ACADEMIA PRE UNIVERSITARIA EXCELENCIA“VESALIUS” 2012
PROFESOR: Erick Vásquez Llanos ASIGNATURA: GEOMETRÍA FECHA: 07 – 07 – 2012
Nº 01 - MÁXIMO NÚMERO DE PUNTOS DE CORTE. SEGMENTO DE RECTA
1. MÁXIMO NUMERO DE PUNTOS DE CORTE (M)
1.1. De “n” rectas secantes
2
)1(
nnM
1.2. De “c” circunferencias secantes
)1.( ccM
1.3. De “p” poligonos convexos de “L” ladoscada uno
)1.(. ppLM
1.4. De 2 poligonos de diferente número de lados
nM 2
n: número de lados del polígono del menor número delados
1.5. De “a” ángulos agudos
)1.(2 aaM
1.6. De “n” cuadriláteros cóncavos
)1.(8 nnM
2. FÓRMULA GENERAL DE COMBINACIÓN
El máximo número de puntos de corte por lacombinación de 2 grupos de figuras (iguales odiferentes) se calcula con la fórmula siguiente:
nmKM ..
Donde:K: máximo número de puntos de corte de sólo 2
figuras (1 de cada grupo)
M: nº de figuras del primer grupoN: nº de figuras del segundo grupo
Ejemplo:
Al interceptar m Rectas y n cuadriláterosconvexos tenernos:
nmM ..4pues k = 4:
3. SEGMENTOS DE RECTA
3.1. DEFINICION:
Es una parte de la recta comprendida entre dospuntos de dicha recta, a los cuales se lesdenomina extremos del segmento.
A B
a
Así, en el gráfico se tiene el segmento de extremos Ay B.
Notación:Segmento AB : AB
3.2. Longitud de un Segmento:
Expresa el tamaño o medida de un segmento yresulta que la comparación del segmento con otrotomado como unidad (metro); por ejemplo: si unsegmento contiene 3 veces la unidad (metro)entonces dicho segmento tiene una longitud de 3 m.
Nota:
AB: se lee “longitud del segmento AB”
3.3. Punto Medio de un Segmento:
Es aquel punto que pertenece al segmento y que lodivide en dos segmentos parciales de igual longitud.
A B
m
M
m
Si: M AB y AM = MB; entonces M es el puntomedio de AB .
3.4. Mediatriz de un segmento:
Es la parte perpendicular trazado por su puntomedio de un segmento.
A BM
L Mediatriz
3.5. Operaciones con las longitudes de Segmentos:
A CB
ba
En la figura los puntos A, B y C son colineales yconsecutivos, entonces, se establecen lassiguientes operaciones con las longitudes de lossegmentos.
a) Adición de segmentos:Del gráfico :
AC = AB + BC = a+b
b) Sustracción de segmentos:Del gráfico:
AB = AC - BC a = - b
3.6. TEOREMA SOBRE SEGMENTOS
TEOREMA 01:
2BC
MN
TEOREMA 02: (Descartes)
Si:CDAD
BCAB
< >º
º
º
º
34
21
AC2
AD1
AB1
A M N B C
?
A B C D
1º 2º 3º
4º
TEOREMA 03: (Newton)
Si:CDAD
BCAB
))(()( ODOBOC 2
9. TEOREMA:
Si:CDAD
BCAB
2AC)( = (AB)(AD) – (BC)(CD)
10. TEOREMA:
Si: (AB)(CD) = n(BC)(AD)
AC
1nAD1
ABn
Práctica de clase
1. ¿13 paralelas con cuántas rectas secantes se debende interceptar para que determinen un máximo de 58puntos de corte?a)3 b)4 c)5 d)6 e)7
2. Si a un grupo de rectas secantes se le agrega 3, elmáximo número de puntos de corte quedaríaaumentado en 15. Halle el número de rectas secantesa)3 b)4 c)5 d)8 e) 9
3. ¿Cuántas circunferencias deben de interceptarse con4 triángulos para que el máximo número de puntosde corte sea 86?a)2 b)3 c)5 d)7 e) 10
4. Calcular el máximo número de corte que producendos polígonos convexos: uno de 2n+1 lados y otro de2n+2 lados (n > 1)a) 2n b) 2n+1 c) 2n+2
d) 2n+3 e) 2n+4
5. Halle el máximo número de puntos de corte de 10cuadriláteros convexos secantes y 20 circunferenciasconcéntricasa) 1280 b) 1600 c) 1620 d) 1900 e) 1960
6. Halle el máximo número de corte de 5 heptágonosconvexos, sabiendo que todos tiene un vértice encomún.a) 88 b) 99 c) 100 d) 105 e) 110
7. Si tenemos a un polígono convexo de 13 lados al cualse le trazan todas sus diagonales. ¿Cuántos puntos decorte se determinan como máximo?a) 330 b) 495 c) 615 d) 715 e) 840
8. Se tiene 15 rectas paralelas no coincidentes, y por unpunto exterior a éstas se trazan también 15 rectas
secantes diferentes. El número total de puntos deintersección que se pueden contar como máximo es:
[Excel – 11 – I]a) 226 b) 225 c) 224d) 223 e) 221
9. Los puntos M, N y P son colineales y consecutivos. Siel punto Q es el punto medio de NP, halle el valor de:
22
22
MPMN
NQMQE
a) 0,25 b) 0, 5 c) 0,75d) 1,25 e) 2
10. Sobre una recta se tienen los puntos consecutivos A,B, C y D, tal que:
1BD
AD
BC
AC
ACxAD = 289Calcule “AB”a) 15 b) 16 c) 17d) 18 e) 19
11. En una línea recta se consideran los puntosconsecutivosA, B y C. Si P, Q, R y S son puntos medios de AB,BC, AQ y PQ respectivamente además AC=80;entonces RSes:
[UNT – 10 – I]a) 14 b) 16 c) 18d) 19 e) 20
12. Sobre una línea recta se toman los puntosconsecutivos M, N, P, Q. Si NQ=8m y (MN -PQ)(MQ+NP)=36m2, la longitud de MP, en metros,es:
[UNT – 11 – I]a) 11 b) 10 c) 9d) 8 e) 7
13. Los puntos O, A, B y C son colineales y consecutivos.Si:
OCOBOA
111
Halle OA en términos de AB y ACa) ACBA . b) 2 ACBA . c)3 ACBA .
d) 4 ACBA . e)2
.ACBA
14. Sobre una recta se tienen los puntos consecutivos A,B, C y D cumpliéndose que:
(AB)(AD) = 6.(BC)(CD), yCD
z
AC
y
AB
x
Halle “x”a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 8
A B C D
A B C D
15. Sobre una línea recta se consideran los puntosconsecutivos A, B, C , D, E y F; con la condición que:
1BF
DF
AE
AC
CalculeDF
BD
CE
AC
a) 0 b) 0,5 c) 1d) 2 e) – 1
16. Sobre una línea recta se consideran los puntosconsecutivos A, B , C, D de tal manera que se cumple:
AB.CD = BC. AD yAB
d
BD
c
CD
b
AC
a
Hallar a + b + c + d mínimoa) 4 b) 4,5 c) 5d) 6 e) 8
17. Sobre una línea recta se consideran los puntosconsecutivos: P0; P1; P2; P3; P4; … así
sucesivamente, si:
P0.P1=12
12
P1.P2=22
1
; P2.P3=
2
1 , … asi
indefinidamente . Calcule el límite de la suma de laslongitudes de los segmentos consecutivos asíformados
a) 2 b) 2 + 3 c) 2 + 1d) 2 2 e) 3 2 + 4
18. Sobre una recta se consideran los puntos
consecutivos U, N, C, P si UN es sección aurea deUC y los puntos forman una cuaterna armónica. Si
1232UC 5 cba y a, b, c son tres números
que verifican la igualdad (a –b + c)2 = 3(ac – ab –bc). Calcular CP.
a)2
15 b)15
2
c)
4
15
d)4
15 e) Faltan datos
TAREA DOMICILIARIA
1. Halle el máximo número de puntos de corte que
originan 2 polígonos convexos de 17 lados cada uno,
sabiendo que tienen un vértice en común
a) 14 b) 33 c) 31
d) 35 e) 34
2. ¿Cuál es el máximo número de puntos de corte al
interceptarse "n" polígonos convexos de "n" lados
cada uno, con (n+1) polígonos convexos de (n+1)
lados cada uno?
a) 2n3 + n2 +n b) 4n3 + 2n2 +n
c) 4n3 + 3n2 +2n d) 3n3 + 2n2 +n
e) 2n3 + 3n2 +n
3. Calcular el máximo número de puntos de corte que
producen "n" polígonos convexos de "n" lados cada
uno con un vértice común:
a) n(n+1)(n+2)/2 b) n(n-1)(2n-3)/2
c) n(n-1)/2 d) n(n+1)/2
e) n(n-1)(2n-1)/2
4. Halle el máximo número de puntos de corte de 30
circunferencias dispuestas tal como se muestra en la
figura, con 20 rectas paralelas
a) 1230 b) 1258 c) 1260 d) 1229 e) 1240
5. Halle el máximo número de cortes de 40
circunferencias concéntricas y 20 rectas concurrentes
a) 800 b) 1601 c) 1401 d)1600 e) 601
6. Calcule el máximo número de puntos de corte de 12
circunferencias secantes que tiene un punto en común
a) 65 b) 67 c) 68 d) 70 e)71
7. En una recta se ubican los puntos consecutivos y
colineales A, B, C y D. Si (AC)2 - (CD)2 = 8(BC) y
AB = BD, entonces la medida de AD es:
[Cepunt – 11 – I]
a) 2 b) 4 c) 6
d) 8 e) 10
8. Sobre una línea recta, se consideran los puntos
consecutivos A, B, C, D y E con la condición:
AC=BD, DE = 3(BC). Hallar la longitud del
segmento AE , sabiendo que : 3(AB) + 2(DE) = 72
a) 24 b) 48 c) 32 d) 36 e) 50
9. Sobre una línea recta, se consideran los puntos
consecutivos S, I, G, M, A; cumpliéndose que SM =
MA, SI = IM. Si SG + IM + GA + SA = 72 y
además 1 2 1
IG SA. Calcular la longitud del segmento
IG
a) 1 b)
1,06 c) 1,8 d) 1,5 e)2
10. Sobre una línea recta se consideran ls puntos
consecutivos A, B, C y D, con la siguiente condición
AB CD 1AC BD
. Calcule x si 3BC BC x n 0
AC BD n
a) 3 2 b) 3 n c) 3 2n
d) 3 3n e) n
11. Sobre una línea recta se consideran los puntos
consecutivos A, B, C, D, E, F,….. tal que: AB= 1/2;
BC = 1/3; CD= 1/4; DE = 1/9; EF = 1/8; FG =
1/27…., y así sucesivamente. Calcular el límite de la
suma de las longitudes de todos los segmentos así
determinados.
a) 5 b) 2,5 c) 1,5
d) 2 e) 4,5
12. Sobre una línea recta se consideran los puntos
consecutivos A, B, C, y D.Si(2x– 1). AB.CD=BC.AD
y
z 2 3x 8 yAC AB AD
. Hallar: 2 2 2x y z
a) 25 b) 50 c) 10
d) 15 e) 35
Adicionales
1.- Hallar una fórmula para calcular el máximo número
de puntos de corte entre “n” figuras de la forma:
a)2
)1(7 nn b)2
)1(3 nn c)2
15n
d) 5n(n- 1) e)2
)1(9 nn
2.- El MNPI entre 10 rectas y 5 circunferencias es:
a) 65 b) 120 c) 145 d) 165 e) N.A.
3.-El MNPI entre 40 rectas secantes y 22 triángulos es:
a) 780 b)1234 c) 3926 d) 4568 e) N.A.
4.- Hallar el máximo número de puntos de intersección
(MNPI) entre 25 rectas secantes y 10 pentadecágonos.
a) 535 b) 1024 c) 1568 d) 2150 e) N.A.
5.- Hallar el MNPI entre 40 circunferencias y 12
triángulos.
a) 4 836 b) 45 760 c) 3345 d) 4345 e) N.A.
6.- Hallar el MNPI entre 60 circunferencias y 18
triángulos.
a) 14277 b) 13056 c) 10938 d)15980 e) N.A.
7.- Hallar el MNPI entre 6 rectas secantes, 12
circunferencias y 7 cuadriláteros.
a) 1215 b) 1430 c) 1410 d) 2431 e) N.A.
8.- Si a un grupo de “n” triángulos se le quita uno, el
máximo número de puntos de corte disminuye en 18.
Hallar “n”.
a) 3 b) 4 c) 6 d) 5 e)9
9.- Hallar el MNPC entre 10 rectas paralelas, 5 rectas
secantes y 6 triángulos, al intersecarse todas estas figuras
entre sí.
a) 360 b) 340 c) 350 d) 370 e) 330
10.- Calcular el MNPI entre 15 rectas secantes, 13
paralelas y 45 circunferencias secantes.
a) 4800 puntos b) 4500 puntos c) 300 puntos d)
3420 puntos e) 2330 puntos
11.- Si a un grupo de rectas de un plano, se le agrega
una, el máximo número de puntos de corte se duplicaría.
Hallar el número de rectas original.
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
12.- Hallar el MNPI entre 10 circunferencias, 12
triángulos y 4 rectas secantes.
a) 1009 b) 1230 c) 1 108 d) 1018 e) N.A.
13.- Si aun grupo de “n” rectas secantes se agrega una
recta, el máximo número de puntos de corte aumentaría
en 12. hallar el valor de “n”.
a) 12 b) 11 c) 13 d) 6 e) 24
14.- Si a un grupo de elipses secantes se le aumenta
cuatro, el número de puntos de intersección se incrementa
en 184. Calcular cuántas elipses conforman dicho grupo.
a) 12 b) 10 c) 16 d) 15 e) 11
15.- Si a un grupo de “n” rectas secantes se agregan dos
rectas, el máximo número de puntos de corte aumentaría
en 15. Hallar “n”.
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) N.A.
16.- Hallar el MNPI entre 4 circunferencias, 7 rectas
secantes y 6 pentágonos.
a) 453 b) 563 c) 345 d) 576 e) 476
17.- Al duplicarse el número de rectas secantes, el
máximo número de puntos de corte se quintuplicaría.
Hallar el número inicial de rectas.
a) 3 b) 6 c) 15 d) 10 e) N.A
18.- Hallar el máximo número de puntos de intersección
de 10 cuadriláteros no convexos.
a) 540 b) 720 c) 820 d) 400 e) 360
19.- Si al máximo número de puntos de intersección
entre “m” rectas secantes se le aumenta 16 puntos, el
resultado equivale al número de rectas elevado al
cuadrado y aumentado en uno. Determinar el máximo
número de puntos de intersección de “m” hexágonos
secantes:
a)100 b) 150 c) 132 d) 140 e) 120
20.- Encontrar el número máximo de puntos de corte
que hay entre “F” decágonos convexos y “F”
cuadriláteros convexos.
a) 7F(F – 1) b) 7F(2F – 3) c) 4F(3F – 2) d)2F(11F – 7)
e) 3F(15F – 8)
21.- Deducir una fórmula para encontrar el número total
de puntos en que se cortan “n” circunferencias dispuestas
como se indica:
a) n(n – 1) b) 2(n – 1) c) 3n(n – 1)
d) (n – 1) e) 4n(n – 1)
22.- Si a un conjunto de n rectas secantes se le quita 4
rectas, su máximo número de puntos de intersección
disminuirá en 90, pero si se le agrega 4 rectas al conjunto
el máximo número de puntos de intersección aumentaría
en:
a) 105 b) 110 c) 106 d) 112 e) 120
23.- Hallar el número de puntos de intersección entre 10
circunferencias concéntricas y 20 rectas que pasan por el
centro común.
a) 432 b) 401 c) 124 d) 280 e) 324
24.- En un plano el máximo número de puntos de
intersección incluyendo los vértices entre 2k polígonos
convexos de k lados y k polígonos convexos de 2k lados
es 360k. Calcular el máximo número de puntos de
intersección entre k/2 polígonos convexos de 2k/3 lados.
a) 20 puntos b) 12 puntos c) 28 puntos d) 24
puntos e) 51 puntos
25.- En un mismo plano, un número igual de rectas
secantes y circunferencias secantes se intersectan
determinando un N.P.I. máximo igual a 117. Calcular el
número de figuras geométricas que se intersectan.
a) 12 b) 4 c) 18 d) 6 e) 9
26.- Hallar el MNPC entre “n” circunferencias, “2n”
rectas secantes y “n” triángulos, al cortarse todas entre sí.
a) 5n(4n – 1) b) 4n(5n – 1) c) 5n(4n + 1)
d) 4n(5n + 1) e) N.A.
27.- Se muestran “n” circunferencias concéntricas y otras
“n” circunferencias menores formando una argolla. El
máximo número de puntos de corte, es:
a) 2n2 b) 4n2 c) 4n
d) 2n(n – 1) e) 2n(n + 1)
28.- En un plano se dibujan “n” rectas, si de este grupo
de rectas 5 fuesen paralelas y el resto rectas secantes entre
sí, el máximo número de puntos de intersección sería 45.
Hallar “n”.
a) 12 b) 11 c) 15 d) 10 e) 14
29.- Se dan “m” rectas coplanares de las cuales “n” son
paralelas. Calcular NPImáx que pueden producir al
intersectarse estas rectas.
a)2
)1)(( nmnm
b)2
)1)(( nmnm
c)2
)1)(( nmnm
d)2
)1)(( nmnm
e)2
)1)(( nmnm
30.- En la figura mostrada se tiene n flechas y n rectas
paralelas tal como indica la figura, si el número total de
puntos de intersección es 2(8n + 21). Calcular n.
a) 6 b) 9 c) 8 d) 10 e) 12
ITEMES
13. Un conjunto de rectas secantes determinan en unplano igual cantidad de puntos de corte que detriángulos. ¿Cuántas recta secantes son?. Se sabe queno hay tres rectas o más que pasen por un mismopuntoa) 5 b)6 c) 8 d)9 e)10
14. Si 8 elipses secantes tiene un punto en común,¿cuántos puntos de corte más determinan comomáximo?a) 56 b) 72 c) 84 d) 96 e) 108
15. Se tiene un grupo de circunferencias secantes; si seduplican dicha cantidad, el máximo número depuntos de corte aumentaría en 290. ¿Cuántascircunferencias son?a) 8 b)9 c) 10 d)11 e)12