Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 1
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital hacia construcción autónoma de
problemas por estudiantes de precálculo: Longitud – Área - Volumen
Efren David Montes Vera
Jaime Alberto Pinto Maldonado
Trabajo presentado para optar al título de Magister en Educación
Docente Asesor:
Ph.D Omar Lenguerke Pérez
Universidad Cooperativa de Colombia
Facultad de Educación
Maestría en Educación
Bucaramanga
2016
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Dedicatoria
A mi madre Laura, que es mi ángel protector, el recuerdo es imborrable, donde estés, en la
eternidad sigue la conexión de mi alma.
A mi padre, vida y vocación docente
A mi esposa Yolanda Cristancho, por el apoyo y ánimo que me brinda para alcanzar nuevas
metas, tanto profesionales como personales.
A mi hija Laura Montes Cristancho, quien ha sido mi motivación para nunca rendirme, mi
orgullo y la prolongación de mi existencia.
A mis hermanos; Helver, Gloria y Edgar José.
A mis sobrinos, Daniela, Santiago, Gabi y Cata.
A mi sobrino, ahijado y parne Oscar David Santander Montes
A un buen ser humano, Magister y Compañero que se fue a la eternidad, Javier Moyano Niño.
Efrén David Montes Vera
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Dedicatoria
A mi madrina Socorro Contreras Vera quien fue una verdadera madre; por lo que me inculcó,
por todo lo que soy, por sus principios y valores, por su gran corazón. Siempre estaba en mis
momentos, principalmente en los más difíciles. Formadora de mi alma y esencia.
A Eva Johanna Anaya Hernández quien ha sido mi confidente; por su rectitud, por sus
sentimientos, un gran ser humano, un ángel de Dios. Diseñadora de mis sueños.
A mi padre, uno de mis pilares; por su honestidad, un caballero, un líder. Mi ejemplo de vida.
A mi hija, Bárbara Liceth Pinto, es todo mi amor, es mi proyección. Mi legado.
Jaime Alberto Pinto Maldonado
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Agradecimiento
Al gran arquitecto del Universo, por permitir orientar mi vida hacia lo más justo y ético, hacia
lo más elevado del espíritu, en un cuerpo sano, como un pensamiento puro y una conducta
solidaria y fraterna con todos los seres del universo.
A mi gran amigo y compañero de maestría Jaime Pinto Maldonado.
A quien postergó su maestría y es un reposo de cariño y generosidad Mi hermana Gloria Inés
Montes Vera.
Efrén David Montes Vera
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Agradecimiento
A Dios, sin él nada sería posible.
A mi familia porque quiero ofrecerle lo mejor de mí.
No puedo sentir más que gratitud por aquellas personas que fueron nuestro apoyo en especial a
los doctores Leonardo Acevedo, Manuel Medardo y Luva Mesa, entre otros quienes ofrecieron
incondicionalmente su apoyo.
A Moisés Bravo y Nelson Castellanos quienes fueron creciendo en el transcurso de la maestría y
a través de sus aportes ayudó para que nosotros también creciéramos.
A mi estimado amigo Efrén David Montes
A Albert Yhanj Jiménez quien puso su granito de arena en esta investigación.
A mis amigos que aún me acompañan y a los que ya se despidieron…
A los que decían te apoyo pero no era cierto
Jaime Alberto Pinto Maldonado
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Contenido
Pág.
Introducción .................................................................................................................................. 14
1. Generalidades del proyecto ....................................................................................................... 16
1.1 Descripción del documento ......................................................................................... 16
1.2 Planteamiento del problema ........................................................................................ 17
1.2.1 Descripción del problema ............................................................................ 18
1.2.2 Preguntas directrices. .................................................................................. 22
1.2.3 Pregunta de investigación. ........................................................................... 22
1.3 Objetivo ....................................................................................................................... 23
1.3.1 Objetivo General .......................................................................................... 23
1.3.2 Objetivos específicos ................................................................................... 23
1.4 Justificación................................................................................................................. 24
1.5 Hipótesis ...................................................................................................................... 26
1.6 Alcances y limitaciones............................................................................................... 27
2. Fundamentos teóricos y estado del arte .................................................................................... 30
2.1 Fundamentos teóricos ................................................................................................. 30
2.1.1 El Aprendizaje .............................................................................................. 31
2.1.1.1. La Teoría Constructivista ............................................................. 32
2.1.1.2. Características de la Teoría Constructivista ................................. 34
2.1.1.3. El Aprendizaje desde el Modelo Constructivista ......................... 36
2.1.2 Aprendizaje de las Matemáticas .................................................................. 38
2.1.3 Planteamiento y Solución de Problemas ...................................................... 41
2.1.3.1 ¿Cómo Plantear y Resolver Problemas? ........................................ 42
2.1.3.2. Planteamiento y Solución de Problemas como Competencia ...... 55
2.1.4 Sobre la enseñanza de la trigonometría ....................................................... 62
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 7
2.1.4.1 Sistemas de representación ............................................................ 63
2.1.4.2 Relación entre los sistemas de representación ............................... 66
2.1.5 Aprendizaje sobre longitud, área y volumen ................................................ 67
2.2 Estado del arte ............................................................................................................. 70
3. Tipo de investigación y metodología ........................................................................................ 77
3.1 Tipo de investigación .................................................................................................. 77
3.2. Metodología ............................................................................................................... 79
3.2.1. Métodos y Técnicas ..................................................................................... 79
3.2.2. Población. ................................................................................................... 80
3.2.3. Técnicas e instrumentos de colecta de datos .............................................. 81
3.3 Presentación y análisis de resultados del diagnóstico ................................................. 83
3.3.1 Resultados de las encuestas aplicadas a estudiantes ................................... 84
3.3.2 Resultados de las encuestas a profesores .................................................... 90
3.3.3 Resultados del análisis documental a estudiantes ....................................... 95
3.3.4 Conclusiones e inferencias del diagnóstico. .............................................. 105
4. Estrategia didáctica ................................................................................................................. 108
4.1. Objetivos .................................................................................................................. 108
4.1.1 Objetivo general. ........................................................................................ 108
4.1.2 Objetivos específicos. ................................................................................. 108
4.2 Indicadores ............................................................................................................... 109
4.3Fundamentación para el docente ................................................................................ 109
4.4 Recomendaciones metodológicas ............................................................................. 110
4.4.1 Instrumento digital ..................................................................................... 110
4.4.2 Alcances y limitaciones de la estrategia didáctica .................................... 112
4.4.3 Guía didáctica ............................................................................................ 114
4.5 Actividades de la estrategia didáctica ....................................................................... 131
4.5.1 Diagnóstico. ............................................................................................... 131
4.5.2 Guía de trabajo “cómo resolver problemas en longitud, área y
volumen a partir del instrumento digital” .......................................................... 132
4.6 Evaluación ................................................................................................................. 132
4.7 Retroalimentación .................................................................................................... 133
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4.8 Validación de la estrategia didáctica ......................................................................... 134
5. Conclusiones y Recomendaciones. ......................................................................................... 136
Referencias Bibliográficas .......................................................................................................... 138
Anexos ........................................................................................................................................ 141
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Lista de Figuras
Pág.
Figura 1. Lineamientos en educación matemática según el MEN ............................................... 40
Figura 2. Estrategias para plantear y solucionar un problema según George Polya .................... 51
Figura 3. Representación simbólica ............................................................................................. 64
Figura 4. Representación numérica .............................................................................................. 65
Figura 5. Sistema de representación gráfico: geométrico y cartesiano ........................................ 66
Figura 6. Declaración estudiante importancia de las matemáticas............................................... 85
Figura 7. Importancia de la matemática en el pregrado de Tecnología y en la vida cotidiana .... 87
Figura 8. Declaración estudiantes factores de rendimiento académico ....................................... 88
Figura 9. Componentes de la investigación que se perciben en el aula según los estudiantes ... 89
Figura 10. Declaración docente 1 ................................................................................................. 91
Figura 11. Declaración docente 2 ................................................................................................. 92
Figura 12. Declaración docente 3 ................................................................................................. 93
Figura 13. Componentes de la investigación que se perciben en el aula según los docentes ...... 94
Figura 14. Dificultad en la interpretación del enunciado ............................................................. 98
Figura 15. Dificultad en el manejo de escalas .............................................................................. 99
Figura 16. Dificultad en la interpretación del enunciado y el manejo de las escalas ................... 99
Figura 17. Dificultad en la interpretación de la relación del círculo y rectángulo ..................... 100
Figura 18. Dificultad en la delimitación del problema............................................................... 101
Figura 19. Dificultad en la ubicación de los datos, las incógnitas y la comprensión del
problema ..................................................................................................................................... 102
Figura 20. Dificultad en la relación algebraica y los conceptos de longitud, área y volumen ... 104
Figura 21. Dificultad en la relación algebraica y los conceptos de longitud, área y volumen ... 104
Figura 22. Instrumento digital .................................................................................................... 111
Figura 23. Caja de información de datos .................................................................................... 112
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Figura 24. Problema de ejemplo 1 ............................................................................................. 118
Figura 25. Problema de ejemplo 2 ............................................................................................. 123
Figura 26. Problema de ejemplo 4 ............................................................................................. 125
Figura 27. Problema de ejemplo 5 ............................................................................................. 126
Figura 28. Problema de ejemplo 6 ............................................................................................. 127
Figura 29. Problema de ejemplo 7 ............................................................................................. 128
Figura 30. Problema de ejemplo 8 ............................................................................................. 129
Figura 31. Problema de ejemplo 9 ............................................................................................. 130
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 11
Lista de Anexos
Pág.
Anexo A. Encuesta a los docentes .............................................................................................. 141
Anexo B. Encuesta a los estudiantes ........................................................................................... 145
Anexo C. Prueba de conocimientos generales en longitud, área y volumen .............................. 147
Anexo D. Prueba diagnóstico para la estrategia didáctica .......................................................... 149
Anexo E. Problema 1 de la estrategia didáctica .......................................................................... 151
Anexo F. Plantilla de la estrategia didáctica ............................................................................... 153
Anexo G. Rúbrica evaluación de la estrategia didáctica ............................................................. 155
Anexo H. Prueba de evaluación individual estrategia didáctica ................................................. 158
Anexo I. Instrumento para la validación de la estrategia didáctica ............................................ 160
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 12
Resumen
La presente investigación se realizó en las Unidades Tecnológicas de Santander (UTS) sede
Bucaramanga, en una muestra de estudiantes que cursan la asignatura de Precálculo y con el
apoyo del colectivo de docentes de la asignatura de la institución. Se partió de una situación
problema comprobada desde hace varios semestres, el exiguo desarrollo de las habilidades de los
estudiantes para plantear y resolver problemas debido a las deficientes estrategias realizadas en
el proceso de la enseñanza y del aprendizaje, evidenciándolo principalmente en los pobres
resultados de las pruebas de carácter interno y externo. Exámenes que contienen un alto
componente en resolución de problemas. Finalmente el contexto presentado repercute en el
interés y en la motivación del estudiante hacia la asignatura y la temática, agudizando las
debilidades en su proceso de aprendizaje.
Posteriormente se investigó a profesores y estudiantes para identificar sus concepciones sobre la
importancia y el uso de las matemáticas tanto en la carrera universitaria que se encuentran
cursando, como en su vida cotidiana. Por otro lado, se indagó sobre la frecuencia de
implementación en el aula de algunos componentes significativos en el proceso de aprendizaje
en las matemáticas, principalmente en la resolución de problemas.
A partir de ahí, se diseñó una estrategia didáctica en una salida de campo, que promueve el
planteamiento y hacia la construcción de problemas propios en su contexto sobre la temática
longitud, área y volumen (LAV), usando como apoyo un instrumento digital que registra
medidas angulares y longitudinales; que resaltó el trabajo cooperativo, el fortalecimiento de la
comunicación individual y colectiva, el manejo de la representación matemática, el análisis y la
reflexión.
Cabe añadir que la estrategia didáctica fue reconocida a través de una valoración por parte de una
muestra de docentes que orientan la asignatura en las UTS, teniendo como finalidad elevar la
significatividad en su aprendizaje y despertar el interés de los estudiantes hacia la asignatura y la
resolución de problemas.
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 13
Abstract
This research was conducted at the Unidades Tecnológicas de Santander (UTS) Bucaramanga
based on a sample of students attending the course Precalculus and with the support of the group
of teachers of the subject of the institution. It began with a problem situation tested for several
semesters, the meager development of students' abilities to pose and solve problems due to poor
strategies used in the process of teaching and learning, highlighting mainly in the poor results
testing of internal and external character. Tests that contain a high component in problem
solving. Finally, the context presented affects the student interest and motivation toward the
subject and theme, exacerbating the learning process in their weaknesses.
Later teachers and students was investigated to identify their views on the importance and use of
mathematics both college career who are studying, as in their daily lives. On the other hand, he
was asked about the frequency of classroom implementation of some significant components in
the learning process in mathematics, particularly in problem solving.
From there, a teaching strategy was designed on a field trip, which promotes the planning and
building their own problems in context on the thematic units of measure, using as support a
digital instrument that records angular and longitudinal measures; that highlighted the
cooperative work, strengthening individual and collective communication, management of the
mathematical representation, analysis and reflection.
It added that the teaching strategy was recognized through an assessment by a sample of teachers
who guide the subject in the UTS, with the aim to raise the meaningfulness in learning and pique
the interest of students towards the subject and resolution problems.
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 14
Introducción
Con los Lineamientos Curriculares (1998) definidos por el Ministerio de Educación
Nacional (MEN), para el caso específico de las matemáticas se propuso organizar el currículo
mediante la interrelación entre, por una parte, procesos generales, conocimientos básicos y
contexto, y por otra, los pensamientos y sistemas matemáticos: pensamiento y sistemas
numéricos, pensamiento espacial y sistemas geométricos, pensamiento métrico y sistemas de
medidas, pensamiento aleatorio y sistemas de datos, pensamiento variacional y sistemas
algebraicos y analíticos.
A los Lineamientos se articularon los Estándares de Competencias (MEN, 2003), que
plantearon lo que significa para el MEN ser “matemáticamente competente”: formular y resolver
problemas, utilizar diferentes registros de representación semiótica, argumentar y justificar para
validar, probar, refutar, demostrar y dominar procedimientos y algoritmos matemáticos; se
resalta la formulación y resolución de problemas como uno de sus pilares de la matemática.
En las Unidades Tecnológicas de Santander UTS como apoyo a los procesos de
fortalecimiento académico y a causa del bajo rendimiento académico, la institución incluyó una
serie de asignaturas con el objetivo de fortalecer los presaberes necesarios para cursar las
carreras profesionales que se ofrece; anteriormente en la facultad de ciencias naturales e
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ingeniería en la línea de las matemáticas se impartía en el primer semestre la asignatura de
Cálculo Diferencial pero ahora para cumplir dicho objetivo se agregó la asignatura Precálculo.
Teniendo en cuenta los lineamientos del MEN y la necesidad de la institución, los autores de
la investigación objeto de este documento, tomaron la iniciativa de diseñar una estrategia
didáctica para la asignatura de Precálculo con el fin de fortalecer el proceso planteamiento y la
resolución de problemas, incluyendo un instrumento digital que sirve como herramienta
pedagógica apoyada en el trabajo cooperativo, la comunicación y las representaciones
matemáticas.
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 16
1. Generalidades del proyecto
1.1 Descripción del documento
Este primer capítulo de introducción, se destina a plantear el problema, los objetivos,
justificación, hipótesis, limitaciones y alcances de la investigación.
El segundo capítulo se refiere a los referentes conceptuales para el aprendizaje en general y
de las matemáticas en particular, para pasar luego al tema del planteamiento y resolución de
problemas en matemáticas, con base en investigadores reconocidos en didáctica de las
matemáticas, teoría constructivista y trabajo cooperativo. Los autores asumen en este capítulo
unos conceptos, a su juicio centrales en la concepción de longitud, área, volumen, trigonometría.
Se analizan tópicos representativos de los Principios y estándares de la educación matemática
(2001) y de los Estándares de Competencias Matemáticas (2003), documentos que, a juicio del
MEN, reestructuran el currículo de las matemáticas escolarizadas.
Para el grupo de investigación las voces de los profesores y de los estudiantes fueron
esenciales, por ello, el capítulo tercero dedica a analizar ¿cómo conciben los estudiantes la
importancia de las matemáticas en sus carreras? ¿Qué características que propone esta estrategia
se aplican en las clases de Precálculo en las UTS? ¿Qué estrategias didácticas aplican los
docentes en sus aulas? ¿Qué dificultades cognitivas y metacognitivas poseen los estudiantes en el
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 17
planteamiento y resolución de problemas? Se asume que será más difícil mejorar el proceso de
enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, si los significados personales de los estudiantes y
profesores no son objeto de investigación y reconocimiento como elementos previos
constitutivos de significados matemáticos.
El capítulo tercero se plantea la estrategia didáctica que está sustentada en el fortalecimiento
del proceso de planteamiento y resolución de problemas en longitud, área y volumen apoyado en
el uso de un instrumento digital que sirve como herramienta pedagógica y que además fortalece
otras procesos que según lo comprobó la investigación casi no se evidencian en las aulas de las
UTS; este capítulo finaliza con la convalidación y ajustes de la estrategia didáctica realizados por
el colectivo docente de la asignatura de las UTS.
Finalmente se exponen las conclusiones y las recomendaciones, basándonos en que la
estrategia plantea una forma particular de desarrollar la temática y que puede ser un granito de
arena como contribución al desarrollo de la educación matemática y a la optimización de nuestra
labor docente, la cual nos plantea cada día nuevos desafíos y la que constantemente nos exige ser
más creativos y significativos en nuestras prácticas pedagógicas.
1.2 Planteamiento del problema
En el curso de Precálculo de la Institución Educativa Unidades Tecnológicas de Santander,
no se aplica de manera adecuada estrategias pedagógicas para cualificar el aprendizaje
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 18
relacionado con el planteamiento de problemas en longitud, área y volumen, situación que se
refleja en los resultados de las pruebas que se realizan a nivel interno y externo.
1.2.1 Descripción del problema
Es un hecho que la mayoría de estudiantes experimentan serios problemas al iniciar sus
cursos universitarios de matemáticas. Por ejemplo más de 30% de los estudiantes en la
“University of British Columbia”, Canadá, no aprueban sus cursos de cálculo (Santos, 2001). En
USA de 600,000 estudiantes que cursaron cálculo a nivel universitario en 1987, solo 46%
aprobaron (Andersoon y Loftsgaarden, 1987). Los principios y estándares de la educación
matemática establecen que el 25% de los estudiantes en estados Unidos que ven Matemáticas no
la entienden o la desaprueban.
Esta situación no es diferente en las UTS pues en un informe realizado por el departamento
de ciencias básicas de la sede de Bucaramanga se estableció que el 50% de los estudiantes que
ven cálculo pierden la asignatura o la cancelan. Situación que se presenta debido a la dificultad
para realizar varios tipos de análisis entre estos los relacionados con el planteamiento de
problemas. Debes agregar otros agravantes entre ellos que, gran parte de los estudiantes se
encuentran laborando y realizan sus estudios sin subsidios o becas; lo que implica poca
disponibilidad de tiempo y también de recursos para desarrollar actividades escolares
principalmente en el trabajo académico independiente, resaltando además que la institución
propone que el tiempo mínimo de estudio independiente debe ser equivalente a 8 horas por
semana para cada asignatura teórica para que el estudiante pueda así adquirir las competencias
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 19
requeridas para el curso. Por otro lado, el único requisito para ingresar a estudiar cualquier
carrera en las UTS es presentar el examen de las pruebas “saber” sin importar el resultado
obtenido, situaciones que invitan a los docentes a realizar prácticas pedagógicas en el aula más
significativas y eficaces.
Durante muchos años alrededor del mundo, se han desarrollado investigaciones alrededor de
las dificultades que presentan los estudiantes en la resolución de problemas matemáticos y sobre
los caminos para superarlas. Un frente del problema se relaciona con despertar el interés del
estudiante y para ello se ha identificado como muy útil que el estudiante, aplicando
conocimientos matemáticos, identifique, plantee, analice, determine y resuelva diferentes
problemas. Se identifica así como un problema generalizado que se enseñan las matemáticas sin
soportarla en metodologías y herramientas para el adecuado planteamiento y solución de
problemas.
Por otra parte se suele afrontar la tarea de enseñar y aprender matemáticas en un contexto de
abstracción y generalización que genera desmotivación en el estudiante al promover o reforzar la
percepción de que se trata de algo inútil y no pertinente para la formación en el presente y
tampoco para el futuro desempeño vital, laboral o profesional. Como consecuencia, una de las
causas de las falencias en plantear y resolver problemas con base en la matemática, es la
descontextualización y la ausencia de conexiones vitales con los problemas propuestos.
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 20
El problema descrito en general para diversos campos o componentes de las matemáticas, se
presenta con claridad en lo relacionado con los conceptos de longitud, área y volumen y se da en
el contexto del curso o asignatura de Precálculo de las (UTS).
Se ha detectado que no se aplica de forma correcta el planteamiento y la resolución de
problemas como estrategia de enseñanza y aprendizaje. Realmente, la mayoría de las veces los
profesores ignoran los fundamentos pedagógicos y didácticos que permiten utilizar estas
estrategias de una manera adecuada y significativa como apoyo a los procesos.
Precisamente, el desconocimiento de los principios pedagógicos y psicológicos que rigen el
uso de la resolución de problemas como estrategia en el aula, hace que el docente olvide pasos
fundamentales relacionados con el planteamiento y la comprensión de la situación, actividades
esenciales para que los estudiantes logren comprender los problemas y proponer planes de
solución acertados.
Por otra parte, el estudiante es obligado a abordar una gran cantidad de contenidos en lapsos
muy cortos de tiempo, aportando a la saturación y confusión en los conceptos y contenidos. En
algunos casos el estudiante es expuesto a una serie de teoremas y axiomas que son importantes
en la asignatura, pero que no son la esencia, ni el porqué de la misma, de manera que para el
estudiante es cada vez más complejo adquirir las destrezas y habilidades necesarias para realizar
planteamientos de problemas matemáticos.
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 21
Por otro lado, los estudiantes tienen algunas debilidades no necesariamente académicas y
estas fortalecen las dificultades para adquirir las competencias primarias que permiten plantear
matemáticamente situaciones problema de manera acertada, entre ellas tenemos el desinterés que
puede ser individual o colectivo hacia alcanzar habilidades en las matemáticas.
Se debe tener en cuenta, en consecuencia, para entender la problemática y para evaluar las
estrategias de solución, que las estrategias didácticas que se propongan deben tener soporte y
fundamentación pedagógica, deben favorecer el cambio del proceder de los docentes y deben
tener en cuenta primero las limitaciones de los estudiantes y segundo las dificultades específicas.
En la dirección de lograr planteamientos y soluciones de problemas, en primer lugar
contextualizados y relacionados con la vida y cultura de los estudiantes y, en segundo lugar, en
tiempo oportuno y dedicando el esfuerzo que es razonable dedicar, es conveniente y necesario
prever instrumentos eficientes de medición, de uso expedito y herramientas de procesamiento
numérico – informático eficaces.
Asoma así la expectativa de combinar la herramienta pedagógica, con tecnología
digitalizada para acelerar las operaciones de medida y de alimentar las ecuaciones y rutinas de
cálculo; además para fortalecer el trabajo en equipo, la representación matemática, el
fortalecimiento de la comunicación y también se puede contar con el complemento de
herramientas informáticas de software y hardware.
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 22
1.2.2 Preguntas directrices.
¿Qué referentes teóricos sustentan el planteamiento y resolución de problemas de longitud
área y volumen?
¿Qué dificultades y aciertos se aprecian en el desarrollo del planteamiento de problemas
matemáticos de longitud, área y volumen?
¿Qué características del instrumento digital favorecerán a los estudiantes para fortalecer el
proceso de planteamiento de problemas en longitud, área y volumen?
¿Qué aspectos relevantes de evaluación harán los expertos sobre la estrategia didáctica?
1.2.3 Pregunta de investigación.
¿Cómo fortalecer el proceso de enseñanza aprendizaje en el planteamiento de problemas de
longitud, área y volumen en estudiantes de las UTS en la asignatura Precálculo, con base en un
instrumento digital que resalte el trabajo en equipo, la representación, la comunicación y hacia la
construcción autónoma de problemas en el contexto propio?
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 23
1.3 Objetivo
1.3.1 Objetivo General
Formular una estrategia didáctica a partir de un instrumento digital hacia la construcción
autónoma de sus propios problemas de longitud, área y volumen para estudiantes de las UTS.
1.3.2 Objetivos específicos
Determinar los elementos teóricos que pueden sustentar la estrategia didáctica
proponiendo como herramienta un instrumento digital hacia el planteamiento autónomo
de problemas de longitud, área y volumen en el contexto del estudiante.
Caracterizar sobre las prácticas docentes respecto al planteamiento de problemas que
involucren longitud, área y volumen en la asignatura de Precálculo con el propósito de
establecer fortalezas y debilidades en el proceso de enseñanza y aprendizaje.
Determinar componentes, pasos y estructura de la estrategia didáctica para que los
estudiantes elaboren problemas soportados en un instrumento digital.
Valorar la estrategia didáctica por intermedio del colectivo docente de la asignatura
Precálculo en las UTS, para establecer ventajas y desventajas con el fin de aprobarla o
reajustarla.
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 24
1.4 Justificación
Es claro que las matemáticas son una herramienta necesaria e importante, junto a la
estadística se encuentra en los ciclos básicos de la mayoría de carreras profesionales y
tecnológicas, según el MEN (2013) la importancia de las matemáticas en la educación se da “por
su relación con el desarrollo de las capacidades de razonamiento lógico, por el ejercicio de la
abstracción, el rigor y la precisión, y por su aporte al desarrollo de la ciencia y la tecnología en el
país”.
El sistema de educación busca que el estudiante desarrolle y aprenda matemáticas, no
solamente como área que favorece el desarrollo solo intelectual, sino también como área que
permite el desarrollo de competencias cognitivas, y metacognitivas para el planteamiento, el
análisis y la solución de diferentes problemas reales que se le puedan presentar, puesto que, “la
principal razón de existir del matemático es resolver problemas, y por lo tanto en lo que
realmente consisten las matemáticas es en problemas con sus posibles y más acertadas
soluciones” (Halmos, 1980).
Por lo tanto vale la pena contar con estrategias didácticas para promover la competencia en
plantear y resolver problemas en el contexto general de las matemáticas.
Así, el estudiante tenderá a dar más valor al “pensamiento convergente” (Adams, 1986) ya
que por facilismo solo determina unas posibles soluciones a partir del análisis de contenidos ya
expuestos; situación que genera que el alumno no busque diferentes estrategias y como
consecuencia no elabora nuevos pensamientos en el desarrollo de los problemas.
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 25
En segundo lugar, desde la óptica de los docentes se orientarán más a desarrollar el
pensamiento creativo, a buscar estrategias que estén encaminadas y que posibiliten el interés por
el desarrollo de nuevas ideas y métodos dirigidos a desarrollar el potencial creativo con
diferentes técnicas que muestren a los estudiantes la posibilidad de tener herramientas más útiles
y mejorar sus destrezas a la hora que deban involucrarse en los desarrollos de problemas.
Las ventajas y justificaciones descritas se dan en el curso de precálculo de las UTS, para las
temáticas de longitud, área y volumen. La estrategia que se propondrá incluirá soportes de
medición digital, con lo que se lograrán mejoras sustanciales al cambiar el proceso actual de
plantear y resolver problemas, potenciando el pensamiento matemático del estudiante, basadas
en el desarrollo del trabajo grupal, en la representación matemática, en la comunicación
individual y grupal, son problemas contextualizados y creados por los estudiantes, fortaleciendo
el aprendizaje autónomo del estudiante.
Se pretende realizar un giro a lo que se tiene establecido actualmente en las UTS, en el que
el profesor le da una serie de instrucciones a sus estudiantes, basado en el análisis de una serie de
textos con problemas ya planteados y con soluciones ya propuestas que basan la enseñanza en la
deducción de problemas a partir de procesos ya establecidos.
Con la estrategia y sus herramientas se puede dirigir a que el profesor sea orientador de los
estudiantes en sus procesos de deducir diferentes estrategias y métodos de cómo alcanzar el
desarrollo de los mismos. Se superará el falso dilema de que solo pocos estudiantes pueden
desarrollar el proceso, presuntamente aquellos que fueron dotados con la virtud hacia el
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 26
desarrollo de problemas. La estrategia con sus herramientas pone la meta al alcance de todos,
tanto en términos de capacidades intelectuales, como de tiempo y esfuerzo dedicados.
1.5 Hipótesis
De la observación y el análisis realizados sobre los procesos de enseñanza y aprendizaje en
el área de matemáticas, se ha detectado la dificultad que presentan los estudiantes en la
interpretación de los problemas relacionados con unidades de medida; así mismo, se observa que
existe el interés de no exponerles la resolución de problemas como productos y resultados de un
simple proceso. Es importante que el estudiante no solo se base en el análisis de un problema ya
resuelto en un libro, sino que detecte, en los intentos fallidos en búsqueda de posibles soluciones,
características o patrones que le permitan desarrollar competencias para la comprensión
significativa de situaciones problemáticas, requisito indispensable en el planteamiento de
estrategias de solución y en los razonamientos realizados en un primer intento de solución no
totalmente satisfactoria.
Es de suma importancia valorar el proceso de resolver problemas, entendido esto no como el
profesor que le da una serie de instrucciones a sus estudiantes, basado en el análisis de una serie
de textos con problemas ya planteados, ni con soluciones ya propuestas que basan la enseñanza
en la deducción de problemas a partir de procesos ya establecidos, sino como un orientador de
los estudiantes en sus procesos de deducir diferentes estrategias y métodos de cómo alcanzar el
desarrollo de los mismos, para que ellos no terminen enfrentados al dilema que solo esto lo
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 27
puede desarrollar unos pocos estudiantes que fueron dotados con esta virtud en el desarrollo de
problemas.
Para el caso de estudiantes universitarios, se presenta una estrategia didáctica que pretende
determinar unidades de medida en situaciones reales a través de mediciones directas de ángulos
y/o longitudes, basado en los presaberes del área y a partir de su propia experiencia. Actividad
que desarrolla los procesos de pensamiento matemático del estudiante y la creatividad en el
momento de aplicar estos conocimientos en el desarrollo de problemas.
1.6 Alcances y limitaciones
La estrategia didáctica fue diseñada según las características y condiciones que presentan los
estudiantes de Precálculo de las UTS, pero se puede reevaluar y ajustar por expertos para otros
tipos de estudiantes o de instituciones. Teniendo en cuenta por ejemplo que en muchas
instituciones educativas no incluyen la asignatura de Precálculo, dado que por lo general inician
su ciclo con Cálculo.
Por otro lado puede acondicionarse para ser implementada en la educación media,
principalmente en los grados 10° y 11°, cabe añadir que no solo se puede implementar en los
conceptos sugeridos en esta investigación sino que se puede ajustar para otras temáticas, como
también en otros grados; inclusive para otras áreas diferentes a la matemática como la biología o
la física.
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 28
Es claro que esta estrategia didáctica no es la solución a los problemas que se evidencian en
el proceso de enseñanza aprendizaje, es una alternativa que es viable para fortalecer dichos
procesos; y que depende en primera instancia de la cantidad de exposiciones que se realicen en el
transcurso de la asignatura y en segunda de la transversalidad que pueda resultar de la estrategia
con otras asignaturas.
Hacemos notar que esta estrategia no suplanta a otras estrategias diseñadas con otro tipo de
herramientas como las TIC o los simuladores; es pertinente realizar otras prácticas adicionales
con estos notables elementos porque también han ayudado a optimizar la educación matemática,
además pueden servir de complemento entre sí; por supuesto, cuando se han usado
correctamente.
Seguramente existirán grupos de trabajo que tendrán muchas dificultades al inicio de la
propuesta y no podrán construir de manera autónoma un problema. En este caso el docente puede
desarrollar una situación problema a manera de ejemplo, en este trabajo de investigación se
enuncian algunas situaciones que pueden ser de utilidad, mientras el grupo se afianza y lo
desarrolla por sí mismo. En todo caso el docente puede intervenir en la estrategia didáctica a su
convenir dependiendo de su criterio profesional. En la sección Alcances y limitaciones de la
estrategia didáctica encontrarán más detalles para tener en cuenta.
Este trabajo de investigación no incluye ni los elementos, ni el plano de diseño del
instrumento digital, o algún tipo de información que permita su construcción, esta información es
exclusiva de los autores de este trabajo de investigación. También es importante aclarar que esta
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 29
información no es trascendental para el desarrollo de la estrategia didáctica porque se puede
implementar la estrategia con el instrumento artesanal.
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 30
2. Fundamentos teóricos y estado del arte
En este capítulo se identifican y consignan los aspectos teóricos que sirvieron para construir
la estrategia didáctica en el planteamiento de problemas en longitud, área y volumen a partir de
un instrumento digital; además se hace una revisión de aportes locales, nacionales e
internacionales sobre estrategias didácticas en la enseñanza de la trigonometría y de unidades de
medida, que constituyen una guía en el tema de investigación específico objeto de este
documento.
2.1 Fundamentos teóricos
En primera instancia, la teoría constructivista de Piaget (Piaget, 1965) permitió abordar
definiciones y situaciones sobre cómo se adquiere el aprendizaje en los estudiantes, destacando
características y algunos recursos que ellos emplean para lograr tal fin; consecutivamente se
incluyó cómo plantear y resolver problemas matemáticos según las etapas de Polya, (1967),
complementadas con subcategorías y otras condiciones que se consideran importantes en el
momento de desarrollar un problema, estas pautas van más allá de los aspectos matemáticos De
Guzmán (1994) y Shoenfeld,(1985), para establecer algunos criterios que den soporte a la
estrategia didáctica planteada en este trabajo de investigación en aspectos como el trabajo en
equipo, fortalecimiento de la comunicación, aprendizaje significativo (Ausubel,1988),
conceptualización, entre otros.
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 31
En segundo lugar, en términos de la temática u objeto del aprendizaje, se consignan, por una
parte, los conceptos en trigonometría y de unidades de longitud, área y volumen, y, por otra
parte, los principios y estándares de la educación matemática (2001) que sirven de soporte a los
lineamientos en matemáticas del MEN (2012).
2.1.1 El Aprendizaje
Es importante recalcar que el aprendizaje en la actualidad no es un privilegio de pocos, tal
como sucedía años atrás; ahora, según lo expresado por Comenio (1655) padre de la didáctica “el
conocimiento es de todos y para todos” y más allá de eso debe ser significativo e integral para el
estudiante. El estudio no solo es un derecho, sino para muchos una necesidad.
Cabe añadir sobre el aprendizaje significativo que “ocurre cuando una nueva información
"se conecta" con un concepto relevante pre existente en la estructura cognitiva, esto implica que,
las nuevas ideas, conceptos y proposiciones pueden ser aprendidos significativamente en la
medida en que otras ideas, conceptos o proposiciones relevantes estén adecuadamente claras y
disponibles en la estructura cognitiva del individuo y que funcionen como un punto de "anclaje"
a las primeras”. (Vásquez, Maderos, & Barrios, 2005).
Los estándares en educación matemática de la Sociedad Andaluza de matemáticas (2001)
plantean el aprendizaje como un principio y establecen que “los estudiantes deben aprender
matemáticas, comprendiéndolas, construyendo activamente nuevo conocimiento desde la
experiencia y el conocimiento previo”; para lograr este objetivo siendo más eficaces y
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 32
significativos y para comprender las fortalezas y debilidades ha sido necesario analizar: los
aspectos cognitivos, cognoscitivos y metacognitivos del estudiante (Schoenfeld, 1992) , la parte
psicológica social e individual del estudiante, sus bloqueos (De Guzmán, 1994), el uso de los
recursos y herramientas, el currículo y los lineamientos educativos, los procesos de enseñanza y
aprendizaje; y existen varias ramas de la ciencia en apoyo como lo son la pedagogía, psicología,
la educación, entre muchos otros.
2.1.1.1. La Teoría Constructivista
Piaget (1965) inició las primeras investigaciones que desarrollaron la teoría constructivista,
dejando de lado el enfoque conductista que se vivía hasta ese momento. Las encuestas aplicadas
a los estudiantes de las UTS determinaron que ellos consideran que aún se evidencia con gran
frecuencia una tendencia conductista en las clases de matemáticas, a pesar de que la política
institucional establece una educación centrada en el estudiante. Estas propuestas establecen un
nuevo rol del docente y del estudiante, el docente ya no asume el rol principal, ahora recae sobre
el estudiante a través de una serie de mecanismos sobre establecidos que buscaban aumentar su
actividad; actividades que se realizaban con más frecuencia. Según el mismo (Piaget, 1945).
“el mecanismo básico de adquisición de conocimientos consiste en un proceso en el que las
nuevas informaciones se incorporan a los esquemas o estructuras preexistentes en la mente
de las personas, que se modifican y reorganizan según un mecanismo de asimilación y
acomodación facilitado por la actividad del alumno”
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 33
Situación que se realiza mediante la estrategia didáctica y mediante el uso de la herramienta
didáctica que permitirá al estudiante crear sus propias situaciones problema.
Luego autores como Vigotsky, (1965) Ausubel, (1988) Nova (1988) dieron otras
características que fortalecieron la teoría constructivista, resaltando el papel que juega la
sociedad, cultura, la sicología, el aprendizaje significativo de los estudiantes, entre otros;
teniendo como punto de partida los presaberes de los estudiantes y dando un nivel de jerarquía a
los contenidos. Teoría que busca un aprendizaje evolutivo en los estudiantes, en el que los
estudiantes van adquiriendo progresivamente conocimientos más complejos, Vigostky (1965) lo
define como zona de desarrollo próximo. El estudiante a través de la estrategia didáctica se le
permite que alcance la zona de desarrollo próximo en el planteamiento de problemas a través de
los desbloqueos de De Guzmán (2005), del trabajo en equipo, del fortalecimiento de la
comunicación de manera individual y grupal, del uso de la representación matemática y el uso de
una herramienta didáctica para plantear problemas que le permite obtener un aprendizaje
significativo.
La estrategia didáctica de esta investigación se basa en problemas diseñados y construidos
por los estudiantes en un trabajo realizado fuera del aula, lo que le permitirá más adelante
desarrollar otro tipo de problemas en diferentes contextos; en este caso “el constructivismo es
una teoría que propone que el ambiente de aprendizaje debe sostener múltiples perspectivas o
interpretaciones de realidad, construcción de conocimiento, actividades basadas en experiencias
ricas en contexto” tal como lo propone (Jonassen,1991).
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 34
2.1.1.2. Características de la Teoría Constructivista
La teoría constructivista se puede abordar desde Piaget (1965) o desde Vigotsky (1965), en
el primero plantea a un sujeto que siente la necesidad de construir un conocimiento, inicia su
proceso usando como estrategia la experiencia, creando representaciones y a medida que la
experiencia aumenta van mejorando sus representaciones a través de dos procesos denominados
asimilación y alojamiento. Por otro lado Vigotsky (1968), asume como primer factor en la
gestación del conocimiento lo social, resaltando las relaciones intrapersonales y en segunda
instancia el nivel individual o intersicológico. Esta estrategia didáctica apoya a los dos autores
resaltando un poco más a Vigotsky (1965), porque los estudiantes no aprenden ni a la misma
velocidad, ni con la misma conceptualización y el trabajo cooperativo y el fortalecimiento de la
comunicación permite nivelar la interpretación conceptual entre ellos, permite que todos lleven
un mismo ritmo. Así citamos a (Millis,1996):
“Comprobando los resultados de esta forma de trabajo con modelos de aprendizaje
tradicionales, se ha encontrado que los estudiantes aprenden más cuando utilizan el
aprendizaje colaborativo, recuerdan por más tiempo (memoria a largo plazo), desarrollan
habilidades de razonamiento superior y de pensamiento crítico y se sienten más confiados y
aceptados por ellos mismos y por los demás”.
Sin embargo en ciertos momentos el estudiante debe realizar tareas y reflexiones
individuales que le permitirá resaltar el trabajo de Piaget, gran parte de la profundización de los
conceptos dependerá de su curiosidad, interés y de su desarrollo individual.
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 35
Las competencias que deben adquirir los estudiantes no se obtienen por generación
espontánea se requiere de unos ambientes de aprendizaje, según el MEN (2011) consisten de
algunas situaciones enriquecidas por problemas significativos y comprensivos que permiten
avanzar a niveles de competencias más complejos; según Hernández (2008), El ambiente de
aprendizaje constructivista se puede diferenciar en características que son evidenciadas en la
estrategia didáctica acoplada en esta investigación:
El ambiente constructivista en el aprendizaje provee a las personas del contacto con
múltiples representaciones de la realidad; en este caso bajo las representaciones
matemáticas y bajo la representación de situaciones reales.
El aprendizaje constructivista se enfatiza al construir conocimiento dentro de la
reproducción del mismo; en esta estrategia mientras el estudiante va implementando la
estrategia didáctica va construyendo sus conceptos y a través de la comunicación y del
trabajo grupal permiten reafirmar sus conceptos.
El aprendizaje constructivista resalta tareas auténticas de una manera significativa en el
contexto en lugar de instrucciones abstractas fuera del contexto.
El aprendizaje constructivista proporciona entornos de aprendizaje como entornos de la
vida diaria o casos basados en el aprendizaje en lugar de una secuencia predeterminada
de instrucciones; en este caso la estrategia didáctica se desarrolla un trabajo de campo
fuera del aula de clase.
Los entornos de aprendizaje constructivista fomentan la reflexión en la experiencia,
permiten el contexto y el contenido dependiente de la construcción del conocimiento.
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 36
Los entornos de aprendizaje constructivista apoyan la “construcción colaborativa del
aprendizaje, a través de la negociación social, no de la competición entre los estudiantes
para obtener apreciación y conocimiento” (Jonassen, 1994).
2.1.1.3. El Aprendizaje desde el Modelo Constructivista
La enseñanza y el aprendizaje van de la mano, uno es causa y el otro es consecuencia. Casi
siempre, sin la enseñanza no conseguimos el aprendizaje. A veces conscientemente o
inconscientemente logramos un divorcio entre ellas, como en aquellos momentos en que los
docentes buscan solo cumplir un plan de asignatura o cuando solo medimos al estudiante por los
resultados de sus evaluaciones. Por el contrario debemos reafirmar ese matrimonio entre la
enseñanza y el aprendizaje, esta estrategia didáctica apoyada en teorías constructivistas busca
darnos un ejemplo de cómo podemos fortalecer esa conexión, principalmente en matemáticas, ya
que en muchas de nuestras clases se limitan a una exposición magistral de conocimientos, tal
como se constata en los resultados de las encuestas realizadas en este proyecto de investigación
en las UTS. Siendo tal el caso que se convierte en solo un traspaso de una gran cantidad de
conocimiento; Concordamos con Tünnermann (2011) cuando asegura que
“El trabajo del docente no consiste tan sólo en transmitir información ni siquiera
conocimientos, sino en presentarlos en forma de problemática, situándolos en un contexto y
poniendo los problemas en perspectiva, de manera que el alumno pueda establecer el nexo
entre su solución y otras interrogantes de mayor alcance.”
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 37
Apoyaremos nuestra estrategia didáctica desde Díaz-Barriga (2002) - Hernández (2002),
quienes establecen los principios educativos asociados con una concepción constructivista del
aprendizaje y la Enseñanza; principalmente resaltamos los que se relacionan con esta estrategia
didáctica desde su perspectiva:
El aprendizaje implica un proceso constructivo interno, autoestructurante y en este
sentido, es subjetivo y personal.
El aprendizaje se facilita gracias a la mediación o interacción con los otros, por lo tanto,
es social y cooperativo.
El grado de aprendizaje depende del nivel de desarrollo cognitivo, emocional y social, y
de la naturaleza de las estructuras de conocimiento.
El punto de partida de todo aprendizaje son los conocimientos y experiencias previos
que tiene el aprendiz.
El aprendizaje implica un proceso de reorganización interna de esquemas.
El aprendizaje se produce cuando entra en conflicto lo que el alumno ya sabe con lo que
debería saber.
El aprendizaje tiene un importante componente afectivo, por lo que juegan un papel
crucial los siguientes factores: el autoconocimiento, el establecimiento de motivos y
metas personales, la disposición por aprender, las atribuciones sobre el éxito y el fracaso,
las expectativas y representaciones mutuas.
El aprendizaje requiere contextualización: los aprendices deben trabajar con tareas
auténticas y significativas culturalmente, y necesitan aprender a resolver problemas con
sentido.
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 38
El aprendizaje se facilita con apoyos que conduzcan a la construcción de puentes
cognitivos entre lo nuevo y lo familiar, y con materiales de aprendizaje potencialmente
significativos.
2.1.2 Aprendizaje de las Matemáticas
A partir de investigaciones se ha revisado el hecho que el estudiante desarrolle y aprenda
matemáticas, no solamente como área que favorece el desarrollo solo intelectual, sino también
como área que permite el desarrollo de competencias cognoscitivas, cognitivas, y metacognitivas
para el planteamiento, el análisis y la solución de diferentes problemas reales que se le puedan
presentar, puesto que, “la principal razón de existir del matemático es resolver problemas, y por
lo tanto en lo que realmente consisten las matemáticas es en problemas con sus posibles y más
acertadas soluciones” (Halmos, 1980).
El MEN (2012) relaciona el aprendizaje de las matemáticas a través de tres lineamientos
basados en el que hacer matemático básico, estos son: los conocimientos básicos, el contexto y
los procesos generales. En el primer lineamiento tenemos los conocimientos básicos que se
dividen en los 5 pensamientos que forman la estructura cognitiva de la matemática; en el
segundo lineamiento o sea en el contexto, se establece las situaciones problema, las aplicaciones
en otras ciencias y en la vida diaria, y en el último lineamiento de los procesos generales cubre la
resolución de problemas, el razonamiento, la comunicación, la modelación, y el desarrollo de
procedimientos, tal como se muestra en la figura 1.
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 39
Esta estrategia didáctica resalta los tres lineamientos: se destaca el fortalecimiento en la
comunicación del estudiante, buscando mejorar sus capacidades de justificación y de exposición,
resaltando el uso de conceptos y de la terminología apropiada; también podemos resaltar el
planteamiento y resolución de problemas debido a que es el pilar de esta investigación. Si se
desea se puede incluir la modelación; a partir de este trabajo se puede proponer el modelado
matemático. En la segunda cara donde se establecen los conocimientos básicos se fortalece a
través de la propuesta el pensamiento de la medida, en el numérico, y en el pensamiento
variacional, debido a que en esta propuesta cubre la temática longitud, área, volumen, funciones
trigonométricas, unidades de medida, entre otras. Por otro lado se resaltan el planteamiento de
problemas de la vida diaria o como lo denominan las pruebas del Programa Internacional para la
Evaluación de los Estudiantes PISA (2006) “la matematización”, incluyendo el planteamiento
de situaciones en otras ciencias, debido a que la estrategia didáctica busca que los estudiantes
planteen problemas en su contexto propio llegando al punto de asumirlos de alguna manera como
problemas cotidianos y se deja como sugerencia apuntarle al modelado matemático a través del
instrumento digital.
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 40
Figura 1. Lineamientos en educación matemática según el MEN
Según los estándares de la educación matemática (Sociedad Andaluza de Matemáticas,
2001) “resolver problemas no es sólo un objetivo del aprendizaje de las matemáticas, sino
también una de las principales maneras de hacerlo” hasta el punto de que varios países como por
ejemplo Uruguay y USA desarrollan sus programas de estudio basados en el planteamiento y
resolución de problemas; países como Colombia no se encuentra muy lejos en sus modelos; el
planteamiento de problemas es considerado como uno de las principales componentes en la
educación matemática, incluyendo la comunicación, la representación, el razonamiento y el
modelado matemático tal como se implementa en la estrategia didáctica de la investigación
objeto de este trabajo.
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 41
La resolución de problemas es una parte integral del aprendizaje de Las matemáticas; la
estrategia didáctica pretende lograr entre otras cosas que: primero el estudiante aprenda a
construir nuevos conocimientos a través de la resolución de problemas, segundo a resolver
situaciones que surjan de diferentes contextos, a aplicar y adaptar diversas estrategias para
resolverlos, tercero a controlar procesos de los problemas y reflexionar sobre ellos para que
finalmente desarrolle situaciones que se presentan en la vida diaria y en el contexto laboral.
2.1.3 Planteamiento y Solución de Problemas
Es muy común encontrar problemas de la vida cotidiana o en la formación profesional o en
el campo laboral, que en algunos casos se plantean por: alguna necesidad, como parte de un
entretenimiento, por curiosidad, o como una continuación de otro problema. Inclusive desde que
el ser humano nace ha tenido que resolver problemas, cuando un ser humano es bebe y tiene
hambre, debe buscar una solución para que le den alimento, en este caso “llorar”, pero en dado
caso, si esta solución no le complace, reacciona dando otro tipo de solución “gritar”. A partir de
este punto el ser humano se encuentra ante situaciones problema durante toda su vida, desde su
nacimiento, problemas que se evidencian en diferentes campos.
Por lo tanto es primordial aprender a plantear y resolver problemas, y la matemática es una
herramienta que nos ayuda a plantearlos, analizarlos y en muchas situaciones resolverlos. Hasta
la propia matemática ha surgido y ha avanzado del propio planteamiento de problemas, al
respecto Dieudonne (1986) ha registrado que “la historia de la matemáticas muestra que los
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 42
avances matemáticos casi siempre se originan en un esfuerzo por resolver determinado
problema”.
Uno de los objetivos más importantes en matemáticas es adquirir los conocimientos y
herramientas que permitan formular, abordar y resolver problemas más allá de los problemas que
sean estudiados, llegar a aquellas situaciones problema que se encuentran en nuestro contexto o
entorno. El planteamiento y resolución de problemas es tan importante que el MEN (2012)
considera que
“podría convertirse en el principal eje organizador del currículo de matemáticas, porque las
situaciones problema proporcionan el contexto inmediato en donde el quehacer matemático
cobra sentido, en la medida en la que las situaciones que se aborden estén ligadas a
experiencias cotidianas y, por ende, sean más significativas para los alumnos. Estos
problemas también pueden surgir de otras ciencias y de las mismas matemáticas,
convirtiéndose en ricas redes de interconexión e interdisciplinariedad”.
2.1.3.1 ¿Cómo Plantear y Resolver Problemas?
Para desarrollar esta estrategia didáctica es importante entender por lado el significado de la
palabra “problema” y por otro, como un aprendiz resuelve un problema usando la matemática.
Schoenfeld (1985) usa el término problema para referirse a una tarea que es difícil para el
individuo que está tratando de hacerla y Santos (1997) al respecto considera que “la dificultad de
definir el término problema está ligada con la relatividad del esfuerzo al intentar resolverlo, para
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 43
otros puede ser un simple ejercicio rutinario. Así, el que exista un problema o no es una
propiedad inherente de la tarea matemática, la palabra está ligada a la relación o interacción entre
el individuo y esa tarea”. A medida que avanza en el desarrollo de la estrategia didáctica el
estudiante desarrolla su proceso de planteamiento, refuerza sus conocimientos, lo que implica
que puede incrementar la creatividad, así como el nivel de dificultad de los “problemas”,
finalmente la estrategia pretende que el estudiante pueda plantear de manera autónoma los
problemas.
En primera instancia, cuando un estudiante se enfrenta a un problema se encuentra ante una
nueva experiencia que de algún modo es compleja para quien lo desarrolla, y no solo nos
referimos a los procesos cognoscitivos en matemáticas, sino que también intervienen “la
compleja personalidad del estudiante, sus hábitos, sus fobias, todos los elementos más o menos
permanentes, junto con las circunstancias variables que determinan su actitud en un momento
dado” tal como lo enuncia De Guzmán (1994). Por lo tanto desarrollar problemas es una tarea
que no resulta nada fácil y mucho menos para el docente, quien debe descifrar no solo la parte
cognitiva y metodológica para lograr que el estudiante resuelva el problema a través de los
conceptos propuestos, sino que además el docente debe usar estrategias para que el estudiante
adquiera confianza, tranquilidad, curiosidad, gusto por el reto y disposición de aprender,
situaciones que se dan antes de establecer el desarrollo del problema, porque los obstáculos se
interponen en el proceso de aprendizaje hasta el punto en que varios estudiantes dejan sus hojas
en blanco cuando se trata de desarrollar problemas en pruebas escritas.
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 44
Esta estrategia didáctica busca entre otras cosas que el estudiante sobrepase sus propios
obstáculos y que proponga actitudes positivas ante el desarrollo de problemas, este objetivo se
logra a través de un instrumento digital didáctico novedoso que permite que el estudiante olvide
que se encuentra en un problema matemático, como consecuencia de la curiosidad que siente por
conocer y manipular el instrumento, permitiendo que el estudiante adquiera una postura de
disposición para aprender. El problema se plantea a través de una serie de instrucciones sencillas,
así dejar a un lado el esquema tradicional para plantear problemas en el aula, que consiste en
implementar los problemas de manera escrita.
De otro lado el trabajo cooperativo y la asignación de roles le permitirá fortalecer otros
procesos diferentes al desarrollo del problema, lo que le permite involucrarse en el problema y de
esta manera adquirir de una manera significativa conceptos en matemática. Los problemas
basados en el contexto y la creación de los mismos permiten que inicialmente planteen
problemas que ellos mismos pueden solucionar; de esta manera avanzar progresivamente,
mejorar los procesos para plantear problemas y aumentar el grado de dificultad. Se tiene como
sugerencia que el uso de esta estrategia no se realiza en una sola clase, debe implementarse en
todo los niveles educativos, además puede apoyarse en otra serie de actividades
complementarias; en este caso estoy de acuerdo con Caldeiro & Vizcarra (2005) quien plantea
sobre el trabajo colaborativo que
“Es el hecho de que no es dar o recibir ayuda lo que mejora el aprendizaje en el grupo, sino
la conciencia de necesitar ayuda, la necesidad consciente de comunicarlo y el esfuerzo en
verbalizar y tener que integrar la ayuda de quien la ofrece en el propio trabajo. La
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 45
retroalimentación es un elemento clave para explicar los efectos positivos del aprendizaje
cooperativo”.
La estrategia quita el peso de trabajar con problemas que se encuentran expresados de
manera escrita, porque a veces se convierten en ejercicios martirizantes para el estudiante; antes
de abordar el problema se puede sentir “miedo a la equivocación, al ridículo, al examen” tal
como asegura De Guzmán (1994). Esta estrategia didáctica permite que el estudiante sobrepase
la barrera del miedo con la práctica y con la oportunidad de cometer errores, así permite dar
oportunidades inmediatas para aquellos estudiantes que fallan, en el mismo instante de tiempo en
que se desarrolla el problema se puede analizar y corregir el planteamiento, lo que se puede
definir como “una retroalimentación paso a paso”. Se enseña a los estudiantes que fracasar es
una opción, pero que se puede persistir para corregir, o en dado caso contemplar otro camino de
solución; para este caso estamos de acuerdo con Ford (1935) que asegura “el número de los que
fracasan es relativamente pequeño, la mayor parte simplemente abandonan”.
Según declaraciones de varios docentes de las UTS que orientan la asignatura de Precálculo
el planteamiento de problemas es una de las etapas de las matemáticas que poco o quizás nada se
trabajan en el aula de clase; agregan que se presentan ciertas dificultades en el momento de
realizar las instrucciones que se deben dar como parte de este proceso, por eso basamos nuestro
trabajo en lo planteado por el matemático y educador Pólya (1965) quien en su libro “Como
plantear y resolver problemas”, propone una metodología en cuatro etapas para resolver
problemas.
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 46
Etapa 1: Comprensión del problema. Los estudiantes pondrán a prueba conocimientos
adquiridos años atrás y tendrán que tomar determinaciones para resolver algún caso de medición
en el cual se les pida establecer la solución sin antes señalar la forma de resolver y/o encontrar la
respuesta, ellos se basaran en la forma que crean más factible para solucionarlo, los medios más
usados son la lógica, el método de descarte, la aproximación, el tanteo, intuición.
Algunas de las heurísticas importantes que manejan en esta fase son comprender el
problema, establecer los datos, las variables e incógnitas, dibujar una gráfica o un diagrama,
introducir una notación adecuada a los datos, variable e incógnitas.
Representar la situación problema es un gran paso en la construcción del planteamiento del
problema y es definitiva para la solución del mismo, “en la fase de comprensión del problema, el
pensar en una figura o un diagrama muchas veces no solamente ayuda a identificar los elementos
importantes del problema sino que también puede sugerir alguna estrategia para resolverlo”
Santos (1998).
Respecto a la elaboración de un dibujo en la etapa de la comprensión del problema citamos
algunas consideraciones importantes para el desarrollo de esta investigación y que son planteadas
por Arbeláez (2002); por lo tanto tenemos que:
El dibujo debe ser siempre un esbozo esquemático del objeto principal del problema (la
figura o imagen, el conjunto de figuras), que incluya la representación por medio de
literales y de otros símbolos, de todos los elementos de dicho símbolo y de algunas de
sus características. Si en la formulación del problema se dan las simbolizaciones de los
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 47
objetos, entonces se deben emplear estas mismas simbolizaciones en el dibujo; si en el
problema no se presenta simbolización alguna, entonces es necesario emplear las
simbolizaciones comúnmente adoptadas o inventar las propias.
El dibujo debe corresponder al problema. Esto significa, por ejemplo, que si en el
problema el objeto en cuestión es un triángulo y no es explícito el tipo de triángulo de
que se trata (rectángulo, isósceles, escaleno, etc), entonces hay que dibujar un triángulo
escaleno cualquiera y no un triángulo equilátero.
Al hacer un dibujo no es obligatorio sujetarse a una escala rigurosa. Sin embargo, si es
ideal observar ciertas proporciones.
Lo que se refiere a la estrategia didáctica busca que la actividad se desarrolle en situaciones
planteadas por los estudiantes en su propio contexto, de esta manera es más significativa para el
estudiante, ya que el ser humano frecuentemente se representa a así mismo, a la naturaleza, a su
situación social, a su alrededor, en este caso lo va a representar para ajustarlo a resolver
problemas matemáticos; y para lograr esta representaciones de la mejor forma es recomendable
seguir las recomendaciones de Arbeláez (2002).
Por otro lado, una de las ventajas de la estrategia didáctica en relación a la primera etapa de
Polya es que resulta más fácil y más práctico establecer los datos, incógnitas, variables, etc de la
situación problema, ya que parte de esta información se determina con el instrumento
electrónico, y a partir de esa conexión con la realidad le permitirá relacionarlos de manera directa
con el representación gráfica que realiza el estudiante; por otro lado la comunicación con el
docente y con el grupo de trabajo le permitirá llegar a los planteamientos en consenso, así es más
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 48
difícil cometer errores. En caso de plantear un error es más fácil corregirlo entre los integrantes
del grupo o con el apoyo del docente, luego se establecerá un canal de debate entre los miembros
para establecer la veracidad de la información, la corrección y su posterior solución del
problema.
Esta situación implica que existirán menos errores en la representación gráfica, en la
asignación de datos, variables e incógnitas y en sus relaciones, lo que permitirá realizar procesos
más limpios e implícitamente permitirá que el problema se comprenda mejor y cabe añadir que
permite solucionarlo con mayor facilidad y adquiriendo mejores apropiaciones de los conceptos
matemáticos en su trasfondo; teniendo en cuenta que los procesos son mejor retroalimentados.
El problema será planteado a los estudiantes en términos de su léxico y su simbología, lo
que permite una mejor comprensión del problema y así se tendrán mejores opciones para
establecer la solución del mismo. Pimm (1999), al respecto afirma “es claro que el discurso
matemático incluye términos especializados y significados distintos de los habituales en el habla
cotidiana” y por eso el lenguaje usado en matemáticas, “que es claro” para los docentes, no
siempre lo es para los estudiantes”.
Luego el estudiante de manera individual podrá abordar otro tipo de situaciones problemas
como son las situaciones expresadas en un contexto narrativo que en la mayoría de los casos se
hacen más complejos, de esta manera evalúa competencias extras como son la necesidad de
comprensión de texto narrativo y matemático, análisis, síntesis y traducción, etc.
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 49
Algunas de las preguntas más importantes que el estudiante debe responder al plantear una
situación problema cuando se encuentra en la primera etapa son: ¿Cuál es la incógnita? ¿Cuál es
la variable? ¿Cuáles son los datos? ¿Cuál es la condición? ¿Es la condición suficiente para
determinar la incógnita? ¿Es suficiente? ¿Es redundante? ¿Es contradictoria?
Etapa 2: Concepción de un plan. Existen diversos problemas a los cuales se les busca dar
soluciones claras y entendibles para el estudiante. Además de resolver ciertas incógnitas que se
presentan como establecer si en algún momento dado se han planteado situaciones semejantes y,
cómo se ha dado solución a estos o que método se ha usado para el mismo. Por lo tanto, en esta
fase se diseñan las estrategias con las cuales el estudiante puede ampliar tanto su conocimiento
como la capacidad para dar solución a los problemas que se le planteen, teniendo además,
mayores posibilidades de adquirir nuevos conocimientos útiles para su comprensión.
Las estrategias más conocidas para concebir el plan, son la asociación con problemas
similares pero más sencillos y simplificación de problemas por medio de transformaciones.
Las preguntas más frecuentes a responder en esta etapa para fortalecer de la mejor manera la
conceptualización y la reflexión son: ¿Se ha encontrado con un problema semejante? ¿Conoce
algún teorema, que le pueda ser útil? ¿Podría enunciar el problema en otra forma? Refiérase a las
definiciones si no puede resolver el problema propuesto, trate de resolver primero algún
problema similar. ¿Podría imaginarse un problema análogo un tanto más accesible? ¿Un
problema más general? ¿Un problema más particular? ¿Puede resolver una parte del problema?
¿Puede usted deducir algún elemento útil de los datos? ¿Puede pensar en algunos otros datos
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 50
apropiados para determinar la incógnita? ¿Puede cambiar la incógnita o los datos o ambos si es
necesario, de tal forma que la nueva incógnita y los nuevos datos estén más cercanos entre sí?
¿Ha empleado todos los datos? ¿Ha empleado toda la condición?
Etapa 3: Ejecución del plan. Inicialmente se comprobarían cada uno de los pasos realizados
y si el estudiante logra efectuar cada una de las etapas, evaluar si estará en la capacidad de
proponer la solución al problema, aunque esta no siempre sea la mejor, y pueda repetir
nuevamente cada etapa para encontrar un mejor análisis.
Aquí se contemplan aspectos y características que ayudan a seguir procesos de solución, por
lo tanto se plantean preguntas como: ¿Puede ver claramente que el paso es correcto? ¿Puede
demostrarlo?
Etapa 4: Visión retrospectiva. En la gran mayoría de los casos, los educadores tienden a
excluir ciertos temas basados en la demostración de procedimientos matemáticos que de cierta
forma son importantes y no relevantes para el estudiante, de tal manera que le permita aplicar
métodos de deducción e inducción; sin embargo, se enfatiza y se debería exigir al estudiante
principalmente en esta etapa para que tenga en cuenta el análisis establecido por él en cada etapa
de desarrollo y si este puede ser aplicado a otros problemas similares al planteado. En algunas
oportunidades se busca desarrollar el problema de otra forma diferente y analizar y evaluar el
resultado obtenido.
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 51
Para lograr los alcances de esta etapa en la estrategia didáctica se desea principalmente dar
respuesta a las siguientes interrogantes: ¿Puede usted verificar el resultado? ¿Puede verificar el
razonamiento? ¿Puede obtener el resultado en forma diferente? ¿Puede usted emplear el
resultado o el método en algún otro problema? ¿Es posible resolver el problema por otra vía? ¿Sé
aplicar el método a casos más generales o casos particulares?
La figura 2 resume las etapas planteadas por Polya (1965) para plantear y dar solución a un
problema matemático, las cuáles serán el pilar de la estrategia didáctica diseñada en esta
investigación.
Figura 2. Estrategias para plantear y solucionar un problema según George Polya
Es importante aclarar que las condiciones para plantear una situación problema no se dan
solamente bajo las condiciones de las etapas de Polya, ni tampoco se dan de la misma manera en
todos los estudiantes, cada uno lo aborda de manera diferente dependiendo de sus presaberes,
desde las condiciones sociales, individuales y familiares a las que se encuentra expuesto desde
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 52
años atrás, según sus condiciones socioeconómicas, entre otros. El contexto social influye en el
aprendizaje más que las actitudes y las creencias, Según Vigotsky (1992) “el Aprendizaje
Colaborativo es aprender con otros y de otros”. De acuerdo a esto, el contexto forma parte del
proceso de desarrollo y como tal moldea los procesos cognitivos. Así Bodrova y Leong (2005)
infiere que en el contexto social debe ser considerado en diversos niveles:
El nivel interactivo inmediato, constituido por los individuos que interactúan en esos
momentos.
El nivel estructural, construido por estructuras sociales que influyen en los estudiantes,
tales como la familia y la universidad.
El nivel cultural o social general, constituido por la sociedad general, como el lenguaje,
el sistema numérico y la tecnología.
En relación Schoenfeld (1989), establece que para resolver un problema no solo son
importantes las categorías establecidas por Polya, también requiere de unas subcategorías que
son generadas de las categorías de Polya y que sirven para definir su momento y forma de uso,
estas se describen como:
Dominio de recursos cognitivos. Basados en los conocimientos matemáticos generales
(conceptos, conocimientos, hechos). De manera general representan un inventario de lo
que un individuo sabe y de las formas en que adquiere este conocimiento, como lo
recuerda y como lo aplica. Además relaciona cinco tipos de conocimiento que influyen
en el uso de los recursos, estos son:
a) Conocimiento informal o intuitivo: Este conocimiento informal, se relaciona con las
ideas que los estudiantes tienen acerca del uso de conceptos en el mundo real. Por
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 53
ejemplo, la forma en que se usa la idea de integral en el contexto diario es muy
diferente a la del concepto matemático que puede influenciar en la interpretación
matemática que puede tener luego el estudiante.
b) Conocimiento de hechos y definiciones: son los conceptos y definiciones que el
estudiante debe usar para plantear durante el proceso que son necesarios para
establecer un camino como resolución de un problema.
c) Procedimientos rutinarios: Es considerado como una serie de pasos y
procedimientos, que no enmarcan mucho la parte conceptual, viene dado por
operaciones aritméticas, y que no son procedimientos algorítmicos. Las reflexiones y
retroalimentaciones solamente se limitan a los procesos de revisión de los pasos.
d) Errores consistentes o recursos débiles. cuando el estudiante realiza una gran
cantidad de errores que pertenecen a procedimientos simples, que son de cursos
básicos de matemática.
Estrategias cognitivas métodos Heurísticos. Son las estrategias y técnicas que el
estudiante conoce y puede usar para la solución de problemas. Entre ellas tenemos el
tanteo, la representación, uso de tablas, reglas, sistemas gráficos o algebraicos, explotar
analogías, trabajar problemas auxiliares. En el proceso de enseñanza aprendizaje se
busca que el estudiante maneje la mayor cantidad de estrategias para desarrollar un
problema, esto le permite reflexionar y analizar con mayor profundidad, y le permite
buscar la mejor solución ante una situación problema lo que puede beneficiar en costo,
dinero y optimización; se habla de que un Gran Maestro de ajedrez “posee un repertorio
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 54
de aproximadamente 50 mil configuraciones o esquemas” (Santos, 1994) el cual le
facilita el análisis de la situación.
Estrategias Metacognitivas: Es la capacidad que tiene el estudiante para conocer de sus
propio proceso cognoscitivo, de seguir un monitoreo del progreso durante una resolución
de un problema, llegar finalmente a una etapa de autorealimentación.
Sistemas de creencias. Acá ubica las percepciones que tiene el estudiante sobre la
matemática, de tal manera que según lo que se piense acerca de la disciplina se procede
en la solución del problema, determina la forma como el estudiante se acerca al
problema, las técnicas que usa o evita, el tiempo y esfuerzo que le dedica al problema.
Shoenfeld (1992) Asegura que
“las creencias mostradas por los estudiantes acerca de las matemáticas proviene
del tipo de instrucción que reciben en el salón. Así, por ejemplo, el tipo de problemas
usados en la clase, la forma de evaluación, las dinámicas de grupo y las tareas
contribuyen a que el estudiante desarrolle este tipo de creencias”
Esta idea parece un poco corta, no podemos olvidar el contexto sociocultural que vive el
estudiante lo que lo marca y lo delimita, y también el pensamiento individual y el grupal, que
afecta la forma como el percibe la matemática y por lo tanto la concepción del planteamiento de
problemas.
Esta estrategia didáctica se enfatiza en las etapas de Polya (1965), pero también tiene
presente las indicaciones de Shoenfeld (1992) porque busca que el estudiante desde sus propios
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 55
problemas en su contexto tenga una perspectiva diferente de las matemáticas, implica que el
estudiante cambie una parte de su sistema de creencias, fortaleciendo sus procesos rutinarios a
través del paso a paso que se realiza en la estrategia didáctica y con el apoyo y los mecanismos
para trabajar en equipo fortalecerán la estrategia metacognoscitiva. Es importante resaltar que
esta estrategia didáctica es significativa pero necesita el complemento de otras estrategias para
lograr cambios determinantes.
2.1.3.2. Planteamiento y Solución de Problemas como Competencia
Precisamente una de las principales procesos a desarrollar en matemáticas es el
planteamiento y la resolución de problemas, desde los primeros años de escolaridad se ofrece al
estudiante experiencias de formación dentro de un modelo con diversas actividades se esbozan
situaciones problemáticas que el estudiante debe desarrollar. A medida que avanza en la
escolaridad estas situaciones se van haciendo más complejas y, por tanto, exigen un análisis más
profundo de la problemática implicada y la aplicación de procesos cada vez más formales, de
forma que se garantice el aprendizaje significativo de los conceptos matemáticos.
Al pasar los años el término de competencia ha adquirido mayor fuerza y complejidad en su
definición, el MEN (2012) define a una competencia matemática como “un conjunto de
conocimientos, habilidades, actitudes, comprensiones y disposiciones cognitivas, socioafectivas
y psicomotoras apropiadamente relacionadas entre sí para facilitar el desempeño flexible, eficaz
y con sentido de una actividad en contextos relativamente nuevos y retadores” lo que
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 56
definitivamente implica un mayor esfuerzo del estudiante y del docente principalmente desde sus
prácticas pedagógicas.
Durante su proceso de aprendizaje el estudiante va dar forma a la interpretación y a las
posibles soluciones de los planteamientos de los problemas, de forma que puedan generar nuevas
ideas en el desafío de mejorar sus habilidades, estrategias y procedimientos que los hagan
capaces de enfrentar, comprender y resolver diversos problemas.
Precisamente, el desconocimiento de los principios pedagógicos y psicológicos que rigen el
uso de la resolución de problemas como estrategia en el aula, hace que el docente olvide pasos
fundamentales relacionados con el planteamiento y la comprensión de la situación, actividades
esenciales para que los estudiantes logren comprender los problemas y proponer planes de
solución acertados; normalmente se desarrollan los problemas de forma tradicional, donde
generalmente se presentan diversas situaciones, entre las que se destacan: (Sociedad Andaluza,
2000).
El uso de problemas no contextualizados: En varios de los casos, el docente se limita a
proponer la solución de diferentes problemas que se proponen en libros, los cuales son
planteados desde contextos no significativos para el estudiante pues las situaciones
presentadas son en algunos de los casos desconocidas por los estudiantes o donde se usa
una terminología (unidades de medida, elementos de uso diario, valores en dinero, etc.)
que el alumno desconoce o no ha utilizado. Este tipo de problemas genera confusiones y
poco interés de los alumnos por su desarrollo puesto que no le encuentran significado y
aplicabilidad. (Sociedad Andaluza, 2000)
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 57
Dificultades en la compresión del tema: Los estudiantes presentan dificultades en la
comprensión de la situación problemática dado que los problemas que se plantean son
descontextualizados y, en ocasiones, en su redacción se utiliza terminología no conocida.
Adicionalmente, se presentan problemas de comprensión en la solución de los problemas
porque el estudiante no tiene los conceptos previos necesarios para comprenderla qué se
refiere la situación y plantear soluciones al problema. Por ejemplo, en problemas que
exigen el uso de gráficas los estudiantes generalmente ubican mal los datos en la gráfica
porque esta es una competencia que no tienen desarrollada. Así mismo, este tipo de
dificultad se presenta porque los estudiantes no tienen un nivel adecuado de algunas
competencias como son la lectura comprensiva de textos, el análisis de situaciones
problemáticas, la capacidad de deducción y el uso del lenguaje matemático. (Sociedad
Andaluza, 2000)
Poca motivación para el desarrollo del tema: Es indispensable que el docente presente
los temas de tal manera que el estudiante sienta interés en descubrir lo que puede lograr
cuando resuelva problemas con las técnicas sugeridas en clase. Con frecuencia
encontramos estudiantes que desmotivados no avanzan en sus procesos matemáticos
porque no se sienten con la debida motivación de manera que su creatividad no es del
todo puesta a prueba para solucionar los problemas del tema. Realmente no le
encuentran sentido y aplicabilidad a la temática estudiada, que son requisitos
indispensables para lograr motivación en los estudiantes y aprendizajes realmente
significativos. (Sociedad Andaluza, 2000)
No existe conexión entre los problemas planteados en el aula y su entorno: Las
matemáticas con cualquiera de sus ciencias aplicadas es una vivencia que no tiene
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 58
sentido si no va de la mano con experiencias que debe enfrentar el aprendiz en su vida
cotidiana. Entendido esto como las experiencias que deben asumir la solución de
problemas en distintas formas, modos, contextos, intensidad, capacidad, etc. Cuando
separamos ó desconocemos la efectividad de las matemáticas en la resolución de
problemas de la cotidianidad de la vida, realmente estamos caminando hacia atrás y no
tiene objeto la enseñanza como tal, pues no se puede separar estos dos conceptos uno de
otro. (Sociedad Andaluza, 2000)
Poca utilización de espacios diferentes al aula de clase: la búsqueda de espacios
diferentes al aula de la clase para el desarrollo de una temática determinada es una
estrategia muy importante para lograr motivar a los estudiantes e implicarlos en el
aprendizaje. Con este cambio de espacios de enseñanza se ubica al estudiante en un
contexto práctico y físicamente tangible, de manera que pueda experimentar a través de
los sentidos y comprobar con las unidades de medida los procedimientos que tengan que
ver con el tema de estudio. Puede calcular las distintas probabilidades de desacierto y
atreverse adelantar sus conclusiones. (Sociedad Andaluza, 2000)
La implementación de pocas actividades que permiten enriquecer la competencia de
planteamiento y resolución de problemas, debido a que los docentes centran la temática
de la asignatura en otras actividades. Tal es el caso de aquellos docentes rigurosos, que
ven a la matemática dentro del aula como una ciencia pura, y consideran que toda su
esencia se encuentra en sus axiomas, postulados, teoremas y en las respectivas
demostraciones que las conectan, transformándola en un área estrictamente abstracta,
afectando a la mayoría de los estudiantes, ya que muy pocos reciben un aprendizaje
significativo. Según (Muzas, 2002)
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 59
“Muchos profesores salen de sus clases muy satisfechos consigo mismos después de
haber expuesto una serie de semejantes teoremas y demostraciones. Pero los estudiantes
no quedan satisfechos. No han comprendido de qué iba, y todo lo que pueden hacer es
aprender de memoria lo que han oído. No conocían el pensamiento original y no han
sacado nada en limpio de las repulidas demostraciones”
La estrategia didáctica a partir del instrumento digital está constituida para que no se den
ninguno de los factores que resalta la sociedad Andaluza de matemáticas, por el contrario
pretende una práctica pedagógica que resalte el trabajo individual y colectivo, apoyado
fuertemente en la comunicación, buscar el análisis y la reflexión apoyados en herramientas
didácticas y realizar el trabajo en lugares diferentes al aula de clase.
Una de las principales razones por las que se trabajan las matemáticas es porque nos permite
a través de procesos sistematizados obtener mayores capacidades para analizar, reflexionar,
concluir y argumentar mejor un resultado o una situación problema, pero se ha encontrado
dificultades para encontrar estas características se den con el argumento ideal. Santos (1994)
afirma al respecto que
“cuando los estudiantes se enfrentan a problemas dónde solo tienen que aplicar reglas,
algoritmos, o fórmula, generalmente se observa cierta fluidez y eficiencia al resolverlos. Sin
embargo, cuando se les pide explicar o interpretar cierta información, estos mismos
estudiantes muestran serias dificultades”
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 60
situación que nos hace reflexionar y cuestionarnos sobre nuestras prácticas pedagógicas y
finalmente realizamos una estrategia pedagógica como alternativa para implementar ante estas
dificultades y la cuál puede servir de punto de partida para otras prácticas docentes.
Situaciones que describen rupturas en el proceso de enseñanza aprendizaje, debido a malas
prácticas realizadas por los docentes a veces de manera voluntaria. (Runza, 2013) manifiesta
que:
“Una de las dificultades que se presenta en el aprendizaje de las matemáticas, es la poca
aplicabilidad asignada a los conceptos. Los procesos de enseñanza, ya sea por falta de
tiempo, de conocimiento, de interés o por alguna otra razón, en la mayoría de los casos están
relacionados únicamente con las definiciones pertinentes y los algoritmos seguidos para su
cálculos así dejar de lado la amplia e importante aplicabilidad de los mismos, llevando a un
proceso puramente mecánico que fácilmente puede ser olvidado”.
Realmente, la mayoría de las veces los profesores ignoran los fundamentos pedagógicos y
didácticos que permiten utilizar esta estrategia de una manera adecuada y significativa como
apoyo a los procesos de enseñanza y aprendizaje en el aula. Según los lineamientos del (MEN,
1998)
“Tradicionalmente los alumnos aprenden matemáticas formales y abstractas,
descontextualizadas, y luego aplican sus conocimientos a la resolución de problemas
presentados en un contexto. Que con frecuencia se dejan para el final de una unidad o para el
final del programa, razón por la cual se suelen omitir por falta de tiempo”
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 61
Además, existen en nuestro contexto otras dificultades en el desarrollo de los procesos
matemáticos que vale la pena analizar, entre ellos, señalamos:
Dificultades en las concepciones sobre longitud, área y volumen.
Dificultad en la noción de unidades de medida.
Desinterés por parte de los docentes por introducir innovaciones didácticas que
favorezcan verdaderos aprendizajes en matemáticas.
No se discuten los conceptos entre los entes involucrados.
No se desarrolla el pensamiento matemático.
No se tienen en cuenta los estándares curriculares y el desarrollo de competencias.
Para el buen entendimiento de la problemática expuesta se necesita conocer claramente la
temática sobre el Pensamiento Creativo, que hace referencia al desarrollo de las habilidades
matemáticas y nos sitúa al alcance de las metas y objetivos propuestos para el desarrollo de los
problemas matemáticos. A propósito del pensamiento matemático
“El pensamiento creativo se ha dividido en divergente y convergente. El primero consiste en
la habilidad para pensar de manera original y elaborar nuevas ideas, mientras que el segundo
se relaciona con la capacidad crítica y lógica para evaluar alternativas y seleccionar la más
apropiada. Evidentemente ambos tipos de pensamiento juegan un rol fundamental en la
resolución de problemas”. (Adams, 1986).
La estrategia didáctica desea exponer al estudiante en un ambiente creativo divergente y
convergente, a través del trabajo cooperativo, la comunicación y con el apoyo del instrumento
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 62
digital para construir sus propios problemas a través de la reflexión dadas en las preguntas
orientadoras de Polya (1965)
2.1.4 Sobre la enseñanza de la trigonometría
Si repasamos la historia es importante destacar que la trigonometría nace de la necesidad de
solucionar problemas concretos de la vida cotidiana o de intereses particulares de quienes
estudiaban temas como la astronomía, alturas, ángulos, algunos de sus mayores exponentes son:
Eratóstenes midió el perímetro de la tierra con gran exactitud por primera vez (en este
ejemplo, es interesante ver que algo que corresponde a la geometría esférica se midió desde
pequeñas aproximaciones rectas)
Aristarco de Samos fue el primero en determinar la distancia a la luna, primero tuvo que
determinar la distancia tierra-sol. También determinó el tamaño de la luna y el sol y el ángulo
con que los rayos del sol inciden sobre la tierra.
Actualmente se utiliza en muchos aspectos de la vida, como lo son las artes, la astronomía,
la ingeniería, las ciencias y en situaciones puntuales como por ejemplo: para medir distancias
rectas inaccesibles, en la NASA para mover un brazo robótico en el espacio, para saber la
posición final del astronauta que está en el extremo del brazo móvil, en la astronomía para medir
distancias entre cuerpos celestes, para desarrollar el funcionamiento de las gps (sistemas de
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 63
posicionamiento global) porque se emplean métodos de triangulación trigonométrica, para
estudiar movimientos de oscilación de algunos cuerpos.
2.1.4.1 Sistemas de representación
La mayoría de autores resaltan en el proceso de enseñanza y aprendizaje de la trigonometría
sus sistemas de representación y sus relaciones, con el fin de que el estudiante maneje
conceptualmente cada una de las representaciones además de sus eslabones. Según Rico (2009)
“son todas aquellas herramientas –signos o gráficos- que hacen presentes los conceptos y
procedimientos matemáticos y con las cuales los sujetos particulares abordan e interactúan con el
conocimiento matemático, es decir, registran y comunican su conocimiento sobre las
matemáticas”. Identificamos cinco sistemas de representación que se hacen presentes en la
estructura conceptual de la trigonometría. Los sistemas de representación que hemos establecido
son el verbal, el simbólico, el numérico, el gráfico y el manipulativo. A continuación mostramos
cómo estos sistemas de representación permiten presentar las relaciones de los elementos de la
estructura conceptual y como se destacan propiedades importantes y particulares del tema.
Sistema de representación verbal: se caracteriza por el uso del lenguaje oral y escrito,
permitiendo enunciar hechos relacionados con el foco de contenido. Este sistema de
representación cobra relevancia porque permite expresar situaciones de la vida real con
mayor claridad que otros sistemas de representación. Así, por ejemplo, se puede decir “la
altura de un edificio cuando la sombra mide 13 metros y el ángulo de elevación con la
horizontal hasta la punta del objeto es de veinte grados”.
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 64
Sistema de representación simbólico: se identifica por el uso de símbolos para presentar
los elementos y relaciones del contenido. En este sentido, es un requerimiento
importante en el desarrollo de la estructura conceptual, porque permite representar
contenidos de una forma compacta y concreta respecto a la representación verbal. Por
ejemplo en la figura 5, en el proceso de resolución de triángulos rectángulos en las
razones trigonométricas, se debe denotar los parámetros e incógnitas presentadas en el
sistema verbal y en el gráfico.
Figura 3. Representación simbólica
Sistema de representación numérico: El sistema de representación numérico juega un
papel importante para establecer las razones trigonométricas a partir de los datos del
triángulo rectángulo. La representación numérica permite expresar los valores numéricos
de los ángulos y las longitudes de los lados en la resolución de triángulos y ecuaciones.
Además, permite tabular los valores numéricos para la representación cartesiana de las
funciones trigonométricas. Por ejemplo, la expresión verbal “un señor de 1,72 metros de
altura desea calcular la altura de un edificio, si conoce que se encuentra a 18 metros de
distancia además de eso levanta la cara para ver la cima del edifico registra un ángulo de
en un triángulo rectángulo uno de los catetos mide veintinueve centímetros y el ángulo
de 54°”, situación que se representa numéricamente como se muestra en la figura 4.
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 65
Figura 4. Representación numérica
Sistema de representación gráfico: La representación gráfica es un recurso fundamental
en los temas de trigonometría porque hace uso de relaciones métricas y espaciales
geométricas que son muy difíciles de identificar sin la ayuda de una representación
apropiada. Las razones trigonométricas requieren de la representación gráfica, teniendo
en cuenta que el desarrollo de sus conceptos y nociones presentan una gran influencia
del contexto geométrico. En el sistema de representación gráfico podemos distinguir dos
subsistemas: el cartesiano y el geométrico. El primero se presenta en el plano cartesiano
y utiliza las herramientas de tipo gráfico y numérico junto con las propiedades
contenidas en este sistema de referencia. Mientras que el segundo implementa el uso de
los procedimientos y el lenguaje propios de la geometría. Por ejemplo, en la razón
trigonométrica “coseno de 60° es igual 1 sobre 2”, la representación geométrica
considera el uso de un triángulo equilátero de lado uno y el trazo de su respectiva altura,
para mostrar el valor de la razón en función del ángulo dado (figura 7). La
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 66
representación gráfica cartesiana se puede ver en la función coseno del círculo unitario a
partir de la coordenada cartesiana (π/3, 1/2).
Figura 5. Sistema de representación gráfico: geométrico y cartesiano
El sistema de representación manipulativo: permite hacer construcciones geométricas de
las razones trigonométricas con ayuda de recursos tecnológicos como el software Cabri
Geometry. El uso de estas representaciones permite ver algunas propiedades geométricas
del tema, y posibilita que los estudiantes manipulen las construcciones hechas y
visualicen nuevas propiedades que no son evidentes en otras representaciones. Este tipo
de representación puede ser usado en otro tipo de estrategia didáctica a través del Cabri o
inclusive pude servir de complemento a la estrategia planteada en esta investigación.
2.1.4.2 Relación entre los sistemas de representación
En los sistemas de representaciones encontramos dos relaciones importantes; la primera es la
traducción entre los sistemas de representación, que se caracteriza por el tránsito entre los
diferentes sistemas de representación de un elemento de contenido y la segunda es la
transformación sintáctica que se caracteriza por la transformación de elementos de contenido en
el mismo sistema de representación. Para la solución de cualquier situación problema planteada
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 67
en esta estrategia didáctica es importante conocer muy bien los tipos de representación y sus
equivalentes en otro tipo de representación. El alcance de esta estrategia didáctica está basada en
el sistema de representación gráfico y el numérico, a través de la construcción de situaciones
basadas en la realidad y luego a partir de ahí, dadas otras propuestas se puede fortalecer la
representación verbal, la simbólica y sus relaciones.
2.1.5 Aprendizaje sobre longitud, área y volumen
La necesidad de medir estuvo presente desde los inicios de la humanidad, en los múltiples
problemas a los que enfrentaban, como los de cultivo y la astronomía. Una afirmación recurrente
de los historiadores de la Matemática es que, contar y medir son las dos grandes actividades que
dieron origen a una diversidad de conocimientos matemáticos. Por otra parte, dichos
conocimientos adaptaron a nuevas necesidades, mostraron así el carácter provisorio ineludible
que tiene todo conocimiento matemático en sus orígenes.
Medir es asignar un valor numérico a un atributo de un objeto, por ejemplo a la longitud de
un lápiz. A niveles más complejos la medición supone la asignación de un número a una
característica de una situación; tal es el caso, por ejemplo, el índice de precios al consumo.
La medición relaciona el mundo físico de los objetos con el mundo matemático; como lo
señalan Godino, Batanero, y Roa, (2002):
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 68
“La medida de magnitudes nos obliga a reflexionar sobre el difícil problema de las
relaciones entre las matemáticas y la realidad. Los fenómenos físicos y sociales son
organizados mediante el lenguaje matemático y ello nos lleva a reflexionar sobre la
naturaleza de los objetos matemáticos (…)”
Seguramente hemos visto a algún topógrafo en la calle realizando medidas con un teodolito;
este es un instrumento conocido por la mayoría de las personas, aunque resulta inaccesible para
utilizarlo con estudiantes. El teodolito es un instrumento moderno, pero sus funciones se conocen
desde mucho antes; un utensilio que se conoce como Clinómetro, y hace referencia al Klinein
que en griego significa inclinación. El clinómetro es un instrumento para medir la inclinación de
la superficie de un terreno, de sus techos o capas con relación a la horizontal. En navegación
sirve para medir la inclinación longitudinal de la quilla con relación al plano de nivel del agua y
por ello es muy útil para medir la diferencia de calado entre popa y proa. Fue inventado por el
Capitán de navío danés Counig y perfeccionado más tarde por Brest M. Touboulie.
“El Clinómetro era un aparato de acero, bronce o latón, que se instalaba en las piezas de
artillería con la finalidad de establecer en milésimas la inclinación del tiro usando los nonios
de medición y el nivel que tenía el aparato. Su finalidad era determinar el ángulo de tiro en
artillería”. (Federación de asociados, 1982)
En esta estrategia didáctica hemos desarrollado un instrumento digital que realiza las
funciones de goniómetro y de cinta métrica a la vez; pero dado el caso, si no se cuenta con la
herramienta didáctica desarrollada en esta investigación; se puede desarrollar la estrategia
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 69
construyendo un goniómetro y se le adiciona una cinta métrica; en el siguiente enlace encontrará
como construir un goniómetro básico https://www.youtube.com/watch?v=tiNazhCsNtw de igual
forma se podrán relacionar otras versiones del instrumento más complejas.
En las investigaciones consultadas hemos encontrado algunos resultados relativos a la
concepción que los alumnos poseen sobre el área. Todos ellos coinciden al afirmar que la
mayoría de los alumnos desarrolla casi exclusivamente una concepción numérica del área. Para
los estudiantes, el área es un número que se calcula, tal como lo aseguran (Perrin y Glorian,
1992; Tierney y Boyd, 1990) y en relación (Hirstein, 1981) asegura que “no es adecuado el modo
en el que los libros de texto y los profesores de matemáticas acometen el estudio de las fórmulas
para el cálculo de áreas, ya que los ejercicios que plantean se reducen a simples cálculos
aritméticos”; estos “recursos débiles” como lo define Alan Schoenfeld se pueden evitar a través
de la estrategia didáctica usando el instrumento digital y con el apoyo de la representación
gráfica que se realiza del problema.
A partir de los procesos de la enseñanza y el aprendizaje se tienen algunos tienen algunas
características que resultan de gran importancia en el proceso de medir una determinada
magnitud ya que no se reduce a asignar un valor a la misma sino que lleva a implícitas y diversas
tareas, como identificarla como tal en los diferentes objetos; realizar comparaciones entre dos
cantidades de la misma; compararlas con un patrón establecido (unidad) y asignarle un número,
que a su vez implica determinar la unidad más conveniente; encontrar si es posible alguna
relación que simplifique su medición y estimar la cantidad de magnitud que poseen determinados
objetos.
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 70
En relación a las magnitudes espaciales en el desarrollo del aprendizaje de la medición de
longitud, área y volumen recalcan, Del Olmo, Moreno, y Gil, (1993) que en el proceso de
medición: A una cantidad de magnitud se le asigna un número atendiendo a distintas etapas:
Se escoge una cantidad fija de la misma magnitud que llamaremos unidad de medida.
Se reitera, tantas veces como sea preciso, sobre el objeto a medir.
Se cuenta el número de veces que se ha iterado.
Se le asigna al objeto ese número. Dicho número será su medida respecto de la unidad
elegida.
Los estudiantes deben ser hábiles en el uso de instrumentos, técnicas y fórmulas para medir,
en situaciones diversas. Por tal motivo nos apoyamos en un instrumento electrónico que le
permita reafirmar estos conceptos y que además le permita realizar conexiones entre las medidas
y el mundo real.
2.2 Estado del arte
Con el fin de obtener los mejores resultados en la investigación objeto de estudio, es
necesario indagar que tipos de trabajos se han realizado sobre la implementación de instrumentos
que permitan mejorar de alguna forma la práctica docente en el planteamiento de problemas de
Longitud, Área y Volumen. Se buscaron investigaciones relacionadas con instrumentos
pedagógicos incluyendo uso de Tic, instrumentos usados en pedagogía, planteamiento de
problemas, razones trigonométricas, estrategias pedagógicas y no se encontraron temas de
investigaciones similares a la investigación objeto de estudio con la implementación del
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 71
instrumento digital como herramienta pedagógica; pero si, algunas relacionadas con las razones
trigonométricas y sobre el planteamiento de problemas, de las cuales serán un referente muy
importante para guiar esta investigación, a continuación se anuncian las más importantes en
orden cronológico.
Los referentes que más se asemeja y los que más le aportan a este trabajo de investigación
debido a sus características y proyección respecto a la enseñanza de la trigonometría son Runza
en el 2013 y Felipe Arenas en el 2012.
La primera investigación de Runza (2013), en un trabajo presentado para optar el título de
Magister en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales, presentó el documento Las Razones
Trigonométricas en el planteamiento y resolución de problemas en la Universidad Nacional de
Colombia.
El trabajo realiza una línea de tiempo desde el inicio de las razones trigonométricas hasta
nuestros días. Luego, analiza ciertos conceptos desde un enfoque didáctico y finalmente diseña
una estrategia que incluye actividades para plantear y solucionar problemas en diferentes
ejemplos de las ciencias aplicadas para estudiantes de décimo grado.
Usa conceptos matemáticos como palabras claves, tales como Triángulos, Teorema de
Pitagóras, Razones Trigonométricas. No relaciona la estrategia didáctica, ni el planteamiento de
problemas.
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 72
En su trabajo de investigación Runza (2013), sostiene que:
“Una de las dificultades que se presenta en el aprendizaje de las matemáticas, es la poca
aplicabilidad asignada a los conceptos. Los procesos de enseñanza, ya sea por falta de
tiempo, de conocimiento, de interés o por alguna otra razón, en la mayoría de los casos están
relacionados únicamente con las definiciones pertinentes y los algoritmos seguidos para su
cálculos dejando de lado la amplia e importante aplicabilidad de los mismos, llevando a un
proceso puramente mecánico que fácilmente puede ser olvidado”.
Además concluye “La enseñanza de las matemáticas necesita que los docentes planeen y
propongan situaciones de aprendizaje significativo y comprensivo para los educandos y así
permitir que ellos participen activamente en la reconstrucción y validación del saber matemático
haciendo uso de materiales manipulativos, representativos y tecnológicos para encontrar
estrategias de solución a los problemas que se le planteen y de esta manera ayude a profundizar y
consolidar los distintos procesos generales ( formular y resolver problemas; modelar procesos y
fenómenos de la realidad; comunicar; razonar, y formular comparar y ejercitar procedimientos y
algoritmos) y los distintos tipos de pensamiento matemático (numérico, espacial, lógico, métrico,
variacional y aleatorio).
Finalmente propone como tarea a futuro seguir enriqueciendo la práctica pedagógica en cada uno de
los conceptos a compartir con los educandos con el fin de sensibilizar al estudiante para que se le facilite
cada vez más el proceso de aprendizaje.
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 73
La bibliografía usada en el trabajo de investigación Runza se centra en primera instancia en historia
de la matemática y libros de planteamientos de problemas usados en la educación superior, y con
disminución significativa de autores en didácticas, estrategias, funcionamiento del cerebro.
La segunda investigación (Arenas, Becerra, & Gómez, 2012), es un trabajo que surgió de la
investigación realizada por el grupo MAD, que pertenece a la maestría en educación matemática de la
Universidad de los Andes.
El trabajo inicialmente constata que muchos profesores del grado décimo en educación
básica media usan las razones trigonométricas como herramienta para resolver ejercicios de
triángulos rectángulos, aplicados a situaciones problema, sin tener en cuenta el contexto que
maneja el estudiante. A partir de este punto crea una unidad didáctica desde el punto de vista
curricular, el académico y el socioeconómico para abordar situaciones problemas en la
resolución de triángulos rectángulos teniendo en cuenta el contexto del estudiante y que generan
más sentido y lógica, dando sugerencias, pautas claves.
Esta investigación contiene palabras claves como propuesta, unidad didáctica, problemas
matemáticos, razones trigonométricas, contexto del estudiante.
Finalmente concluyen que las herramientas que generalmente son usadas son las
calculadoras y que principalmente se usan para realizar reemplazos y evaluaciones, tales como
reemplazar ángulos y distancias. Además plantean de finalidad desarrollar una visión más
compleja de los elementos didácticos que se utilizan tradicionalmente; finalmente considera que
los planes de estudio son débiles en el fundamento didáctico que plantean.
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 74
Los trabajos de investigación internacionales más significativos para referenciarlos desde
nuestra perspectiva del proyecto de grado son el de Fernández, quien realizó en la Universidad
de Granada (España), en el año 2011 el trabajo titulado “Unidad didáctica: Trigonometría” y el
trabajo de investigación de González en Argentina quien tituló “La enseñanza de la medición de
áreas. Un largo y complejo proceso”.
En esta investigación de Fernández (2011) propone:
“Para el desarrollo de la unidad didáctica de trigonometría, considero de gran utilidad el uso
de programas de geometría dinámica con los cuales el escolar puede interactuar y asimilar
con más facilidad los conceptos. En los últimos tiempos las nuevas tecnologías de la
información y la comunicación están pasando a ocupar un lugar de gran relevancia en la
sociedad, los jóvenes de hoy en día dominan perfectamente estas nuevas tecnologías, y es
por ello que en nuestra labor como docente debemos buscar este punto de encuentro”
Implementando como herramienta didáctica principal el uso de Tic, también dedica una
unidad al teodolito, que es una versión similar al instrumento digital usado en esta investigación.
Fernández (2011) acerca del teodolito asegura que
“Dedicaremos una sesión a utilizar este teodolito para realizar medidas indirectas con el
método de la doble medida. Se preparará, como una actividad complementaria de la unidad,
un trabajo en el que los alumnos y alumnas tendrán que construir un teodolito, para llevar a
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 75
cabo medidas de distancias inaccesibles, por ejemplo, en el patio del centro. Sin duda esta
experiencia haría tomar conciencia a los alumnos de la utilidad práctica que tiene la
trigonometría”.
Finalmente la actividad solo viene como una estrategia pedagógica y fundamentan algunas
sugerencias, no manifiesta sobre la aplicación de las propuestas didácticas posiblemente
implementadas en el transcurso de la investigación, y por lo tanto no incluye resultados de la
estrategia, ni conclusiones.
Por otro lado (González, 2011) en un proyecto de maestría en la enseñanza de la
Matemática, La enseñanza de la medición de áreas, un largo y complejo proceso, en la
Universidad nacional del nordeste, en Argentina.
La investigación de González propone una organización Matemática para la enseñanza,
consiste en estudio matemático del tema que incluye tareas, técnicas y tecnologías, que no
necesariamente deben cumplirse en orden cronológico.
Las palabras claves relacionadas con nuestro trabajo de grado son áreas, situaciones
problema, tecnologías, didáctica en matemática.
Su trabajo concluye que para obtener una fórmula de un área no es un planteamiento
solamente, es una técnica y por lo tanto permite abordar otras metodologías y enlazarlo a otros
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 76
conceptos; también relaciona que el concepto de medidas de área debe ser estudiado como
procesos de medición, valoración y repartición.
De la observación y el análisis realizados sobre los procesos de enseñanza y aprendizaje en
el área de matemáticas, se ha detectado la dificultad que presentan los estudiantes en la
interpretación, a partir de la representación gráfica, de los problemas relacionados con unidades
de medida; así mismo, se observa que existe el interés de no exponerles la resolución de
problemas como productos y resultados de un simple proceso. Es importante que el estudiante no
solo se base en el análisis de un problema ya resuelto en un libro, sino que detecte, en los
intentos fallidos en búsqueda de posibles soluciones, características o patrones que le permitan
desarrollar competencias para la comprensión significativa de situaciones problemáticas,
requisito indispensable en el planteamiento de estrategias de solución y en los razonamientos
realizados en un primer intento de solución no totalmente satisfactoria.
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 77
3. Tipo de investigación y metodología
En este capítulo se expone los resultados obtenidos de aplicar las dos encuestas a profesores
y docentes, así como también el test de ejercicios aplicado a los estudiantes con el fin de
encontrar las debilidades y fortalezas en la que se exponen los estudiantes en el tema de
planteamiento de problemas de unidades de medida.
3.1 Tipo de investigación
La investigación que se adelantó para llegar a la estrategia didáctica que se formuló, fue de
tipo cualitativo. Los investigadores buscaron describir e interpretar los alcances de la estrategia
didáctica a través de las percepciones y creencias establecidas en la experiencia de profesores y
estudiantes participantes, incluyendo las características de sus prácticas pedagógicas. La
interpretación de los resultados del diagnóstico fue subjetiva y buscó encontrar significados e
interpretar cuales eran las necesidades, dificultades y fortalezas que se percibieron de los
estudiantes y profesores frente al planteamiento de problemas, para lograrlo se usaron encuestas,
análisis documental y observaciones.
A partir del método histórico lógico se estableció el estado del arte como guía de
orientación, se incluyeron trabajos de investigación relacionados al aprendizaje principalmente
en matemáticas resaltando el planteamiento de problemas, en los conceptos de longitud, área,
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 78
volumen y trigonometría incluyendo el uso de herramientas didácticas para el desarrollo de las
temáticas.
Finalmente se construyó una estrategia didáctica que busca fortalecer el aprendizaje en el
planteamiento de problemas, esto implicó usar el método de enfoque de sistema, pues se
propusieron unos objetivos, una fundamentación teórica, un método con una secuencia de
actividades y una evaluación; todos estos elementos están subordinados por el sistema didáctico
establecido y a su vez entre ellos deben mantener una relación de coherencia, cohesión y
pertinencia con el fin de alcanzar el objetivo de la investigación.
Además, los investigadores analizaron los factores que influyeron en el desempeño de los
estudiantes al plantear problemas, y lo más importante, en su contacto con la población incidió
sobre las personas que investigaron en la medida en que direccionaron su trabajo pedagógico
según la pertinencia del caso.
Otro rasgo de la investigación es su enfoque interdisciplinar pues abarca áreas como las
matemáticas, la educación matemática y la psicología entre otras, finalmente el uso de diferentes
métodos para recopilar los datos permitió usar la triangulación para validar la información
obtenida.
Por otra parte el trabajo fue de tipo propositivo, se diseñó una estrategia didáctica usando
como herramienta un instrumento digital que permite que los estudiantes planteen sus propios
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 79
problemas de manera autónoma, resaltando el trabajo cooperativo, la comunicación, el uso de
representaciones.
3.2. Metodología
A partir de un instrumento digital para potenciar el planteamiento de problemas, según sus
características, fue una investigación de enfoque cualitativo, los investigadores eran docentes de
Precálculo y los estudiantes que la cursaron representan la población investigada; también
pertenecían al colectivo docente de la institución y tuvieron la oportunidad de valorar la
estrategia.
3.2.1. Métodos y Técnicas
El objetivo general del proyecto de investigación es formular una estrategia didáctica para
fortalecer el planteamiento de problemas en matemáticas, así resulta pertinente aplicar los
métodos teóricos: análisis síntesis, histórico lógico, y enfoque de sistema. El análisis síntesis
permitió indagar a la población sobre: el sistema de creencias y costumbres que poseen los
docentes y los estudiantes en el momento de abordar problemas; el interés y la importancia de
resolver problemas matemáticos; la forma en que interpretan un problema a partir de la gráfica,
de los datos, de las incógnitas y de las relaciones entre ellos; la implementación de trabajo
cooperativos; el uso de representaciones y el fortalecimiento de la comunicación; enfocado al
contexto del estudiante de tal manera que resalta la creación de sus propios problemas. Las
respuestas a estas inquietudes permitieron reunir la información aportada desde distintas fuentes
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 80
y así construir una idea para comprender la forma como se plantean problemas en la asignatura
Precálculo en las UTS.
3.2.2. Población.
El proyecto de investigación fue realizado con estudiantes que cursaron la asignatura
Precálculo de las Unidades de las Santander; asignatura del primer semestre que pertenece a la
Facultad de Ciencias Naturales e Ingeniería. Esta materia inicialmente pertenece al ciclo
tecnológico, pero el estudiante una vez que finalice la tecnología tiene la opción de continuar a la
ingeniería a través de un ciclo propedéutico. El propósito de la asignatura es de carácter
nivelatorio, debido a que gran parte de la población no ingresa a la educación de carácter
superior cumpliendo con las adecuadas competencias matemáticas. Actualmente en el segundo
semestre del 2016 cerca de 400 estudiantes se encuentran cursaron la asignatura.
La asignatura la orientaron cuarenta docentes, cuya modalidad de contrato en las UTS es de
hora cátedra y además trabajan en otras instituciones, principalmente colegios de la ciudad o sus
alrededores, la gran mayoría tienen varios años de experiencia como docentes en el área de las
Matemáticas.
Muestra
Intencional, Debido a la dificultad para contactar los estudiantes y de su disposición temporal;
se seleccionaron cerca de 60 estudiantes, específicamente dos cursos, y representaron el 15% de
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 81
los estudiantes que cursaron la asignatura en las UTS, los estudiantes pertenecen a varias
carreras.
Aleatoriamente se seleccionaron 12 docentes que cursaron la asignatura Precálculo en las
UTS, se incluyen el 20% de los docentes que orientaron la asignatura; de los cuales 4 docentes
realizaron la validación final de la estrategia didáctica.
3.2.3. Técnicas e instrumentos de colecta de datos
Para cumplir con los objetivos de investigación propuestos en este proyecto de maestría, se
aplicaron cuatro instrumentos para recolectar datos; el primero que se implementó fue una
encuesta a los docentes que orientaron la asignatura Precálculo, una segunda encuesta aplicada al
16% de los estudiantes que cursaron la asignatura; el tercero es un análisis documental a partir de
un test de problemas matemáticos relacionados con el planteamiento de problemas de unidades
de medida; finalmente se implementó una rúbrica para validar y ajustar la estrategia didáctica.
La primera encuesta ver anexo 1 aplicada a los docentes que orientan la asignatura de
Precálculo indagó sobre las prácticas pedagógicas que realizan los docentes en las UTS,
establecer si conocen y aplican estrategias didácticas en Matemáticas; establecer si conocen y
aplican Tic en el aula de clase y si están relacionadas con la didáctica en Matemáticas; establecer
además las concepciones, percepciones y creencias que tienen acerca de los estudiantes de las
UTS.
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 82
La segunda encuesta permitió establecer las concepciones, percepciones y creencias de los
estudiantes ver anexo 2 sobre: ellos mismos, sus docentes, las estrategias e impacto sobre los
estudiantes en el proceso enseñanza-aprendizaje.
El tercer instrumento fue un análisis documental aplicado a los estudiantes que realizaron la
segunda encuesta, una vez finalizó la temática “aplicaciones de las unidades de medida en el
contexto de la ingeniería” expuesta en el programa académico de la asignatura, se aplicaron
cinco ejercicios en una prueba de conocimientos generales sobre longitud, área y volumen ver
anexo 3, para establecer los alcances de la estrategia pedagógica usada por los docentes de la
asignatura en las UTS.
El cuarto instrumento fue una rúbrica de evaluación de la estrategia didáctica ver anexo 5,
que se realizó con cuatro docentes de la muestra, que permitió establecer las ventajas y
desventajas que posee la estrategia didáctica proponiendo la implementación de un instrumento
digital como herramienta para que los estudiantes planteen sus propios problemas de longitud,
área y volumen; posteriormente se realizaron ajustes con el fin de corregir y potencializar la
estrategia.
Es importante resaltar que esta asignatura se ha incluido en el pensum de las carreras
tecnológicas con el objetivo de realizar un repaso de varios temas que son estudiados en la
educación media, y que son necesarios para continuar en la educación superior; de tal manera
que los resultados de este análisis documental no dependieron solamente de las prácticas
pedagógicas realizadas por los docentes en el transcurso de la temática expuesta de la asignatura
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 83
Precálculo, sino de las bases que tienen los estudiantes de años cursados en el transcurso de la
educación media.
Las encuestas fueron validadas por el ingeniero industrial y docente de la UPB Germán
Rincón, con una trayectoria de cerca de 20 años de experiencia en la rama de la estadística; y el
Magister Diego Reyes docente de Ciencias Básicas en las UTS. El test de problemas que originó
el análisis documental y la estrategia didáctica lo revisó el Núcleo Básico del Conocimiento de
Precálculo.
3.3 Presentación y análisis de resultados del diagnóstico
Para establecer si es viable plantear una estrategia didáctica usando una herramienta
didáctica que permita fortalecer la comunicación individual y grupal, resaltar el trabajo en equipo
y la representación matemática, además de la creación de problemas propios en el contexto de las
UTS, se indagó a sus principales actores; los docentes y estudiantes para tener en cuenta sus
percepciones y sus creencias en el aula de clase, además se aplicó un test a los estudiantes con el
fin de obtener hallazgos en el desarrollo de algunas situaciones problema usando los conceptos
adquiridos en unidades de longitud, área y volumen de las estrategias pedagógicas planteadas por
los docentes durante el desarrollo de la asignatura de Precálculo.
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 84
3.3.1 Resultados de las encuestas aplicadas a estudiantes
Se aplicó una encuesta a 60 estudiantes que cursan la asignatura Precálculo. Entre cerca de
1990 estudiantes que la cursaron en el primer periodo del 2016, además pertenecen a las carreras
de topografía, tecnología en recursos ambientales, tecnología en electrónica, tecnología en
operación y mantenimiento electromecánico. Posiblemente muchos terminen la tecnología y
continúen con la ingeniería. A continuación se registran los principales hallazgos de la encuesta
aplicada, cuya finalidad es establecer las percepciones que tienen los estudiantes sobre la
matemática y sobre sus aplicaciones; la encuesta se encuentra en el anexo 1.
Se preguntó si consideraban que las Matemáticas eran importantes en sus carreras
tecnológicas, explicando por qué son importantes y en qué condiciones o en que situaciones las
han aplicado durante sus vidas o para el desarrollo de sus carreras.
Además, sobre los factores que consideraron más relevantes o determinantes para lograr un
buen rendimiento académico, con el fin de definir el papel que juega el docente y sus prácticas
pedagógicas respecto al propio rendimiento académico, entre otros.
Finalmente se examinó si consideran que en las clases de Precálculo se trabajaron algunas
características de esta estrategia didáctica.
Los primeros resultados que arrojó la encuesta, es que los estudiantes consideran que sí son
importantes las matemáticas; aunque tres de ellos estiman que son importantes pero no
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 85
necesarias; estudiantes que posteriormente podrán pasar a estudiar la Ingeniería Ambiental.
Situación es un poco contradictoria considerando que pueden estudiar una ingeniería y que
consideren que no es necesaria la matemática. La figura 6 muestra la declaración de un
estudiante respecto a la importancia de las matemáticas.
Figura 6. Declaración estudiante importancia de las matemáticas
Entre las respuestas más comunes respecto a la importancia de las matemáticas están el 50%
de los estudiantes consideran que las matemáticas son la base de la tecnología e ingeniería
creyendo que es la razón principal por la que se estudia, así les permitirá comprender otras
temáticas. Un grupo que representa el 16,6% de los estudiantes, anuncian que la principal razón
de estudiar matemáticas es para solucionar problemas y otro 20% cree que sirve por las diversas
aplicaciones que se puedan desarrollar a través de estos conceptos. Debido a la leve
implementación de problemas contextualizados para el estudiante durante su vida académica lo
que le permite dar argumentos superficiales sobre la importancia y las aplicaciones de la
matemática en el aula de clase; y en algunos casos hasta falsos, a través de nuestra estrategia
pedagógica permite plantear un mejoramiento de aula de tal manera que además de fortalecer los
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 86
componentes de comunicación, del trabajo en equipo, de la creación de problemas en un
contexto propio, podrá resaltar que una de su función principal es plantear y resolver problemas
en el contexto y fuera de él, permitiendo que el estudiante tenga otra concepción sobre la
importancia de la matemática y de sus aplicaciones.
Se cuestionó acerca las aplicaciones de las matemáticas en sus vidas, y que tipo de
problemas han podido solucionar a partir del uso de ellas. Las respuestas de la mayoría de los
estudiantes se refirieron a situaciones en las que utilizan operaciones aritméticas y
principalmente a situaciones que involucran activos y pasivos en economía. Otro grupo de
estudiantes se inclinó por la estadística; y un grupo menor respondieron que les sirve para
solucionar circuitos. Un estudiante de topografía manifestó que le sirve en el uso de las medidas,
otro para calcular áreas de terrenos, otro estudiante afirmó que sirve para encontrar el volumen
del motor en un vehículo, indicando también que son útiles para el diseño y posterior
construcción de estructuras, o para crear programas por computador. Finalmente una respuesta
común, que nos permite dar solución a problemas cotidianos y también a solucionar
adversidades, se muestra en la figura 7.
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 87
Figura 7. Importancia de la matemática en el pregrado de Tecnología y en la vida cotidiana
Con la mayoría de las respuestas se concluyó, en que los estudiantes consideran que los
problemas que se pueden resolver con las matemáticas se limitan a las situaciones cotidianas y al
manejo del dinero; lo que hace necesario impartir nuevas medidas que les permita a los
estudiantes observar las diversas aplicaciones de las matemáticas en la carrera y en la vida
cotidiana, se resalta además la importancia para plantear y solucionar problemas, tal como lo
sugiere este proyecto de aula.
Se examinó con el fin de determinar algunas de las creencias que tienen los estudiantes
respecto a los factores que más influyen en su rendimiento académico, y consideran que el factor
principal es la motivación e interés que ellos mismos generan hacia la asignatura. Seguida por la
motivación que induce el docente para que el estudiante adquiera los conocimientos de la
asignatura y como últimas opciones, los presaberes y conocimientos en la asignatura, así como
las prácticas pedagógicas aplicadas por el docente, el compromiso y la responsabilidad, y la
dedicación académica del estudiante. Lo que nos permite concluir que podemos llegar al
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 88
estudiante a través de otro tipo de estrategias que les genere cierta motivación y apropiación de la
asignatura a través de trabajo en equipo, fortalecimiento en la comunicación, desarrollo de
problemas en su contexto y la creación de sus propios problemas. La figura 8 ilustra algunas
declaraciones de los estudiantes respecto a los factores que influyen en sus resultados
Figura 8. Declaración estudiantes factores de rendimiento académico
Se indagó si consideran que han trabajado durante su curso de Precálculo, algunas de las
características que plantea el proyecto de aula. La figura 9 demuestra las principales
características que resalta el proyecto de aula en relación al porcentaje de estudiantes que
consideran que sí han trabajado esa componente durante el curso al menos una vez en el
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 89
semestre. La componente más alta fue el fortalecimiento de la comunicación. El 53% de los
estudiantes encuestados consideran que en el aula se resaltó la comunicación al menos una vez
en el semestre y el trabajo en equipo.
Figura 9. Componentes de la investigación que se perciben en el aula según los estudiantes
A partir de las encuestas aplicadas se determinó que las principales características que
propone el proyecto de aula no se han evidenciado en las clases de Precálculo. La mayoría de
los encuestados manifiestan que esas componentes se trabajan muy poco, y muchos anuncian
que nunca las han evidenciado. Las características que menos se implementan en las UTS son el
uso de herramientas didácticas y tecnológicas, el trabajo en espacios diferentes al aula de clase y
el desarrollo de problemas en el contexto institucional. Estos resultados fortalecen la idea de
utilizar actividades de clase que fortalezcan estas características, tal como lo propone el proyecto
de aula.
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 90
3.3.2 Resultados de las encuestas a profesores
En las UTS se desarrollan 50 cursos de la asignatura de Precálculo conformado por un
grupo de 60 profesores. En el primer semestre de 2016 se realizaron encuestas ver anexo 2, a 14
de ellos que orientan la asignatura con el fin de establecer su punto de vista respecto a algunas
componentes en el proceso enseñanza aprendizaje experimentado en las UTS, que incluyen,
capacitaciones docentes y su aplicación en el aula de clase sobre la experiencia adquirida en su
tiempo como profesor, las percepciones que tienen acerca del desenvolvimiento académico del
estudiante incluyendo una consulta para determinar, si en las aulas de Precálculo se están
implementa las principales componentes didácticas que propone este proyecto de aula, resaltando
el fortalecimiento de la comunicación individual y grupal del estudiante, la representación
matemática, la construcción de sus propios problemas en su contexto, el uso de herramientas
didácticas y el uso de escenarios diferentes al aula de clase.
Los docentes encuestados fueron escogidos al azar. Se encontró que tienen entre 6 y 20
años de experiencia en la educación media y superior, muchos poseen especialización, dos de
ellos han realizado maestría, otros están cursando la maestría o un doctorado. Algunos han
dictado en varias oportunidades la asignatura de Precálculo o Matemática básica, incluso en más
más de 15 oportunidades.
Cabe resaltar que hay una importante experiencia laboral que incluye vínculos entre la
educación media y universitaria. Algunos Aseguran que han participado en seminarios, talleres,
capacitaciones, entre otros cursos; para elaboración de preguntas en pruebas saber pro, en
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 91
didáctica de la Matemática o de la Física, en diseño de talleres y guías de estudio, en el manejo
de calculadoras, en enseñanza de las ciencias. Otros manifiestan que ese tipo de capacitaciones
debieran realizarlas en las UTS.
Los docentes aseguran que han participado en capacitaciones sobre didácticas pedagógicas,
pero cuando se les solicitó referenciar posibles autores en didáctica sobre los cuales se pueda
basar una clase de Precáclulo, la mayoría relacionó autores de la temática en general, sin ningún
tipo de metodología o estrategia, autores que hacen parte de la bibliografía del curso y son
exclusivamente cognitivos, y no en educación matemática, en didáctica, o en educación. Salvo
tres docentes que mencionaron la estrategia en la resolución de problemas planteada por George
Polya (1965) uno de los principales autores relacionados en este proyecto de investigación.
Ninguno menciona estrategias didácticas relacionadas con Ausubel, Piaget, constructivismo, o
Schonffeld en el planteamiento y resolución de problemas matemáticos. Algunos plantearon que
en aula se pueden realizar estrategias motivacionales y comportamentales. Se concluye que muy
pocos docentes han realizado experiencias con autores de didáctica en el campo de las
Matemáticas, principalmente en el planteamiento y resolución de problemas. A continuación
ilustramos en la figura 10 la declaración de un docente que asegura conocer e impartir en su aula
estrategias didácticas.
Figura 10. Declaración docente 1
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 92
Cuando los docentes abordan el tema de aplicaciones a la vida real y el contexto de la
ingeniería en la asignatura, prefieren la clase magistral, algunos aseguran el uso de las TIC.
Ellos expresan que resaltan los problemas del contexto según ciertas bibliografías basándose
principalmente en la parte cognitiva. Estos son algunos de los autores enunciados en Precálculo:
Edwin Purcell, Dennis G Zill o James Stewart. Estos libros en gran parte no vienen diseñados
para manejar el contexto de las UTS, porque son libros de índole internacional. Un docente
basado en su experiencia asegura desarrollar un esquema de trabajo aplicado a las necesidades y
al contexto de los estudiantes UTS. En general se determina que los docentes realizan un sistema
de trabajo muy tradicional basado en la clase magistral, en los textos y en los talleres, en algunos
casos apoyándolo con el uso de las TIC y pocos con el apoyo de estrategias didácticas que
resalten las fortalezas de la estrategia didáctica que caracteriza esta investigación, tal como se
evidencia en la figura 11.
Figura 11. Declaración docente 2
Todos consideran que en su labor como docentes es importante realizar una preparación
continua. Consideran que es una labor diaria y sienten la necesidad de que las UTS incluyan
capacitaciones específicas como el uso de las TIC, sobre didácticas y prácticas pedagógicas en
el área de las matemáticas tal cómo se ilustra en la figura 12.
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 93
Figura 12. Declaración docente 3
Se indagó con los docentes sobre los factores que según ellos resultan más influyentes en el
rendimiento académico de los estudiantes dejando como alternativas los presaberes y
conocimientos adquiridos, motivación e interés del estudiante, la motivación que el docente
induce en el estudiante, las prácticas pedagógicas, recursos o medios para realizar una clase, el
compromiso y la responsabilidad del estudiante.
Los docentes consideran que los factores que más influyen en el rendimiento académico de
los estudiantes son los presaberes, el compromiso y la responsabilidad del estudiante; en general
consideran que no son tan determinantes las prácticas pedagógicas y deja en un segundo plano la
parte motivacional docente estudiante y los recursos necesarios para dictar la clase.
Es importante recalcar que todos los factores son de alguna manera importantes y
determinantes. Pero cada actor lo juzga desde su posición, hasta el punto que los resultados
difieren entre docentes y estudiantes, mientras lo que para el docente es primordial para el buen
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 94
rendimiento académico del estudiante, el estudiante no lo considera fundamental y viceversa; por
ejemplo el estudiante considera que la motivación es importante, para el docente esta
componente es tal vez la última opción, y así de manera similar en casi todas las características.
A continuación, en la gráfica 18 se presenta la opinión de los docentes acerca del uso de las
componentes principales que resaltan este proyecto de aula en sus salones de clase, resaltando la
relación entre la característica con el número de docentes que consideran que la aplican en su
respectivo curso de Precálculo. Por ejemplo, en la componente de trabajo en equipo tenemos a 6
profesores que han seleccionado que sí la aplican en el transcurso de la asignatura, de tal manera
que los 8 restantes no la aplicaron en los cursos de Precálculo.
Figura 13. Componentes de la investigación que se perciben en el aula según los docentes
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 95
Los resultados indican que cerca del 50% de los docentes utilizan la mayoría de las
componentes en la asignatura al menos una vez durante el semestre; es un resultado bajo, ya
que se pregunta si usó la componente al menos en una clase a lo largo del semestre. La
componente del trabajo fuera del aula no registra profesores usando un espacio diferente al aula
de clase.
Comparando las declaraciones de los docentes con las de los estudiantes, se obtiene que los
profesores consideran que cada componente se está evidenciando en el desarrollo de la temática
dentro del aula y el estudiante estima que es mucho menos de lo que enuncia cada profesor,
principalmente en el uso de herramientas tecnológicas o didácticas, el planteamiento de
problemas en el contexto, y utilización de espacios diferentes al aula de clase.
3.3.3 Resultados del análisis documental a estudiantes
Se realizó un breve análisis de los textos universitarios al azar y se encontraron muchas
similitudes, en particular en el estilo de los ejercicios; en algunos casos, el manejo del
vocabulario no hace parte del contexto del estudiante, o algunas situaciones problemas que
posiblemente generan confusión, esta clase de ejercicios se replican constantemente en clase.
Aquí se citan algunas palabras o frases que podrían desorientar a los estudiantes en el momento
de desarrollar determinados problemas que son planteados en los libros estudiados: “ángulos de
depresión”: un tipo de ángulo que se usa en ciertos tipos de aplicaciones para realizar registros en
profundidades, “Teodolito”: instrumento que sirve para medir ángulos sobre terreno y para
dirigir visuales; velocidad relativa de un barco navegando en un río; concepto que proviene de la
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 96
asignatura de mecánica, materia que es posterior a Precáclulo”, “cinta métrica de agrimensor”,
“la ribera de un río” entre otros.
Por otro lado, se enfatiza demasiado en trabajar con ángulos expresados en grados, minutos
y segundos, que además incluyen conversiones, de tal manera que el ejercicio se centra más en
la conversión que a la interpretación del problema. En algunas oportunidades piden “solucionar
un triángulo dado”, lo que representa un enunciado incompleto para el estudiante, y en muchas
ocasiones el estudiante no sabe que representa ni sabe cómo abordarlo, porque simplemente no
comprende lo que se pregunta en el problema, en este contexto significa que el estudiante debe
determinar los ángulos internos del triángulo, la longitud de cada uno de sus catetos y la
hipotenusa, así como su perímetro y su área.
Se aplicó a los 60 estudiantes un test de seis ejercicios ver el anexo 3, para realizar un
análisis documental, este permitirá analizar las fortalezas y debilidades adquiridas en el tema de
unidades de longitud, área y volumen con los conceptos aprendidos en la asignatura de
Precálculo en las UTS.
Los problemas 1 y 3 son similares, el primero se encuentra expresado mediante una
redacción que no contiene representación gráfica, de tal manera que el estudiante debe
comprender lo que ha leído y luego debe realizar una representación gráfica, asignando
variables, datos y demás, para así llegar a una situación similar a la planteada en el tercer
ejercicio. El tercer ejercicio se plantea como una situación problema que s e representa mediante
un dibujo.
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 97
El análisis documental permitió establecer que es más difícil realizar el primer problema, en
que se presentó de forma redactada y sin representación. Todo estudiante que planteó
correctamente el primer ejercicio desarrolló adecuadamente el tercero. Pero esta situación no se
cumplió de manera inversa, porque muchos estudiantes que desarrollaron el tercer ejercicio no
pudieron desarrollar el primero, cerca de la mitad de los estudiantes no comprendieron la
situación problema al punto que dejaron en blanco ese enunciado. Corroborando que muchas
veces la dificultad no se encuentra en que el estudiante desconozca la temática, sino lo que se le
dificulta es interpretar ese tipo de problema asociados a la vida real que se presenta de forma
redactada, ya que muchas veces contienen situaciones o términos desconocidos para él. Por lo
tanto este documento motiva a trabajar aspectos como: la representación, el manejo del contexto
del estudiante y de su propio entorno y hasta cierto punto en el lenguaje propio del estudiante.
(Santos, 2010) evidenció esta situación resaltando que “parece que los estudiantes muestran una
dualidad en el análisis de relaciones que matemáticamente son equivalentes. Sus experiencias
previas parecen delinear sus formas de razonar o explicar la diversas relaciones”
El segundo problema evidenció, la dificultad que posee el estudiante para comprender
lecturas, situación que lo lleva a realizar apreciaciones equivocadas del problema, esto implica
todo un procedimiento de desarrollo erróneo. En otro aspecto importante, la falta de conexión
por parte del estudiante entre el problema y el mundo real, tanto que algunos plantean
situaciones que pueden ser ilógicas, pero que pueden funcionar sobre el papel. Situaciones que
son ignoradas, hasta el punto de continuar con el planteamiento del problema y en ciertas
ocasiones llegando a alguna respuesta, por supuesto una que es falsa. En este caso se presentaron
las siguientes situaciones:
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 98
Algunas dificultades que se evidenciaron en el problema 2 por la comprensión del problema,
se presentan a continuación: En primera instancia el 31% de los estudiantes no planteó nada
referente al problema, esto deja como indicador que no entendieron la situación planteada y solo
un 6% lo planteó correctamente. En segunda instancia se interpretó mal el enunciado hasta el
punto de desarrollar un problema diferente al que se propuso, tomamos de ejemplo las siguientes
situaciones:
a) Considerar que el chivo se encontraba pastando en el interior de la granja mientras que el
problema dice: “El chivo puede pastar en cualquier lugar fuera del establo hasta donde
la cuerda alcance”, interpretación que cambia totalmente el problema, tal como se ilustra
en la figura 14; el 43 % de los estudiantes que realizaron el test de alguna forma
interpretaron equivocadamente el problema.
Figura 14. Dificultad en la interpretación del enunciado
b) El manejo equivocado en las escalas de medida, alterando la situación que busca
plantear el problema y en algunas ocasiones dando lugar a situaciones ilógicas, tal como
se evidencia en la figura 15, pues representa equivocadamente las dimensiones,
evidenciando que es más corta la cuerda de los 25 metros que los lados de la granja
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 99
cuyas dimensiones son 10 metros de ancho y 20 de largo, situación que según
Arquímedes es absurda.
Figura 15. Dificultad en el manejo de escalas
c) El considerar que la cuerda que sujetaba al chivo se encontraba situada en un punto
exterior cualquiera de la granja, mientras que el problema dice: “Un granjero amarra un
chivo en la esquina exterior de un establo de 10 por 20 metros.”, interpretación que
cambia totalmente el problema hasta el punto de que la granja no influiría en el área que
pueda abarcar el chivo, tal como se ilustra en la figura 16.
Figura 16. Dificultad en la interpretación del enunciado y el manejo de las escalas
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 100
d) El Manejo equivocado de la relación entre el círculo y el rectángulo, considerando que el
rectángulo no afecta el recorrido del círculo, por lo tanto consideran que el círculo
completa su trayectoria, situación que es imposible en la realidad debido a que la cuerda
que delimita el círculo llegará hasta donde las paredes de la granja (del rectángulo) lo
permitan, tal como se evidencia en la figura 17. Además se evidencia la falta de
argumentos para determinar si ese círculo cubre todo el rectángulo, análisis que sería
muy importante en el caso de que la situación expuesta fuera verdadera, y que se podría
resolver mediante el teorema de Pitágoras, en la figura 10 se evidencian dos situaciones
en una se considera que el círculo sobrepasa el rectángulo y en la otra no.
Figura 17. Dificultad en la interpretación de la relación del círculo y rectángulo
e) La falta de consideración de los límites o extremos del problema, en el momento de
evaluar hasta dónde puede llegar el chivo. La figura 18 ilustra que el estudiante maneja
bien sus escalas y comprende muy bien la relación entre el círculo y el rectángulo, pero
despreció los límites hasta dónde puede llegar el chivo, porque faltó analizar los
extremos de arriba y de la derecha. En el extremo superior quedan 15 metros de cuerda
que el chivo puede seguir utilizando para formar otro semicírculo y en el extremo de la
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 101
derecha queda otros 5 metros de cuerda que el chivo puede usar para formar otra área
semicircular, 12% de los estudiantes incurrieron en este error.
Figura 18. Dificultad en la delimitación del problema
En el problema 4 se evidenció dificultades de interpretación en el enunciado, lo que provocó
fallas en la representación y en el registro de algunos de los datos suministrados. Cerca del
36,6% de los estudiantes que realizaron la prueba cometieron ese error, ubicaron los datos en
lugares que no corresponden, tal como se evidencia en la figura 12, en este caso el estudiante
equivocadamente plantea los dos metros entre la base de la escalera y el muro, pero realmente
son una parte de la escalera.
Un error muy común y que definitivamente conlleva a desarrollar un problema diferente al
planteado se presentó en aquellos estudiantes que recostaron la escalera sobre la pared, mientras
que el problema dice: “el extremo de la escalera queda 2 metros más allá del muro”, el 45% de
los estudiantes registraron ese error.
También se evidenció mal manejo en las escalas, aunque en este problema no es tan notorio
manejar equivocadamente las escalas, situación notoria en la figura 19.
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 102
Una cifra considerable del 13,3% de los estudiantes se equivocó en el planteamiento del
problema porque consideraron que la gráfica no era importante para la solución del mismo.
Figura 19. Dificultad en la ubicación de los datos, las incógnitas y la comprensión del problema
Para desarrollar el ejercicio 5 se debe establecer una relación entre los conceptos de área y
volumen, inicialmente se hace referencia a un cubo que se transforma en una caja rectangular
como producto de rebanar un lado del cubo. En el análisis del test documental se determinaron
algunas dificultades tales como: El 55% de los estudiantes no diferencia claramente los
conceptos de área y volumen, así como sus relaciones.
En repetidas oportunidades asignan nombres que no corresponden a la unidad de medida o a
la figura geométrica que están analizando, esta situación permite exponer al estudiante a cometer
errores que son principalmente conceptuales. Equivocadamente le llaman cubo a cualquier tipo
de caja rectangular, a un rectángulo lo llaman cuadrado, a una longitud la llaman diámetro, entre
otros. Un estudiante responde textualmente que al cortar la rebanada del cubo de 1 cm de espesor
“quedan cubos pero la rebanada que se corta es de menor ancho”; la situación planteada por el
estudiante es cierta, pero en este caso el estudiante sabe que la figura no es un cubo, aunque lo
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 103
llama cubo. Él sabe que con esas características la figura ya no representa un cubo pero
desconoce el nombre de la nueva figura y lo describe para aclarar que no es un cubo, en este caso
es una caja rectangular. El uso de definiciones equivocadas o inapropiadas provoca que se
interprete de otra forma el problema.
La relación que más conocen los estudiantes es la del volumen de un cubo que equivale al
lado del cubo elevado a la 3 y el área de un cuadrado como uno de sus lados elevado a la 2, pero
desconocen claramente otros tipos de volúmenes, como el de una caja rectangular, que es similar
al volumen de un cubo.
Se encontró que hay dificultades en la interpretación algebraica respecto al concepto de área
y volumen, teniendo en cuenta por ejemplo que: si x es la representación de una longitud,
entonces x2 representa un área cuadrada de lado x, y x
3 representa un volumen de un cubo de
lado x. En la figura 20 se plantean algunos errores cometidos entre la conexión algebraica y de
los conceptos de área y volumen.
Se encontró mayor dificultad, el 70% de los estudiantes tuvieron dificultades para analizar el
ejercicio 5 debido a la comprensión de lectura. En la mayoría de casos no lograron ni la
representación de la situación problema, por otro lado en el ejercicio 6 se plantea la
representación gráfica y se encuentra que varios estudiantes plantearon y resolvieron el ejercicio.
De tal manera que los estudiantes desarrollan con mayor facilidad e interpretación ejercicios que
exponen una situación problema.
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 104
Figura 20. Dificultad en la relación algebraica y los conceptos de longitud, área y volumen
En la figura 21 el estudiante en la parte superior derecha establece que x es el área de 340
dm2 y luego en la gráfica establece equivocadamente para las áreas de los otros cuadrados como
x2, x
4, x
6, manifestando una dificultad para establecer una relación entre las relaciones
algebraicas y los conceptos de longitud, área y volumen, en este caso por ejemplo el término x2
representa una relación en unidades de dm4 lo que no representa ni una medida de longitud, ni de
área, ni de volumen, así con los términos x4 y x
6.
Figura 21. Dificultad en la relación algebraica y los conceptos de longitud, área y volumen
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 105
En la figura 21 ilustra un estudiante que tiene la dificultad para establecer relaciones
algebraicas con los conceptos de unidades de medida, en esta oportunidad desea plantear una
relación de áreas pero termina planteando una suma de longitudes de los cuadrados con un área,
esa igualdad es falsa, porque la letra x representa una unidad de longitud y 170 equivale a un
área.
Por todas esas razones expuestas desde los docentes, estudiantes y desde el análisis del test
documental, es pertinente aplicar proyectos de aula que incluyan fortalecimientos de la
comunicación entre los actores de manera individual y grupal, así como fomentar el trabajo en
equipo y crear situaciones que sean parte del contexto del estudiante en las UTS, hasta propiciar
la creación de sus propios problemas, así como el uso de herramientas de trabajo y espacios
diferentes a los tradicionales. A continuación se exponen algunas de las razones por las que se
debe realizar el proyecto de aula.
3.3.4 Conclusiones e inferencias del diagnóstico.
Todos los estudiantes reconocen la importancia de las matemáticas en sus carreras y en
la vida diaria, aunque muchos no tienen claro por qué es importante y de igual forma no
la han usado en sus vidas o en sus carreras de pregrado, en la mayoría de casos la
emplean en situaciones de comercio y estadística. Algunos estudiantes consideran que
son importantes pero no necesarias en sus carreras.
Desde el punto de vista de los estudiantes, para lograr un mejor rendimiento académico
se encuentra la motivación individual y la motivación ejercida por el profesor por
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 106
encima de los presaberes y de los conocimientos adquiridos durante el curso, del
compromiso y la responsabilidad del mismo. Es por eso que se necesitan realizar
estrategias didácticas que permitan fortalecer la comunicación e involucrar más al
estudiante en la adquisición del conocimiento.
Se concluyó en que gran parte de los estudiantes nunca han evidenciado en el transcurso
de la asignatura Precálculo, algunas de las componentes que sugiere los Estándares y
Principios de la educación Matemática (2001), principalmente en el trabajo en espacios
diferentes al aula, desarrollos del problemas en el contexto de las UTS y el uso de
herramientas didácticas que sirven como apoyo a la temática.
Se determinó que los docentes de Precálculo de las UTS poseen gran experiencia como
docentes de educación media y superior; que han realizado cursos de capacitación con el
objetivo de lograr mejores prácticas docentes. Consideran que deben ser capacitados en
didácticas y en las TIC. La mayoría desconoce los trabajos de autores en didáctica y
estrategias pedagógicas principalmente en el planteamiento y resolución de problemas.
Se considera que la estrategia didáctica es viable porque los estudiantes expresan que
necesitan motivación por parte del profesor en su rol de docente y que se requiere del
uso de otros recursos y medios diferentes a la clase magistral. También los docentes
posiblemente desconocen la percepción que tiene el estudiante y por lo tanto consideran
que solo dependen de sus presaberes, conocimientos y de su responsabilidad.
Si los problemas planteados en el test se realizan como un trabajo de campo, donde usen
la escalera y el muro, o una cuerda y un terreno rectangular e instrumentos de medición
como una cinta métrica u otras herramientas, posiblemente no se evidenciarían todos los
hallazgos encontrados en esta investigación. En algunos casos el trabajo cooperativo
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 107
permitiría que algunos de los integrantes manifestaran estos hallazgos durante el
planteamiento, antes de llegar a la solución y el resto de sus integrantes del grupo
inmediatamente los analizaría para determinar su veracidad. Luego el estudiante
adquiere mayores capacidades para enfrentarse ante diferentes situaciones problemas de
longitud, área y volumen.
Ante el planteamiento de problemas ajustados a esta estrategia didáctica el MEN recomienda
que
“es importante abordar problemas abiertos donde sea posible encontrar múltiples soluciones
o ninguna. También es muy productivo experimentar con problemas a los cuales les sobre o
les falte información, con enunciados narrativos o incompletos, para los que los estudiantes
mismos tengan que formular las preguntas. El estudio y análisis de situaciones problema
suficientemente complejas y atractivas en las que los estudiantes mismos inventen, formulen
y resuelvan problemas matemáticos, es clave para el desarrollo del pensamiento matemático
en sus diversas formas”.
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 108
4. Estrategia didáctica
4.1. Objetivos
4.1.1 Objetivo general.
Fortalecer el desarrollo de los procesos de planteamiento y resolución de problemas de
longitud, área y volumen, a base de la comunicación, del trabajo cooperativo y con el apoyo de
una herramienta didáctica.
4.1.2 Objetivos específicos.
Implementar un equipo electrónico innovador como soporte didáctico en los procesos
cognoscitivos de la matemática.
Estimular el trabajo fuera del aula a través de un instrumento digital como una
herramienta didáctica para el fortalecimiento del trabajo cooperativo, de la comunicación
y en el planteamiento de problemas en unidades de medida.
Inducir al planteamiento de situaciones problemas en unidades de longitud, área y
volumen basadas en el contexto del estudiante y en la creación de problemas propios.
Incentivar el uso de los cuatro pasos y de las preguntas orientadoras para fortalecer los
procesos para plantear y desarrollar problemas en unidades de longitud, área y volumen.
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 109
4.2 Indicadores
Seleccionar las condiciones apropiadas para crear un problema sobre longitud, área, o
volumen.
Construye el problema matemático basado en el trabajo cooperativo, la comunicación y
las representaciones matemáticas.
Formula y resuelve el problema evidenciando los cuatro pasos propuestos y las preguntas
orientadoras de Polya para el planteamiento y resolución de problemas.
4.3Fundamentación para el docente
Nos proponemos exponer las recomendaciones principales que deben tener en cuenta los
docentes que desean implementar esta estrategia didáctica usando el instrumento digital en el
planteamiento de problemas en longitud, área y volumen; en primera instancia se recomienda
que el docente consulte primero sobre los bloqueos y desbloqueos establecidos por De Guzmán
(1992); segundo sobre autores en planteamiento y resolución de problemas como son Polya
(1965) y sus cuatro etapas para el planteamiento de problemas matemáticos, complementándolo
con el método IDEAL de Brainford. Es importante el apoyo que brinda Schoenfeld (1985) con
sus ideas de cognición, metacognición, recursos y el sistema de creencias que poseen los
estudiantes y los mismos docentes. Finalmente considerar el trabajo de Santos Trillos quien
plantea estrategias heurísticas en la construcción de situaciones problema. En último lugar es
importante recalcar el ambiente de aprendizaje constructivista de Hernández y el trabajo
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 110
cooperativo de Johnson y Johnson; sin dejar de lado los lineamientos en educación matemática
que da el MEN sobre los procesos de comunicación y planteamiento de problemas.
Se recomienda analizar este trabajo de investigación porque acá encontrará indicaciones,
características y recomendaciones en la construcción e implementación de la herramienta digital;
debemos hacer notar que se incluye de manera alternativa una versión casera de la herramienta
didáctica.
4.4 Recomendaciones metodológicas
Esta estrategia didáctica se encuentra diseñada para cubrir los temas: Longitud, área,
volumen, razones trigonométricas, teorema de Pitágoras, ley de senos y de cosenos, temáticas de
la asignatura de Precálculo que se imparte en las UTS, para los que son necesarios medidas
longitudinales y angulares, como herramienta didáctica en esta investigación se diseñó un
instrumento digital que sirve como apoyo al proceso del planteamiento en problemas. El
instrumento del cual surgió la idea es el teodolito, aunque es un instrumento con varias
modificaciones además de que será usado con otros fines, con fines pedagógicos.
4.4.1 Instrumento digital
Es un instrumento electrónico cuya finalidad es registrar medidas angulares y de longitud;
es diseñado y construido por los ingenieros electrónicos autores de este proyecto de
investigación. Este dispositivo sirve para realizar la función de un goniómetro adicionándole la
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 111
de una cinta métrica. Además optimiza el tiempo de la práctica pedagógica porque se reduce el
tiempo necesario para medir los datos; y en consecuencia se dispone de más tiempo para realizar
otras actividades como formular más preguntas o tal vez para enfatizar en la parte conceptual.
El instrumento digital a través de unos sensores puede registrar las medidas angulares y
longitudinales apoyados con una mira telescópica y con un láser que sirve para indicar
posiciones de referencia, tal como se detalla en la figura 22 estas condiciones son necesarias para
dar solución a las situaciones problema que se plantean. Finalmente la información registrada es
visualizada en la caja de información de datos que se ilustra en la figura 23, en la que visualizará
al usuario o estudiante el ángulo registrado entre el plano horizontal o suelo y la línea que
proyecta con la mira telescópica y el láser indicador, además registra la distancia horizontal; se
incluye a manera de corroboración y retroalimentación la distancia vertical y la hipotenusa.
Figura 22. Instrumento digital
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 112
De otra parte, se logra el interés y la admiración de la comunidad académica hacia el
instrumento electrónico por su uso y su alcance. Así, se abre una puerta sobre las aplicaciones de
la ingeniería electrónica hacia la pedagogía y la didáctica, que puede ser tan significativa como
las TIC y los simuladores. Sin afectar el espacio ganado de las TIC en la educación,
funcionarían como diferentes ramas y no se afectarían entre sí; por el contrario, enriquecerían la
educación generando otras alternativas pedagógicas.
Figura 23. Caja de información de datos
4.4.2 Alcances y limitaciones de la estrategia didáctica
Los materiales y recursos que serán usados para completar el objetivo de la didáctica son: un
instrumento digital o en dado caso un teodolito casero y una cinta métrica. En el peor de los
casos se puede construir uno con un transportador, hilo y un pitillo.
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 113
El fin del instrumento didáctico es pedagógico de esta manera los datos que se registren con
el instrumento poseen cierto porcentaje de error que es considerable para otro tipo de práctica no
pedagógica. También se resalta bajo el mismo criterio que el instrumento no cubre grandes
distancias, cubre un valor cercano a los 80 metros de longitud.
Esta estrategia didáctica debe realizarse al aire libre, con objetos cuyas distancias se puedan
registrar o medir; además se debe tener en cuenta que el espacio debe ser lo suficientemente
amplio para que los equipos no trabajen en los mismos puntos de tal manera que no se afecten
entre sí.
Otro factor importante son las condiciones climáticas, la actividad debe realizarse sin lluvia
o sin fuertes vientos que puedan afectar los resultados de la estrategia didáctica, así como la
salud de los participantes y por otro lado al instrumento digital, ya que no es a prueba de agua.
Es importante, aunque no obligatorio que destine un instrumento digital por cada 3
estudiantes debido a las funciones del equipo colaborativo que se propone. Es importante
observar si el grupo de trabajo tiene en cuenta la altura del equipo de medición en sus resultados,
porque despreciarla incluye un error de 160 cm en los cálculos.
Su éxito es directamente proporcional a la continuidad de uso y a la relación que se pueda
hacer respecto a otras asignaturas y/o temas. Las unidades de medida como la longitud,
perímetro, área y volumen son conceptos cuyos aprendizajes no se pueden reducir en una sola
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 114
materia del semestre; al tratar nuevos contenidos, será necesario retomarlos. Inclusive en otras
materias.
4.4.3 Guía didáctica
A continuación se exponen los pasos e indicaciones alternativas para desarrollar la
estrategia didáctica, tenga en cuenta que es una estrategia que el docente puede ajustar o
modificar según su criterio o necesidad. En los primeros diez minutos de la sesión, el profesor da
a conocer el propósito y los objetivos de la clase, presenta el instrumento digital y da
indicaciones sobre su funcionamiento y operatividad incluyendo algunas restricciones y
precauciones en su uso.
En los siguientes diez minutos se forman grupos de tres estudiantes, cada equipo debe tener
su propio instrumento digital. En caso de no disponer de suficientes instrumentos digitales, los
distintos grupos deberán organizarse teniendo en cuenta los equipos que estén disponibles.
Se entrega la guía metodológica que detalla la parte procedimental y conceptual que lo
guiará inicialmente en la construcción de uno o más problemas planteados por el docente y
posteriormente el equipo de estudiantes construye al menos un problema inventado en su propio
contexto.
Entre los tres integrantes del equipo se asignan los roles para el desarrollo de la estrategia
didáctica; un operario, un notario y un portavoz. El operario del grupo debe responder por el
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 115
instrumento electrónico y se encarga de manejar el instrumento digital para obtener las medidas
angulares y de longitud. El notario se encarga de seguir las instrucciones de la guía
metodológica; además debe dar a conocer los pasos a realizar y posteriormente del desarrollo de
la guía con la ayuda del equipo de estudiantes. El portavoz es el encargado de realizar un puente
comunicación entre los tres integrantes y corroborar la información que presentan sus dos
compañeros. Es importante recalcar que el trabajo de cada integrante no debe limitarse solo a su
función específica, sino, que todo el tiempo debe mantener una postura activa, reflexiva y
analítica, teniendo en cuenta que los resultados obtenidos sean lo más lógico posible y acordes a
la realidad.
Los estudiantes se fijarán en el lugar de realización de las prácticas y buscarán puntos
inaccesibles. Se realizarán al menos 3 situaciones problema. La sesión estará centrada en el
cálculo de distancias, áreas y volúmenes y en algunos casos inaccesibles por medición directa.
La situación problema se desarrolla por medio de registros de ángulos y longitudes y en algunos
casos se aplica la resolución de triángulos rectángulos a través del método de “doble medición”.
Varias de las preguntas orientadoras planteadas en la estrategia didáctica, no cobran mayor
sentido en este contexto, parecen innecesarias, pero se encuentra diseñada como un esquema
prototipo ante cualquier problema, de tal manera, que en otros problemas si aplican y lleva al
estudiante a tomar otro tipo de postura de reflexión y análisis ante las diferentes situaciones,
inclusive en algunas que no pertenecen al campo de las matemáticas. La plantilla guía de trabajo
para desarrollar problemas de manera autónoma basada en las preguntas orientadoras de Polya
(1965) se encuentran en el anexo 6.
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 116
La estrategia didáctica se plantea para el curso de Precálculo que se imparte en las UTS, en
primera instancia abarca un corte del semestre que se puede realizar como una actividad o se
puede dividir en varias actividades dependiendo del criterio del docente. En este proyecto se va a
presentar como un ejemplo problema que se puede aplicar por tema; los temas propuestos para la
estrategia didáctica son: Teorema de Pitágoras, Razones Trigonométricas, Ley de senos, Ley de
cosenos, aplicaciones de Longitud, Área y el Volumen que se pueden extender en otros cursos
como aplicaciones de las funciones.
El primer problema es sencillo para un experto en el área, pero debemos tener en cuenta que,
apenas se está iniciando con este tipo de metodología y no solo es adaptarse a la temática sino al
mecanismo de la metodología. Para desarrollar este problema es pertinente un espacio alrededor
de 30 minutos.
Una vez que los estudiantes realizan la lectura del problema, se les ayuda a comprenderlo
mejor. En primer lugar, se busca que el grupo de estudiantes lo describan mediante sus palabras,
en otros problemas planteados esta etapa será muy útil para reducir su complejidad, esta etapa es
importantísima porque si el estudiante no comprende el problema no podrá solucionarlo.
En segundo lugar, el equipo de trabajo debe clasificar la información del problema según los
“datos” que este ofrece y resaltar lo que se pregunta, “la incógnita”. Con esta información se
puede asumir que se comprende el problema. En algunos casos, en esta etapa muchos
estudiantes entregan la hoja en blanco porque no la pueden superar. También se indaga sobre las
posibles variables que posee el problema, invitando al grupo a recordar que es una variable y a
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 117
diferenciarlo con los datos. El docente puede intervenir en esta etapa. En este enunciado no hay
ninguna variable, pero se indaga para tenerlo en cuenta en la solución de otras situaciones
problema.
Temática 1: Razones Trigonométricas
Se puede aplicar en situaciones problema que describan un triángulo rectángulo; a través del
instrumento digital podemos registrar longitudes o ángulos para determinar mediante la parte
cognitiva un ángulo o una longitud dado el caso.
Ejemplo 1: Calcular la altura del edificio B.
Los integrantes del equipo deben escoger un árbol (o un edificio pequeño). El operario debe
ubicarse en el punto cualquiera frente al edificio; ahora usando el instrumento digital debe medir
la longitud de la distancia horizontal entre el instrumento y la base del edificio p árbol; luego,
debe medir el ángulo de elevación que se registra entre la horizontal y la cima del edificio. Las
medidas que se registran en la gráfica de color blanco son las registradas por el instrumento
digital y a partir de ahí se calcula la altura del edificio indicada con la línea de color rojo.
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 118
Figura 24. Problema de ejemplo 1
Esta no es la única manera de calcular la altura usando identidades trigonométricas, también
podemos registrar el ángulo y la distancia entre el instrumento digital y la cima del edificio con
el instrumento digital. Para desarrollar el problema se plantean una serie de preguntas
orientadoras según la teoría de Polya (1965) que se han ajustado a este problema y que le
permitirá al grupo realizar un proceso de reflexión y análisis de manera individual y grupal. Estas
preguntas orientadoras sirven para la estrategia didáctica en general. La plantilla completa de
trabajo basado en las preguntas orientadoras para el problema del ejemplo 1 se encuentra en el
anexo 5.
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 119
Los integrantes del equipo deben escoger un árbol (o un edificio pequeño) en el lugar
donde se piensa realizar la práctica para así calcular su altura. El operario debe ubicarse en
el punto alejado del edificio entre 20 o 30 metros del edificio y tomar los registros de
ángulos o longitudes que considere necesarios para calcular la altura
Describa con sus palabras la situación problema que debe desarrollar:
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
Pregunta Solución
¿Cuáles son los datos del problema?
¿Cuáles son las variables del problema?
¿Cuáles son las incógnitas del problema?
Luego solicitamos que el estudiante plantee la situación problema y antes que nada debe
establecer la incógnita sin realizar ningún procedimiento en concreto; puede realizarlo por
tanteo, aproximación, silogismos o algo de lógica; esto le da solidez y credibilidad al proceso
que realiza el grupo. Preferiblemente se registran los resultados en la rejilla de manera
individual.
Mediante una aproximación y sin realizar ningún
cálculo ¿Cuál considera que es la altura del edificio?
Ahora bien, el grupo debe realizar una representación gráfica que contiene todos los datos e
incógnitas, y en otros casos debe ubicar variables. El grupo debe mantener una postura lógica y
reflexiva tanto en la construcción de la gráfica como en las preguntas siguientes que solicitan
asociar y contrastar la información con el fin de establecer, si la información proporcionada en el
problema es suficiente y coherente. Si algún integrante nota alguna anomalía debe manifestarlo
al equipo, lo que permitirá demostrar la veracidad o falsedad de lo expuesto por el estudiante, si
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 120
persisten las dudas se solicita el apoyo del docente. La serie de preguntas establecidas en esta
sección no cobran tanta importancia como lo hacen en otro tipo de problemas.
Se le sugiere al estudiante manejar la proporción en el dibujo realizado, porque en algunos
casos la desproporción en el dibujo permite lograr confusiones y en otros casos realizar
observaciones equivocadas que llevan al estudiante a no plantear correctamente el problema
(Arbeláez, 2002).
Realice un dibujo que represente el problema
planteado, luego registre los datos, incógnitas y
variables. Tenga en cuenta que es ideal mantener las
proporciones en el dibujo y que no es obligatorio
sujetarse a una escala rigurosa.
Posteriormente en la etapa de diseño de un plan para darle solución al problema y cumplir
con este objetivo, se invita al grupo a reflexionar sobre la información impartida en el problema.
Posiblemente cada uno realiza un esquema mental de solución y luego con la información que le
brinda la situación irán realizando un análisis donde van encontrando las siguientes opciones
que la información le brinda; el problema es suficiente para desarrollarlo, insuficiente para
desarrollarlo, falta información pero se pueden encontrar a través de algunos conceptos, es
absurda o incoherente, tiene múltiples soluciones. Posteriormente el equipo debatirá sus ideas y
seguramente expondrán su alternativa de solución llegando a similitudes y contrariedades que los
invita a dar justificaciones. Inmediatamente se pregunta si se ha resuelto un ejercicio similar o
igual que permita realizar la situación problema de manera más sencilla o que les pueda brindar
alternativas de solución y asociaciones entre conceptos.
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 121
¿Las condiciones y datos son suficiente para
determinar la incógnita? ¿La información que
tenemos es suficiente? ¿Es redundante? ¿Es
contradictoria?
¿Alguna vez se ha encontrado con un problema
semejante? Describa cual.
En la siguiente etapa tenemos la ejecución del plan para realizar el objetivo. En este caso es
encontrar la incógnita; realizamos los cálculos estimados, y una vez encontramos la altura del
edificio, la comparamos con el valor que habíamos estimado. El objetivo de esta situación es
permitir que el grupo reflexione sobre su resultado y lo constate y lo contraste con la realidad.
Esto le permite realizar un mejor vínculo con los conceptos. Finalmente en caso de obtener un
resultado similar a la altura del edificio aproximada, encuentran una satisfacción personal y
grupal.
En caso de obtener una gran diferencia en su resultado, revisan el procedimiento hasta
encontrar el fallo que puede ser en el valor calculado o en el aproximado. Al final invita a
encontrar otras alternativas de solución, lo que permite analizar desde otro punto de vista y bajo
otros conceptos la solución; como puede ser plantear el teorema de Pitágoras y usar el
instrumento digital para determinar registrar medidas de longitud.
Calcule el valor de la altura del edificio.
Compare el valor aproximado de la altura del edificio
con el valor que se determinó para la altura ¿Qué
conclusión se obtiene a partir de los dos resultados?
¿Puede usted verificar el resultado? ¿Puede obtener el
resultado en forma diferente?
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 122
Se puede retomar el primer ejemplo; pero bajo la suposición de que se avería el
instrumento digital, de tal manera que el estudiante no puede obtener medidas longitudinales y
no cuenta con cintra métrica. Para dar solución en este caso; deben elegir unidades medida como:
pasos, una varilla, un palo, palmas de la mano. Finalmente deben comprender que la unidad no
es tan importante, debido a que luego se puede realizar conversiones para pasar a la unidad de
medida requerida, pese a que no importa, algunas se ajustan de mejor forma dependiendo de la
situación problema.
Suponiendo que el instrumento sufre un daño, de tal
manera que solo puede registrar ángulos ¿Qué harías
para determinar la altura del edificio? Calcule la altura
del edificio
Dada la nueva altura del edificio, encuentre su valor
equivalente en metros y compárelo con las otras
alturas obtenidas
Ejemplo 2: Calcular la altura del edificio B, ubicando el instrumento digital en el cuarto
piso del edificio A (edificio paralelo al edificio B).
Es un ejercicio similar al primer ejemplo pero es más complejo para el estudiante, requiere
exponer sus habilidades cognoscitivas en un proceso de reflexión. Además le permitirá
corroborar sus resultados anteriores.
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 123
Figura 25. Problema de ejemplo 2
Ejemplo 3: Encontrar la cometa que vuela más alto en un festival de cometas.
Es un ejercicio similar al primer ejemplo, pero con una estrategia totalmente diferente, más
dinámica y se requiere mayor precisión, es mucho más complicado obtener resultados acertados.
Además se puede aclarar que la cometa que se le ha soltado más cuerda no necesariamente es la
que vuela más alto.
Temática 2: Teorema de Pitágoras
El objetivo es desarrollar situaciones problema descritas por triángulos rectángulos en los
que con el instrumento digital toma dos longitudes y requiere calcular la otra longitud del
triángulo.
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 124
Se puede retomar el primer ejemplo; pero bajo la suposición que se avería el instrumento
digital, de tal manera que el estudiante no puede obtener medidas angulares.
Suponiendo que el instrumento sufre un daño ¿Qué
harías para determinar la altura del edificio? Calcule
la altura del edificio
Temática 3: Área
Se pueden afrontar situaciones problema que describen áreas principalmente de figuras
regulares como rectángulos, cuadrados, círculos, triángulos; el instrumento digital ayuda a tomar
los registros de sus longitudes.
Ejemplo 4: Los integrantes del equipo deben escoger la pared de un edificio cualquiera, se
desea pintarla de color azul. Sabiendo que cada galón de pintura alcanza para pintar 27 pies2 de
pared ¿cuántos galones de pintura deben comprarse para pintar toda la pared?
Para resolver el problema es necesario usar primero el concepto de área de un rectángulo
dependiendo de la forma de la pared que van a pintar y luego se usa una regla de tres
relacionando la cantidad de metros cuadrados pintados con un galón de pintura. La figura 26
relaciona gráficamente la situación planteada, el marco de color rojo representa la posible área
que deseamos determinar para encontrar el número de galones de pintura que son necesarios para
pintarla; las indicaciones de color blanco son los registros que se pueden tomar con el
instrumento electrónico y que son necesarios para plantear dar solución al problema.
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 125
Figura 26. Problema de ejemplo 4
Ejemplo 5: El conjunto residencial llamado plaza mayor o el también conocido como la
ciudadela constituye de un área urbana diferente a la tradicional, contiene una región urbana
circular y cuyo centro es un espacio público. Encuentre:
a) El área que cubre la zona urbana del conjunto plaza mayor.
b) El área que cubre el espacio público en el conjunto de plaza mayor.
c) Encuentre el área total del conjunto de plaza mayor.
d) Si el diseño urbano aplicado es viable en las condiciones que se establecen en el siglo
XXI, o existe un modelo más óptimo, describir ventajas y desventajas de un conjunto
residencial en forma de círculo.
El grupo de estudiantes se ubicará en el centro de plaza mayor y con el instrumento digital
registrarán un radio mayor y un radio menor, con el concepto de área de un círculo puede
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 126
determinar cada una de las regiones. El área urbana resulta de la diferencia de área entre el
círculo grande y el pequeño.
Respecto a la distribución de la zona urbana, resulta menos viable debido al efecto de curva
que impone el conjunto. Es más difícil establecer lugares comerciales en la plaza; todas las vías
que llegan a esa zona deben ser mediante curvas, perdiendo el sentido de calles y carreras; la
zona urbana también se hace curva, es más difícil orientase en puntos de entrada y salida del
conjunto. Siguiendo las pautas de este siglo en el cuál tenemos una población en aumento y que
exige alternativas de buena movilidad principalmente vehicular se puede concluir que no resulta
viable un diseño arquitectónico de este estilo.
Figura 27. Problema de ejemplo 5
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 127
Ejemplo 6: responda las siguientes preguntas sobre el patinodromo adjunto a las UTS.
a) ¿Cuál es el área del escenario deportivo?
b) ¿Cuál es el área de la pista de patinaje?
c) ¿Cuál es la proporción entre la zona de línea recta y la de zona curva?
d) Encuentre el peralte de la zona curva de la pista de patinaje
e) Cumple con las dimensiones que posee una pista profesional
f) en ese espacio podría ajustar la pista para convertirla en una pista de patinaje profesional
g) Las UTS tiene espacio suficiente para construir un patinodromo de estas dimensiones.
Figura 28. Problema de ejemplo 6
En este problema se relacionan conceptos de área de varias secciones, al igual que
longitudes o inclinaciones de los peraltes, comparación entre áreas, resulta un problema muy
completo para el estudiante.
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 128
Temática 4: Volumen
Son varias las aplicaciones a nivel industrial que pueden plantearse cobijados en esta
estrategia didáctica, pasando por tanques, almacenadores, contenedores, hornos y de los cuáles es
importante estudiar su presión, temperatura y para este caso su volumen.
Ejemplo 7: Obtener el volumen del tanque en forma de cilindro.
Figura 29. Problema de ejemplo 7
Usando el instrumento digital puede encontrar el radio y su longitud, para luego calcular el
volumen. También puede ubicarse otros tipos de tanques.
Temática 5: Ley de senos.
Es posible plantear situaciones que incluyen triángulos, en esta temática cuando se pueden
registrar dos ángulos y una longitud para determinar otra de las longitudes del triángulo o para
determinar un ángulo si se dispone de otro ángulo del triángulo y dos de sus lados.
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 129
Ejemplo 8: Calcular la longitud entre las bases de las palmeras, ubicando el instrumento
digital en un segundo piso del edificio B.
Figura 30. Problema de ejemplo 8
El grupo de estudiantes se pueden ubicar desde un piso superior y calcular la longitud
horizontal representada de color rojo, para cumplir ese fin el estudiante deben tomar los registros
señalados de color blanco y plantear la ley de senos para cumplir el objetivo principal o construir
dos triángulos rectángulos lo que lo hace un poco más complejo.
Se puede aplicar como otro problema comprobar su distancia, desplazando el instrumento a
otro piso superior y de ese punto realizar las mediciones con el instrumento digital, y si se desea
esta vez aplicando Ley de cosenos.
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 130
Temática 6: Ley de cosenos
Es posible plantear situaciones que incluyen triángulos, en esta temática cuando se pueden
registrar tres lados del triángulo y se desea conocer uno de sus ángulos o si se conocen dos lados
y un ángulo del triángulo y se posee como incógnita el otro lado del triángulo.
Ejemplo 9: Calcular la altura del domo que sobresale en el edificio A.
Figura 31. Problema de ejemplo 9
Es un ejercicio un poco complejo pero se puede abordar desde varios caminos heurísticas, en
este caso se solicita que implemente la ley de cosenos registrando con el instrumento digital dos
lados y un ángulo para calcular la distancia en altura que posee el domo.
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 131
Para finalizar la práctica pedagógica, el equipo de estudiantes usa la plantilla de
planteamiento de problemas; con la responsabilidad de inventar o construir su propio problema
según su interés, curiosidad, imaginación o necesidad. La finalidad es que el equipo de
estudiantes puedan realizar la menor cantidad de ejercicios planteados según esta guía, son más
importante los problemas que los estudiantes puedan plantear por sus propios medios, en dado
caso si por ejemplo el equipo de estudiantes no avanza rápido y solo realizaron ejercicios
propuestos por esta guía o por el docente es importante generar un espacio extra para que ellos
puedan plantear sus propios problemas.
4.5 Actividades de la estrategia didáctica
4.5.1 Diagnóstico.
Para implementar la estrategia didáctica usando con el instrumento digital es necesario
realizar una prueba diagnóstica, ver anexo 4 para ver los aspectos cognitivos y cognoscitivos en
algunos presaberes y de esta manera caracterizar al grupo de estudiantes. Los temas a evaluar son
los conceptos de ángulos longitud, área y volumen; otros aspectos de matemática básica y
despeje de ecuaciones lineales y cuadráticas. Además cada vez que se desarrolla la estrategia
didáctica se debe indagar al colectivo docente de la asignatura de Precálculo en las UTS con el
fin de ajustar la práctica a las características del estudiante y del profesor, al menos una vez por
semestre. De igual manera se puede indagar a profesores que ya han tenido clase con ese grupo
de estudiantes con el fin de caracterizar sus métodos de trabajo; los docentes también pueden dar
pautas y recomendaciones en la prueba de presaberes, para así reconocer las fortalezas y
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 132
debilidades de los estudiantes en el proceso de formulación, planteamiento y resolución de
problemas.
4.5.2 Guía de trabajo “cómo resolver problemas en longitud, área y volumen a partir del
instrumento digital”
Con el fin de favorecer el proceso de formulación, planteamiento y resolución de problemas,
los estudiantes trabajarán una guía, ver el anexo 6, en la cual encontrarán la estrategia del
investigador, esta se basa en los cuatro pasos de Schoenfeld (1985), complementada con una lista
de preguntas orientadoras de Polya ( 1965), para cada uno de los pasos, con la intención de
orientar en cada uno de ellos, la reflexión, la comprensión y asimilación de la estrategia, para que
pueda visualizar de forma clara y rica en alternativas y heurísticas que mejoren la probabilidad
de resolver exitosamente un problema, además de fortalecer el trabajo cooperativo, la
comunicación, la representación matemática, con el fin de que los estudiantes construyan
problemas que surgen de su entorno.
4.6 Evaluación
Durante el desarrollo de la estrategia didáctica el docente evaluará a través de una rúbrica de
evaluación de la estrategia didáctica, que se evidencia en el anexo 7, el funcionamiento del
trabajo cooperativo, analizando la parte conceptual expresada en la comunicación y la
participación en la salida de campo, incluyendo el uso adecuado de la herramienta pedagógica,
ajustándola para encontrar los datos necesarios para resolver la situación problema; debido a que
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 133
en muchas oportunidades se pueden obtener datos o información que resulta innecesaria para
resolver el problema.
En una sesión de clase posterior, el portavoz de cada equipo de trabajo deberá exponer la
situación problema al resto de sus compañeros sobre el planteamiento que realizó con su equipo
de trabajo, el portavoz es el encargado de defender ese trabajo. También se pueden exponer
situaciones problema que no fueron resueltos por el equipo, con el fin de encontrar errores en el
planteamiento, o sustentar si no es posible determinar su solución o verificar si falta de
información, entre otros. Se evaluará al estudiante teniendo en cuenta la actitud positiva hacia el
trabajo cooperativo, el desarrollo de la guía metodológica, la presentación del problema.
Finalmente se evaluará de manera individual a través de una prueba de evaluación de los
resultados de la estrategia pedagógica, respecto al planteamiento y resolución de problemas; la
prueba se evidencia en el anexo 8. Así mismo sobre la efectividad de las preguntas orientadoras
de Polya (1965)en el grupo y el desarrollo de las etapas para solucionar problemas de Schoenfeld
(1985) y si fue posible realizar los denominados desbloqueos propuestos por de Guzmán.
4.7 Retroalimentación
El docente debe usar los resultados de la evaluación y el banco de ejercicios que se va
construyendo para generar alternativas que le puedan llevar a mejorar cada una de las etapas de
la estrategia que busca fortalecer el proceso de formulación, tratamiento y resolución de
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 134
problemas en longitud, área y volumen, generando hábitos y el uso de los cuatro pasos que se
deben seguir para resolver un problema.
4.8 Validación de la estrategia didáctica
La validación de la estrategia didáctica se realizó mediante una encuesta que se evidencia
en el anexo 9, que se implementó a 3 docentes del núcleo básico de la asignatura de Precálculo,
el grupo está conformado licenciados en matemáticas con posgrado de maestría, conformado
por: Jaiver Rodríguez; Nicolás Cáceres Moreno y Carlos Castro Tirado.
Es importante aclarar que las sugerencias y modificaciones que se establecieron a través de
la rúbrica de validación ya se implementaron en este trabajo de investigación; ahora debemos
señalar que la estrategia se validó como una alternativa coherente y pertinente para
implementarla en las aulas de clase no solo de las UTS, incluyendo la educación media y la
superior, por otro lado puede fortalecer los procesos en otras asignaturas.
Concluyen que si se puede fortalecer y favorecer los procesos de comunicación, el trabajo
cooperativo, el trabajo de campo fuera del aula, resaltando la creación de problemas en su
contexto de manera autónoma y la inclusión de un instrumento digital como herramienta
didáctica.
Pero también dejaron claro que el trabajo del docente no debe ser pasivo, al contrario el
docente debe estar indagando y verificando el trabajo del equipo, apoyándose en las preguntas
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 135
orientadoras y en su experiencia, aseguran que de esta manera se tiene una experiencia rica
cognitivamente y significativa.
Sugirieron como primero ampliar el banco de preguntas orientadoras en el desarrollo de la
guía de la estrategia didáctica, con algunas preguntas específicas que sugirieron; como segundo
solicitaron crear un banco de ejercicios con aquellos ejercicios que plantean los estudiantes para
guardarlos como una experiencia enriquecedora y con la idea mostrar la creatividad y de sugerir
otros ejercicios tanto a docentes como a estudiantes; tercero se solicitó que se realizara una
investigación de aplicaciones dadas a otras asignaturas o carreras profesionales con el fin de
lograr un banco más complejo y de mayor utilidad; en este abarca situaciones como por ejemplo
calcular el área de un bosque con el fin de determinar la proporción de vegetación que lo cubre,
este es un índice muy importante en la ecología.
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 136
5. Conclusiones y Recomendaciones.
La estrategia didáctica contribuye a la potencialización del proceso enseñanza
aprendizaje en el planteamiento de problemas de longitud, área y volumen.
El instrumento digital puede ser una herramienta pedagógica muy valiosa en el
desarrollo de capacidades para resolver problemas en longitud, área y volumen.
Fortalecimiento de los Estándares y Principios de la educación Matemática,
principalmente en el trabajo en espacios diferentes al aula, desarrollo de sus propios
problemas en el contexto de las UTS y el uso de herramientas didácticas que sirven
como apoyo a la temática.
No se aplican continuamente en el aula las componentes de trabajo en equipo con
asignación de roles, al fortalecimiento de la comunicación de forma individual y grupal,
a la creación de sus propios problemas en el contexto de las UTS en espacios diferentes
al aula, además de romper con el esquema tradicional que tiene el estudiante sobre la
importancia de las matemáticas y de su aplicación. Esto implica que sea necesario
implementar más estrategias en el aula de clase para fortalecer estas componentes, tal
como lo sugiere este trabajo de investigación.
Las dificultades establecidas en: a) la representación matemática de situaciones b) en la
comprensión de lectura de problemas matemáticos que hacen que se planteen otro tipo
de situaciones c) en establecer los conceptos y relaciones de las unidades de longitud,
área y volumen d) en buen manejo de escalas en la representación gráfica e) en el
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 137
reconocimiento y ubicación de datos, incógnitas en el dibujo. Estas dificultades permiten
establecer que es viable proponer una estrategia didáctica usando una herramienta que
permita reducir estas falencias observadas en el test de ejercicios
El instrumento digital debe implementarse continuamente en el ciclo básico del área de
matemáticas en los programas de carrera de las UTS.
La mayoría de docentes deberían implementar la herramienta didáctica en sus aulas de
clase principalmente en los temas de la estrategia didáctica.
Incentivar en el aula el uso de instrumentos didácticos digitales, son menos conocidos y
pueden ser complementarios a las TIC.
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 138
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Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 141
Anexos
Anexo A. Encuesta a los docentes
La presente encuesta busca conocer su opinión como docente en algunos ítems del proceso de
enseñanza aprendizaje de la asignatura Precálculo que se orienta en las Uts relacionados al
planteamiento de problemas, a las aplicaciones de la ingeniería y de la vida.
¿Cuál es su formación de pregrado?_________________
¿Cuál es su formación de Postgrado?________________
¿Cuántos años de experiencia docente universitaria posee?_____
¿Cuántos años de docencia en educación media posee?________
El curso de Precálculo, Matemática Básica o Trigonometría y Algebra lo ha dictado
10 veces o menos______ 20 veces o menos__________ Más de 20 veces________
1) ¿Ha estudiado o participado en algún tipo de curso, módulo u otro relacionado con didáctica
de las Matemáticas?
Si______No_____
¿Cuál?_____________________________________________________________________
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 142
2) Si usted, ha elegido que no ha realizado cursos, módulos u otros sobre las didácticas de las
matemáticas, enuncie el principal motivo por el cuál no ha participado.
__________________________________________________________________________
3) Enuncie que estrategias didácticas o autores en didáctica aplica en el desarrollo del curso de la
asignatura Precálculo que usted imparte en las Uts
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
4) Para abordar en Precálculo el tema de clase “aplicaciones a la vida real y del contexto de la
ingeniería” usted preferiblemente elige: (en este item puede seleccionar una o varias opciones)
Clase magistral______
Uso de tic__________
Problemas del contexto Uts ________
Implementa otra herramienta didáctica___________ ¿Cuál?__________describa
brevemente como usa esa herramienta: _______________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
5) Teniendo en cuenta que los docentes nos encontramos en continuo crecimiento y aprendizaje
¿Qué características considera que debe fortalecer como docente? ¿Qué herramientas
considera que las unidades deben ofrecer para que los docentes puedan enriquecer ese
trabajo en el aula?
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 143
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
6) Un estudio estadístico realizado por el departamento de ciencias básicas en las Uts 2015
determinó que cerca del 55% de los estudiantes que cursan la asignatura Precálculo la
reprueban. En su condición de docente de la asignatura; enumere en orden de importancia
del 1 al 7 (donde 1 representa el más influyente y 7 el menos influyente) los factores que más
influyen en el bajo rendimiento académico de los estudiantes.
Categoría Puesto
Los presaberes del estudiante
La motivación del estudiante
Las prácticas pedagógicas realizadas por el docente
La motivación inducida por el docente y por la asignatura sobre el estudiante
Los recursos y medios disponibles para realizar la clase en las Uts
El compromiso y la responsabilidad en el cumplimiento de los deberes del
estudiante
Otro: ¿cuál?
7) Marca con una x las situaciones que usted fomenta al impartir el tema “aplicaciones a la vida
real y del contexto ingenieril” de la asignatura Precálculo de las Uts.
El trabajo en equipo con asignación de roles (excepto la modalidad de talleres) ____
El Usar Herramientas didácticas o tecnológicas en el aula (excepto el celular)_____
Permitir que los estudiantes construyan sus propios problemas____
La competencia de la comunicación individual y grupal en el aula____
El trabajo en espacios diferentes al aula (salidas del aula o de campo) _____
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 144
Permite desarrollar situaciones problémicas en el contexto Uts____
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 145
Anexo B. Encuesta a los estudiantes
La presente encuesta busca reconocer su opinión como estudiante ante el proceso de desarrollo
de las competencias básicas de la asignatura Precálculo que se imparte en las Uts.
Carrera que se encuentra cursando______________
Número de veces que ha cursado la asignatura_____
1) ¿Cree usted que la Matemática es importante en la carrera que se encuentra cursando?
Si No
¿Por qué? __________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
2) ¿Qué problema o situación a podido resolver en su vida por medio de las
Matemáticas?______________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
3) En su condición de estudiante de la asignatura; enumere en orden de importancia del 1 al 7
(donde 1 representa el menos influye y 7 el que más influye) los factores que más afectan el
rendimiento académico de los estudiantes.
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 146
Categoría Puesto
Los presaberes del estudiante
La motivación del estudiante
Las prácticas pedagógicas realizadas por el docente
La motivación inducida por el docente y por la asignatura sobre el
estudiante
Los recursos y medios disponibles para realizar la clase en las Uts
El compromiso y la responsabilidad en el cumplimiento de los deberes
del estudiante
Otro: ¿cuál?
4) Marca con una x la situaciones que considere se han vivido o fortalecido en el curso que
usted realiza de la asignatura de Precálculo de las Uts
Situaciones didácticas Marque con una X
El trabajo en equipo con asignación de roles (excepto la modalidad
de talleres)
El Usar Herramientas didácticas o tecnológicas en el aula (excepto
el celular)
Permitir que los estudiantes construyan sus propios problemas
La competencia de la comunicación individual y grupal en el aula
El trabajo en espacios diferentes al aula (salidas del aula o de
campo)
Permite desarrollar situaciones problémicas en el contexto Uts
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 147
Anexo C. Prueba de conocimientos generales en longitud, área y volumen
Este test se realizó con el fin de establecer las principales características que pueden servir para
el desarrollo de la estrategia didáctica; para recalcar las situaciones más sobresalientes y las que
recalcan mayor dificultad en el aprendizaje para optimizar la estrategia
Desarrollar los siguientes enunciados propuestos en el test, tenga en cuenta que debe realizarse
de manera individual, dispone de 90 minutos para su solución. Es importante que considere que
este este test no va a representar una mala nota en el curso de la asignatura, pero debe realizarse
con la mayor concentración posible, el tema a tratar es situaciones problema en longitud, área y
volumen.
1) Para determinar la distancia d entre dos puntos P y Q en las orillas opuestas de un lago, un
topógrafo localiza un punto R que está a 50 metros de P, de tal modo que RP es
perpendicular a PQ. A continuación, con un teodolito, el topógrafo mide el ángulo PRQ, que
resulta de 720. Calcule la distancia entre P y Q. (Swokowski,2006)
2) Un granjero amarra un chivo en la esquina exterior de un establo de 10 por 20 metros. La
cuerda con la que lo ata es de 25 metros. El chivo puede pastar en cualquier lugar fuera del
establo hasta donde la cuerda alcance. ¿Cuál es la medida del área donde el chivo puede
pastar? (Santos, 2001)
3) Calcule la altura del árbol que se ilustra en la figura, tenga en cuenta el ángulo de
referencia que se ha registrado y la distancia propuesta.
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 148
4) Para alcanzar la cima de un muro de 6 metros de altura, se utiliza una escalera de 10 metros.
Si el extremo de la escalera queda 2 metros más allá del muro, determine la inclinación
respecto a la horizontal. Escriba su respuesta en radianes.
5) En un cubo se corta una rebanada de 1 cm de espesor. Si el volumen de la figura que queda
es de 180 cm3, ¿cuál es la longitud del lado del cubo original? ¿las caras superficiales
poseen la misma área en los dos cubos?
6) El lado de cada cuadrado es la mitad del cuadrado inmediatamente anterior. El área total de
la figura es 340 dm2. Determine el lado del cuadrado mayor.
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 149
Anexo D. Prueba diagnóstico para la estrategia didáctica
Se sugiere que este test sea aplicado con cada grupo antes de implementar esta estrategia
didáctica.
1) Simplifique todo lo que sea posible. Asegúrese de suprimir todos los paréntesis y simplificar
todas las fracciones.
a) 5[-1(7+12-16)+4]+2 b) (√ √ ) c) (
)
2) Calcule la medida exacta, en radianes de los ángulos dados y represéntelo gráficamente:
a) 150° b) 120° c) -60° d) 52° e) 100°
3) Calcule la medida exacta, en grados de los ángulos dados y represéntelo gráficamente:
a) 2π/3 b) 11 π / 4 c) π/16 d) 9π e) -5 π/2
4) Determine las soluciones de la ecuación
a) ( ) – 72 b) – 27 c) 2x-7=8x +12
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 150
5) Partimos de un rectángulo y lo dividimos en la mitad; después dividimos aún a la mitad cada
parte, así como lo muestra la figura. ¿El área del rectángulo A es __________ del área del
triángulo B?
6) Tenemos tres cilindros iguales, de 1 metro de diámetro cada uno y de 8 metros de largo,
apilados como se ve en la figura.
a. ¿Cuál es la distancia entre los centros de cada par de cilindros?
b. Encuentre el volumen de los tres cilindros.
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 151
Anexo E. Problema 1 de la estrategia didáctica
Problema 1: Los integrantes del equipo deben escoger un árbol (o un edificio pequeño) en el lugar
dónde se piensa realizar la práctica; para así calcular su altura. El operario debe
ubicarse en el punto donde finaliza la sombra que produce el árbol por efecto de la luz
solar en ese momento; ahora usando el instrumento digital debe medir la longitud de
la sombra en ese instante; luego debe medir el ángulo de elevación que se registra
entre la sombra y la cima del edificio.
Describa con sus palabras la situación problema que debe
desarrollar:________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
Pregunta Solución
Cuáles son los datos del problema?
Cuáles son las variables del problema?
Cuáles con las incógnitas del problema?
Mediante una aproximación y sin realizar ningún cálculo
¿Cuál considera que es la altura del árbol?
Realice un dibujo que represente el problema planteado,
luego registre en el los datos, incógnitas y variables.
Tenga en cuenta que es ideal mantener las proporciones
en el dibujo y que no es obligatorio sujetarse a una
escala rigurosa.
¿Las condiciones y datos son suficiente para determinar
la incógnita? ¿La información que tenemos es suficiente?
¿Es redundante? ¿Es contradictoria?
¿Aguna vez se ha encontrado con un problema
semejante? Describa cuál
Calcule el valor de la altura del árbol.
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 152
Compare el valor aproximado de la altura del árbol con
el valor que se determinó para la altura ¿Qué conclusión
se obtiene a partir de los dos resultados?
¿Puede usted verificar el resultado? ¿Puede obtener el
resultado en forma diferente?
Suponiendo que el instrumento sufre un daño, de tal
manera que solo puede registrar ángulos ¿Qué harías
para determinar la altura del árbol? Calcule la altura del
árbol.
Dada la nueva altura del árbol, encuentre su valor
equivalente en metros y compárelo con las otras alturas
obtenidas.
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 153
Anexo F. Plantilla de la estrategia didáctica
Problema:
Describa con sus palabras la situación problema que debe desarrollar ________________________
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
Pregunta Solución
Cuáles son los datos del problema?
Cuáles son las variables del problema?
Cuáles son las incógnitas del problema?
Estime sin realizar ningún calculo el valor aproximado de
la incógnita
Realice un dibujo que represente el problema planteado,
luego registre en el los datos, incógnitas y variables.
Tenga en cuenta que es ideal mantener las proporciones en
el dibujo y que no es obligatorio sujetarse a una escala
rigurosa.
¿Las condiciones y datos son suficiente para determinar la
incógnita? ¿La información que tenemos es suficiente?
¿Es redundante? ¿Es contradictoria?
¿Alguna vez se ha encontrado con un problema
semejante? Describa cuál.
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 154
Calcule el valor de la incógnita.
Compare el valor aproximado de la incógnita con su valor
calculado. ¿Qué conclusión se obtiene a partir de los dos
resultados?
¿Puede usted verificar el resultado? ¿Puede obtener el
resultado en forma diferente?
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 155
Anexo G. Rúbrica evaluación de la estrategia didáctica
RÚBRICA PARA EVALUAR EL PROCESO DE PLANTEAMIENTO Y
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
PROPÓSITO:
Que el estudiante logre desarrollar la estrategia didáctica
para fortalecer los procesos de planteamiento de problemas
en unidades de longitud, área y volumen a través de un
instrumento digital creando sus propios problemas.
Indicador Excelente
5.0-4.0
Satisfactorio
4.0-3.0
No aceptable
Menor a 3.0
SALIDA DE CAMPO
Trabajo
cooperativo y
comunicación
El estudiante realiza
aportes positivos al
equipo cooperativo y
su comunicación es
acertada, sus
comentarios son
objetivos y es continua
durante toda la etapa de
la estrategia
cumpliendo con las
funciones de su rol.
El estudiante realiza
aportes positivos al
equipo cooperativo y
su comunicación es
acertada, sus
comentarios son
objetivos, pero no es
continuo en la etapa de
la estrategia
cumpliendo funciones
de su rol.
El estudiante realiza
aportes negativos al
equipo cooperativo que
no contribuyen en el
desarrollo de la
propuesta o/y no
cumple con las
funciones de su rol.
Manejo
instrumento digital
Maneja adecuadamente
el instrumento digital
teniendo en cuenta sus
recomendaciones de
uso y además toma los
registros del
instrumento
acertadamente para dar
desarrollo del problema
Maneja
adecuadamente el
instrumento digital
teniendo en cuenta sus
recomendaciones de
uso, pero presenta
inconvenientes en los
registros de la
herramienta para
desarrollar el problema
No maneja
adecuadamente el
instrumento digital
teniendo en cuenta sus
recomendaciones de uso
y presenta
inconvenientes en los
registros de la
herramienta didáctica
para desarrollar el
problema
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 156
Indicador Excelente
5.0-4.0
Satisfactorio
4.0-3.0
No aceptable
Menor a 3.0
Construcción de
situaciones
problema
El problema planteado
es pertinente a la
temática propuesta,
además es Creativo y
con un grado de
complejidad aceptable
El problema planteado
es pertinente a la
temática propuesta,
pero no muy creativo y
posee un grado de
complejidad aceptable
Ninguno de los
problemas que se
plantean son pertinentes
o solucionables
implementado la
estrategia didáctica
Exposición en el aula
Explicación y
análisis del
resultado
La explicación tiene
muchos detalles y es
clara. El análisis del
resultado se confronta
con la teoría y la lógica
La explicación es clara
pero poco detallada,
estableciendo análisis
parcial del resultado
La explicación es difícil
de entender y no
alcanzan a relacionar
los datos con la teoría.
Comunicación oral
o escrita
Realiza intervenciones
pertinentes y objetivas
en la exposición de
otros trabajos, para
aprobar o desaprobar el
planteamiento de
problemas o para
realizar complementos.
Realiza intervenciones
no pertinentes, ni
objetivas en la
exposición de otros
trabajos, para aprobar
o desaprobar el
planteamiento de
problemas o para
realizar complementos.
Evaluación individual
Comprensión del
problema
Identifica e interpreta
con claridad los datos
planteados en el
problema y tiene
certeza de las
incógnitas a resolver.
Demuestra total
comprensión del
problema.
Identifica e interpreta
parcialmente los datos
planteados en el
problema. Demuestra
considerable
comprensión del
problema
No identifica ni
interpreta los datos
planteados en el
problema.
Demuestra poca
comprensión del
problema
Diagramas y
dibujos
Esquematiza
claramente el
enunciado indicando
correctamente los datos
del problema. Los
Esquematiza
parcialmente el
enunciado indicando
algunos de los datos
del problema. Los
No puede esquematizar
correctamente el
enunciado. Los dibujos
y diagramas no están
muy claros.
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 157
Indicador Excelente
5.0-4.0
Satisfactorio
4.0-3.0
No aceptable
Menor a 3.0
dibujos son claros y
ayudan mucho para que
el estudiante
comprenda lo que está
haciendo
dibujos son claros y
fáciles de entender.
Estrategia de
solución
Identifica la fórmula
aplicable de acuerdo a
la teoría El proceso de
resolución del
problema demuestra
total entendimiento de
los conceptos
involucrados. Siempre
usa estrategias
efectivas y eficientes
para resolver los
problemas.
Identifica parcialmente
las fórmulas a aplicar
en la solución del
problema. Demuestra
parcial entendimiento
de los conceptos.
Usualmente, usa
estrategias efectivas y
eficientes para resolver
los problemas.
No identifica las
fórmulas a aplicar y no
comprende los
conceptos y su relación
entre ellos. A veces usa
estrategias efectivas y
eficientes para resolver
los problemas.
SOLUCIÓN DEL
PROBLEMA
La aplicación de los
algoritmos es correcta.
Todos los
requerimientos de la
tarea están incluidos en
la respuesta para la
solución del problema
La aplicación de los
algoritmos es correcta,
pero comete algunos
errores aritméticos y
algebraicos.
La mayor cantidad de
requerimientos de la
tarea están
comprendidos en la
respuesta
La aplicación de los
algoritmos es incorrecta
y comete errores
aritméticos y
algebraicos.
No responde. No intentó
hacer la tarea
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 158
Anexo H. Prueba de evaluación individual estrategia didáctica
1) Calcule la altura del árbol que se ilustra en la figura, tenga en cuenta el ángulo de
referencia que se ha registrado y la distancia propuesta.
2) En un cubo se corta una rebanada de 1 cm de espesor. Si el volumen de la figura que queda
es de 180 cm3, ¿cuál es la longitud del lado del cubo original? ¿las caras superficiales poseen
la misma área en los dos cubos?
3) Una catedral está situada en una colina, como se ve en la figura. Cuando la cima de la torre
se ve desde la cima de la base de la colina, el ángulo de elevación es de 48°, cuando se ve a
una distancia de 200 metros de la ase de la colina el ángulo de elevación es 41°. La colina
sube a un ángulo de 32°. Calcule la altura de la catedral.
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 159
Imagen tomada de (Swokowski, 2001)
b) ¿Cómo Usaría el instrumento digital de una manera más sencilla para encontrar la
altura de la catedral?
4) Para la figura que se muestra a continuación describa, plantee y desarrolle un problema en
ese contexto que se pueda relacionar con longitud, área o volumen.Teniendo en cuanta que
puede obtener algunas medidas angulares y longitudinales con el instrumento digital.
5) Un tanque de acero para gas propano se va a construir en forma de cilindro recto de 10
metros de altura, con una semiesfera unida a cada extremo, cuyo radio es 2 metros. Encuentre
el volumen del tanque.
Estrategia didáctica a partir de un instrumento digital | 160
Anexo I. Instrumento para la validación de la estrategia didáctica
CRITERIOS Apreciación cualitativa
Excelente Bueno Regular Deficiente
Presentación del instrumento digital
Viabilidad del instrumento en la estrategia
Autonomía del estudiante en la
construcción de problemas propios
Fortalecimiento de los procesos de
comunicación
Fortalecimiento de los procesos de
representación matemática
Fortalecimiento del desarrollo de la
estrategia trabajo en equipo
Desarrollo de la temática a través de la
estrategia didáctica
Tipos de problemas que se presentan en la
estrategia o aquellos problemas que se
pueden construir
Apreciación cualitativa:
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Observaciones y recomendaciones sobre la estrategia didáctica:
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Validado por: __________________________________________________________
Profesión y títulos: ______________________________________________________
Fecha: ____________________________ Firma: ____________________________
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