102690 Fonaments de Senyals i SistemesProva Final. Part I.12 de Juny, 2013

Instruccions:Durada: 120 minuts.No es permeten ni llibres ni apunts ni calculadora. Totes les pa`gines han dincloure nomi DNI/NIU. A mes a mes, cada problema sha de resoldre en fulls separats. Les notes espublicaran a traves del Campus Virtual.En cas de co`pia entre dos o mes alumnes, tots rebran lamateixa sancio independentmentde qui hagi copiat i qui hagi deixat copiar.

1. (35 Punts) Consideri un sistema definit per y(t) = T [x(t)] = (

t4

) x(1 2t).(a) Discuteixi raonadament si es tracta dun sistema linial o be no linial.

(b) Discuteixi raonadament si es tracta dun sistema variant o be invariant.

(c) Discuteixi raonadament si es tracta dun sistema estable o be inestable.

Nota: dir les caracterstiques del sistema sense cap argumentacio puntuara` 0 punts.

Consideri ara un nou sistema, aquest cop caracteritzat per la seva resposta impulsional que val

h(t) = (t) u(t)

(d) Si el senyal dentrada a aquest sistema es x(t) = h(t), dibuixi tant x(t) com h(t).(e) Trobi ara la sortida del sistema y(t) i dibuixi-la.

(f) Per ultim, i sense calcular de nou la sortida, dibuixi tant lentrada com la sortida del sistema silentrada es x(t+ 3).

2. (65 Punts) Un sistema te el seguent diagrama de pols i zeros.

H(s) = k (s z1)(s z2) . . . (s zm)(s p1)(s p2) . . . (s pn)k = 5

j

1 2 31234

A continuacio es demana:

(a) Calcular la funcio de transfere`ncia H(s) del sistema.

Nota: NOMES en cas de no haver resolt lapartat (a), considerar la seguent H(s) per a la resta delproblema:

H(s) =3 (s+ 4)

(s2 + 6s+ 9) (s+ 2)

Pa`gina 1 de 2

(b) Calcular la resposta impulsional del sistema.

(c) Calcular lexpressio del senyal de sortida en el domini temporal y(t) quan el senyal dentrada esx(t) = 2e4t u(t).

(d) Dibuixar el diagrama de Bode en magnitud i fase del sistema.

(e) Calcular el guany en dB del sistema quan la freque`ncia tendeix a zero i quan la freque`ncia tendeixa infinit.

102690 Prova final. Part I. Juny 2013 Pa`gina 2 de 2

102690 Fonaments de Senyals i SistemesProva Final. Part II.12 de Juny, 2013

Instruccions:Durada: 120 minuts.No es permeten ni llibres ni apunts ni calculadora. Totes les pa`gines han dincloure nomi DNI/NIU. A mes a mes, cada problema sha de resoldre en fulls separats. Les notes espublicaran a traves del Campus Virtual.En cas de co`pia entre dos o mes alumnes, tots rebran lamateixa sancio independentmentde qui hagi copiat i qui hagi deixat copiar.

1. (50 Punts) Al seguent sistema, la sortida del bloc A, r(t), es el senyal x(t) amb un retard t0. La sortidadel bloc B es la derivada de r(t). Finalment, el bloc C esta` caracteritzat per la resposta impulsionalh(t).

Retardador Derivador h(t) = (

t

T

)x(t)

r(t) = x(t t0) z(t) = r(t)t

y(t)

Bloc A Bloc B Bloc C

(a) Fent servir les propietats de la transformada de Fourier trobar R(f), Z(f) i Y (f) en funcio de X(f).

(b) Considerant que Y (f) = (f2

), trobar y(t) fent servir la propietat de la dualitat

El senyal y(t) anterior es mostreja a una freque`ncia f = 4Hz.

(c) Trobar lexpressio del senyal mostrejat, yd(t) en el domini temporal en funcio de y(t).

(d) Trobar lexpressio de Yd(f) en el domini frequencial en funcio de Y (f) i dibuixar-la.

Per tal de recuperar el senyal y(t) a partir del senyal yd(t) es multiplica Yd(f) per un pols rectangularen freque`ncia de manera que

Y (f) = Yd(f) 14

(f

4

)(e) Trobar y(t) com a resultat del proces dinterpolacio anterior.

2. (50 Punts) Un senyal x(t) esta` format per dos tons purs a freque`ncies f1 = 1kHz i f2 = 2kHz i es potexpressar com

x(t) = A cos (2f1t) +A cos (2f2t)

En primer lloc es demana:

(a) Calcular lautocorrelacio del senyal, Rxx(), la seva densitat espectral denergia o pote`ncia (segonscorrespongui), Sxx(f), i la seva energia o pote`ncia (segons correspongui).

Tot seguit es preten separar les dues components que formen el senyal x(t), es a dir, els senyals co-sinusoidals a f1 i f2, respectivament. Es per aixo` que es proposa lesquema de la figura seguent, onh1(t) =

1T

(tT

)i h2(t) = 4 sinc(2t) cos (2f0t).

Pa`gina 1 de 2

x(t)

y1(t)

y2(t)h2(t)

h1(t)

A continuacio es demana:

(b) Calcular i dibuixar les respostes frequencials H1(f) i H2(f).

(c) Calcular la densitat espectral del senyal de sortida a la branca superior, Sy1y1(f), i tambe a lainferior, Sy2y2(f).

(d) Donar valors als para`metres , T i f0 per tal que y1(t) tingui nomes component a f1 i y2(t) tinguinomes component a f2. Es demana tambe que ambdos senyals tingui ide`ntica energia o pote`ncia(segons correspongui).

102690 Prova final. Part II. Juny 2013. Pa`gina 2 de 2