FUNCIONES EXPONENCIALES FUNCIONES EXPONENCIALES
Y LOGARÍTMICAS Y LOGARÍTMICAS FUNCIONES EXPONENCIALES FUNCIONES EXPONENCIALES
Y LOGARÍTMICAS Y LOGARÍTMICAS
1. Funciones exponenciales.
• Una función exponencial es una función cuya expresión es
siendo la base a un número real positivo y distinto de 1.
• Distinguimos dos casos:
xy a
a 1 0 a 1
x y
-4 0,2
-3 0,3
-2 0,44
-1 0,67
0 1
1 1,5
2 2,25
3 3,375
4 5,06
a 1x
3f(x)
2
x y
-4 0,0625
-3 0,125
-2 0,25
-1 0,5
0 1
1 2
2 4
3 8
4 16
a 1 xf (x) 2
x y
-4 0,012
-3 0,037
-2 0,11
-1 0,3
0 1
1 3
2 9
3 27
4 81
a 1 xf (x) 3
x y
-4 39,1
-3 15,625
-2 6,25
-1 2,5
0 1
1 0,4
2 0,16
3 0,064
4 0,0256
0 a 1 x
2f(x)
5
x y
-4 16
-3 8
-2 4
-1 2
0 1
1 0,5
2 0,25
3 0,125
4 0,0625
0 a 1 x
1f(x)
2
x y
-4 5,06
-3 3,375
-2 2,25
-1 1,5
0 1
1 0,67
2 0,44
3 0,3
4 0,2
0 a 1 x
2f(x)
3
En general si
• Dominio• Recorrido• Monotonía Estrictamente creciente• Acotación Acotada inferiormente por 0• Puntos de corte con los ejes Y (0,1)
X ninguno
a 1
(0, )
En general si
• Dominio• Recorrido• Monotonía Estrictamente decreciente• Acotación Acotada inferiormente por 0• Puntos de corte con los ejes Y (0,1)
X ninguno
0 a 1
(0, )
2. Funciones logarítmicas. • Definición de logaritmo
• Una función logarítmica es una función cuya expresión es:
siendo la base a un número real positivo y distinto de 1.
• Distinguimos dos casos:
a 1 0 a 1
ya axxlogy
ay log x
x y
1/8 -3
1/4 -2
1/2 -1
1 0
2 1
4 2
8 3
16 4
a 1 2f (x) log x
x y
1/27 -3
1/9 -2
1/3 -1
1 0
3 1
9 2
27 3
a 1 3f (x) log x
x y
1/8 3
1/4 2
1/2 1
1 0
2 -1
4 -2
8 -3
16 -4
0 a 1 12
f (x) log x
x y
8/27 3
4/9 2
2/3 1
1 0
3/2 -1
9/4 -2
27/8 -3
0 a 1 23
f (x) log x
En general si
• Dominio• Recorrido• Monotonía Estrictamente creciente• Acotación No está acotada • Puntos de corte con los ejes Y (1,0)
X ninguno
a 1
(0, )
En general si
• Dominio• Recorrido• Monotonía Estrictamente decreciente• Acotación No está acotada • Puntos de corte con los ejes Y (1,0)
X ninguno
0 a 1
(0, )
a 1
0 a 1
3. Logaritmo de un número. • El logaritmo de un número, m, positivo, en base a, positiva y
distinta de uno, es el exponente al que hay que elevar la base para obtener el número m dado:
• Cuando la base es a = 10, se llaman logaritmos decimales y se expresan por log en vez de log10 , es decir:
• Cuando la base es a = e, se llaman logaritmos neperianos y se expresan por ln o L en vez de loge , es decir:
za amzmlog
mlogmlog10
elog m lnm Lm
Ejemplos.
2porque 100 10
4porque 9 ( 3)
31porque 10
1000
31
porque 82
1porque e e
4porque 81 34
log 100 2
3log 9 4
1log
1000 3
ln e 1
3log 81
12
log 8 3
Propiedades. • El logaritmo de la unidad es cero:
• El logaritmo de la base es uno:
• El logaritmo de una potencia de la base es el exponente:
• El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de sus factores:
01loga
1aloga
xalog xa
a a a alog (x y ... z) log x log y ... log z
Propiedades. • El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del
dividendo menos el logaritmo del divisor:
• El logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base de la potencia:
• El logaritmo en base a de un número se transforma en el logaritmo en otra base mediante:
ylogxlogyx
log aaa
x·logyxlog ay
a
alog
xlogxlog
b
ba
4. Ecuaciones exponenciales.
• Una ecuación es exponencial cuando la incógnita aparece en el exponente de una potencia.
• Nos podemos encontrar distintos tipos de ecuaciones exponenciales:
- Ecuaciones reducibles a igualdad de potencias de igual base.
- Ecuaciones resolubles por cambio de variable.
Ejemplos.
Se busca una base común para todos los números que aparecen:
Se opera:
Se igualan los exponentes:
Se resuelve:
20482·4 x3
2 3x 112 ·2 22 3x 112 2
2 3x 11
3x 9
x 3
Ejemplos.
Se hace un cambio de variable:
Se opera con la ecuación para que aparezca el cambio de variable que vamos a realizar:
Queda:
Se opera:
Se deshace el cambio:
Se resuelve:
13333 2x1xx
x 2t 3
2 x 2 x 2 x 23 ·3 3·3 3 13
9t 3t t 13
13t 13 t 1
x 21 3
x 2
0 x 23 3
x 2 0
Ejemplos.
Se hace un cambio de variable:
Se opera con la ecuación para que aparezca el cambio de variable que vamos a realizar:
Queda:
Se resuelve:
Se deshace el cambio:
x x9 18 11·3 xt 3
x2 x3 18 11·3
2x x3 18 11·3 2t 18 11t 2t 11t 18 0
1t 2 2t 9
x3 2 3x log 2x3 9 x 2
5. Sistemas de ecuaciones
exponenciales.
• Un sistema de ecuaciones es exponencial si al menos una de sus ecuaciones es exponencial.
• Nos podemos encontrar distintos tipos de sistemas de ecuaciones exponenciales:
- Sistemas en los que una o más ecuaciones son reducibles a una igualdad de potencias con la misma base.
- Sistemas en los que una o más ecuaciones son resolubles por cambio de variable.
Ejemplos.
Se reducen las igualdades a potencias de la misma base
Se opera con las potencias:
Se resuelve el sistema por alguno de los métodos conocidos:
1622
322·2
y5
x3
y2x
yx 5
5y3x 4
2 ·2 2
2 :2 2
x 2y 5
3x 5y 4
x 3 y 1
x 2y 5
3x 5y 4
2 2
2 2
Ejemplos.
Se hacen los cambios de variable:
Se resuelve el sistema (por reducción por ejemplo):
Se deshace el cambio de variable efectuado al principio:
yx 1
yx 1
3·(5·5 ) 2·(6·6 ) 807
15·5 6 339
x 3 y 2
33965·15
8076·25·3y1x
1yx
x 1a 5 yb 63·5a 2·6b 807
15·a b 339
15a 12b 807
15a b 339
b 36 a 25
x 1a 5 x 125 5
2 x 15 5
2 x 1
y36 6
yb 6
y26 6
6. Ecuaciones logarítmicas. • Una ecuación es logarítmica cuando la incógnita
aparece afectada por un logaritmo.
• Para resolverlas aplicamos las propiedades vistas anteriormente de los logaritmos.
01loga
1aloga
xalog xa
zlog...ylogxlog)z·...·y·x(log aaaa
ylogxlogyx
log aaa
x·logyxlog ay
a
Ejemplos. 2 log x – log (x-16) = 2
Se sustituyen en la ecuación inicial y se ve que ambas son válidas.
1x 80
2x 20
2log x log x 16 2
2xlog log 100
x 16
2x100
x 16
2x 100x 1600 0 100 10000 4·1600x
2
100 3600x
2
100 602
Ejemplos. log (x+1) = log (5x-13) – log (x-3)
Se sustituyen en la ecuación inicial y se ve que x2=2 no es válida, ya que aparece el logaritmo de un número negativo que no existe. Por tanto la única solución es x = 5.
1x 5
2x 2
5x 13log x 1 log
x 3
5x 13x 1
x 3
2x 2x 3 5x 13
7 49 4·10x
2
7 92
7 32
2x 7x 10 0
Ejemplos.
Se sustituyen en la ecuación inicial y se ve que ambas son válidas.
1x 3
2
1x
3
2log 2 log 11 x 2·log 5 x
2 222 2x 25 x 10x
10 100 4·3·3x
2·3
10 64
6
10 86
23x 10x 3 0
2)x5log(
)x11log(2log 2
22log 2· 11 x log 5 x
7. Sistemas de ecuaciones
logarítmicas. • Un sistema de ecuaciones es logarítmico si, por lo menos,
una de sus ecuaciones es logarítmica.
• Sistemas en los que una de las ecuaciones es logarítmica.
Se resuelven convirtiendo la ecuación logarítmica en algebraica.
• Sistemas en los que las dos ecuaciones son logarítmicas.
Se pueden resolver por reducción o convirtiendo cada ecuación logarítmica en algebraica. Para resolverlas aplicamos las propiedades vistas anteriormente de los logaritmos.
Ejemplos.
Resolviendo:
Se sustituyen en la ecuación inicial y se ve que la solución es válida.
y 2
x 20
x y 22
x10
y
x y 22
x 10y
10y y 22
x 10y
x y 22
xlog log 10
y
x y 22
log x log y 1
Ejemplos.
Resolviendo:
Se sustituyen en la ecuación inicial y se ve que la solución es válida.
y 4x 7x 11 y
2 2x y 33
x 11 y
yx 11
log (x y) log (x y) log 33
2 ·2 2
x y 11
log (x y)·(x y) log 33
2 2
(x y)·(x y) 33
x y 11
2 211 y y 33
2 2121 y 22y y 33
22y 88
Ejemplos.
Resolviendo:
Se sustituyen en la ecuación inicial y se ve que la solución es válida.
1y
10
x 100
5 57
100y 10
10 7
5
10010
y
x.y 10
27
3
x10
y
10x
y
2 3log x log y 7
log x·y log 10
2log x 3log y 7
log x log y 1
27
3
xlog log 10
y
x·y 10
Ejemplos.
Se sustituyen en la ecuación inicial y se ve que la solución es válida.
1y
10
x 100
2log x 3log y 7
log x log y 1
log x 1 log y
2 1 log y 3logy 7 2 2log y 3logy 7
5log y 5 log y 1 1y 10
log x 1 log y log x 1 1 2
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