ORÍGENES DE LA GEOMETRÍA PROYECTIVAjesusr/expogp/pdfs/expogp/geop11y12.pdf · Hexagrama EL MODELO...
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OR OR Í Í GENES DE LA GEOMETR GENES DE LA GEOMETR Í Í A PROYECTIVA A PROYECTIVA María Emilia Alonso • Departamento de Álgebra, UCM María Cruz del Amo • IES Miguel Servet, Madrid Raquel Mallavibarrena • Departamento de Álgebra, UCM Isabel Pinto • IES La Fuensanta, Córdoba Jesús M. Ruiz • Departamento de Geometría y Topología, UCM Proyectos UCM de Innovación Educativa Facultad de Ciencias Matemáticas 2002 Hexagrama EL MODELO PROYECTIVO DEL PLANO HIPERB EL MODELO PROYECTIVO DEL PLANO HIPERB Ó Ó LICO LICO En 1871 Felix Klein presentó un modelo proyectivo de geometría no euclídea, siguiendo unas ideas anteriores de Eugenio Beltrami (1835- 1900). Este modelo es útil para adquirir una visión global del plano hiperbólico y entender algunas de sus peculiaridades. F. Klein E. Beltrami PARALELISMO Observamos que en el plano hiperbólico no se cumple el Quinto Postulado de Euclides: por un punto exterior a una recta se pueden trazar infinitas rectas que no la cortan. Las rectas PA y PB se llaman paralelas a AB y las otras ultraparalelas. PUNTOS Y RECTAS A partir de una cónica E del plano proyectivo real se considera el plano hiperbólico como formado por los puntos interiores de E. Las rectas de este modelo de plano hiperbólico son las mismas que las del plano proyectivo, pero reducidas a su parte interior a E. La cónica E se denomina cónica absoluta o absoluto del plano hiperbólico. El siguiente dibujo resume esto. A y B no son puntos de la recta del plano hiperbólico, que es por tanto ilimitada. MOVIMIENTOS Los movimientos de este plano hiperbólico son los del plano proyectivo (las colineaciones) que dejan invariante el absoluto E. Por supuesto, lo que importa aquí es la restricción de dichas colineaciones al plano hiperbólico. Dos figuras del plano hiperbólico se consideran iguales (o congruentes) cuando hay un movimiento que transforma una en otra. Ejemplo de movimiento: una homología de centro P que induce una involución en el absoluto. Este movimiento se llama simetría de centro P. PERPENDICULARIDAD Dos rectas r=AB y r'=A'B' son perpendiculares si existe un movimiento que superpone los ángulos adyacentes y (es decir, si esos ángulos son iguales o congruentes). En tal caso los ángulos y se llaman rectos. POLARIDAD Se llama punto polar de una recta r=AB al punto Q, intersección de las dos tangentes a E en los puntos A y B; este punto del plano proyectivo no está en el plano hiperbólico. La polaridad proporciona una formulación proyectiva de la perpendicularidad en el plano hiperbólico, pues se prueba que dos rectas son perpendiculares si una pasa por el punto polar de la otra. Un hecho natural para la intuición euclídea es que en el plano hiperbólico dos rectas ultraparalelas tienen siempre una perpendicular común, pero esa misma intuición es contraria al hecho de que dos rectas paralelas no la tengan. ultraparalelas paralelas Se puede definir el plano proyectivo mediante cuatro axiomas de incidencia entre puntos y rectas: • Dos puntos determinan una única recta. • En cada recta hay al menos tres puntos. • Hay tres puntos no alineados. • Dos rectas cualesquiera se cortan en un punto. Si estos axiomas se cumplen para un conjunto de puntos en el que se señalan ciertos subconjuntos como las rectas y se define la relación de incidencia punto pertenece a recta, entonces tenemos un plano proyectivo. Surge ahora una pregunta natural: ¿Qué relación hay entre esta definición axiomática de plano proyectivo y la construcción del plano proyectivo como conjunto de rectas de un espacio vectorial de dimensión 3? Para facilitar las explicaciones, convenimos en denominar plano proyectivo axiomático a cualquier conjunto de puntos y rectas que cumpla la axiomática anterior, y plano proyectivo algebraico al conjunto de rectas de un espacio vectorial de dimensión 3. En primer lugar se observa que un plano proyectivo algebraico (definido sobre un cuerpo K finito o infinito, con 2 o más elementos), cumple los axiomas anteriores, y es por tanto un plano proyectivo axiomático. Pero, ¿y recíprocamente? La respuesta a esta cuestión es que NO: se pueden encontrar planos proyectivos axiomáticos que no son algebraicos. Teorema de Desargues Teorema de Pappus La existencia de esos ejemplos no algebraicos está relacionada con uno de los resultados clásicos de la Geometría Proyectiva: el célebre Teorema de Desargues, que se verifica en todos los planos proyectivos algebraicos . Ocurre que no todos los planos proyectivos axiomáticos cumplen ese teorema, y naturalmente, los que no lo cumplen no pueden ser algebraicos. El primer ejemplo de este fenómeno se debe a Oswald Veblen (1880-1960) y Joseph Henry Maclagan Wedderburn (1882-1948) . Para distinguirlos, los planos proyectivos que sí cumplen el teorema de Desargues se denominan desarguesianos. Estos planos proyectivos desarguesianos sí se pueden definir algebraicamente, aunque con un pequeño matiz. En realidad, se demuestra que un plano proyectivo desarguesiano está definido de manera algebraica (como rectas de un espacio vectorial), pero no necesariamente sobre un cuerpo, sino sobre un anillo de división. Digamos, para completar esta discusión, que un plano desarguesiano está definido sobre un cuerpo precisamente cuando se verifica en él otro resultado clásico: el Teorema de Pappus. DESCRIPCI DESCRIPCI Ó Ó N AXIOM N AXIOM Á Á TICA DEL PLANO PROYECTIVO TICA DEL PLANO PROYECTIVO J.H.M. Wedderburn O. Veblen La Geometría Proyectiva finita fue considerada ya por von Staudt, y formalizada con todo rigor por matemáticos posteriores. Mención especial entre éstos merece Gino Fano (1871-1952), que da su nombre a la configuración del plano proyectivo con siete puntos. G. Fano K.G.Ch. von Staudt Es claro que si un plano proyectivo finito está definido sobre un cuerpo, éste debe ser finito. Se demuestra entonces que si el cuerpo tiene p elementos, el plano proyectivo tiene 1+p+p 2 puntos, y el mismo número 1+p+p 2 de rectas. De este modo, el plano proyectivo finito más pequeño está definido sobre el cuerpo de dos elementos, y resulta tener 7 puntos y 7 rectas. Este plano de siete puntos se representa mediante la configuración adjunta, que muestra las incidencias de puntos y rectas. Otro ejemplo importante de plano proyectivo finito es el plano proyectivo no desarguesiano de Veblen y Wedderburn: se trata de un plano proyectivo finito con 91 puntos. Este plano no es algebraico, pero existe otro plano proyectivo con 91 puntos que sí lo es: el definido sobre un cuerpo finito con p=9 elementos (pues en ese caso 1+p+p 2 =91). Configuración de Fano Los axiomas que definen un plano proyectivo pueden aplicarse a conjuntos finitos de puntos y rectas, situación que se aleja de la intuición geométrica más inmediata. Se tienen en este caso los planos proyectivos finitos. PLANOS PROYECTIVOS FINITOS PLANOS PROYECTIVOS FINITOS
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ORORÍÍGENES DE LA GEOMETRGENES DE LA GEOMETRÍÍA PROYECTIVAA PROYECTIVA
María Emilia Alonso • Departamento de Álgebra, UCM
María Cruz del Amo • IES Miguel Servet, MadridRaquel Mallavibarrena • Departamento de Álgebra, UCM
Isabel Pinto • IES La Fuensanta, CórdobaJesús M. Ruiz • Departamento de Geometría y Topología, UCM
Proyectos UCM de Innovación Educativa Facultad de Ciencias Matemáticas
2002
Hexagrama
EL MODELO PROYECTIVO DEL PLANO HIPERBEL MODELO PROYECTIVO DEL PLANO HIPERBÓÓLICOLICOEn 1871 Felix Klein presentó un modeloproyectivo de geometría no euclídea, siguiendo unasideas anteriores de Eugenio Beltrami (1835-1900). Este modelo es útil para adquirir unavisión global del plano hiperbólico y entenderalgunas de sus peculiaridades.
F. KleinE. Beltrami
PARALELISMOObservamos que en el plano hiperbólico no se cumple el Quinto Postulado de Euclides: por unpunto exterior a una recta se pueden trazar infinitas rectas que no la cortan.
Las rectas PA y PB sellaman paralelas a AB ylas otras ultraparalelas.
PUNTOS Y RECTASA partir de una cónica E del plano proyectivo real se considera el plano hiperbólico comoformado por los puntos interiores de E. Las rectas de este modelo de plano hiperbólico son lasmismas que las del plano proyectivo, pero reducidas a su parte interior a E. La cónica E sedenomina cónica absoluta o absoluto del plano hiperbólico. El siguiente dibujo resume esto.
A y B no son puntos de la rectadel plano hiperbólico, que espor tanto ilimitada.
MOVIMIENTOSLos movimientos de este plano hiperbólico son los del plano proyectivo (las colineaciones) quedejan invariante el absoluto E. Por supuesto, lo que importa aquí es la restricción de dichascolineaciones al plano hiperbólico. Dos figuras del plano hiperbólico se consideran iguales (ocongruentes) cuando hay un movimiento que transforma una en otra.
Ejemplo de movimiento: una homología de centro P que induce una involución
en el absoluto. Este movimiento se llamasimetría de centro P.
PERPENDICULARIDADDos rectas r=AB y r'=A'B' son perpendiculares si existe un movimiento que superpone losángulos adyacentes y (es decir, si esos ángulos son iguales o congruentes). En tal caso losángulos y se llaman rectos.
POLARIDADSe llama punto polar de una recta r=AB al punto Q, intersecciónde las dos tangentes a E en los puntos A y B; este punto delplano proyectivo no está en el plano hiperbólico.
La polaridad proporciona una formulación proyectiva de laperpendicularidad en el plano hiperbólico, pues se prueba quedos rectas son perpendiculares si una pasa por el punto polar de la otra.
Un hecho natural para la intuición euclídea es que en elplano hiperbólico dos rectas ultraparalelas tienen siempreuna perpendicular común, pero esa misma intuición escontraria al hecho de que dos rectas paralelas no la tengan.
ultraparalelas
paralelas
Se puede definir el plano proyectivo mediante cuatro axiomas de incidencia entrepuntos y rectas:
• Dos puntos determinan una única recta.• En cada recta hay al menos tres puntos.• Hay tres puntos no alineados.• Dos rectas cualesquiera se cortan en un punto.
Si estos axiomas se cumplen para un conjunto de puntos en el que se señalan ciertossubconjuntos como las rectas y se define la relación de incidencia punto pertenece a recta,entonces tenemos un plano proyectivo.
Surge ahora una pregunta natural: ¿Qué relación hay entre esta definición axiomática deplano proyectivo y la construcción del plano proyectivo como conjunto de rectas de un espaciovectorial de dimensión 3?
Para facilitar las explicaciones, convenimos en denominar plano proyectivo axiomático acualquier conjunto de puntos y rectas que cumpla la axiomática anterior, y planoproyectivo algebraico al conjunto de rectas de un espacio vectorial de dimensión 3.
En primer lugar se observa que un plano proyectivo algebraico (definido sobre uncuerpo K finito o infinito, con 2 o más elementos), cumple los axiomas anteriores, y espor tanto un plano proyectivo axiomático. Pero, ¿y recíprocamente?
La respuesta a esta cuestión es que NO: se pueden encontrar planos proyectivos axiomáticosque no son algebraicos.
Teorema de Desargues
Teorema de Pappus
La existencia de esos ejemplos no algebraicos estárelacionada con uno de los resultados clásicos de laGeometría Proyectiva: el célebre Teorema deDesargues, que se verifica en todos los planosproyectivos algebraicos. Ocurre que no todos los planosproyectivos axiomáticos cumplen ese teorema, ynaturalmente, los que no lo cumplen no pueden seralgebraicos. El primer ejemplo de este fenómeno sedebe a Oswald Veblen (1880-1960) y Joseph
Henry Maclagan Wedderburn (1882-1948). Paradistinguirlos, los planos proyectivos que sí cumplen elteorema de Desargues se denominan desarguesianos.
Estos planos proyectivos desarguesianos sí se puedendefinir algebraicamente, aunque con un pequeñomatiz. En realidad, se demuestra que un planoproyectivo desarguesiano está definido de manera algebraica(como rectas de un espacio vectorial), pero nonecesariamente sobre un cuerpo, sino sobre un anillo dedivisión.
Digamos, para completar esta discusión, que un planodesarguesiano está definido sobre un cuerpo precisamentecuando se verifica en él otro resultado clásico: elTeorema de Pappus.
DESCRIPCIDESCRIPCIÓÓN AXIOMN AXIOMÁÁTICA DEL PLANO PROYECTIVOTICA DEL PLANO PROYECTIVO
J.H.M. Wedderburn O. Veblen
La Geometría Proyectiva finita fue considerada ya por von
Staudt, y formalizada con todo rigor por matemáticos posteriores.Mención especial entre éstos merece Gino Fano (1871-1952), queda su nombre a la configuración del plano proyectivo con sietepuntos.
G. Fano K.G.Ch. von Staudt
Es claro que si un plano proyectivo finito estádefinido sobre un cuerpo, éste debe ser finito. Sedemuestra entonces que si el cuerpo tiene pelementos, el plano proyectivo tiene 1+p+p2 puntos, yel mismo número 1+p+p2 de rectas. De este modo, elplano proyectivo finito más pequeño está definidosobre el cuerpo de dos elementos, y resulta tener 7puntos y 7 rectas. Este plano de siete puntos serepresenta mediante la configuración adjunta, quemuestra las incidencias de puntos y rectas. Otroejemplo importante de plano proyectivo finito es elplano proyectivo no desarguesiano de Veblen yWedderburn: se trata de un plano proyectivo finito con91 puntos. Este plano no es algebraico, pero existe otroplano proyectivo con 91 puntos que sí lo es: eldefinido sobre un cuerpo finito con p=9 elementos(pues en ese caso 1+p+p2=91).
Configuración de Fano
Los axiomas que definen un plano proyectivo pueden aplicarse a conjuntosfinitos de puntos y rectas, situación que se aleja de la intuición geométricamás inmediata. Se tienen en este caso los planos proyectivos finitos.
PLANOS PROYECTIVOS FINITOSPLANOS PROYECTIVOS FINITOS
