ORORÍÍGENES DE LA GEOMETRGENES DE LA GEOMETRÍÍA PROYECTIVAA PROYECTIVA

María Emilia Alonso • Departamento de Álgebra, UCM

María Cruz del Amo • IES Miguel Servet, MadridRaquel Mallavibarrena • Departamento de Álgebra, UCM

Isabel Pinto • IES La Fuensanta, CórdobaJesús M. Ruiz • Departamento de Geometría y Topología, UCM

Proyectos UCM de Innovación Educativa Facultad de Ciencias Matemáticas

2002

Hexagrama

EL MODELO PROYECTIVO DEL PLANO HIPERBEL MODELO PROYECTIVO DEL PLANO HIPERBÓÓLICOLICOEn 1871 Felix Klein presentó un modeloproyectivo de geometría no euclídea, siguiendo unasideas anteriores de Eugenio Beltrami (1835-1900). Este modelo es útil para adquirir unavisión global del plano hiperbólico y entenderalgunas de sus peculiaridades.

F. KleinE. Beltrami

PARALELISMOObservamos que en el plano hiperbólico no se cumple el Quinto Postulado de Euclides: por unpunto exterior a una recta se pueden trazar infinitas rectas que no la cortan.

Las rectas PA y PB sellaman paralelas a AB ylas otras ultraparalelas.

PUNTOS Y RECTASA partir de una cónica E del plano proyectivo real se considera el plano hiperbólico comoformado por los puntos interiores de E. Las rectas de este modelo de plano hiperbólico son lasmismas que las del plano proyectivo, pero reducidas a su parte interior a E. La cónica E sedenomina cónica absoluta o absoluto del plano hiperbólico. El siguiente dibujo resume esto.

A y B no son puntos de la rectadel plano hiperbólico, que espor tanto ilimitada.

MOVIMIENTOSLos movimientos de este plano hiperbólico son los del plano proyectivo (las colineaciones) quedejan invariante el absoluto E. Por supuesto, lo que importa aquí es la restricción de dichascolineaciones al plano hiperbólico. Dos figuras del plano hiperbólico se consideran iguales (ocongruentes) cuando hay un movimiento que transforma una en otra.

Ejemplo de movimiento: una homología de centro P que induce una involución

en el absoluto. Este movimiento se llamasimetría de centro P.

PERPENDICULARIDADDos rectas r=AB y r'=A'B' son perpendiculares si existe un movimiento que superpone losángulos adyacentes y (es decir, si esos ángulos son iguales o congruentes). En tal caso losángulos y se llaman rectos.

POLARIDADSe llama punto polar de una recta r=AB al punto Q, intersecciónde las dos tangentes a E en los puntos A y B; este punto delplano proyectivo no está en el plano hiperbólico.

La polaridad proporciona una formulación proyectiva de laperpendicularidad en el plano hiperbólico, pues se prueba quedos rectas son perpendiculares si una pasa por el punto polar de la otra.

Un hecho natural para la intuición euclídea es que en elplano hiperbólico dos rectas ultraparalelas tienen siempreuna perpendicular común, pero esa misma intuición escontraria al hecho de que dos rectas paralelas no la tengan.

ultraparalelas

paralelas

Se puede definir el plano proyectivo mediante cuatro axiomas de incidencia entrepuntos y rectas:

• Dos puntos determinan una única recta.• En cada recta hay al menos tres puntos.• Hay tres puntos no alineados.• Dos rectas cualesquiera se cortan en un punto.

Si estos axiomas se cumplen para un conjunto de puntos en el que se señalan ciertossubconjuntos como las rectas y se define la relación de incidencia punto pertenece a recta,entonces tenemos un plano proyectivo.

Surge ahora una pregunta natural: ¿Qué relación hay entre esta definición axiomática deplano proyectivo y la construcción del plano proyectivo como conjunto de rectas de un espaciovectorial de dimensión 3?

Para facilitar las explicaciones, convenimos en denominar plano proyectivo axiomático acualquier conjunto de puntos y rectas que cumpla la axiomática anterior, y planoproyectivo algebraico al conjunto de rectas de un espacio vectorial de dimensión 3.

En primer lugar se observa que un plano proyectivo algebraico (definido sobre uncuerpo K finito o infinito, con 2 o más elementos), cumple los axiomas anteriores, y espor tanto un plano proyectivo axiomático. Pero, ¿y recíprocamente?

La respuesta a esta cuestión es que NO: se pueden encontrar planos proyectivos axiomáticosque no son algebraicos.

Teorema de Desargues

Teorema de Pappus

La existencia de esos ejemplos no algebraicos estárelacionada con uno de los resultados clásicos de laGeometría Proyectiva: el célebre Teorema deDesargues, que se verifica en todos los planosproyectivos algebraicos. Ocurre que no todos los planosproyectivos axiomáticos cumplen ese teorema, ynaturalmente, los que no lo cumplen no pueden seralgebraicos. El primer ejemplo de este fenómeno sedebe a Oswald Veblen (1880-1960) y Joseph

Henry Maclagan Wedderburn (1882-1948). Paradistinguirlos, los planos proyectivos que sí cumplen elteorema de Desargues se denominan desarguesianos.

Estos planos proyectivos desarguesianos sí se puedendefinir algebraicamente, aunque con un pequeñomatiz. En realidad, se demuestra que un planoproyectivo desarguesiano está definido de manera algebraica(como rectas de un espacio vectorial), pero nonecesariamente sobre un cuerpo, sino sobre un anillo dedivisión.

Digamos, para completar esta discusión, que un planodesarguesiano está definido sobre un cuerpo precisamentecuando se verifica en él otro resultado clásico: elTeorema de Pappus.

DESCRIPCIDESCRIPCIÓÓN AXIOMN AXIOMÁÁTICA DEL PLANO PROYECTIVOTICA DEL PLANO PROYECTIVO

J.H.M. Wedderburn O. Veblen

La Geometría Proyectiva finita fue considerada ya por von

Staudt, y formalizada con todo rigor por matemáticos posteriores.Mención especial entre éstos merece Gino Fano (1871-1952), queda su nombre a la configuración del plano proyectivo con sietepuntos.

G. Fano K.G.Ch. von Staudt

Es claro que si un plano proyectivo finito estádefinido sobre un cuerpo, éste debe ser finito. Sedemuestra entonces que si el cuerpo tiene pelementos, el plano proyectivo tiene 1+p+p2 puntos, yel mismo número 1+p+p2 de rectas. De este modo, elplano proyectivo finito más pequeño está definidosobre el cuerpo de dos elementos, y resulta tener 7puntos y 7 rectas. Este plano de siete puntos serepresenta mediante la configuración adjunta, quemuestra las incidencias de puntos y rectas. Otroejemplo importante de plano proyectivo finito es elplano proyectivo no desarguesiano de Veblen yWedderburn: se trata de un plano proyectivo finito con91 puntos. Este plano no es algebraico, pero existe otroplano proyectivo con 91 puntos que sí lo es: eldefinido sobre un cuerpo finito con p=9 elementos(pues en ese caso 1+p+p2=91).

Configuración de Fano

Los axiomas que definen un plano proyectivo pueden aplicarse a conjuntosfinitos de puntos y rectas, situación que se aleja de la intuición geométricamás inmediata. Se tienen en este caso los planos proyectivos finitos.

PLANOS PROYECTIVOS FINITOSPLANOS PROYECTIVOS FINITOS