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REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DE LA FUERZA ARMADA
NÚCLEO BOLÍVAR – ESTADO BOLÍVAR
EXCELENCIA EDUCATIVA
ABIERTA AL PUEBLO
Ciudad Bolívar, 05 Abril del 2013
INDICE
INTRODUCCIÓN...........................................................................................3
1. FUNDAMENTO TEÓRICO DE FLUJOS VARIADO................................4
FLUJO VARIADO
PROFESOR(A):
ING. Dafnis Echeverría
INTEGRANTE:
Marín B, Rene A. C.I 16.221.366
Gómez R, Héctor N C.I 21.109.579
Sección 01, Ing. Civil
VII Semestre
1.2. TIPOS DE PERFIL DE FLUJO............................................................7
1.3. OBJETIVOS.........................................................................................8
1.4. GENERALIDADES..............................................................................8
1.4.1. FLUJO VARIADO RETARDADO......................................................9
1.4.2. FLUJO VARIADO ACELERADO....................................................10
2. FLUJO RAPIDAMENTE VARIADO.......................................................10
3. EL FLUJO GRADUALMENTE VARIADO.............................................11
3.1. ECUACIÓN DINÁMICA DEL FLUJO GRADUALMENTE VARIADO. 12
3.3. DESCRIPCIÓN DE LAS CURVAS DE REMANSO...........................15
3.4. CURVAS DE REMANSO CON LA FUERZA ESPECÍFICA...............16
4. MÉTODOS DE CÁLCULO....................................................................17
4.1. MÉTODO TRAMO A TRAMO............................................................18
4.2. CONTROLES AL FLUJO...................................................................18
CONCLUSION.............................................................................................19
INTRODUCCIÓN
El flujo gradualmente variado es un fenómeno que se presenta
cuando el tirante de un flujo varía a lo largo del canal con un gasto siempre
constante, disminuyendo o incrementándose dependiendo del tipo de flujo
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que se presenta, ya sea flujo gradualmente acelerado (abatimiento) o flujo
gradualmente retardado (remanso). Las causas que producen el flujo
gradualmente variado pueden ser diversas, entre ellas pueden mencionarse
a: cambios en la sección geométrica, cambios de la pendiente, cambios en
la rugosidad de las paredes y/o fondos, curvas horizontales en el trazo,
obstrucciones del área hidráulica, etc.
Fundamentalmente en los problemas relacionados con el flujo
gradualmente variado, se desea calcular la distancia existente entre dos
tirantes dados o los tirantes extremos entre una distancia determinada;
habiendo sido desarrollados diversos métodos de cálculo, en la presente
práctica de laboratorio únicamente será presentada la solución de la
ecuación diferencial de flujo variado mediante el método de Runge-Kutta-
Simpson de cuarto grado (para el cálculo de tirantes dada una distancia).
En estos métodos el cálculo depende de la geometría del canal, debiéndose
hacer las consideraciones pertinentes. Es necesario mencionar que la
aplicación de los métodos es indistinta, pudiendo ser aplicado en el sentido
del flujo o en sentido contrario al mismo. Básicamente la única dificultad de
los métodos radica en el hecho de que es necesario realizar un gran
número de cálculos iterativos para obtener resultados confiables.
1. FUNDAMENTO TEÓRICO DE FLUJOS VARIADO
El flujo variado, es un flujo permanente cuya profundidad varía de manera
gradual a lo largo del canal. Se tendrán en cuenta las siguientes hipótesis:
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La pérdida de altura en una sección es igual que la de un flujo
uniforme con las mismas características de velocidad y radio
hidráulico.
La pendiente del canal es pequeña (<10%). Esto quiere decir que la
profundidad del flujo puede medirse verticalmente o
perpendicularmente al fondo del canal y no se requiere hacer
corrección por presión ni por arrastre del aire.
El canal es prismático.
Los coeficientes de distribución de la velocidad y el de rugosidad son
constantes en el tramo considerado.
Flujo variado en una longitud elemental dx de un canal abierto. La
altura de la línea de energía en la sección aguas arriba, con respecto a la
línea de referencia es:
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Donde H, Z, d y q, es el coeficiente de energía y v es la velocidad
media del flujo a través de la sección.
Se asume que q y a son constantes en el tramo del canal.
Tomando el piso del canal como el eje x y derivando la ecuación (1)
con respecto a x se obtiene,
Si Sf es la pendiente de la línea de energía , S0 la
pendiente del piso del canal y Sw la pendiente de la
superficie del agua , sustituyendo estas expresiones en la
ecuación (2) y resolviendo para Sw se tiene:
La ecuación representa la pendiente de la superficie del agua con
respecto al fondo del canal y se conoce como la ecuación dinámica del flujo
gradualmente variado. Para pendientes pequeñas cos q » 1, d » y, dd/dx »
dy/dx y la ecuación puede escribirse:
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Si se tiene un canal rectangular ancho, se puede calcular la
pendiente del piso del canal para que ocurra flujo uniforme utilizando la
ecuación de Manning:
Dadas las características del canal, vale la aproximación
y expresando , donde q es el caudal por
unidad de ancho y yn es la profundidad normal, se obtiene
La hipótesis permite usar la fórmula de flujo uniforme para calcular la
pendiente de energía, es decir,
Donde y es la profundidad del flujo variado.
El término de la ecuación puede desarrollarse así:
Como (ancho superior) = b para canal rectangular,
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(7)
La ecuación (4) puede expresarse según las ecuaciones (5), (6) y (7) como
1.2. TIPOS DE PERFIL DE FLUJO
Los perfiles de flujo se clasifican con base en dos criterios básicos:
1. Según su profundidad.
2. Según la pendiente del canal.
El primer criterio divide la profundidad del canal en varias zonas:
Sobre la profundidad normal (en pendiente subcrítica) ó sobre la
profundidad crítica (en pendiente supercrítica).
Entre las profundidades crítica y normal.
Bajo la profundidad crítica (en pendiente subcrítica) ó bajo la
profundidad normal (en pendiente supercrítica).
El segundo criterio considera cinco condiciones de la pendiente:
H: Horizontal.
M: Moderada o subcrítica.
C: Crítica.
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S: Pronunciada o supercrítica.
A: Adversa.
1.3. OBJETIVOS
Entender el comportamiento del flujo gradualmente variado y la
influencia de los controles que lo generan.
Aplicar modelos matemáticos desarrollados para el cálculo de
perfiles de flujo gradualmente variado, contrastándolos con las mediciones
realizadas en el laboratorio.
Analizar perfiles de flujo experimentalmente y compararlos con los
resultados teóricos.
1.4. GENERALIDADES
El flujo variado puede ser clasificado como rápidamente variado o
gradualmente variado. En el primer caso (rápidamente variado) la
profundidad de flujo cambia abruptamente en una distancia
comparativamente corta, por ejemplo en un resalto hidráulico. En el otro
caso, se requieren distancias mayores para que alcancen a desarrollarse
los perfiles de flujo gradualmente variado. En un canal con flujo permanente
uniforme pueden existir causas que retardan o aceleran la corriente de
forma que pasa a condiciones variadas que se manifiestan por un aumento
o disminución de la profundidad del flujo, respectivamente.
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1.4.1. FLUJO VARIADO RETARDADO
Se presenta cuando la velocidad del flujo disminuye, y por ende
aumenta la profundidad en el sentido de la corriente. Algunas causas que
retardan el flujo son: disminución brusca de la pendiente del canal;
interposición de obstáculos en el lecho del canal como vertederos, presas,
compuertas de control. Para condiciones iniciales de flujo uniforme lento, se
tendrá flujo gradualmente variado; para flujo uniforme rápido se presentará
un resalto hidráulico al pasar a condiciones de remanso.
1.4.2. FLUJO VARIADO ACELERADO
Se presenta cuando la velocidad del flujo aumenta, y por ende la
profundidad disminuye (Figura X.1.b), en sentido de la corriente; ocurre
cuando la pendiente del canal aumenta bruscamente o cuando existe una
caída vertical.
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2. FLUJO RAPIDAMENTE VARIADO.
La principal característica del Flujo Rápidamente Variado (FRV) es
que la curvatura de las líneas de corriente es pronunciada, con lo cual la
suposición de una distribución hidrostática de presiones deja de ser válida.
En ocasiones el cambio en la curvatura puede ser tan abrupto como
para romper virtualmente el perfil de flujo, resultando en un estado de alta
turbulencia y perfil de flujo discontinuo. El ejemplo más conocido de una
situación como la descripta es el resalto hidráulico.
La restricción de no poder suponer una distribución hidrostática de
presiones ha llevado a que no se puedan aplicar los enfoques desarrollados
para los flujos gradualmente variados o uniforme, de forma tal que los
problemas de FRV se han tratado mayormente de forma experimental o
sobre la base de relaciones empíricas desarrolladas para un número de
casos aislados.
Usualmente no es posible utilizar el concepto de valores promedios
en la sección transversal para FRV, dado que es necesario conocer las
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distribuciones de velocidad y presión a fin de aplicar correctamente las
leyes de conservación a volúmenes de control. Para simplificar el análisis
en ocasiones se aplican dichas leyes de conservación entre secciones
seleccionadas lejos de la zona de FRV, con lo cual se puede establecer el
comportamiento del flujo.
3. EL FLUJO GRADUALMENTE VARIADO
El flujo gradualmente variado constituye una clase especial del flujo
permanente no uniforme, se caracteriza por una variación continua del
tirante a lo largo del canal. Este tipo de flujo se presenta en la llegada o
salida de estructuras hidráulicas tales como represas, compuertas,
vertederos, etc.; y en general cuando las condiciones cambian
abruptamente, o bien cuando en el recorrido se presenta algún obstáculo
que haga variar las condiciones del movimiento.
3.1. ECUACIÓN DINÁMICA DEL FLUJO GRADUALMENTE VARIADO
Si se considera el perfil de flujo gradualmente variado en la longitud
diferencial dx de un canal abierto (figura 2).
Donde;
E = energía total para una sección cualquiera
dE = diferencial de energía o cambio de energía en el dx
dx = longitud diferencial del tramo del canal
dZ = incremento en la altura o carga de posición de la sección dx
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SE = pendiente de energía o cargas totales, constantes en el dx
considerado, pero variable a lo largo de la dirección x
SW = pendiente de la superficie libre o eje hidráulico
SO = pendiente longitudinal del fondo del canal, constante
Θ = ángulo que forma el perfil longitudinal del fondo del canal con la
horizontal
3.2. ANÁLISIS DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DEL FLUJO
GRADUALMENTE VARIADO.
Las ecuaciones diferenciales de primer orden necesitan una condición
en el contorno para su solución. De otro modo, se encuentra la solución
general o integral general. La solución general implica encontrar una familia
de curvas que representan todas las soluciones posibles de la ecuación
diferencial. En nuestro caso particular no es posible debido a que la no
linealidad de la ecuación diferencial impide la integración analítica de la
solución.
En la práctica usualmente se suele encontrar la solución para un
determinado valor de la condición de contorno, que en este caso es un
calado de agua en alguno de los dos extremos del cauce. ¿Cuál de los
extremos debemos conocer para obtener el perfil de agua? En caso de que
el flujo que aparezca en el cauce sea supercrítico, el valor del calado en el
contorno que ha de conocerse debe situarse aguas arriba y en el caso que
el flujo sea subcrítico el valor que se usará, será el calado en el contorno
situado aguas abajo. Esto debe hacerse independientemente del valor de la
pendiente del cauce.
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Matemáticamente hablando debe conocerse la condición en el
contorno que no pertenezca a las asíntotas de la ecuación. De lo contrario
no puede calcularse con exactitud la integral de la ecuación diferencial. Por
ejemplo si el calado es tal que el flujo que se presenta es uniforme,
entonces dy / dx es cero.
Con un análisis similar al anterior para cada zona y cada pendiente
se tienen diversas situaciones
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3.3. DESCRIPCIÓN DE LAS CURVAS DE REMANSO.
Las curvas de remanso son los perfiles de agua obtenidos a partir de
la integración de la ecuación diferencial (5.10). El término "remanso"
utilizado genéricamente no es la indicada pero se ha ido generalizando con
el tiempo, sobretodo en referencia a la tendencia del agua a remansarse
cuando en el curso de la misma se presenta un obstáculo. Más bien debería
utilizarse la nomenclatura “perfil de agua”, pues incluye todos los casos que
el agua tiende a presentar de manera natural. El análisis que se realiza a
continuación está en forma resumida y se reduce a una sola de las clases
de curva de remanso de todas las cinco que se han comentado.
El flujo tiene un valor de Froude menor que la unidad, pues el calado
que representa es superior al calado crítico. Por otro lado se puede deducir
que el valor de la pendiente motriz es menor que el de la pendiente del
canal, simplemente porque el valor del calado que representa dicha sección
es superior al calado normal del canal, dado que el calado normal
representa la pérdida de energía para una velocidad determinada del flujo y
un caudal único en ese tramo y que equivale a la pendiente del canal.
El valor de la pendiente motriz de la sección (a) debe ser tal que la
pérdida de energía corresponda a una velocidad menor, pues el área de
flujo es mayor. Como la pérdida de energía disminuye con la velocidad de
flujo es obvio que en la pendiente motriz será menor que la pendiente del
canal.
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3.4. CURVAS DE REMANSO CON LA FUERZA ESPECÍFICA
En el capítulo de fuerza específica se obtuvo la siguiente relación
denominada fuerza específica o flujo de cantidad de movimiento
Es un término importante a la hora de entender el comportamiento
del flujo en un cauce, y será necesario para tomar decisiones importantes
en la evaluación de resultados y también en el caso de diseño. Suponiendo
que sólo hay resistencia por fricción entonces la ecuación de conservación
se puede escribir así:
En términos diferenciales esta ecuación puede escribirse de la
siguiente forma para canal rectangular:
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4. MÉTODOS DE CÁLCULO
Para el cálculo de perfiles de flujo gradualmente variado se utiliza la
ecuación, sin embargo, la pendiente de fricción en flujos reales no es
conocida y se debe determinar a partir de alguna ecuación de resistencia al
flujo. Adicionalmente, se deben hacer algunas suposiciones, entre ellas:
Se consideran tramos de análisis relativamente pequeños, de tal
forma que se pueda considerar flujo uniforme y así determinar la pendiente
de fricción utilizando una ecuación de resistencia al flujo, usualmente
Manning.
La pendiente del canal es pequeña, por ende la profundidad de flujo
vertical es aproximadamente la misma profundidad perpendicular al fondo,
es decir que no se requiere corregir la profundidad de flujo por la pendiente.
El coeficiente de rugosidad es independiente del tirante hidráulico y
constante en todo el tramo en consideración.
Para conocer la variación de la profundidad del flujo gradualmente
variado en relación con la longitud del canal ya sea hacia aguas arriba o
aguas abajo de la sección de control, se emplean métodos teóricos
aproximados entre los cuales los más usados son: el método tramo a tramo
y el de integración gráfica. Estos métodos son aplicables a canales
prismáticos y no prismáticos.
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4.1. MÉTODO TRAMO A TRAMO
En este método se divide el canal en tramos cortos y se hacen los
cálculos etapa por etapa. Es un método simple aplicado a canales
prismáticos.
4.2. CONTROLES AL FLUJO
Independiente del método de cálculo seleccionado es importante
resaltar que para los cómputos se debe considerar el tipo de flujo, ya sea
subcrítico o supercrítico, crítico, horizontal y adversa y localizar los
respectivos controles al flujo, puesto que en flujo subcrítico el cálculo se
hace desde aguas abajo y en flujo supercrítico desde aguas arriba.
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CONCLUSION
Los flujos no uniforme de variación rápida que sucede en tramos
relativamente cortos o en transiciones de canales abiertos y Los flujos no
uniforme de variación gradual, no obstantemente donde la superficie del
agua se mantiene continuamente tranquila, la diferencia entre los dos es
que en el flujo de variación rápida, las pérdidas son a menudo son
ignoradas si consecuencias severas, mientras que en el flujo de variación
gradual, es necesario incluir las pérdidas provocadas por esfuerzos
cortantes distribuidos a lo largo del canal. El esfuerzo cortante es el
mecanismo que ofrece mayor resistencia al flujo
Es decir, en todas las situaciones el flujo se caracteriza por una
interfaz entre el aire y la capa superior del agua, la cual se denomina
superficie Libre. En la superficie libre, la presión es constante y en casi
todas las situaciones, ésta es la atmosférica. En ese caso la línea
piezométrica y la superficie libre del líquido coinciden. En general la altura
de la superficie libre no permanece constante: puede variar de acuerdo con
las velocidades del fluido.
La discontinuidad en el fondo de un canal plano, ocurre una caída
hidráulica especial, conocida como caída libre. A medida que la caída
avanza en el aire en forma de lámina, no existirá curva invertida en la
superficie del agua hasta que esta choque con algún obstáculo en la
elevación más baja. Es sabido que si no se añade energía externa, la
superficie
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