CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN Cuando tenemos dos elementos que almacenan energΓa (distintos) o
en el caso que no se pueda determinar un equivalente, entre dos inductancias o dos capacitores.
C
L1 2
R
VsR C
IsL
1
2
C2
R
C1Is
1- 2-
3- 4-R1
L2
1
2
VsL1
1
2
R2
CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN (RLC En serie ,sin Fuente)
Si derivamos y ordenamos nos queda
EcuaciΓ³n diferencial de segundo orden
π α»πΏ(0 = πΌ0 π£ α»π(0 = π0
πΏπ2π
ππ‘2+ π
ππ
ππ‘+π
πΆ= 0
Proponemos como
soluciΓ³n una funciΓ³n
exponencial
π = π΄ππ π‘
ππ
ππ‘= π π΄ππ π‘
π2π
ππ‘2= π 2π΄ππ π‘
πΏπ 2π΄ππ π‘ + π π π΄ππ π‘ +1
ππ΄ππ π‘ = 0
Para poder resolver esta ecuaciΓ³n es necesario
conocer el valor de i(0) y de su primer derivada ππ(0α»
ππ‘
β π α»(0 = πΌ0
de (1) tenemos
πΏ. π. πΎ β ππ + πΏππ
ππ‘+1
πΰΆ±ββ
π‘
πππ‘ = 0 (1α»
π α»(0 π + πΏππ α»(0
ππ‘+ π0 = 0
β ππ α»(0
ππ‘= β
1
πΏ(π α»(0 π + π0α»
β’ Para esta situaciΓ³n vamos a determinar la
corriente en el inductor.
aa
Io
-
R L1 2
i(t) CVo
aa
a
+
Figura 1
CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN (RLC En serie ,sin Fuente)
π 2πΏ + π π +1
πΆ= 0
a b c
π1β2 =βπ Β± π2 β 4ππ
2πβ π1β2=
βπ Β± π 2 β 4πΏ/πΆ
2πΏβ π1β2=
βπ
2πΏΒ± (
π
2πΏα»2 β
4 πΏ
4 πΆπ2
π2 = βπ
2πΏβ (
π
2πΏα»2 β
1
πΏπΆ
EcuaciΓ³n caracterΓsticaπ΄ππ π‘ π 2πΏ + π π +1
π= 0 β
π1 = βπ
2πΏ+ (
π
2πΏα»2 β
1
πΏπΆπ1 = β Ξ± + πΌ2 β π0
2
π2 = β Ξ± β πΌ2 β π02
Ξ± =π
2πΏ; π0 =
1
πΏπΆ
CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN (RLC En serie ,sin Fuente)
Los dos valores de β S β, indican que hay dos posibles valores para la corriente.
Respuesta natural del circuito
π(πα» = π¨πππππ + π¨ππ
πππ
Discriminante
π1β2 = β Ξ± Β± πΌ2 β π02
Ξ± =π
2πΏ; π0 =
1
πΏπΆ
πΌ ππ ππ ππππ‘ππ ππ πππππ‘πππ’ππππππ‘π medida en (Np/s)
segundo.
π0 se la conoce como frecuencia resonante o frecuencia natural
no amortiguada medida en (rad/s)
S1 y S2 se denominan frecuencias naturales en (Np/s) porque se
asocian a las respuestas naturales del circuito.
CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN (RLC En serie ,sin Fuente)
Analizando el Discriminante
RESPUESTA SOBREAMORTIGUADA
* Si el Discriminante es mayor que cero, se tiene dos raΓces reales y distintas.
π1β2 =βπ
2πΏΒ± πΌ2 β π0
2
Discriminante
Ξ± > π0
π(πα» = π¨πππππ + π¨ππ
πππ
CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN (RLC En serie ,sin Fuente)
RESPUESTA CRITICAMENTE AMORTIGUADA
* Si el Discriminante es igual a cero, se tienen dos raΓces reales, iguales y negativas.
tetAAti β+= )()( 21
Analizando el Discriminante
π1β2 =βπ
2πΏΒ± πΌ2 β π0
2
Discriminante
Ξ± = π0
Nota: determinar π(π‘α», tener presente que para este caso, la propuesta de una funciΓ³n exponencial es incorrecta.
CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN (RLC En serie ,sin Fuente)
RESPUESTA SUBAMORTIGUADA
* Si el Discriminante es menor a cero, se obtienen dos raΓces complejas conjugadas.
)()( += β tsenAeti d
t
π π‘ = πβπΌπ‘ (π΅1 πππ π€ππ‘ + π΅2 π ππ α»π€ππ‘Analizando el Discriminante
π1β2 =βπ
2πΏΒ± πΌ2 β π0
2
Discriminante
Ξ± < π0
CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN (RLC En serie ,sin Fuente) Caso Subamortiguado
ππ frecuencia natural amortiguada
Ξ± < π0 Ξ± =π
2πΏ; π0 =
1
πΏπΆ
π1 = β Ξ± + β π02 β πΌ2 = β Ξ± + πππ
π2 = β Ξ± β β π02 β πΌ2 = β Ξ± β πππ
para lo cual π = β1 π¦ ππ = π02 β πΌ2
π1 β2 = β Ξ± Β± πππ ππππππππ§ππππ ππ π(πα» = π¨πππππ + π¨ππ
πππ
π(π‘α» = π΄1π(β Ξ± + πππα»π‘ + π΄2π
β Ξ± β πππ π‘
π(π‘α» = πβ Ξ±π‘(π΄1π(πππα»π‘ + π΄2π
β πππ π‘)
Formula de Euler
πβππ = cos π β π sin π
πππ = cosπ + π sin π
π(π‘α» = πβ Ξ±π‘ π΄1 cosπππ‘ + π sinπππ‘ + π΄2 cosπππ‘ β π sinπππ‘
π(π‘α» = πβ Ξ±π‘ (π΄1cosπππ‘ + π΄2 cosπππ‘α» + (π΄1π sinπππ‘ β π΄2π sinπππ‘α»
π(π‘α» = πβ Ξ±π‘ (π΄1+π΄2α» cosπππ‘ + (π΄1βπ΄2α»π sinπππ‘
π΅1 π΅2πππππ π΅1 y π΅2, πππ ππππ π‘πππ‘ππ πππππ‘πππππ π¦ ππ’π ππππππ π ππ ππ’πππππ ππππππ πππππ’π ππ π π ππ ππππ ππ₯ππ π‘π, πππππππ escribir lo siguiente:
CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN (RLC En serie ,sin Fuente) Caso Subamortiguado
π(π‘α» = πβ Ξ±π‘ π΅1 cosπππ‘ + π΅2 sinπππ‘
π΄ sin ΞΈ π΄ coπ π
Podemos expresar en una forma mas apropiada para ver mas simple la respuesta, haciendo lo siguiente:
π(π‘α» = πβ Ξ±π‘ (π΄π ππΞΈ β cosπππ‘α» + (π΄πππ ΞΈ β π πππππ‘α»
π(π‘α» = π΄ πβ Ξ±π‘ π ππ(πππ‘ + ΞΈ )
Suma y diferencia de Γ‘ngulos
Senosin(π₯ + π¦α» = sin π₯ β cos π¦ + cos π₯ β sin π¦sin(π₯ β π¦α» = sin π₯ β cos π¦ β cos π₯ β sin π¦
Cosenocoπ (π₯ + π¦α» = cos π₯ β cos π¦ β sin π₯ β sin π¦coπ (π₯ β π¦α» = cos π₯ β cos π¦ + sin π₯ β sin π¦
Tangente
tg(π₯ + π¦α» =π‘π π₯ +π‘π π¦
1β (π‘π π₯ βπ‘π π¦α»tg(π₯ β π¦α» =
π‘π π₯ βπ‘π π¦
1β (π‘π π₯ βπ‘π π¦α»
CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN (RLC En paralelo, sin Fuente)
π α»πΏ(0 = πΌ0 =1
πΏΰΆ±β
0
π£ π‘ ππ‘
π£ α»π(0 = π0
β’ Para esta situaciΓ³n vamos a determinar
la tensiΓ³n en el capacitor.
Para poder resolver esta ecuaciΓ³n es necesario
conocer el valor de v(0) y de su primer derivada ππ£(0α»
ππ‘
Derivamos y ordenamos nos queda
πΏ. C. πΎ βπ£
π +1
πΏΰΆ±ββ
π‘
π£ππ‘ + πΆππ£
ππ‘= 0 (1α»
EcuaciΓ³n diferencial de segundo orden
πΆπ2π£
ππ‘2+
1
π
ππ£
ππ‘+π£
πΏ= 0
Proponemos como
soluciΓ³n una funciΓ³n
exponencial
π£ = π΄ππ π‘
ππ£
ππ‘= π π΄ππ π‘
π2π£
ππ‘2= π 2π΄ππ π‘
πΆπ 2π΄ππ π‘ +1
π π π΄ππ π‘ +
1
πΏπ΄ππ π‘ = 0
β π£ α»(0 = π0
de (1) tenemosπ£ α»(0
π + πΆ
ππ£ α»(0
ππ‘+ πΌ0 = 0
β ππ£ α»(0
ππ‘= β
1
πΆ(π£ α»(0
π + πΌ0α»
CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN (RLC En paralelo, sin Fuente)
π α»πΏ(0 = πΌ0 =1
πΏΰΆ±β
0
π£ π‘ ππ‘
π£ α»π(0 = π0
β’ Para esta situaciΓ³n vamos a determinar
la tensiΓ³n en el capacitor.
Para poder resolver esta ecuaciΓ³n es necesario
conocer el valor de v(0) y de su primer derivada ππ£(0α»
ππ‘
Derivamos y ordenamos nos queda
πΏ. C. πΎ βπ£
π +1
πΏΰΆ±ββ
π‘
π£ππ‘ + πΆππ£
ππ‘= 0 (1α»
EcuaciΓ³n diferencial de segundo orden
πΆπ2π£
ππ‘2+
1
π
ππ£
ππ‘+π£
πΏ= 0
Proponemos como
soluciΓ³n una funciΓ³n
exponencial
π£ = π΄ππ π‘
ππ£
ππ‘= π π΄ππ π‘
π2π£
ππ‘2= π 2π΄ππ π‘
πΆπ 2π΄ππ π‘ +1
π π π΄ππ π‘ +
1
πΏπ΄ππ π‘ = 0
β π£ α»(0 = π0
de (1) tenemosπ£ α»(0
π + πΆ
ππ£ α»(0
ππ‘+ πΌ0 = 0
β ππ£ α»(0
ππ‘= β
1
πΆ(π£ α»(0
π + πΌ0α»
CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN (RLC En paralelo, sin Fuente)
π 2C + π 1
π +1
πΏ= 0
π1β2 =βπ Β± π2 β 4ππ
2πβ π1β2=
β1/π Β± (1/π α»2β4πΆ/πΏ
2πΆβ π1β2=
β1
2π πΆΒ± (
1
2π πΆα»2 β
1
πΏπΆ
EcuaciΓ³n caracterΓstica
π΄ππ π‘ π 2C + π 1
π +1
πΏ= 0 β
π1 = β1
2π πΆ+ (
1
2π πΆα»2 β
1
πΏπΆ
π1 = β Ξ± + πΌ2 β π02
π2 = β Ξ± β πΌ2 β π02
Ξ± =1
2π πΆ; π0 =
1
πΏπΆ
π2 = β1
2π πΆβ (
1
2π πΆα»2 β
1
πΏπΆ
CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN (RLC En paralelo, sin Fuente)
Figura 4
β’ Respuesta sobreamortiguada Ξ± > π0
π£(π‘α» = π΄1ππ 1π‘ + π΄2π
π 2π‘
β’ Respuesta crΓticamente amortiguada Ξ± = π0
β’ Respuesta sobamortiguada Ξ± < π0
π£(π‘α» = (π΄1 + π΄2π‘α» πβπΌπ‘
π£ π‘ = πβπΌπ‘ (π΅1 πππ π€ππ‘ + π΅2 π ππ α»π€ππ‘
π£ π‘ = π΄πβπΌπ‘ π ππ(πππ‘ + π)
Ejemplo 8.1
Ejemplo 8.1
Interruptor cerrado mucho tiempo antes de t=0
Interruptor abierto en el tiempo t=0+
Para t > 0, t β β
Ejemplo 8.1, Problema de prΓ‘ctica
C2
0.4
Req
10
L1
2
1
2
+
-+
-
+
-
β’ Condiciones iniciales , Circuito 1
Circuitos de Segundo orden sin fuentes
i(t)
Circuito 1, en estado estable
para t < 0 , S1 esta cerrado
y S2 abierto.
Circuito 2, en t = 0 , S1
se abre y S2 se cierra.
Ahora analizamos para t > 0
S2
1 2
-
Io
Vo
S1
1 2R
i(t)
R= 4 Ohm
aa
a
L1 2aa
R1
1k
-
L = 1 H
1
2
++
t = 0
aa
a
V
10Vdc
CC= 1/3 F
t = 0
π α»πΏ(0 = πΌ0 = 0 π΄ π£ α»π(0 = π0 = 10 π
πΏ. π. πΎ β ππ + πΏππ
ππ‘+1
πΰΆ±ββ
π‘
πππ‘ = 0
β’ Para el Circuito 2
πΏπ2π
ππ‘2+ π
ππ
ππ‘+π
πΆ= 0
πΏπ 2π΄ππ π‘ + π π π΄ππ π‘ +1
ππ΄ππ π‘ = 0
EcuaciΓ³n diferencial de segundo orden
β π1β2=βπ
2πΏΒ± (
π
2πΏα»2 β
4 πΏ
4 πΆπ2
π1 = β Ξ± + πΌ2 β π02 = β1
π2 = β Ξ± β πΌ2 β π02 = β3
Ξ± =π
2πΏ= 2 ; π0 =
1
πΏπΆ= 3
π 2πΏ + π π +1
πΆ= 0
β’ Determino las raΓces y el tipo de respuesta
Ξ± > π0 π πππ’ππ π‘π π ππππππππ‘πππ’πππ
β’ La respuesta en este caso de corriente es
π(π‘α» = π΄1πβπ‘ + π΄2π
β3π‘ (1)
β’ Para determinar las constante, partimos de la condiciΓ³n inicial y evaluamos la funciΓ³n en t=0
π(0α» = 0 = π΄1π0 + π΄2π
0 πππ‘πππππ β 0 = π΄1+ π΄2 (2)
β’ Derivo la ecuaciΓ³n (1)ππ
ππ‘= βπ΄1π
βπ‘ -3 π΄2πβ3π‘ (3)
β’ Derivo la ecuaciΓ³n (1) ππ
ππ‘= βπ΄1π
βπ‘ -3 π΄2πβ3π‘ (3)
β ππ α»(0
ππ‘= β
1
πΏ(π α»(0 π + π0α» = 10 V Reemplazo en (3) y evaluamos para t=0β’ Determino
10 = βπ΄1π0 -3 π΄2π
0 β 10 = βA1 - 3A2 (4)
0 = π΄1+ π΄2 (2)
10 = βA1 - 3A2 (4)
β’ Teniendo en cuenta las ecuaciones (2) y (4), determino los valores de las constantes
π΄1 = 5 , π΄2 = β5
π(π‘α» = 5πβπ‘ - 5πβ3π‘β’ Respuesta
π(π‘α» = 5πβπ‘ - 5πβ3π‘
β’ Condiciones iniciales , Circuito 1
Circuitos de Segundo orden sin fuentes
π α»πΏ(0 = πΌ0 = 0 π΄ π£ α»π(0 = π0 = 10 π
πΏ. π. πΎ β ππ + πΏππ
ππ‘+1
πΰΆ±ββ
π‘
πππ‘ = 0
β’ Para el Circuito 2
πΏπ2π
ππ‘2+ π
ππ
ππ‘+π
πΆ= 0
πΏπ 2π΄ππ π‘ + π π π΄ππ π‘ +1
ππ΄ππ π‘ = 0
EcuaciΓ³n diferencial de segundo orden
Circuito 2, en t = 0 , S1
se abre y S2 se cierra.
Ahora analizamos para t > 0
R
S1
1 2L
1 2
Io
Vo
i(t)i(t)
aa
a
C
-
aa
+
-
Circuito 1, en estado estable
para t < 0 , S1 esta cerrado
y S2 abierto.
+
V
10Vdc
aa
a
C= 1/17 F
R1
1k
R= 2 Ohmt = 0
L = 1 H
1
2
S2
1 2
t = 0
β π1β2=βπ
2πΏΒ± (
π
2πΏα»2 β
4 πΏ
4 πΆπ2
Ξ± =π
2πΏ= 1 ; π0 =
1
πΏπΆ= 17
π 2πΏ + π π +1
πΆ= 0
β’ Determino las raΓces y el tipo de respuesta
Ξ± < π0 π πππ’ππ π‘π π π’πππππ‘πππ’πππ
β’ La respuesta en este caso de corriente es
β’ Para determinar las constante, partimos de la condiciΓ³n inicial y evaluamos la funciΓ³n en t=0
π 0 = 0 = π΄ πβ 0 sin(4 β 0 + π ) πππ‘πππππ β 0 = π΄π ππ(π ) (2)
Aβ 0 β π ππ(π ) = 0 β
π1 = β Ξ± + β π02 β πΌ2 = β Ξ± + πππ
π2 = β Ξ± β β π02 β πΌ2 = β Ξ± β πππ
para lo cual π = β1 π¦ ππ = π02 β πΌ2
π1 β2 = β Ξ± Β± πππ = β1 Β± π4
π(π‘α» = π΄ πβ π‘ π ππ(4π‘ + ΞΈ ) (1)
π = 0
β’ Derivo la ecuaciΓ³n (1)
ππ
ππ‘= π΄ πβ π‘ π ππ(4π‘ + ΞΈ ) = βπ΄ πβ π‘ π ππ(4π‘ + ΞΈ ) + π΄ πβ π‘ 4 πππ (4π‘ + ΞΈ )
β ππ α»(0
ππ‘= β
1
πΏ(π α»(0 π + π0α» = 10 V Reemplazo en (1) y evaluamos para t=0β’ Determino Es - π0
10= βπ΄ πβ 0 π ππ(4 β 0 + 0 ) + π΄ πβ 0 4 πππ (4 β 0 + 0 ) = 0 + 4 π΄ β 10 = 4 π΄ A =5
2
π(π‘α» =5
2πβπ‘π ππ(4π‘ ) β’ Respuesta
ππ = 4 = 2ππ β π =1
π
π =2π
4= 1,5708 π
π(π‘α» = π΄ πβ π‘ π ππ(4π‘ + ΞΈ ) (1)
ππ = 4 = 2ππ β π =1
π
π =2π
4= 1,5708 π
π
π(π‘α» =5
2πβπ‘π ππ(4π‘ )
πΏπ’πππ ππ πππ 5 π , ππ ππππππππSe lo considera extinguido.
Respuesta completa CD
β’ La respuesta completa en un circuito, es la suma de la respuesta Forzada mΓ‘s la Natural
β’ Respuesta Forzada : Es la que perdura en el tiempo.
i(t)
L
1
2
S1
TCLOSE = 0
1 2R
Corriente a travΓ©s del
Inductor
Circuito RL
V
aa V v(t)
R
TensiΓ³n a bornes del
capacitor
S1
TCLOSE = 0
1 2
Circuito RC
+
-
C1
ππ =π
π π£π = π
aaaaa
R1 =10
V1
20VdcS2
TOPEN = 0
1 2
aa
V1
20Vdc
L3
2
1
2
S1
TCLOSE = 0
1 2
aa
V3
10Vdc
Io Io
R1 =10
L3
2
1
2
i(t)
R3
5
EjemploDeterminar la respuesta completa π(π‘α» = ππ + ππ )
πΌ0 =π3π 3
=10
5= 2 π΄
β’ Para t = 0, S1 se cierra y S2 se abre
ππ + πΏππ
ππ‘= 0
ππ =π1π 1
=20
10= 2 π΄
aaaaa
L3
2
1
2
i(t)
Io
aa
R1 =10
ππ = π΄π βπ πΏπ‘ = π΄π β5π‘
π(π‘α» = ππ + ππ = 2 + π΄π β5π‘ ππππ πππ‘πππππππ ππ ππππ π‘πππ‘π "A" ππ£πππ’ππππ ππ π‘ = 0
β’ Completa
β’ Forzada
β’ Natural
π(0α» = β2 = 2 + π΄ β π΄ = β4
π(π‘α» = 2 β 4π β5π‘
Periodo Transitorio Estado Estable
π =1
ππ΄ =
1
5= 0,2 π ππ2π
π(π‘α» = 2 β 4π β5π‘
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