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Funciones circulares
3 de mayo de 2015
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Funciones circulares
Un angulo ∠POQ es el conjunto de puntos formado por la union
de dos semirectas OP y OQ que parten desde un punto comun O .
Diremos que un angulo esta en posicion normal o estandar si suvertice coincide con el origen del plano cartesiano y uno de suslados, que llamaremos lado inicial, coincide con el semieje positivode las x . El cuadrante al cual pertenece el angulo es el cuadranteen el que esta el otro lado, que llamaremos lado terminal.
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Medida de angulos: A cada angulo ∠POQ se asocia un numero
real m(∠POQ ), llamado medida del angulo, la cual es usualmentedenotada con letras tales como α, β, θ, entre otras.
Para medir angulos usaremos el Sistema Sexagesimal (medida engrados) o el Sistema Circular o Radial (medida en radianes).
Un grado es la medida de un angulo correspondiente a un arco delongitud igual a 1
360 de la longitud de una circunferencia.
Notacion: 1 grado = 1◦
Consideremos una circunferencia de radio 1. Un radian es lamedida de un angulo central de esta circunferencia, el cual abarcaun arco de longitud 1. Notacion: 1 radian = 1 rad
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Para determinar la medida θ en radianes de un cierto angulo,
consideramos este como un angulo central de una circunferencia deradio 1. Luego, la medida θ en radianes, sera la longitud del arcoque abarca dicho angulo. Por ejemplo, la medida θ de un anguloque abarca la mitad de la circunferencia unitaria es θ = π rad . Deeste modo, tenemos la equivalencia
π rad = 180◦
Ası, dado un angulo arbitrario con medida en radianes θ y medidaen grados α, la relacion entre ellas viene dada por
α
180 =
θ
π
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Ejercicio: Calcule la medida en radianes de un angulo de 30◦, 45◦
y 60◦.
Ejercicio: Calcule la medida en grados de un angulo de 2π
3 , 3π
2 y
7π
6 radianes.
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Definicion: En el plano cartesiano, llamamos circunferencia
unitaria a la circunferencia de centro (0, 0) y radio 1, es decir, a la
circunferencia cuya ecuacion es x 2
+ y 2
= 1.
Sea t ∈ R. Consideremos t como la medida en radianes de unangulo en posicion normal y sea P (t ) el punto de interseccionentre la circunferencia unitaria y el lado terminal del angulo.
El punto P (t ) se llama punto terminal del angulo.
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Se define la funcion coseno, como aquella que asocia a cada t ∈ R,
la abscisa del punto terminal P (t ). Con la notacion usual se tiene
cos : R → R
t → y = cos t
donde cos t es la abscisa de P (t ).
Se define la funcion seno, como aquella que asocia a cada t ∈ R, laordenada del punto terminal P (t ). Con la notacion usual se tiene
sin : R → R
t → y = sin t
donde sin t es la ordenada de P (t ).
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Observacion
Notemos que por como estan definidas ambas funciones, se
tiene que| sin t | ≤ 1 ∧ | cos t | ≤ 1
para todo t ∈ R. Ası,
Rec (sin) = [−1, 1] ∧ Rec (cos) = [−1, 1]
Dado que para todo t ∈ R, el punto P (t ) = (cos t , sin t ) espunto de la circunferencia unitaria de ecuacion x 2 + y 2 = 1,entonces
sin2
t + cos2
t = 1
Los valores de sin t , cos t seran positivos o negativosdependiendo del cuadrante en el cual este ubicado el puntoP (t ).
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Ejercicio: Determine en que cuadrantes las funciones seno ycoseno son positivas, y en que cuadrantes son negativas.
Ejercicio: Obtenga los valores de sin t y cos t parat = 0, π
2, π, 3π
2 , 2π.
Una funcion f : Dom(f ) ⊆ R → R se dice periodica si
∃p ∈ R : ∀x ∈ Dom(f ) se tiene que
1 x + p ∈ Dom(f )2 f (x + p ) = f (x )
El menos numero positivo p que verifica esta condicion se llamaperıodo de f .
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Las funciones sin y cos son periodicas de periodo 2π. En efecto, siincrementamos la medida t de un angulo en 2π unidades, podemosobservar que la posicion del punto terminal P (t ) no varıa y portanto tampoco varıan sus coordenadas. Es decir
sin(t ) = sin(t + 2π) ∧ cos(t ) = cos(t + 2π).
Mas generalmente, si t ∈ R y k ∈ Z, entonces
sin(t ) = sin(t + 2k π) ∧
cos(t ) = cos(t + 2k π).
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Observacion: La funcion coseno es una funcion par y la funcionseno es una funcion impar.
Con la informacion obtenida hasta ahora podemos bosquejar losgraficos de las funciones seno y coseno
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Definimos la funcion tangente como
tan : A ⊆ R → R
t → y = tan t = sin t
cos t
con A = R − {π
2 + k π : k ∈ Z}
Ejercicio: Determine en que cuadrantes la funcion tangente espositiva, y en que cuadrantes es negativa.
Ejercicio: Determine que ocurre con la funcion tan t ent = 0, π
2, π, 3π
2 , 2π.
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Observaciones:
La funcion tangente es periodica de periodo πLa funcion tangente es una funcion impar
Su grafica es
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Ejercicio: Obtenga los valores de las funciones seno , coseno ytangente para
1 t = π
6
2 t = π
4
3
t =
π
3
Ejercicio: Use lo obtenido en el ejercicio anterior para obtener losvalores de
1 sin 5π
6
2
cos
5π
33 tan 5π
4
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Ejercicio: Considere 0 ≤ t ≤ 2π. Obtenga los valores de t para loscuales
1 sin t =
√ 3
2
2 cos t = √ 22
3 cos t = −√
1
24
tan t = −√
3
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En terminos de las funciones seno , coseno y tangente se puedendefinir sus funciones recıprocas secante , cosecante y cotangente
respectivamente, de la siguiente manera:funcion secante :
sec : A ⊆ R → R − ]−1, 1[
t → y = sec t =
1
cos t
con A = R − {π
2 + k π : k ∈ Z}
funcion cosecante :
csc : B ⊆ R → R − ]−1, 1[
t → y = csc t = 1
sin t
con B = R
− {k π : k
∈ Z
}
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funcion cotangente :
cot : C
⊆ R
→ R
t → y = cot t = 1tan t
con C = R − {k π : k ∈ Z}
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Identidades trigonometricas:
A partir de la definicion de las seis funciones circulares es facil
deducir las siguientes identidades fundamentales:1 sin2 t + cos2 t = 1
2 De la definicion de tan, sec y csc y para t en su respectivodominio, se tiene que
(tan t ) · (cot t ) = 1, (sin t ) · (csc t ) = 1, (cos t ) · (sec t ) = 1
3 Dividiendo la primera identidad por cos2 t , se tiene que
1 + tan2 t = sec2 t
4 Dividiendo la primera identidad por sin2 t , se tiene que
cot2 t + 1 = csc2 t
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Otras identidades trigonometricas:
1 cos(x − y ) = cos x cos y + sin x sin y
2 cos(x + y ) = cos x cos y − sin x sin y
3 cos2x = cos2 x − sin2 x
4 sin(x + y ) = sin x cos y + cos x sin y
5 sin(x − y ) = sin x cos y − cos x sin y
6 sin2x = 2 sin x cos x
7 tan(x + y ) = tan x +tan y 1−tan x tan y
8 tan(x − y ) = tan x
−tan y
1+tan x tan y
9 tan2x = 2 tan x 1−tan2 x
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Ejercicio: Demuestre las siguientes identidades:
1 1−tan2 t 1+tan2 t
= 1 − sin2 t
2 2cot2t = sin 3t cos t + cos 3t
sin t
3 sec4 t − sec2 t = tan4 t + tan2 t
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Funciones circulares inversas:
La funcion sin : R
→ [
−1, 1] , x
→ y = sin x , no es inyectiva. Sin
embargo, su restriccion al intervalo−π
2 , π
2
es inyectiva. Luego, la
funcion
sin :−π
2, π
2
→ [−1, 1]
x → y = sin x
tiene inversa. Su inversa es la funcion Arcoseno y se denota porarcsin. Ası
arcsin : [−1, 1] → −π
2 ,
π
2
x → y = arcsin x
dondey = arcsin x
⇔ x = sin y
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Funciones circulares inversas:
La funcion cos : R →
[−
1, 1] , x →
y = cos x , no es inyectiva. Sinembargo, su restriccion al intervalo [0, π] es inyectiva. Luego, lafuncion
cos : [0, π] → [−1, 1]
x → y = cos x
tiene inversa. Su inversa es la funcion Arcocoseno y se denota porarc cos. Ası
arc cos : [−1, 1] → [0, π]x → y = arc cos x
dondey = arc cos x
⇔ x = cos y
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Funciones circulares inversas:
La funcion tan : R
→ R, x
→ y = tan x , no es inyectiva. Sin
embargo, su restriccion al intervalo−π
2 , π
2
es inyectiva. Luego, la
funcion
tan :−π
2, π
2
→ R
x → y = tan x
tiene inversa. Su inversa es la funcion Arcotangente y se denotapor arctan. Ası
arctan : R → −π
2 , π
2
x → y = arctan x
dondey = arctan x
⇔ x = tan y
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Funciones circulares inversas:Tambien definimos las funciones inversas de las funcionessecante , cosecante y cotangente como las respectivas funcionesArcosecante,Arcocosecante y Arcocotangente, las cuales sondenotadas por arcsec , arccsc y arcctan, de siguiente modo
arcsec : R − ]−1, 1[ → [0, π] − {π2}
x → y = arcsecx
dondey = arcsecx ⇔ x = sec y
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arccsc : R − ]−1, 1[ → −
π
2 ,
π
2 − {0}
x → y = arccscx
dondey = arccscx
⇔ x = csc y
arcctan : R → ]0, π[
x → y = arcctanx
dondey = arcctanx ⇔ x = tan y
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Ejercicio: Calcule el valor exacto de:
1
cos(arcsin
1
2)2 sin
arccos
−√ 3
2
+ 2 arcsin
−√ 2
2
Ecuaciones trigonometricas:
Una ecuacion que contiene funciones circulares o sus inversas en lavariable x es una ecuacion trigonometrica. Resolver la ecuacion esencontrar todos los x ∈ R, que satisfacen la ecuacion.
Ejercicio: Resuelva en [0, 2π[:
1 2cos x − √ 3 = 02 sin2 x − sin x = 0
3 2sin2 x + cos x − 1 = 0
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Ejercicio: Resuelva:
1 arcsin x + arcsin 2x = 2π
3
2 arcsin x + arc cos 2x = π
6
3 arctan 1
x −1 + arctan 2
x +1 = π
4
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Funciones trigonometricas: Dado un triangulo rectangulo
arbitrario, podemos llevarlo a a circunferencia unitaria, y de estemodo, definir sobre este las funciones circulares, las cualesllamaremos funciones trigonometricas. Estas son:
sinα = cat op hip
cosα = cat ady hip
tanα = cat op cat ady
cotα = cat ady cat op
secα =
hip
cat ady
cscα = hip cat op
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Teorema de los senos. En un triangulo de lados a, b , c y angulosopuestos α, β, γ respectivamente, se tiene que
sinα
a = sinβ
b = sin γ
c
T d l E i´ l d l d b
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Teorema de los cosenos. En un triangulo de lados a, b , c yangulos opuestos α, β, γ respectivamente, se tiene que
a2 = b 2 + c 2
−2bc
·cosα
b 2 = a2 + c 2 − 2ac · cosβ
c 2 = a2 + b 2 − 2ab · cos γ
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Ejercicios: Lea y resuelva:
1 Un barco navega hacia el sur con una rapidez de 400 millas h
. Alas 11 A.M. se observa una isla en la direccion N 30◦E . A las 1P.M. se observa la misma isla en direccion N 10◦E . Calcule ladistancia de la isla a cada uno de los puntos de observacion.
2 Para viajar en automovil desde Talcahuano hacia Tome sedeben recorrer 18 km desde Talcahuano a Concepcion yenseguida 33 km desde Concepcion a Tome. Suponga queestos dos caminos son rectos y que el angulo comprendidoentre ellos mide π
6 rad . Si se construyera un puente a traves
de la bahıa que permitiera viajar en lınea recta desdeTalcahuano a Tome. ¿En cuantos kms disminuira el trayecto?
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Funcion sinusoidal: Sean a, b , c , d numeros reales con a, b = 0. Ala funcion definida por f (x ) = a sin(bx + c ) + d , cuyo dominio es
R, se le denomina funcion sinusoidal. Observe que f es unafuncion periodica.
Definiciones:
La amplitud de la funcion es el valor |a|.
El perıodo de la funcion es el valor p = 2π
|b |El desplazamiento horizontal de la funcion es el valor
c
b
.
Este numero representa las unidades que se debe trasladar lagrafica de la funcion h(x ) = a sin(bx ), hacia la derecha
cuando c
b < 0 o hacia la izquierda cuando
c
b > 0, para
obtener la grafica de la funcion g (x ) = a sin(bx + c ).
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El desplazamiento vertical es el valor de |d |. Este numerorepresenta las unidades que se debe trasladar la grafica de la
funcion h(x ) = a sin(bx + c ), hacia arriba cuando d > 0 o haciaabajo cuando d < 0, para obtener la grafica de f .
Ejercicio: Determine amplitud, perıodo, desplazamientohorizontal, vertical y grafica de la funcion sinuosoidal f definida
por f (x ) = 3 sin(2x + π) − 1.