Metodos Computacionales - Informatica Aplicada

El siguiente teorema muestra condiciones suficientes para que la sucesion obtenida porla iteracion del Metodo de Newton sea convergente y que el orden de converegencia seaR = 2, si la aproximacion inicial esta suficientemente cerca de la raız.

Teorema - Convergencia Local del Metodo de Newton

Sea f una funcion C2[a, b] y sea p ∈ (a, b) tal que f(p) = 0 y f ′(p) 6= 0.

Entonces existe un intervalo J tal que si p0 ∈ J y pn = pn−1 −f(pn−1)

f ′(pn−1), n = 1, 2, . . .

resulta quelımn→∞

pn = p

y si En = p− pn

lımn→∞

En+1

E2n

= −f ′′(p)

2f ′(p).

Demostracion

Dado que f es C2[a, b], si p y pn estan en (a, b) podemos aplicar la Formula de Taylorpara f ,

f(p) = f(pn) + f ′(pn)(p− pn) +1

2f ′′(αn)(p− pn)

2,

como f(p) = 0 resulta

0 = f(pn) + f ′(pn)(p− pn) +1

2f ′′(αn)(p− pn)

2 (1)

donde αn esta entre p y pn.

Como f ′(p) 6= 0 y f ′ es continua en [a, b], existe δ > 0 tal que si x ∈ Iδ = [p− δ, p+ δ] ⊂[a, b], es f ′(x) 6= 0. De (1) obtenemos

f ′(pn)(p− pn) = −f(pn)−1

2f ′′(αn)(p− pn)

2,

y si pn ∈ Iδ,

p = pn −f(pn)

f ′(pn)−

f ′′(αn)

2f ′(pn)(p− pn)

2

entonces

p− pn+1 = −f ′′(αn)

2f ′(pn)(p− pn)

2. (2)

A continuacion veamos que los valores de|f ′′(αn)|

2|f ′(pn)|estan acotados en Iδ para todo n ∈ N.

Dado que |f ′′| es continua en Iδ, existe M = max{|f ′′(x)| : x ∈ Iδ} y

|f ′′(x)| ≤ M para todo x ∈ Iδ.

1

Como |f ′| es continua en Iδ, existe m = mın{|f ′(x)| : x ∈ Iδ}. Si x ∈ Iδ, m ≤ |f ′(x)| yf ′(x) 6= 0 por lo que m > 0. Entonces

1/|f ′(x)| ≤ 1/m para todo x ∈ Iδ.

De estas observaciones y del hecho que si pn ∈ Iδ, tambien αn ∈ Iδ,

|f ′′(αn)|/|f′(pn)| ≤ M/m si pn ∈ Iδ para n ∈ N.

De la ecuacion (2) tenemos que

|p− pn+1| ≤M

2m(p− pn)

2 si pn ∈ Iδ para n ∈ N.

Si notamos µ = M2m

, si pn ∈ Iδ la formula anterior es

|En+1| ≤ µ|En|2 si pn ∈ Iδ para n ∈ N. (3)

Sea J el intervalo J = {x ∈ Iδ : |p− x| < 1

µ}.

Probamos ahora que si p0 ∈ J entonces pn ∈ J para todo n ∈ N.

Como |E0| = |p− p0| < 1/µ, entonces µ|E0| < 1.

|E1| ≤ µ|E0|2 = (µ|E0|)|E0| < |E0| < 1/µ

(|E1| < |E0| significa que p1 esta mas cerca de p que p0, por lo que p1 ∈ J).

|E2| ≤ µ|E1|2 = µ(µ|E0|

2)2 = µ3|E0|4 < (µ|E0|)

3|E0| < |E0| < 1/µ

(|E2| < |E0| significa que p2 esta mas cerca de p que p0, por lo que p2 ∈ J).

|E3| ≤ µ|E2|2 = µ[(µ|E0|)

3E0]2 = µ7|E0|

8 < (µ|E0|)7|E0| < |E0| < 1/µ

(|E3| < |E0| significa que p3 esta mas cerca de p que p0, por lo que p3 ∈ J).

Analogamente se prueba con razonamineto inductivo que pn ∈ J para todo n ∈ N y

|En| ≤ (µ|E0|)2n−1|E0| < |E0| < 1/µ. (4)

Dado que 0 ≤ µ|E0| < 1 resulta lımn→∞(µ|E0|)2n−1 = 0 y de la desigualdad (4),

lımn→∞ |En| = 0, es decir lımn→∞ |p− pn| = 0 y entonces

lımn→∞

pn = p.

Por otro lado, si n → ∞ resulta pn → p, y como αn esta entre p y pn, tambien αn → ppor lo que hacemos el lımite cuando n → ∞ en (2) y resulta

lımn→∞

En+1

E2n

= −f ′′(p)

2f ′(p).

FIN

2

Repaso de conceptos utilizados en el TeoremaSe sugiere al estudiante lector, identificar en que parte del teorema se utilizan los siguientesconceptos.

DefinicionDado r ∈ N, se dice que f es Cr[a, b] si f y las derivadas de f hasta el orden r inclusiveson continuas en [a, b].

Ejemplos:h(x) = x3/2 es C1[0, 7],g(x) = x5/2 es C2[0, 7] yF (x) = sin x es Cr[a, b], para cualquier r ∈ N y para cualquier intervalo [a, b].

DefinicionUn conjunto A ⊂ R esta acotado si existe un numero K tal que |a| ≤ K para todoa ∈ A.

Formula de TaylorSi f tiene n+1 derivadas en un intervalo I que contiene al numero a, entonces para x ∈ Iexiste c estrictamente entre x y a tal que:

f(x) = f(a) +f ′(a)

1!(x− a) + . . .+

fn(a)

n!(x− a)n +

fn+1(c)

(n+ 1)!(x− a)n+1

Un caso particular del Teorema del Sandwich)Si {an} y {bn} son dos sucesiones tales que 0 ≤ an ≤ bn para todo n ∈ N y limn→∞bn = 0,entonces limn→∞an = 0

TeoremaSi f es derivable en un numero c, entonces f es continua en c.

Teorema del valor extremoSi una funcion h es continua en un intervalo cerrado entones la funcion tiene un valormaximo y un valor mınimo en dicho intervalo.

Teorema de conservacion del signoSi g es continua en un intervalo [a, b], c ∈ [a, b] y g(c) 6= 0, existe un intervalo I quecontiene a c tal que g(x) tiene el mismo signo que g(c) para todo x ∈ I.

0 < x < y ⇒ 1/x > 1/y > 0

0 < p < q ∧ 0 < x < z ⇒ px < qz

lımn→∞ |an − A| = 0 ⇔ lımn→∞(an − A) = 0 ⇔ lımn→∞ an = A

3