UNET, Dpto. Electrónica, Nuc. Inst. y Control, Tito González, [email protected], 15 Oct 2009.Ejercicios Resueltos de Transformada Directa de Laplace. 1 / 23
Universidad Nacional Experimental del Táchira. Departamento de Ingeniería Electrónica. Núcleo de Instrumentación y Control. Profesor: Tito González. San Cristóbal, Jueves 15 de Octubre del 2009.
EJERCICIOS RESUELTOS DE TRANSFORMADA DIRECTA DELAPLACE
INTRODUCCION.
A continuación se desarrollan una serie de ejercicios de Transformada Directa de Laplace con elobjeto de establecer una metodología básica para la solución de esta clase de transformación.
Se inicia, con ejercicios muy simples para utilización directa de la tabla de pares de transformadade Laplace, incrementandose posteriormente y de manera gradual el nivel de dificultad a objeto de utilizarla tabla de propiedades de la transformada en conjunto con la regla de la cadena, para finalmente aplicarla tabla de pares de transformada y establecer la solución al problema planteado.
En relación al párrafo anterior, el último problema es desarrollado por dos métodos distintos haobjeto de demostrar la importancia de la correcta selección de las propiedades ha aplicar al momento deiniciar la solución de problema (precedencia en las propiedades). Esto con el objeto de tomar el caminomás “económico” desde el punto de vista del esfuerzo al momento de resolver el problema.
Por otra parte, se han tomado algunos de los problemas mas representativos desde el punto de vistaconceptual para mostrar gráficamente el significado, y valores característicos, de la transformación de lavariable “tiempo” a la variable compleja “S” por la utilización de gráficas en 2D y 3D.
Estos gráficos, se realizaron por medio de scripts en Matlab versión 5.3, los cuales están adisposición del publico en otro apartado, para que el interesado en el área experimente y modifique losparámetros que se encuentran identificados para tal fin al inicio del script.
Cada ejercicio se encuentra identificado en su inicio con un nombre código como: TDLE01, el cualsignifica: Transformada Directa de Laplace Ejercicio 01, de manera tal de no perder el enlace entre elejercicio resuelto y la codificación en Matlab.
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( )
( ){ } { } { }
( ){ } ( )( )
{ }
f t tSolución
f t t t
f tS S S
F s
tS
Parn
=
= =
= ⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
= =+
=
=
=
+
7
7 7
1 7 70
77
61
1 1 2 2
2
:
!
L L L
L
L
7
Ejercicio: TDLE01
Obtenga la Transformada Directa de Laplace, , para la siguiente función haciendo uso( ){ } ( )L f t F s=de tablas y propiedades.
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( )
( ){ } { } { }
( ){ } ( ) ( )
{ } ( )
f tSolución
f t
f tS S
F s
S
e
e e
e
t
t tPar
t
=
= =
=+
⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
=+
=
=+
−
− −=
−
5
5 5
51
35
3
55
3
3
3 37
3
3
:
L L L
L
L
σ
Ejercicio: TDLE02
Obtenga la Transformada Directa de Laplace, , para la siguiente función haciendo uso( ){ } ( )L f t F s=de tablas y propiedades.
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( ) ( )
( ){ } ( ){ } ( ){ }
( ){ } ( ) ( )
( ){ } ( )
f t sen tSolución
f t sen t sen t
f tS S
F s
sen tS
Par
=
= =
=+
⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
=+
=
=+
=
2 4
2 4 2 4
24
48
16
2 48
4
94
2 2 2
2 2
:
L L L
L
L
ω
Ejercicio: TDLE03
Obtenga la Transformada Directa de Laplace, , para la siguiente función haciendo uso( ){ } ( )L f t F s=de tablas y propiedades.
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( ) ( )
( ){ } ( ){ } ( ){ }
( ){ } ( ) ( )
( ){ } ( )
f t tSolución
f t t t
f tS
SS
SF s
tS
S
Par
=
= =
=+
⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
=+
=
=+
=
3 5
3 5 3 5
35
325
3 53
5
105
2 2 2
2 2
cos:
cos cos
cos
L L L
L
L
ω
Ejercicio: TDLE04
Obtenga la Transformada Directa de Laplace, , para la siguiente función haciendo uso( ){ } ( )L f t F s=de tablas y propiedades.
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( ) ( )
( ){ } ( ){ } { }
( ){ } { } { } { } { } ( )
( ){ } { } { } { } ( ){ }
( ){ }
( ){ }
f t tSolución
f t t t t t
f t t t t
f t t t t u t
f tS S S S
f t
propiedad
Por Definiciónu t
Parn n n
= +
= + = + + +
= + + +
= + + +
= ⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
+ ⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
+ ⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
+ ⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
=
=
= = =
+ + +
2
2 6 12 8
6 12 8 1
6 12 8
36
212
18
1
6
3
3 3 21
3 21
3 26
3 2 1
3 1 2 1 1 1
:
! ! !
L L L
L L L L L
L L L L L
L
L
( ){ }
S S S S
tS S S S
4 3 2
34 3 2
12 12 8
26 12 12 8
+ + +
+ = + + +L
Ejercicio: TDLE05
Obtenga la Transformada Directa de Laplace, , para la siguiente función haciendo uso( ){ } ( )L f t F s=de tablas y propiedades.
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( ) ( )
( ){ } ( ){ } ( ){ } ( )
( ){ } ( ){ } ( ) ( ){ } { }
( ){ } ( )
( ){ }
f t t u tSolución
f t t u t t u t
f t g t a g t t
f tS S
F s
t u tS
propiedadg t t
a
aSParne
=
= =
= + = =
= ⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
= =
=
==
−=
+
4
4 4
4 4 1 4
43 24
424
3
3 34
3
0
36
3
3 1 4
34
:
!
L L L
L L L L
L
L
Ejercicio: TDLE06
Obtenga la Transformada Directa de Laplace, , para la siguiente función haciendo uso( ){ } ( )L f t F s=de tablas y propiedades.
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( ) ( )
( ){ } ( ){ } ( ){ } ( ) ( )
( ){ } ( ){ } ( ) ( ){ }
( ){ } ( ){ } ( )
( ){ } ( ) ( ){ } ( ){ } ( ) ( ){ } { }
( ){ } ( )
f t t u tSolución
f t t u t t u t
f t g t G S f t
g t t u t
g t h t u t b h t b h t t
g tS S
G s
regresando en
e
e e
e
e
t
t tpropiedad
g t t u ta
at
propiedadh t t
b
bSParn
=
= =
= = + =
=
= − = + = =
= ⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
= =
−
− −=
=
−
==
−=
+
6
6 6
6 6 5
1
2 2
2 5
2 5 2 55
2
5
24
2
0
26
2
2 1 3
:
!
*
L L L
L L L
L L
L L L L L
L
( ) ( )( )
( ){ } ( ) ( )
( ){ } ( )
la regla de la cadena
G sS
G SS
f tS S
t u tS
e t
:
= ⇒ + =+
=+
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ =
+
=+
−
25
25
62
512
5
612
5
3 3
3 3
2 53
L
L
Ejercicio: TDLE07
Obtenga la Transformada Directa de Laplace, , para la siguiente función haciendo uso( ){ } ( )L f t F s=de tablas y propiedades.
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( ) ( ) ( )
( ){ } ( ) ( ){ } ( ) ( )
( ){ } ( ) ( ){ } ( ){ } ( ){ } ( ) ( )
( ){ } ( ){ } ( ) ( ){ }
( ){ } ( ){ }
( ){ } ( ) ( )
( ) ( )
f t sen t u tSolución
f t sen t u t
f t g t u t g t sen t
f t h t H S f t
h t sen t
h tS
H s
regresando en la regla de la cadena
H sS
H
e
e
e
e
t
tpropiedad
g t e t sen ta
tpropiedad
h t sen tb
bt
Par
=
=
= = =
= = + =
=
=+
=
=+
⇒
−
−= −
=
−=
=
−
=
10 20
10 20
10 10 10 20
10 10 5
20
2020
2020
5
54
5 200
55
205
920
2 2
2 2
:
*
L L
L L L L
L L L
L L
L
ω
( )( )[ ]
( ){ }( )[ ] ( )[ ]
( ) ( ){ }( )[ ]
SS
f tS S
sen t u tS
e t
+ =+ +
=+ +
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
=+ +
=+ +
−
520
5 20
1020
5 202005 20
10 202005 20
2 2
2 2 2 2
52 2
L
L
Ejercicio: TDLE08
Obtenga la Transformada Directa de Laplace, , para la siguiente función haciendo uso( ){ } ( )L f t F s=de tablas y propiedades.
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( ) ( ) ( ) ( )
( ){ } ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( )
( ){ } ( ) ( ){ } ( ){ }( ){ } ( ) ( ){ } ( ){ }
( ){ } ( ){ } ( ) ( )
( ){ } ( ){ }
f t sen t u tSolución
f t sen t u t
f t g t u t g t
f t sen t sen t
f t sen t
f t h t
e
e
e e e
e e
e e e
t
tpropiedad
g t e t sen ta
t t
tpropiedad
h t sen tb
bt
= −
= −
= =
= − = −
= −
= =
− +
− += − + −
=
− + −
−= −
=
−
7 3 6
7 3 6
7 7
7 3 6 7 3 6
7 3 6
7 7
2 4
2 44
2 4 3 60
2 4 2 4
4 25
3 62
4 4
:
L L
L L LL L L
L L
L L ( ) ( ){ }
( ){ } ( ){ }
( ){ } ( ) ( ) ( ) ( ){ }
( ){ } ( ) ( ){ } ( ) ( ){ }
H S f t
h t sen t
h t sen t t sen
h t sen t sen t
Descomposiciónpor ángulo
doble
propiedad
Pares y
+ =
= −
= −
= − =
2
3 6
3 6 3 6
6 3 6 3
1
9 103
L
L L
L L
L L L
cos cos
cos cos ω
Ejercicio: TDLE09
Obtenga la Transformada Directa de Laplace, , para la siguiente función haciendo uso( ){ } ( )L f t F s=de tablas y propiedades.
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( ){ } ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]
( ) ( )( )[ ]
( ){ } ( ) ( ) ( )[ ]( )[ ]
( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( )[ ]( )[ ]
L
L
L
h tS
senS
SH s
regresando en la regla de la cadena
H sS
S senS
H SS
S senS
f tS sen
S
sen t u tS sen
S
e
e et
=+
⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
−+
⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
=
=+
−⋅
+⇒ + =
+ +−
++ +
=− +
+ +
− =− +
+ +− +
cos
*
cos cos
cos
cos
63
36
9
3 69
69
23 6
2 92 62 9
7 3 6 2 62 3
7 3 67 3 6 2 6
2 3
2 2 2
2 2 2 2
4
2 2
2 44
2 2
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( ) ( ) ( ) ( )
( ){ } ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( )
( ){ } ( ) ( ){ } ( ){ }
( ){ } ( ){ } ( )[ ] ( )[ ]{ }
( ){ } [ ] [ ]{ }
( ){ }
f t sen t u tSolución
f t sen t u t
f t g t u t a g t a
f t g t sen t
f t sen t
f t sen
e
e
e
e e e
e e
e e
t
tpropiedad
g t e t sen ta
aS
S S t
S t
S t
= − −
= − −
= − = +
= + = + −
= + −
=
− +
− += − + −
=
−
− − − + +
− − − +
− −
2 4
2 44
2 4 3 62
2 2 2 2 4
2 2 4 4
2 2
3 6 2
3 6 2
2 3 2 6
3 6 6
:
L L
L L L
L L L
L L
L L ( ){ } ( ) ( )
( ){ } ( ){ } ( ) ( ){ }
( ){ } ( ){ }
( ){ } ( )
3
2
3
39
53
2
2 2
93
2
t
f t h t H S f t
h t sen t
h tS
H s
propiedadh t sen t
b
S bt S
Par
e e e
==
− − −
=
= = + =
=
=+
=
L L L
L L
L
ω
Ejercicio: TDLE10 - A
Obtenga la Transformada Directa de Laplace, , para la siguiente función haciendo uso( ){ } ( )L f t F s=de tablas y propiedades.
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( ) ( )( )[ ]
( ){ }( )[ ] ( )[ ]
( ) ( ) ( ){ } ( )[ ]
* regresando en la regla de la cadena
H sS
H SS
f tS S
e sen t u tS
e e
e
SS
tS
=+
⇒ + =+ +
=+ +
⎧⎨⎪
⎩⎪
⎫⎬⎪
⎭⎪=
+ +
− − =+ +
−−
− +−
33
2 32 3
32 3
32 3
3 6 2 32 3
3 2 2 2
22 2
2
2 2
2 42
2 2
L
L
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( ) ( ) ( ) ( )
( ){ } ( ) ( ) ( ){ }( ){ } ( ) ( ){ }( ){ } ( ) ( ){ }
( ) ( ) ( )
( ){ } ( ){ } ( )( ){ } ( )
( ){ } ( ) ( ){ }
f t sen t u tSolución
f t sen t u t e e e
f t sen t u t
f t sen t u t
f t g t G s a
f t G s
g t sen t u t
e
e
e e
e e
e e ee
t
t identidad
t
tpropiedad
ag t sen t u t
at
x y x y
= − −
= − −
= − −
= − −
= = +
= +
= − −
− +
− += ⋅
−
−=
= − −
−
+
2 4
2 4
2 4
4 25
23 6 2
4 4
4
3 6 2
3 6 2
3 6 2
3 6 2
2
3 6 2
:
L L
L L
L L
L LL
L L
( ){ } ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ){ }
( ){ } ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( )( ) ( )( )
( ){ } ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ){ }( ){ } ( ) ( ){ } ( ) ( ){ }( ){ } ( ) ( ){ } ( ) ( ){ }[ ]( ){ }
identidaddescomposición
ángulo doble
propiedad
propiedad b
h t sen tk t t
bS bS
S
g t sen t t sen u t
g t sen t u t sen t u t
g t h t u t b sen k t u t b
g t h t b sen k t b
g t h t sen k t
g t
e eee
L L
L L L
L L LL L LL L LL
= ⋅ − ⋅ −
= − − −
= − − −
= + − +
= + − +
=
==
− −
−
3 6 3 6 2
6 3 2 6 3 2
6 6
6 6
6 2 6 2
1
42
33
2
cos cos
cos cos
cos
cos
cos
cos
( ) ( )[ ]{ } ( ) ( )[ ]{ }[ ]− + − +2 6 3 2 6 3 2S sen t sen tcos cosL L
Ejercicio: TDLE10 - B
Obtenga la Transformada Directa de Laplace, , para la siguiente función haciendo uso( ){ } ( )L f t F s=de tablas y propiedades.
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( ){ } ( ) ( ){ } ( ) ( ){ }[ ]
( ){ } ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]{ } ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]{ }[ ]( ){ } ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ){ }[ ]( ){ } ( ) ( ){ } ( ) ( ){ }[ ]
( ){ } ( ){ }
L L L
L L L
L L L L L
L L L
L L
g t sen t sen t
g t sen t t sen sen t sen t sen
g t sen t sen t sen t sen sen t
g t sen t sen sen t
g t sen t
e
e
e
e
e
Sidentidad
descomposición porángulo doble
S
S
S
S
= + − −
= − − −
= + − +
= +
=
−
−
−
−
−
2
2
2 2 2
2 2 2
2 2
6 3 6 6 3 6
6 3 6 3 6 6 3 6 3 6
6 3 6 6 3 6 6 3 6 3
6 3 6 3
3
cos cos
cos cos cos cos cos
cos cos cos cos cos
cos
cos ( ) ( )[ ][ ]( ) ( )
( ){ } ( ){ }[ ]
( ){ } ( )
( ){ } ( )
( ){ }( )
( ) ( ) ( )
6 6
3
33
33
2
32 3
32 3
32 3
2
1
29
22 2
2
2 2
4
42 2
2 2
4 4 2
2 2
2
2 2
2 2+
=
=+
⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
=+
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ =
= +
=+ +
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
=+ +
=+ +
+ =
−
−−
− +− − −
sen
g t sen t
g tS S
G s
regresando en la regla de la cadena
f t G S
f tS
S S
identidadtrigonometrice
sen
Spar
SS
SS S
e
e e
e
e e e e e e
e
cos α α
L L
L
L
L
L ( ) ( ){ }( )[ ]
− +−
− − =+ +
2 42
2 23 6 2 3
2 3t
S
sen t u tS
e