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UNIVERSIDAD TECNICA DE AMBATO
FACULTAD DE CIENCIAS HUMANAS Y DE LAEDUCACION
CARRERA DE EDUCACION BASICAIII SEMESTRE ¨A¨ y ¨B ¨
PENSAMIENTO LOGICO MATEMATICOMg. Ing. Javier Culki
Marzo – Agosto
2012
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VISION Y MISION DE LA CARRERA DE EDUCACIO BASICA
MISIÓN “Formar profesionales líderes competentes, con visión
humanista y pensamiento crítico a través de la Docencia, laInvestigación y la Vinculación, que apliquen, promuevan y
difundan el conocimiento respondiendo a las necesidades de
aís”.
VISIÓN
“La Carrera de Educación Básica de la Facultad de Ciencias
Humanas y de la Educación de la Universidad Técnica de
Ambato por sus niveles de excelencia se constituirá en un
centro de formación Superior con liderazgo y proyección
nacional e internacional”.
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TEORÍA DE CONJUNTOS
El matemático ruso- alemán Georg Ferdinand Ludwing Philipp Cantor (1848-1918) crea la teoríaconjuntista.El concepto de conjunto es fundamental en las Matemáticas.DEFINICIÓN.- Es la colección de objetos que poseen una característica común. Los objetos reciben elnombre de elementos.DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO.- Existen dos formas para determinar un conjunto.1.- Tabulación o extensión
2.- Comprensión o forma constructiva
TABULACION O EXTENSIONUn conjunto esta determinado por extensión o enumeración cuando se enlista a todos los elementos.Ejemplos: A = {a, e, i, o, u}
B = {1, 2, 3, 5, 7, 11}
COMPRESION O FORMA CONSTRUCTIVAUn conjunto esta determinado por comprensión, cuando se expresa la propiedad común de todos loselementos.Ejemplos: A = {x/x es una vocal}
B = {x/x es un numero primo menor que 13}
CONJUNTOS RELEVANTES
Conjunto vacio Conjunto unitario Conjunto finito Conjunto infinito Conjunto universo
CONJUNTO VACIOUn conjunto vacio es el que carece de elementos y se representa con el símbolo φ (fi)Ejemplo:
φ= {x/x es la sexta vocal}
CONJUNTO UNITARIOEs aquel conjunto que contiene un único elementoEjemplo:
A = {x/x es la ciudad de Ambato}
CONJUNTO FINITO
Es aquel conjunto que tiene una cantidad finita de elementosEjemplo:A = {x/x es provincias del Ecuador}
CONJUNTO INFINITOEs aquel que contiene una cantidad infinita de elementosEjemplo:
A = {x/x es números primos}
CONJUNTO UNIVERSOEs aquel conjunto que contiene todos los elementos que poseen una característica común
Ejemplo:A = {x/x es los dígitos}
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TALLER # 1
Completa la determinación de cada conjunto
Tabulación Comprensión
A = {0, 2, 4, 6, 8, 10} A = {x/ x……………………………………………}
B = { } B = {x/x es las letras de la fórmula del cloruro de sodio}
C = {senθ, cosθ, tanθ} C = {x/x……………………………………………}
D = { } D = {x/x es planetas del sistema solar}
Escribe por comprensión dos ejemplos de cada conjunto notable
VACIO: 1.-…………………………………………………………………………………………….
2.- …………………………………………………………………………………………….
UNITARIO: 1.-………………………………………………………………………………………… 2.- ………………………………………………………………………………………
FINITO: 1.-…………………………………………………………………………………………….
2.- …………………………………………………………………………………………….
INFINITO: 1.-…………………………………………………………………………………………
2.- …………………………………………………………………………………………
UNIVERSO: 1.-…………………………………………………………………………………………
2.- ………………………………………………………………………………………
CONSULTA:
SIGNOS Y SIMBOLOS
Símbolo Nombre se lee como Categoría
{ , }delimitadores de conjunto el conjunto de ... teoría de
conjuntos
{a,b,c} significa: el conjunto consistente de a, b, y c
N = {0,1,2,...}
{ : }{ | }
notación constructora deconjuntos
el conjunto de los elementos ... tales que ...teoría deconjuntos
{ x : P( x)} significa: el conjunto de todos los x para los cuales P( x) es verdadera. { x | P( x)} eslo mismo que { x : P( x)}.
{n ∈ N : n² < 20} = {0,1,2,3,4}
∅ {}
conjunto vacío conjunto vacío teoría deconjuntos
{} significa: el conjunto que no tiene elementos; ∅ es la misma cosa.
{n ∈ N : 1 < n² < 4} = {}
∈ pertenencia de conjuntos en; está en; es elemento de; es miembro de; teoría de
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∉ pertenece a conjuntos
a ∈ S significa: a es elemento del conjunto S; a ∉ S significa: a no es elemento del conjuntoS
(1/2)− ∈ N; 2− ∉ N
⊆ ⊂
subconjunto es subconjunto deteoría deconjuntos
A ⊆ B significa: cada elemento de A es también elemento de B A ⊂ B significa: A ⊆ B pero A ≠ B
A ∩ B ⊆ A; Q ⊂ R
∪ unión de conjuntos la unión de ... y ...; unión
teoría deconjuntos
A ∪ B significa: el conjunto que contiene todos los elementos de A y también todos aquellosde B, pero ningún otro.
A ⊆ B ⇔ A ∪ B = B
∩ intersección de conjuntos la intersección de ... y ...; intersección
teoría deconjuntos
A ∩ B significa: el conjunto que contiene todos aquellos elementos que A y B tienen encomún.
{ x ∈ R : x² = 1} ∩ N = {1}
\ complemento de un conjunto menos; sin
teoría deconjuntos
A \ B significa: el conjunto que contiene todos aquellos elementos de A que no se encuentranen B
{1,2,3,4} \ {3,4,5,6} = {1,2}Tomado de Wikipedia.
ALGUNOS SÍMBOLOS MATEMÁTICOS
SÍMBOLO SIGNIFICADO
∃ Existe (∃/:no existe)∃! Existe sólo uno∀ Para todo#Absurdo, contradicción/Tal que, de forma quet.q. Tal que∪ Unión∩ Intersección⊂ Incluido (.:no incluido) o Subconjunto de⊆ Incluido o coincide∈ Pertenece (.: no pertenece)∨ o∧ yP⇒ Q
P implica QSi se verifica P entonces se verifica QQ es condición necesaria para que se cumpla P
P⇔ QP es equivalente a Q
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P se verifica si y sólo si se verifica QQ es condición necesaria y suficiente para que Se cumpla P
i.e. Idénticamente, equivalentementeφ Conjunto vacío
CONCEPTOS FUNDAMENTALES
Diagrama de Venn.- Inventado por John Venn, en 1880, es un organizador grafico que utiliza círculos,
que se sobreponen para representar características que comparten o no.
RELACIÓN DE PERTENENCIA ⊆
Se dice que un conjunto A está contenido en B (o Que A es subconjunto de B o que A es
parte de B), si todo elemento de A es también elemento de B, y se denota A⊆ BA⊆ B significa que∀ x/x ∈ A⇒ x∈ B;Se lee: A esta incluido en B para todo elemento x, x pertenece a A esto implica que xpertenece a BDIAGRAMA DE INCLUSIÓN
Si A⊆ B y B⊆ A, entonces Los conjuntos son iguales A = B.Esta relación me indica que los conjuntos A y B tienen los mismos elementos.De esto se desprende que:a.- Todo conjunto está contenido en si mismo.b.- La inclusión no es reciproca o refleja, excepto cuando los dos conjuntos son iguales.c.- El conjunto vacio está incluido en el conjunto A.
OPERACIONES DE CONJUNTOS
UNIÓN DE CONJUNTOSSe llama unión de dos conjuntos A y B al conjunto formado por los elementos que
pertenecen al conjunto A y al Conjunto B.
A∪ B = {x/x∈ A ∨ x∈ B}
Que se lee: A unión B es igual al conjunto formado por los elementos tales que xpertenezca al conjunto A o x pertenezca al conjunto BDIAGRAMAS DE UNIÓN
B
A
B
A
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Diagrama de unión cuando A es subconjunto de B
Diagrama de unión de dos conjuntos intersecantes
Diagrama de unión de conjuntos disjuntos
INTERSECCION DE CONJUNTOS
Se llama intersección de dos conjuntos A y B al conjunto formado por los elementos
comunes de A y de B.
A ∩ B = {x/x∈ A ∧ x ∈ B}
Que se Lee: A intersección B igual al conjunto de elementos tales que x pertenece alconjunto A y x pertenece al conjunto B
DIAGRAMAS DE INTERSECCION
Intersección de conjuntos
BA
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Intersección de subconjuntos
DIFERENCIA DE CONJUNTOS
La diferencia entre dos conjuntos A y B es otro conjunto formado por los elementos
que pertenecen al conjunto A y no pertenecen al conjunto B
A \ B o A – B = {x/ (x ∈ A ∧ x ∈ B}
Que se Lee: A menos B igual al conjunto de elementos tales que x pertenece al conjuntoA y x no pertenece al conjunto B
DIAGRAMAS DE DIFERENCIA Corresponde a la zona pintada de color café
DIFERENCIA SIMÉTRICA ENTRE CONJUNTOS
La diferencia simétrica entre dos conjuntos A y B es otro conjunto formado por los
elementos de los dos conjuntos excepto los elementos comunes.
````
A B = {x/ (x ∈ A ∧ x ∈ B) ∨ (x ∈ B ∧ x ∈ A}
Que se Lee: A diferencia simétrica con B es igual al conjunto de elementos tales que xpertenece al conjunto A y x no pertenece al conjunto B o x pertenece al conjunto B y x
no pertenece al conjunto A
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Algunas propiedades del conjunto diferencia son:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
DIAGRAMAS DE DIFERENCIA SIMÉTRICA Corresponden a las zonas pintadasde color café y color verde oscuro
COMPLEMENTACION DE CONJUNTOS
El conjunto complemento de A es otro conjunto formado por los elementos del conjunto
universo y que no pertenecen al conjunto A. Para representar el complemento delconjunto A se lo hace Ac
Algunas propiedades básicas del complemento son:
1.
2.
3.
4.
5.
La propiedad 5 se la conoce por el nombre de Las Leyes de De Morgan.
DIAGRAMAS DE COMPLEMENTO
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En el diagrama el complemento corresponde al área pintada en celeste
PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
Además de las anteriores se verifican las siguientes:
PROPIEDAD OPERACIÓN
Elemento nulo A φ = A, φ A = A φ = A
Elemento Universal AU = U , U A = A U = A
PROPIEDAD UNION INTERSECCIONIDEMPOTENCIA A A = A A A = ACONMUTATIVA A B = B A A B = B AASOCIATIVA A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) CABSORCION A ( A B) = A A (A B ) = ADISTRIBUTUVA A ( BC) = (A (A C ) B C ) = (A A C )COMPLEMENTARIEDAD A Ac = U A Ac = φ
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