Clase 19.pdf
-
Upload
laura-castillo-linares -
Category
Documents
-
view
227 -
download
0
Transcript of Clase 19.pdf
Clase 19 Ejemplo Sea la funciรณn de distribuciรณn de una variable aleatoria Y:
๐ญ ๐ =
๐ ๐ฒ โค ๐๐ฒ๐ ๐ < ๐ฒ < ๐
๐ฒ๐
๐๐ ๐ โค ๐ฒ < ๐๐ ๐ โฅ ๐
a) Encuentre la funciรณn de densidad de Y. b) Encuentre ๐ท ๐ โค ๐ โค ๐ c) ๐๐ง๐๐ฎ๐๐ง๐ญ๐ซ๐ ๐ท ๐ โฅ ๐, ๐ d) Encuentre ๐ท ๐ โฅ ๐
๐ โค ๐
๐ ๐ =๐๐ญ ๐๐๐ =
๐๐๐๐ ๐ฒ โค ๐
๐ ๐ฒ๐
๐๐ ๐ < ๐ฒ < ๐
๐ ๐ฒ๐๐๐
๐๐ ๐ โค ๐ฒ < ๐๐๐
๐๐ ๐ โฅ ๐
๐ ๐ =
๐ ๐ฒ โค ๐๐๐ ๐ < ๐ฒ < ๐
๐๐ ๐ โค ๐ฒ < ๐๐ ๐ โฅ ๐
๐ท ๐ โค ๐ โค ๐ = ๐๐๐ ๐
๐
๐
+ ๐๐๐๐ ๐ =
๐๐
๐
๐
๐ฒ ๐๐ + ๐
๐๐๐
๐ ๐
๐
= ๐๐ + ๐
๐๐ = ๐๐๐
๐ท ๐ โฅ ๐, ๐ = ๐๐๐ ๐
๐
๐,๐
+ ๐๐๐๐ ๐ =
๐๐
๐
๐
๐ฒ ๐,๐๐ + ๐
๐๐๐
๐ ๐
๐
= ๐๐๐ + ๐๐
๐๐ = ๐๐๐๐
๐ท ๐ โฅ ๐๐ โค ๐ =
๐ท ๐ โค ๐ โค ๐๐ท ๐ โค ๐ ๐ท๐๐๐
๐ท ๐ โค ๐ = ๐ โ ๐ท ๐ > ๐ = ๐ โ ๐๐๐๐ ๐ =
๐
๐
๐ โ ๐๐
๐๐๐ ๐
๐= ๐ โ ๐
๐๐
= ๐๐๐ ๐๐๐๐๐
๐ท ๐ โฅ ๐๐ โค ๐ =
๐๐๐
๐๐๐
=๐๐
DISTRIBUCIรN EXPONENCIAL Y PROCESOS DE POISSON
DISTRIBUCIรN EXPONENCIAL Una variable aleatoria continua X se dice que tiene una distribuciรณn exponencial con parรกmetro 0ฮปฮป, โฅ si su funciรณn de densidad de probabilidad es:
( )โชโชโฉ
โชโชโจ
โง โฅ
=
โ
d.l.c. 0
0X ฮปe ฮปX
Xf
รณ
( )โชโชโฉ
โชโชโจ
โง โฅ
=
โ
d.l.c. 0
0X -1 e ฮปX
XF
Con media:
( ) ฮป1=XE
PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIรN EXPONENCIAL
โข No memoria:
( ) ( )sXPtXtsXP >=>
+>
รณ ( ) ( ) ( )tXPsXPtsXP >>=+> *
Nota: Hay que tener cuidado con las unidades en que estรกn y t. ฮป DISTRIBUCIรN DE POISSON DEFINICION El proceso de conteo ( )[ ]0, โฅttN es llamado proceso de Poisson con rata 0ฮปฮป, > si:
โข N(0) = 0 โข El proceso tiene incrementos independientes. โข El numero de eventos en cualquier intervalo de longitud t es distribuido Poisson con
media ฮปt . Esto es, que para todo 0, โฅts
( ) ( )[ ] ( )n!ฮปte ฮปt n
nsNstNPโ
==โ+
PROPIEDADES Considere un proceso de Poisson con parรกmetro ฮป en donde sus eventos pueden ser de tipo I con probabilidad p y de tipo II con probabilidad (1-p). Sea ( )tN1
y ( )tN 2 denoten respectivamente el numero de eventos de Tipo I y Tipo II
ocurridos en [0,t]. Note que ( ) ( ) ( )tt NNtN 21+= .
PROPOSICION:
( ){ }0,1
โฅttN y ( ){ }0,2
โฅttN son ambos procesos de Poisson con ratas ฮปp y ( )p1ฮป โ respectivamente, ademรกs son independientes.
Tipo I ( )ฮปp.PP
( )ฮป.PP
Tipo II ( )( )p-1ฮป.PP ( )ฮป1.PP ( )ฮปฮป 21. +PP ( )ฮป2.PP
EJEMPLOS Punto 1. Si X y Y son dos V.A. Poisson independientes con medias ฮป1 y ฮป2 respectivamente. Calcule el valor esperado de X dado X + Y = n.
( ) ( )( )
( )( )โโ
โโโโ
=+โ===
โโ โโ
โโ
=+=+===+
=
nYXPknYkXP
nYXPnYXkXP
nYXkXP
,
,
Para poder resolver el problema hay que determinar P(X + Y = n).
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )( )!
2!1ฮปฮป
!2
ฮป
!1
ฮป
,
ฮปฮป
ฮปฮป
k-nn
0k
k
k-nn
0k
k
0
0
21
21
knk
knk
knYPkXP
knYkXPnYXP
e
ee
n
k
n
k
โ=
โ=
โ===
โ====+
โ
โ
โ
โ
=
+โ
โ
=
โ
=
=
( )
( )
( )
( )
( ) )(Poisson P. 21!
ฮปฮป
1 2!
ฮปฮป
!1k
2!
ฮปฮป
ฮปฮปฮปฮป
ฮปฮป
21
n
0k
k-n
n
0k
21
21
21
+=
โโโ
โโโโ
โ=
โ=
+
โ
โ
+โ
=
+โ
=
+โ
n
n-k
n
kkn
n
knk!n!
n
e
ฮปฮปe
e
Luego, continuando con el problema inicial:
( ) ( )( )
( )( )
( )
( ) โโ
โโโ
โ+
โโ
โโโ
โ+
+
โ
+โ
โโ
=
โโโ
โ
โ
โโโ
โ
โ
โโโโ
โ
โ
โโโ
โ
โ
=
โโ โโ
โโ
=+โ====+
=
ฮปฮปฮป
ฮปฮปฮป
ฮปฮป
ฮปฮป
21
2
21
1!k-nk!
n!
21!
ฮปฮป!
2ฮป
*!
1ฮป
,
21
21k-nk
knk
n
n
knk
nYXPknYkXP
nYXkXP
e
ee
~Binomialโโโ
โโโโ
โโโ
โโโ
โ+
=ฮปฮปฮป
21
1p
PUNTO 2 En un laboratorio estรกn experimentando con una bacteria mortal, suponga que una persona que esta en contacto con dicha bacteria se contamina con una probabilidad p. Si รฉl numero de cientรญficos que entran al laboratorio tiene una distribuciรณn de PP( ฮป ) y ocurre un accidente en el laboratorio con el cual se libera la bacteria:
a) ยฟCuรกl es la probabilidad de que nadie se contagie? X = No. De personas contagiadas P(X=0) = ? N = No. De personas que entran al laboratorio.
( ) ( ) ( )โโ
=
=====
0
00n
nNPnNXPXP
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )( )
( )
!*
!
!
0
00
1
0
0
0
0
1
1
e
ee
pe
ep
e
p
p
n
n
nn
n
n
n
n
n
n
nnNXP
nNPnNXPXP
ฮป
ฮปฮป
ฮป
ฮป
ฮป
ฮป
ฮป
ฮป
โ
โโ
โ
=
โ
โ
=
โ
โ
=
โ
โ
=
=
=
=
=
===
=====
โโ
โ โ
โ
โ
b) ยฟCuรกl es la probabilidad de que se contagien i personas?
( ) ( ) ( )โโ
=
=====
0nnNPnN
iXPiXP
( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )
( )
1
0
0
0
0
0
1
1
1
i!
*
i!
*
!in
*
i!
*
***n!
*!ini!
n!
n!
ini
n!nN
iXP
nNPnNiXPiXP
eฮปp
eeฮปp
pฮปeฮปp
eppฮปฮป
ฮปeppin
ฮปe
ฮปpi
pฮปฮปi
n
ininฮปi
ฮปini
n
ini
n
nฮป
n
nฮป
n
โ
โ
โ
โ
=
โโโ
โโโ
=
โ
โ
=
โ
โ
=
โ
โ
=
=
=
โ=
โ=
โ=
===
=====
โโ
โโ
โ โโโโ
โโโโ
โ
โ
โ