5. ANALISIS DE LA ESTRUCTURA SOBRE BASE FLEXIBLE
El anlisis simplificado de interaccin suelo-estructura consiste en determinar la
respuesta de la estructura apoyada sobre los resortes y amortiguadores del suelo
y excitada por los movimientos de entrada de la cimentacin. Para ello cabe acudir
a mtodos estndar de dinmica estructural. Para fines de diseo, los efectos de
interaccin suelen tenerse en cuenta slo en el modo fundamental de vibracin de
la estructura. En este caso es necesario reducir el sistema completo a un sistema
equivalente unimodal.
5.1 Sistema equivalente
Si la estructura de varios grados de libertad responde en su condicin de base
rgida esencialmente como un oscilador elemental, el sistema suelo-estructura
puede reemplazarse por el sistema equivalente que se muestra en la fig. 5.1. Los
parmetros , , y H representan la masa, rigidez, amortiguamiento y
altura efectivos correspondientes al modo fundamental de base rgida. Adems, D
es el enterramiento de la cimentacin, mientras que M y son la masa de la
cimentacin y el momento de inercia de dicha masa con respecto al eje de
rotacin de la base. La inercia rotacional de la masa de la estructura se ha
despreciado.
eM eK eC e
c cJ
Fig. 5.1 Sistema equivalente para el modo fundamental.
Los parmetros modales del oscilador elemental se obtienen a partir del periodo y
amortiguamiento del modo fundamental de base rgida, e igualando el cortante
basal y momento de volteo asociados a dicho modo con el cortante basal y
momento de volteo del oscilador, lo que conduce a las siguientes expresiones
(Wolf, 1985):
=
=
= N
nnn
N
nnn
e
M
MM
1
21
2
11
(5.1)
224
e
ee T
MK = (5.2)
eeee T
MC = 4 (5.3)
=
=
= N
nnn
N
nnnn
e
M
hMH
11
11
(5.4)
donde es el periodo fundamental y el amortiguamiento viscoso de la estructura con base indeformable, M es la masa del nivel n, h su altura sobre el
desplante y su amplitud modal.
eT e
n n
1n
El sistema equivalente consta de tres grados de libertad que son: U , la
deformacin de la estructura; U , el desplazamiento de la base relativo al
movimiento efectivo U de traslacin; y , la rotacin de la base relativa al
movimiento efectivo de rotacin. Para vibraciones pequeas, el
desplazamiento lateral de la estructura es igual a U
mientras que el desplazamiento y cabeceo de la cimentacin son iguales a
y , respectivamente.
e
c +)
c
o c
o
eoeco UDHU ++++ )(( ,
co UU + co +
Para obtener las ecuaciones de movimiento del sistema equivalente se deben
plantear el equilibrio dinmico de la masa de la estructura en traslacin y el
equilibrio dinmico de la masa de la cimentacin en traslacin y rotacin. Para
excitacin armnica con frecuencia circular , el equilibrio de fuerzas actuando
sobre la estructura est dado por
])([)(])([
2
2
oeoe
eeeecece
DHUM
UKCiUDHUM
++=+++++
(5.5)
mientras que el equilibrio de fuerzas y momentos actuando sobre la cimentacin
est dado por
)()()()(
2
2
ooc
ochrhrchhccc
EUM
VKCiUKCiEUM
+=+++++
(5.6)
ocooc
ocrrchrhrccccc
JEUEM
MKCiUKCiJEUEM
++=+++++
22
22
)()()()(
(5.7)
donde 2DE = y es el momento de inercia de la masa de la
cimentacin con respecto a su centroide. Adems, V es el
cortante en la base de la estructura y el momento de volteo en la
base de la cimentacin. Cabe sealar que el factor es omitido por simplicidad.
2EMJJ ccc =
eeeo UKCi )( +=
)( DHVM eoo +=
tie
Expresando V y M en trminos de la ec. 5.5 y sustituyendo en las ecs. 5.6 y 5.7,
respectivamente, las ecuaciones de equilibrio del sistema pueden escribirse en
forma matricial como
o o
}{][ ~~~~~~ 22 orohgssss QQUi JMUMCK +=+ (5.8)
donde U es el vector de desplazamientos del sistema. Adems, M
y son vectores de carga definidos como
Tcces UU },,{
~ = o~
oJ~
++
+=
EMDHMMM
M
cee
ce
e
o
)(
~M (5.9)
++
++
+
=
cee
cee
ee
o
JDHMEMDHM
DHM
2)()(
)(~J (5.10)
mientras que M , y K son las matrices de masa, amortiguamiento y rigidez
del sistema, respectivamente, definidas como
s~
sC~
s~
+++++
+++
+
=
ceeceeee
ceecee
eeee
s
JDHMEMDHMDHMEMDHMMMM
DHMMM
2)()()()(
)(~M (5.11)
=
rhr
hrh
e
s
CCCC
C
00
00~C (5.12)
=
rhr
hrh
e
s
KKKK
K
00
00~K (5.13)
Ntese que los cocientes goh UU=Q y gor U=Q son precisamente las
funciones de transferencia de los componentes del movimiento de entrada.
El sistema no posee modos naturales clsicos de vibracin debido al tipo de
amortiguamiento que lo caracteriza (Newmark y Rosenblueth, 1971), por lo que no
es posible evaluar la respuesta estructural mediante la tcnica estndar de
superposicin modal. Aunque el sistema puede analizarse mediante un mtodo
paso a paso que tenga en cuenta explcitamente el comportamiento no lineal y
amortiguamiento de la estructura, resulta ms conveniente utilizar el mtodo de la
respuesta compleja en la frecuencia (Clough y Penzien, 1975).
5.2 Periodo y amortiguamiento efectivos
Se entiende como periodo y amortiguamiento efectivos del sistema a las
propiedades dinmicas relevantes de la estructura modificadas por la interaccin
con el suelo. Estos parmetros pueden obtenerse por medio de una analoga entre
el sistema real excitado con el movimiento de entrada de la cimentacin y un
oscilador de reemplazo excitado con el movimiento de campo libre en la superficie
del terreno, como se ilustra en la fig. 5.2. La ventaja prctica de este enfoque es
que la mxima respuesta estructural la podemos calcular usando espectros de
respuesta estndar de campo libre, aplicables al periodo y amortiguamiento
efectivos (Avils y Prez-Rocha, 1996 y 1998).
+
Me
eT e
hrhK , K
eM
Te e ~ ~
M Jc D
H
2 R
e
c
Xo
Xg
o
K , Kr rhC , Cr rh
C , C
....
..
h hr
Fig. 5.2 (a) Sistema suelo-estructura sujeto al movimiento efectivo de la cimentacin y (b) oscilador de reemplazo sujeto al movimiento de campo libre.
5.2.1 Determinacin rigurosa
Es posible determinar rigurosamente el periodo y amortiguamiento efectivos
directamente de la funcin de transferencia del sistema. Si procedemos a analizar
el sistema acoplado ante excitacin armnica, usando el mtodo de la respuesta
compleja en la frecuencia, calcularemos el cociente gee UU22)( =Q que
relaciona la seudoaceleracin estructural entre la aceleracin de campo libre en la
superficie del terreno; ee T= 2
e~
es la frecuencia fundamental de la estructura
con base rgida. La frecuencia y respuesta resonantes medidas en la funcin de
transferencia del sistema acoplado se igualan entonces a las cantidades
correspondientes del oscilador de reemplazo. De este modo, el periodo y
amortiguamiento efectivos T y se determinan usando las siguientes
expresiones (Avils y Prez-Rocha, 1996):
e~
resee TT2~21~ = (5.14)
21
2
2 1121~
=res
rese Q
Q (5.15)
donde es el periodo resonante y Q la respuesta mxima medidos en la
funcin de transferencia del sistema. El uso de estas expresiones en lugar de
y
resT res
rese TT =~
rese H21=~ obedece a que los valores del amortiguamiento efectivo pueden exceder considerablemente al amortiguamiento estructural que
comnmente es muy bajo, por lo que los trminos de amortiguamiento de segundo
orden no pueden despreciarse.
Con esta analoga se logra, en general, una excelente coincidencia entre las
respuestas armnicas de la estructura real y el oscilador de reemplazo. La
concordancia entre las respuestas mximas ante excitacin transitoria tambin es
satisfactoria, como habr de mostrase posteriormente. No obstante, como la
funcin de transferencia del sistema acoplado no es exactamente la de un
oscilador elemental, el concepto de periodo y amortiguamiento efectivos est
restringido para algunos casos, como sucede con estructuras bajas con
cimentacin enterrada en estratos someros.
Fig. 5.3 (a) Funciones de transferencia para un sistema suelo-estructura (lnea continua) y el oscilador de reemplazo (discontinua).
En la fig. 5.3 se muestra el grado de acuerdo entre las funciones de transferencia
del oscilador de reemplazo y un sistema con =RD 1, =RHe 1 y = ese TH 0.2. Las abscisas denotan la relacin entre el periodo de la excitacin oo = 2 yT el
periodo natural de la estructura con base rgida. Los resultados que se despliegan
corresponden a tres casos: 1) la condicin de base indeformable, 2) sin efectos de
interaccin cinemtica y 3) con efectos de interaccin cinemtica. Como se
aprecia, el periodo del sistema se alarga y su amortiguamiento aumenta con
respecto a los valores del caso 1. Resalta el hecho de que los periodos resonantes
son prcticamente iguales en los casos 2 y 3, lo que significa que el periodo del
sistema es poco sensible a la interaccin cinemtica. En cambio, la diferencia en
las respuestas resonantes refleja claramente este efecto en el amortiguamiento
del sistema.
5.2.2 Determinacin aproximada
En aplicaciones de ingeniera es aceptable determinar el periodo y
amortiguamiento efectivos del sistema en forma aproximada. La respuesta del
sistema acoplado puede calcularse aproximadamente despreciando la influencia
de la masa de la cimentacin y su momento de inercia asociado con la base, as
como el efecto de la rigidez y el amortiguamiento acoplados del suelo. En estas
condiciones, la ec. 5.8 toma la forma simplificada
)16.5( )()()(
)(
)()()()()(
000000
000000
2
2
2
2
+
+
+
+
+
=
+++
+
+
+
DHMDHMDHM
QDHM
MM
QU
UU
DHMDHMDHMDHMMMDHMMM
CC
Ci
KK
K
ee
ee
ee
r
ee
e
e
hg
c
c
e
eeeeee
eeee
eeee
r
h
e
r
h
e
Dividiendo los dos primeros renglones de la ec. 5.16 entre y el tercero entre
, esta ecuacin se reduce a
eM2
)(2 DHM ee +
++=
+
+
+
+
111
])([
)(1)21(11
11)21(1
111)21(
2
2
2
2
2
2
rehg
ce
c
e
rr
hh
ee
QDHQU
DHUU
i
i
i
(5.17)
donde y son las frecuencias naturales que tendra la estructura si fuera
infinitamente rgida y su base slo se pudiera trasladar o balancear,
respectivamente, definidas por
h r
e
hh M
K=2 (5.18)
22
)( DHMK
ee
rr += (5.19)
Adems, eee = )( mientras que y son los factores de amortiguamiento del suelo para los modos de traslacin y rotacin de la cimentacin,
respectivamente, dados por
h r
h
hh K
C2
= (5.20)
r
rr K
C2
= (5.21)
Resolviendo el sistema complejo de ecuaciones algebraicas dado por la ec. 5.17,
despreciando los trminos de amortiguamiento de segundo orden, la
seudoaceleracin estructural normalizada resulta ser
+
++=
)()(21
)(
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
2
reh
heh
erhe
reh
g
ee
i
QDHQUU (5.22)
La frecuencia efectiva se determina a partir de la condicin de resonancia, la
cual establece que la respuesta no amortiguada llega a ser infinita cuando .
Haciendo en la ec. 5.22, se desprende la siguiente expresin para
la frecuencia resonante:
e~
0=
e=~
== rhe
2222111
~1
rhee +
+
=
(5.23)
Para determinar el amortiguamiento efectivo , el valor mximo absoluto de la
seudoaceleracin del sistema, obtenido de la ec. 5.22 sustituyendo , se
iguala a
e~
e=~
e~21 correspondiente a la respuesta resonante del oscilador de reemplazo. Esto nos conduce a
+
+
++= 22
2
2
3
31
~~~)(~
r
er
h
eh
e
eerehe QDHQ (5.24)
donde las funciones de transferencia Q y Q , los amortiguamientos y , y las
frecuencias naturales y deben evaluarse para .
h r h rh r e=
~
Estas expresiones son similares a las que se obtienen de considerar slo la
interaccin inercial (Avils, 1996), excepto que el amortiguamiento efectivo est
dividido entre el factor reh QDHQ )( ++ que representa la contribucin de la
interaccin cinemtica. En consecuencia, el periodo y amortiguamiento efectivos
con interaccin cinemtica pueden estimarse como
i
ec
e TT~~
(5.25)
reh
iec
e Q+DH+Q )(
~~ (5.26)
donde T y son el periodo y amortiguamiento efectivos debidos solamente a la
interaccin inercial.
ie
~ ie~
5.3 Sistema completo
Para tener en cuenta los efectos de interaccin en los modos superiores de
vibracin es necesario analizar el sistema completo que se muestra en la fig. 5.4.
En este caso, la estructura modelada como viga de cortante tiene N grados de
libertad en traslacin. En vista de que los resortes y amortiguadores de apoyo
dependen de la frecuencia de excitacin y de que no existen modos naturales
clsicos de vibracin, para determinar la respuesta del sistema es conveniente
utilizar el mtodo de la respuesta compleja en la frecuencia en conjunto con la
sntesis de Fourier (Clough y Penzien, 1975).
Fig. 5.4 Sistema completo de interaccin suelo-estructura.
Los grados de libertad del sistema completo son: U , el vector de
desplazamientos de la estructura relativos a su base; U , el desplazamiento de la
base relativo al movimiento efectivo U de traslacin; y , la rotacin de la base
relativa al movimiento efectivo de rotacin. De acuerdo con lo anterior, el
vector de desplazamientos de la estructura es , siendo
y H . Las ecuaciones de movimiento del
sistema completo pueden obtenerse a partir del equilibrio dinmico de fuerzas en
la estructura y del equilibrio dinmico de fuerzas y momentos en la cimentacin,
esto es:
e~
o +
c
c I~)
o
Nh
c
(+
o
D,...,
eco UU UH~~)( ++
T}1,...,1,1{~ =I TDhDh },{~ 21 +++=
][][
~~~
~~~~~~~~
HIM
UKUCUHIM
ooe
eeeeecce
U
U
+=
++++&&&&
&&&&&&& (5.27)
)(
)(
ooc
ochrchchrchccc
EUM
VKUKCUCEUM
+=
+++++&&&&
&&&&&& (5.28)
)(
)(
oococ
occcchrcrchrcrcc
EUEMJ
MEUEMUKKUCCJ
+=
++++++&&&&&&
&&&&&&&& (5.29)
donde , y K son las matrices de masa, amortiguamiento y rigidez de la
estructura con base rgida; es el momento de inercia con respecto
al centroide de la cimentacin. Adems, V es el cortante en la
base de la estructura y el momento de volteo en la base de
la cimentacin.
eM~
eC~
e~
2EMJJ ccc =
~~~{~ eeeT KUCH += &
}~~~~{~ eeeeT
o UKUCI +=&
}~eUoM
Si el cortante y momento de volteo basales se expresan en trminos de la ec. 5.27
y sustituyen en las ecs. 5.28 y 5.29, respectivamente, se encuentra que las
ecuaciones de movimiento del sistema completo tienen la siguiente forma
matricial:
oooossssss U JMUKUCUM~~~~~~~~ =++ &&&&&&& (5.30)
donde es el vector de desplazamientos del sistema, de orden
N+2. Adems, M y son vectores de carga definidos como
Tcc
Tes U },,{
~ = UU
o~
oJ~
+
+=
EMM
ceT
ceT
e
o
IMHIMI
IMM
~~~~~~
~~~ (5.31)
+
+=
ceT
ceT
e
o
JEM
HMHHMI
HMJ
~~~~~~
~~~ (5.32)
mientras que M , y K son las matrices de masa, amortiguamiento y rigidez
del sistema, estructuradas de las siguientes formas:
s~
sC~
s~
++
++=
ceT
ceT
eT
ceT
ceT
eT
eee
s
JEMEMM
HMHIMHMHHMIIMIMI
HMIMMM
~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~~ (5.33)
=
rhrT
hrhTe
s
CCCC
00
00CC
~~
~~~~ (5.34)
=
rhrT
hrhTe
s
KKKK
00
00KK
~~
~~~~ (5.35)
Aplicando trasformada de Fourier en ambos miembros de la ec. 5.30, la ecuacin
matricial de movimiento del sistema se reduce a
}{][ ~)(~)()()(~~~~ *2*2 orohgssss QQUi JMUMCK +=+ (5.36)
donde U y U representan respectivamente las trasformadas de Fourier de
la respuesta U y la excitacin U del sistema.
)(~* s )(* g
)(ts~ )(tg
Resolviendo la ec. 5.36 se obtiene la respuesta en la frecuencia del sistema, a
partir de la cual puede determinarse la correspondiente respuesta en el tiempo
utilizando la antitrasformada de Fourier. Para ello suele recurrirse al algoritmo de
la transformada rpida de Fourier (Paz, 1980).
5.4 Referencias
Avils J y Prez-Rocha L E (1996), "Evaluation of interaction effects on the system
period and the system damping due to foundation embedment and layer depth",
Soil Dynamics and Earthquake Engineering, Vol. 15, pp. 11-27.
Avils J y Prez-Rocha L E (1998), "Effects of foundation embedment during
building-soil interaction", Earthquake Engineering and Structural Dynamics, Vol.
27, pp. 1523-1540.
Clough R W y Penzien J (1975), Dynamics of Structures, McGraw-Hill, New York,
1975.
Newmark N M y Rosenblueth E (1971), Fundamentals of Earthquake Engineering,
Prentice Hall, New Jersey.
Paz M (1980), Structural Dynamics: Theory and Computation, Van Nostrand
Reinhold, New York.
Wolf J P (1985), Dynamic Soil-Structure Interaction, Prentice-Hall, New Jersey.