Cálculo III
JhonWillingtonBernal V.
13.3 Derivadasparciales
13.4Diferenciales
Cálculo IIIDerivadas parciales
Jhon Willington Bernal V.
3 de febrero de 2016
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13.4Diferenciales
Derivadas parciales
De�nición:
Si z = f(x, y), las primeras derivadas parciales f con
respecto a x y a y son las funciones fx y fy de�nidas
por
fx(x, y) = lım∆x→0
f (x + ∆x, y)− f(x, y)
∆x
fy(x, y) = lım∆y→0
f (x, y + ∆y)− f(x, y)
∆y
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Derivadas parciales
Ejemplo:
Dada f(x, y) = xex2y, hallar fxy fy, y
evaluar cada una en el punto (1, ln 2)
∂
∂xf(x, y) = fx(x, y) = zx =
∂z
∂x
∂z
∂x|(a,b)= fx (a, b)
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Derivadas parciales
Ejemplo:
Dada f(x, y) = xex2y, hallar fxy fy, y
evaluar cada una en el punto (1, ln 2)
∂
∂xf(x, y) = fx(x, y) = zx =
∂z
∂x
∂z
∂x|(a,b)= fx (a, b)
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Derivadas parciales
Ejemplo:
Dada f(x, y) = xex2y, hallar fxy fy, y
evaluar cada una en el punto (1, ln 2)
∂
∂xf(x, y) = fx(x, y) = zx =
∂z
∂x
∂z
∂x|(a,b)= fx (a, b)
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Derivadas parciales
Ejemplo:
Hallar las pendientes en las direcciones
de x y de y de la super�cie dada por
f(x, y) = −x2
2− y2 +
25
8
en el punto(
12, 1, 2
)
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Derivadas parciales
Ejemplo:
Hallar las derivadas parciales de
f(x, y, z) = z sin (xy2 + 2z) con respecto
a x, y y z.
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Derivadas parciales
Ejemplo:
Hallar las derivadas parciales de segundo
orden de f(x, y) = 3xy2 − 2y + 5x2y2, ydeterminar el valor de fxy(−1, 2)
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Derivadas parciales
Ejercicio 64:
Calcular las derivadas parciales de
primer orden con respecto a x, y y z.
G (x, y, z) =1√
1− x2 − y2 − z2
∂
∂xG (x, y, z) =
x
(−x2 − y2 − z2 + 1)3/2
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Derivadas parciales
Ejercicio 64:
Calcular las derivadas parciales de
primer orden con respecto a x, y y z.
G (x, y, z) =1√
1− x2 − y2 − z2
∂
∂xG (x, y, z) =
x
(−x2 − y2 − z2 + 1)3/2
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Derivadas parciales
Ejercicio 106:
Mostrar que la función satisface la
ecuación del calor∂z
∂t= c2 ∂
2z
∂x2
z = e−t sinx
c
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Diferenciales
De�nición:
Si z = f(x, y) y ∆x y ∆y son los incrementos en x y
en y, entonces las diferenciales de las variablesindependientes x y y son
dx = ∆x y dy = ∆yy la diferencial total de la variable independiente zes
dz =∂z
∂xdx +
∂z
∂ydy = fx(x, y)dx + fy(x, y)dy
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Diferenciales
Ejemplo:
Hallar la diferencial total de cada función
z = 2x sin y − 3x2y2
w = x2 + y2 + z2
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Diferenciales
De�nición de diferenciabilidad:
Una función f dada por z = f(x, y) es diferenciableen (x0, y0) si ∆z puede expresarse en la forma
∆z = fx (x0, y0) ∆x + fy (x0, y0) ∆y + ε1∆x + ε2∆y
donde ε1y ε2 → 0 cuando (∆x,∆y)→ (0, 0) . Lafunción f es diferenciable en una región R si es
diferenciable en todo punto de R
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Diferenciales
Ejemplo:
Mostrar que la función dada por
f(x, y) = x2 + 3y es diferenciable en todo
el punto del plano.
Incremento de z es
∆z = f (x + ∆x, y + ∆y)− f (x, y)
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Diferenciales
Uso de la diferencial como una aproximación:
Utilizar la diferencial dz para aproximar el cambio en
z =√
4− x2 − y2 cuando (x, y) se desplaza en el
punto (1, 1) al punto (1,01, 0,97). Comparar esta
aproximación con el cambio exacto en z.∆z ≈ dz = 0,0141∆z = 0,0137
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Diferenciales
Teorema
Si una función de x y y es diferenciable en (x0, y0) ,entonces es continua en (x0, y0)
Ejemplo:
Mostrar que fx(0, 0) y fy(0, 0) existen, pero f no es
diferenciable en (0, 0) donde f esta de�nida como:
f(x, y) =
−3xy
x2 + y2si (x, y) 6= (0, 0)
0 si (x, y) = (0, 0)
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Diferenciales
Teorema
Si una función de x y y es diferenciable en (x0, y0) ,entonces es continua en (x0, y0)
Ejemplo:
Mostrar que fx(0, 0) y fy(0, 0) existen, pero f no es
diferenciable en (0, 0) donde f esta de�nida como:
f(x, y) =
−3xy
x2 + y2si (x, y) 6= (0, 0)
0 si (x, y) = (0, 0)
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