Clase 19 Ejemplo Sea la función de distribución de una variable aleatoria Y:

𝑭 𝒚 =

𝟎 𝐲 ≤ 𝟎𝐲𝟖 𝟎 < 𝐲 < 𝟐

𝐲𝟐

𝟏𝟔 𝟐 ≤ 𝐲 < 𝟒𝟏 𝒚 ≥ 𝟒

a)   Encuentre la función de densidad de Y. b)   Encuentre 𝑷 𝟏 ≤ 𝒀 ≤ 𝟑 c)   𝐄𝐧𝐜𝐮𝐞𝐧𝐭𝐫𝐞  𝑷 𝒀 ≥ 𝟏, 𝟓 d)   Encuentre 𝑷 𝒀 ≥ 𝟏

𝒀 ≤ 𝟑

𝒇 𝒚 =𝝏𝑭 𝒚𝝏𝒚 =

𝛛𝟎𝝏𝒚 𝐲 ≤ 𝟎

𝝏 𝐲𝟖

𝝏𝒚 𝟎 < 𝐲 < 𝟐

𝝏 𝐲𝟐𝟏𝟔

𝝏𝒚 𝟐 ≤ 𝐲 < 𝟒𝛛𝟏

𝝏𝒚 𝒚 ≥ 𝟒

𝒇 𝒚 =

𝟎 𝐲 ≤ 𝟎𝟏𝟖 𝟎 < 𝐲 < 𝟐

𝒚𝟖 𝟐 ≤ 𝐲 < 𝟒𝟎 𝒚 ≥ 𝟒

𝑷 𝟏 ≤ 𝒀 ≤ 𝟑 = 𝟏𝟖𝒅𝒚

𝟐

𝟏

+ 𝟏𝟖𝒚𝒅𝒚 =

𝟏𝟖

𝟑

𝟐

𝐲 𝟏𝟐 + 𝟏

𝟖𝒚𝟐

𝟐 𝟐

𝟑

= 𝟏𝟖 + 𝟓

𝟏𝟔 = 𝟕𝟏𝟔

𝑷 𝒀 ≥ 𝟏, 𝟓 = 𝟏𝟖𝒅𝒚

𝟐

𝟏,𝟓

+ 𝟏𝟖𝒚𝒅𝒚 =

𝟏𝟖

𝟒

𝟐

𝐲 𝟏,𝟓𝟐 + 𝟏

𝟖𝒚𝟐

𝟐 𝟐

𝟒

= 𝟏𝟏𝟔 + 𝟏𝟐

𝟏𝟔 = 𝟏𝟑𝟏𝟔

𝑷 𝒀 ≥ 𝟏𝒀 ≤ 𝟑 =

𝑷 𝟏 ≤ 𝒀 ≤ 𝟑𝑷 𝒀 ≤ 𝟑  𝑷𝒆𝒓𝒐

𝑷 𝒀 ≤ 𝟑 = 𝟏 − 𝑷 𝒀 > 𝟑 = 𝟏 − 𝟏𝟖𝒚𝒅𝒚 =

𝟒

𝟑

𝟏 − 𝟏𝟖

𝒚𝟐𝟐 𝟑

𝟒= 𝟏 − 𝟕

𝟏𝟔

= 𝟗𝟏𝟔  𝒍𝒖𝒆𝒈𝒐

𝑷 𝒀 ≥ 𝟏𝒀 ≤ 𝟑 =

𝟕𝟏𝟔

𝟗𝟏𝟔

=𝟕𝟗

DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL Y PROCESOS DE POISSON

DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL Una variable aleatoria continua X se dice que tiene una distribución exponencial con parámetro 0λλ, ≥ si su función de densidad de probabilidad es:

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧ ≥

=

−

d.l.c. 0

0X λe λX

Xf

ó

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧ ≥

=

−

d.l.c. 0

0X -1 e λX

XF

Con media:

( ) λ1=XE

PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL

•   No memoria:

( ) ( )sXPtXtsXP >=>

+>

ó ( ) ( ) ( )tXPsXPtsXP >>=+> *

Nota: Hay que tener cuidado con las unidades en que están y t. λ DISTRIBUCIÓN DE POISSON DEFINICION El proceso de conteo ( )[ ]0, ≥ttN es llamado proceso de Poisson con rata 0λλ, > si:

•   N(0) = 0 •   El proceso tiene incrementos independientes. •   El numero de eventos en cualquier intervalo de longitud t es distribuido Poisson con

media λt . Esto es, que para todo 0, ≥ts

( ) ( )[ ] ( )n!λte λt n

nsNstNP−

==−+

PROPIEDADES Considere un proceso de Poisson con parámetro λ en donde sus eventos pueden ser de tipo I con probabilidad p y de tipo II con probabilidad (1-p). Sea ( )tN1

y ( )tN 2 denoten respectivamente el numero de eventos de Tipo I y Tipo II

ocurridos en [0,t]. Note que ( ) ( ) ( )tt NNtN 21+= .

PROPOSICION:

( ){ }0,1

≥ttN y ( ){ }0,2

≥ttN son ambos procesos de Poisson con ratas λp y ( )p1λ − respectivamente, además son independientes.

Tipo I ( )λp.PP

( )λ.PP

Tipo II ( )( )p-1λ.PP ( )λ1.PP ( )λλ 21. +PP ( )λ2.PP

EJEMPLOS Punto 1. Si X y Y son dos V.A. Poisson independientes con medias λ1 y λ2 respectivamente. Calcule el valor esperado de X dado X + Y = n.

( ) ( )( )

( )( )⎟⎠

⎞⎜⎝⎛

=+−===

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

=+=+===+

=

nYXPknYkXP

nYXPnYXkXP

nYXkXP

,

,

Para poder resolver el problema hay que determinar P(X + Y = n).

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )( )!

2!1λλ

!2

λ

!1

λ

,

λλ

λλ

k-nn

0k

k

k-nn

0k

k

0

0

21

21

knk

knk

knYPkXP

knYkXPnYXP

e

ee

n

k

n

k

−=

−=

−===

−====+

∑

∑

∑

∑

=

+−

−

=

−

=

=

( )

( )

( )

( )

( ) )(Poisson P. 21!

λλ

1 2!

λλ

!1k

2!

λλ

λλλλ

λλ

21

n

0k

k-n

n

0k

21

21

21

+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−=

+

∑

∑

+−

=

+−

=

+−

n

n-k

n

kkn

n

knk!n!

n

e

λλe

e

Luego, continuando con el problema inicial:

( ) ( )( )

( )( )

( )

( ) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+

+

−

+−

−−

=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

=+−====+

=

λλλ

λλλ

λλ

λλ

21

2

21

1!k-nk!

n!

21!

λλ!

2λ

*!

1λ

,

21

21k-nk

knk

n

n

knk

nYXPknYkXP

nYXkXP

e

ee

~Binomial⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+

=λλλ

21

1p

PUNTO 2 En un laboratorio están experimentando con una bacteria mortal, suponga que una persona que esta en contacto con dicha bacteria se contamina con una probabilidad p. Si él numero de científicos que entran al laboratorio tiene una distribución de PP( λ ) y ocurre un accidente en el laboratorio con el cual se libera la bacteria:

a)   ¿Cuál es la probabilidad de que nadie se contagie? X = No. De personas contagiadas P(X=0) = ? N = No. De personas que entran al laboratorio.

( ) ( ) ( )∑∞

=

=====

0

00n

nNPnNXPXP

( ) ( ) ( )

( )

( )

( )( )

( )

!*

!

!

0

00

1

0

0

0

0

1

1

e

ee

pe

ep

e

p

p

n

n

nn

n

n

n

n

n

n

nnNXP

nNPnNXPXP

λ

λλ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

−

−−

∞

=

−

∞

=

−

∞

=

−

∞

=

=

=

=

=

===

=====

∑−

∑ −

∑

∑

b)   ¿Cuál es la probabilidad de que se contagien i personas?

( ) ( ) ( )∑∞

=

=====

0nnNPnN

iXPiXP

( ) ( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )

( )

1

0

0

0

0

0

1

1

1

i!

*

i!

*

!in

*

i!

*

***n!

*!ini!

n!

n!

ini

n!nN

iXP

nNPnNiXPiXP

eλp

eeλp

pλeλp

eppλλ

λeppin

λe

λpi

pλλi

n

ininλi

λini

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ini

n

nλ

n

nλ

n

−

−

−

∞

=

−−−

−−∞

=

−

∞

=

−

∞

=

−

∞

=

=

=

−=

−=

−=

===

=====

∑−

−∑

∑ −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∑

∑