k= 20 KN/m, M= 20 Kg, c= 0, masa del seguidor = 0. El

desarrollo en serie de Fourier del levantamiento que indica el grfico es

(observe que y(t)= 0 para ngulos de rotacin de la leva entre 120 y 360):

y(t)= 1.8 + 3.3Cos(2/T+20) + 1.5Cos (4/T-70) + 0.3Cos(6/T+50) +

0.1Cos(8/T+120) mm.

a) Dibuje el espectro (en frecuencias) del levantamiento.

b) Determine el mximo desplazamiento (estacionario) de la masa M.

Solucin:

a) Para dibujar el espectro en frecuencias, primero se debe obtener el perodo,

y a partir de ese valor la frecuencia o viceversa, pues son linealmente

dependientes, luego se deben transformar los datos a unidades tiles:

sradcpm 36,52500 34,8

2

36,52

f HZ

Lev

anta

mie

nto

H (

mm

)

Rotacin de la Leva (0)

0 30 60 90 120

2

6

10

m

k c

120

Por lo tanto el espectro tiene la siguiente forma:

Este espectro se da a partir de los siguientes valores:

1.0)1208(1.0

3.0)506(3.0

5.1)704(5.1

3.3)202(3.3

8.1

4

3

2

1

ftCosX

ftCosX

ftCosX

ftCosX

X

b

b

b

b

bo

b) Utilizamos la siguiente frmula para obtener el mximo desplazamiento en

estado estacionario:

22

2

2

21

21

nn

n

bo XX

Como el valor de c = 0, luego 0 .

Entonces la ecuacin se reduce y evaluando se tiene que:

22

62,3136,521

1

bo XX

Donde: 4321 bbbbb XXXXX = 1.8 + 3.3 + 1.5 + 0.3 + 0.1 = 7 mm.

Y(t)

f cpm

1.8

3.3

1.5

0.3 0.1

0 500 1000 1500 2000

Por lo tanto reemplazando este valor en la ecuacin anterior, se tiene que:

mmX o 02,4054,07

9. Despreciando la masa del eje, determine la primera velocidad crtica

utilizando el mtodo de Rayleigh.

Solucin:

44

6

lg57,132

1030

puD

J

psiE

Utilizando el mtodo de Rayleigh, se tiene:

Actuando slo W1:

La deflexin de la viga en su longitud x est dada por la siguiente ecuacin con

funciones de singularidad (obtenida del libro "Diseo de Mquinas" de Robert

L. Norton, 1999, Prentice Hall):

baaba

bxba

baxbx

b

ax

b

ab

EJ

Fy 223

3333

34

9

442

2"

10 "

10 " 8 "

W1=100 lb

W2=50 lb

a W1

b

x

lg1012,2600090001000200014005832256109761042,9

100

lg1012,26000900010002000500005001042,9

100

3

728

'

2

3

710

'

1

puy

puy

x

x

Actuando slo W2:

La deflexin de la viga en su longitud x est dada por la siguiente ecuacin con

funciones de singularidad (obtenida del libro "Diseo de Mquinas" de Robert

L. Norton, 1999, Prentice Hall):

xbabaxbx

b

ax

b

ab

EJ

Fy

333

6

lg1034,6448008,7168,878010826,2

50

lg1012,216000040010826,2

50

4

828

''

2

4

810

''

1

puy

puy

x

x

Luego, lg1091,1 3''1'

11 puyyy

lg105,1 3''2'

22 puyyy

De las deflexiones obtenidas se establece la deformacin de la siguiente forma:

Obtenindose la siguiente frecuencia fundamental:

b

x

a

W2

s

rad

yWyW

yWyWg464

105,1501091,1100

105,1501091,11003862323

33

2

22

2

11

2211

10. Una mquina rotatoria de masa 650 Kg, opera a 1500 cpm y tiene un

desbalanceamiento de 0,12 Kgm. Si el amortiguamiento en los aisladores es

=0,08.

a) Determine la rigidez de los aisladores tal que la transmisibilidad a la

velocidad de operacin sea menor o igual a 0,15.

b) Determine la magnitud de la fuerza transmitida.

Solucin:

a) En primer lugar se transformarn los datos entregados a unidades de

medida ms tiles, tal que:

sradcpm 1571500

Se considera que la transmisibilidad es igual o inferior a 0,15, luego:

2,3

m

kn Este valor es obtenido del grfico para 08,0

As se puede obtener el valor de k, de forma tal que:

m

Nmk 6

2

2

2

1056,124,10

650157

2,3

Por lo tanto el valor de la rigidez de los aisladores es:

m

MNk 56,1

b) La magnitud de la fuerza transmitida es:

o

tor

F

FT Donde: NrmF ooo 295815712,0

22

Luego: 295815,0 toF

Por lo tanto: NFto 8,443

11. Utilizando la integral de Duhamel determine la respuesta del sistema masa

resorte si sobre l acta la funcin escaln de la figura.

Solucin:

f(t) = Fo

tSenm

th nn

1)(

dthftxt

0

)(

t

n

no dm

tSenF

0

t

n

nn

n

o tCos

m

F0

tCosk

FtCos

m

Ftx n

on

n

o

11)(2

f(t)

F0

t