5. ANALISIS DE LA ESTRUCTURA SOBRE BASE FLEXIBLE

El anlisis simplificado de interaccin suelo-estructura consiste en determinar la

respuesta de la estructura apoyada sobre los resortes y amortiguadores del suelo

y excitada por los movimientos de entrada de la cimentacin. Para ello cabe acudir

a mtodos estndar de dinmica estructural. Para fines de diseo, los efectos de

interaccin suelen tenerse en cuenta slo en el modo fundamental de vibracin de

la estructura. En este caso es necesario reducir el sistema completo a un sistema

equivalente unimodal.

5.1 Sistema equivalente

Si la estructura de varios grados de libertad responde en su condicin de base

rgida esencialmente como un oscilador elemental, el sistema suelo-estructura

puede reemplazarse por el sistema equivalente que se muestra en la fig. 5.1. Los

parmetros , , y H representan la masa, rigidez, amortiguamiento y

altura efectivos correspondientes al modo fundamental de base rgida. Adems, D

es el enterramiento de la cimentacin, mientras que M y son la masa de la

cimentacin y el momento de inercia de dicha masa con respecto al eje de

rotacin de la base. La inercia rotacional de la masa de la estructura se ha

despreciado.

eM eK eC e

c cJ

Fig. 5.1 Sistema equivalente para el modo fundamental.

Los parmetros modales del oscilador elemental se obtienen a partir del periodo y

amortiguamiento del modo fundamental de base rgida, e igualando el cortante

basal y momento de volteo asociados a dicho modo con el cortante basal y

momento de volteo del oscilador, lo que conduce a las siguientes expresiones

(Wolf, 1985):

=

=

= N

nnn

N

nnn

e

M

MM

1

21

2

11

(5.1)

224

e

ee T

MK = (5.2)

eeee T

MC = 4 (5.3)

=

=

= N

nnn

N

nnnn

e

M

hMH

11

11

(5.4)

donde es el periodo fundamental y el amortiguamiento viscoso de la estructura con base indeformable, M es la masa del nivel n, h su altura sobre el

desplante y su amplitud modal.

eT e

n n

1n

El sistema equivalente consta de tres grados de libertad que son: U , la

deformacin de la estructura; U , el desplazamiento de la base relativo al

movimiento efectivo U de traslacin; y , la rotacin de la base relativa al

movimiento efectivo de rotacin. Para vibraciones pequeas, el

desplazamiento lateral de la estructura es igual a U

mientras que el desplazamiento y cabeceo de la cimentacin son iguales a

y , respectivamente.

e

c +)

c

o c

o

eoeco UDHU ++++ )(( ,

co UU + co +

Para obtener las ecuaciones de movimiento del sistema equivalente se deben

plantear el equilibrio dinmico de la masa de la estructura en traslacin y el

equilibrio dinmico de la masa de la cimentacin en traslacin y rotacin. Para

excitacin armnica con frecuencia circular , el equilibrio de fuerzas actuando

sobre la estructura est dado por

])([)(])([

2

2

oeoe

eeeecece

DHUM

UKCiUDHUM

++=+++++

(5.5)

mientras que el equilibrio de fuerzas y momentos actuando sobre la cimentacin

est dado por

)()()()(

2

2

ooc

ochrhrchhccc

EUM

VKCiUKCiEUM

+=+++++

(5.6)

ocooc

ocrrchrhrccccc

JEUEM

MKCiUKCiJEUEM

++=+++++

22

22

)()()()(

(5.7)

donde 2DE = y es el momento de inercia de la masa de la

cimentacin con respecto a su centroide. Adems, V es el

cortante en la base de la estructura y el momento de volteo en la

base de la cimentacin. Cabe sealar que el factor es omitido por simplicidad.

2EMJJ ccc =

eeeo UKCi )( +=

)( DHVM eoo +=

tie

Expresando V y M en trminos de la ec. 5.5 y sustituyendo en las ecs. 5.6 y 5.7,

respectivamente, las ecuaciones de equilibrio del sistema pueden escribirse en

forma matricial como

o o

}{][ ~~~~~~ 22 orohgssss QQUi JMUMCK +=+ (5.8)

donde U es el vector de desplazamientos del sistema. Adems, M

y son vectores de carga definidos como

Tcces UU },,{

~ = o~

oJ~

++

+=

EMDHMMM

M

cee

ce

e

o

)(

~M (5.9)

++

++

+

=

cee

cee

ee

o

JDHMEMDHM

DHM

2)()(

)(~J (5.10)

mientras que M , y K son las matrices de masa, amortiguamiento y rigidez

del sistema, respectivamente, definidas como

s~

sC~

s~

+++++

+++

+

=

ceeceeee

ceecee

eeee

s

JDHMEMDHMDHMEMDHMMMM

DHMMM

2)()()()(

)(~M (5.11)

=

rhr

hrh

e

s

CCCC

C

00

00~C (5.12)

=

rhr

hrh

e

s

KKKK

K

00

00~K (5.13)

Ntese que los cocientes goh UU=Q y gor U=Q son precisamente las

funciones de transferencia de los componentes del movimiento de entrada.

El sistema no posee modos naturales clsicos de vibracin debido al tipo de

amortiguamiento que lo caracteriza (Newmark y Rosenblueth, 1971), por lo que no

es posible evaluar la respuesta estructural mediante la tcnica estndar de

superposicin modal. Aunque el sistema puede analizarse mediante un mtodo

paso a paso que tenga en cuenta explcitamente el comportamiento no lineal y

amortiguamiento de la estructura, resulta ms conveniente utilizar el mtodo de la

respuesta compleja en la frecuencia (Clough y Penzien, 1975).

5.2 Periodo y amortiguamiento efectivos

Se entiende como periodo y amortiguamiento efectivos del sistema a las

propiedades dinmicas relevantes de la estructura modificadas por la interaccin

con el suelo. Estos parmetros pueden obtenerse por medio de una analoga entre

el sistema real excitado con el movimiento de entrada de la cimentacin y un

oscilador de reemplazo excitado con el movimiento de campo libre en la superficie

del terreno, como se ilustra en la fig. 5.2. La ventaja prctica de este enfoque es

que la mxima respuesta estructural la podemos calcular usando espectros de

respuesta estndar de campo libre, aplicables al periodo y amortiguamiento

efectivos (Avils y Prez-Rocha, 1996 y 1998).

+

Me

eT e

hrhK , K

eM

Te e ~ ~

M Jc D

H

2 R

e

c

Xo

Xg

o

K , Kr rhC , Cr rh

C , C

....

..

h hr

Fig. 5.2 (a) Sistema suelo-estructura sujeto al movimiento efectivo de la cimentacin y (b) oscilador de reemplazo sujeto al movimiento de campo libre.

5.2.1 Determinacin rigurosa

Es posible determinar rigurosamente el periodo y amortiguamiento efectivos

directamente de la funcin de transferencia del sistema. Si procedemos a analizar

el sistema acoplado ante excitacin armnica, usando el mtodo de la respuesta

compleja en la frecuencia, calcularemos el cociente gee UU22)( =Q que

relaciona la seudoaceleracin estructural entre la aceleracin de campo libre en la

superficie del terreno; ee T= 2

e~

es la frecuencia fundamental de la estructura

con base rgida. La frecuencia y respuesta resonantes medidas en la funcin de

transferencia del sistema acoplado se igualan entonces a las cantidades

correspondientes del oscilador de reemplazo. De este modo, el periodo y

amortiguamiento efectivos T y se determinan usando las siguientes

expresiones (Avils y Prez-Rocha, 1996):

e~

resee TT2~21~ = (5.14)

21

2

2 1121~

=res

rese Q

Q (5.15)

donde es el periodo resonante y Q la respuesta mxima medidos en la

funcin de transferencia del sistema. El uso de estas expresiones en lugar de

y

resT res

rese TT =~

rese H21=~ obedece a que los valores del amortiguamiento efectivo pueden exceder considerablemente al amortiguamiento estructural que

comnmente es muy bajo, por lo que los trminos de amortiguamiento de segundo

orden no pueden despreciarse.

Con esta analoga se logra, en general, una excelente coincidencia entre las

respuestas armnicas de la estructura real y el oscilador de reemplazo. La

concordancia entre las respuestas mximas ante excitacin transitoria tambin es

satisfactoria, como habr de mostrase posteriormente. No obstante, como la

funcin de transferencia del sistema acoplado no es exactamente la de un

oscilador elemental, el concepto de periodo y amortiguamiento efectivos est

restringido para algunos casos, como sucede con estructuras bajas con

cimentacin enterrada en estratos someros.

Fig. 5.3 (a) Funciones de transferencia para un sistema suelo-estructura (lnea continua) y el oscilador de reemplazo (discontinua).

En la fig. 5.3 se muestra el grado de acuerdo entre las funciones de transferencia

del oscilador de reemplazo y un sistema con =RD 1, =RHe 1 y = ese TH 0.2. Las abscisas denotan la relacin entre el periodo de la excitacin oo = 2 yT el

periodo natural de la estructura con base rgida. Los resultados que se despliegan

corresponden a tres casos: 1) la condicin de base indeformable, 2) sin efectos de

interaccin cinemtica y 3) con efectos de interaccin cinemtica. Como se

aprecia, el periodo del sistema se alarga y su amortiguamiento aumenta con

respecto a los valores del caso 1. Resalta el hecho de que los periodos resonantes

son prcticamente iguales en los casos 2 y 3, lo que significa que el periodo del

sistema es poco sensible a la interaccin cinemtica. En cambio, la diferencia en

las respuestas resonantes refleja claramente este efecto en el amortiguamiento

del sistema.

5.2.2 Determinacin aproximada

En aplicaciones de ingeniera es aceptable determinar el periodo y

amortiguamiento efectivos del sistema en forma aproximada. La respuesta del

sistema acoplado puede calcularse aproximadamente despreciando la influencia

de la masa de la cimentacin y su momento de inercia asociado con la base, as

como el efecto de la rigidez y el amortiguamiento acoplados del suelo. En estas

condiciones, la ec. 5.8 toma la forma simplificada

)16.5( )()()(

)(

)()()()()(

000000

000000

2

2

2

2

+

+

+

+

+

=

+++

+

+

+

DHMDHMDHM

QDHM

MM

QU

UU

DHMDHMDHMDHMMMDHMMM

CC

Ci

KK

K

ee

ee

ee

r

ee

e

e

hg

c

c

e

eeeeee

eeee

eeee

r

h

e

r

h

e

Dividiendo los dos primeros renglones de la ec. 5.16 entre y el tercero entre

, esta ecuacin se reduce a

eM2

)(2 DHM ee +

++=

+

+

+

+

111

])([

)(1)21(11

11)21(1

111)21(

2

2

2

2

2

2

rehg

ce

c

e

rr

hh

ee

QDHQU

DHUU

i

i

i

(5.17)

donde y son las frecuencias naturales que tendra la estructura si fuera

infinitamente rgida y su base slo se pudiera trasladar o balancear,

respectivamente, definidas por

h r

e

hh M

K=2 (5.18)

22

)( DHMK

ee

rr += (5.19)

Adems, eee = )( mientras que y son los factores de amortiguamiento del suelo para los modos de traslacin y rotacin de la cimentacin,

respectivamente, dados por

h r

h

hh K

C2

= (5.20)

r

rr K

C2

= (5.21)

Resolviendo el sistema complejo de ecuaciones algebraicas dado por la ec. 5.17,

despreciando los trminos de amortiguamiento de segundo orden, la

seudoaceleracin estructural normalizada resulta ser

+

++=

)()(21

)(

2

2

2

2

2

2

2

2

2

22

2

reh

heh

erhe

reh

g

ee

i

QDHQUU (5.22)

La frecuencia efectiva se determina a partir de la condicin de resonancia, la

cual establece que la respuesta no amortiguada llega a ser infinita cuando .

Haciendo en la ec. 5.22, se desprende la siguiente expresin para

la frecuencia resonante:

e~

0=

e=~

== rhe

2222111

~1

rhee +

+

=

(5.23)

Para determinar el amortiguamiento efectivo , el valor mximo absoluto de la

seudoaceleracin del sistema, obtenido de la ec. 5.22 sustituyendo , se

iguala a

e~

e=~

e~21 correspondiente a la respuesta resonante del oscilador de reemplazo. Esto nos conduce a

+

+

++= 22

2

2

3

31

~~~)(~

r

er

h

eh

e

eerehe QDHQ (5.24)

donde las funciones de transferencia Q y Q , los amortiguamientos y , y las

frecuencias naturales y deben evaluarse para .

h r h rh r e=

~

Estas expresiones son similares a las que se obtienen de considerar slo la

interaccin inercial (Avils, 1996), excepto que el amortiguamiento efectivo est

dividido entre el factor reh QDHQ )( ++ que representa la contribucin de la

interaccin cinemtica. En consecuencia, el periodo y amortiguamiento efectivos

con interaccin cinemtica pueden estimarse como

i

ec

e TT~~

(5.25)

reh

iec

e Q+DH+Q )(

~~ (5.26)

donde T y son el periodo y amortiguamiento efectivos debidos solamente a la

interaccin inercial.

ie

~ ie~

5.3 Sistema completo

Para tener en cuenta los efectos de interaccin en los modos superiores de

vibracin es necesario analizar el sistema completo que se muestra en la fig. 5.4.

En este caso, la estructura modelada como viga de cortante tiene N grados de

libertad en traslacin. En vista de que los resortes y amortiguadores de apoyo

dependen de la frecuencia de excitacin y de que no existen modos naturales

clsicos de vibracin, para determinar la respuesta del sistema es conveniente

utilizar el mtodo de la respuesta compleja en la frecuencia en conjunto con la

sntesis de Fourier (Clough y Penzien, 1975).

Fig. 5.4 Sistema completo de interaccin suelo-estructura.

Los grados de libertad del sistema completo son: U , el vector de

desplazamientos de la estructura relativos a su base; U , el desplazamiento de la

base relativo al movimiento efectivo U de traslacin; y , la rotacin de la base

relativa al movimiento efectivo de rotacin. De acuerdo con lo anterior, el

vector de desplazamientos de la estructura es , siendo

y H . Las ecuaciones de movimiento del

sistema completo pueden obtenerse a partir del equilibrio dinmico de fuerzas en

la estructura y del equilibrio dinmico de fuerzas y momentos en la cimentacin,

esto es:

e~

o +

c

c I~)

o

Nh

c

(+

o

D,...,

eco UU UH~~)( ++

T}1,...,1,1{~ =I TDhDh },{~ 21 +++=

][][

~~~

~~~~~~~~

HIM

UKUCUHIM

ooe

eeeeecce

U

U

+=

++++&&&&

&&&&&&& (5.27)

)(

)(

ooc

ochrchchrchccc

EUM

VKUKCUCEUM

+=

+++++&&&&

&&&&&& (5.28)

)(

)(

oococ

occcchrcrchrcrcc

EUEMJ

MEUEMUKKUCCJ

+=

++++++&&&&&&

&&&&&&&& (5.29)

donde , y K son las matrices de masa, amortiguamiento y rigidez de la

estructura con base rgida; es el momento de inercia con respecto

al centroide de la cimentacin. Adems, V es el cortante en la

base de la estructura y el momento de volteo en la base de

la cimentacin.

eM~

eC~

e~

2EMJJ ccc =

~~~{~ eeeT KUCH += &

}~~~~{~ eeeeT

o UKUCI +=&

}~eUoM

Si el cortante y momento de volteo basales se expresan en trminos de la ec. 5.27

y sustituyen en las ecs. 5.28 y 5.29, respectivamente, se encuentra que las

ecuaciones de movimiento del sistema completo tienen la siguiente forma

matricial:

oooossssss U JMUKUCUM~~~~~~~~ =++ &&&&&&& (5.30)

donde es el vector de desplazamientos del sistema, de orden

N+2. Adems, M y son vectores de carga definidos como

Tcc

Tes U },,{

~ = UU

o~

oJ~

+

+=

EMM

ceT

ceT

e

o

IMHIMI

IMM

~~~~~~

~~~ (5.31)

+

+=

ceT

ceT

e

o

JEM

HMHHMI

HMJ

~~~~~~

~~~ (5.32)

mientras que M , y K son las matrices de masa, amortiguamiento y rigidez

del sistema, estructuradas de las siguientes formas:

s~

sC~

s~

++

++=

ceT

ceT

eT

ceT

ceT

eT

eee

s

JEMEMM

HMHIMHMHHMIIMIMI

HMIMMM

~~~~~~~~~~~~~~~~

~~~~~~ (5.33)

=

rhrT

hrhTe

s

CCCC

00

00CC

~~

~~~~ (5.34)

=

rhrT

hrhTe

s

KKKK

00

00KK

~~

~~~~ (5.35)

Aplicando trasformada de Fourier en ambos miembros de la ec. 5.30, la ecuacin

matricial de movimiento del sistema se reduce a

}{][ ~)(~)()()(~~~~ *2*2 orohgssss QQUi JMUMCK +=+ (5.36)

donde U y U representan respectivamente las trasformadas de Fourier de

la respuesta U y la excitacin U del sistema.

)(~* s )(* g

)(ts~ )(tg

Resolviendo la ec. 5.36 se obtiene la respuesta en la frecuencia del sistema, a

partir de la cual puede determinarse la correspondiente respuesta en el tiempo

utilizando la antitrasformada de Fourier. Para ello suele recurrirse al algoritmo de

la transformada rpida de Fourier (Paz, 1980).

5.4 Referencias

Avils J y Prez-Rocha L E (1996), "Evaluation of interaction effects on the system

period and the system damping due to foundation embedment and layer depth",

Soil Dynamics and Earthquake Engineering, Vol. 15, pp. 11-27.

Avils J y Prez-Rocha L E (1998), "Effects of foundation embedment during

building-soil interaction", Earthquake Engineering and Structural Dynamics, Vol.

27, pp. 1523-1540.

Clough R W y Penzien J (1975), Dynamics of Structures, McGraw-Hill, New York,

1975.

Newmark N M y Rosenblueth E (1971), Fundamentals of Earthquake Engineering,

Prentice Hall, New Jersey.

Paz M (1980), Structural Dynamics: Theory and Computation, Van Nostrand

Reinhold, New York.

Wolf J P (1985), Dynamic Soil-Structure Interaction, Prentice-Hall, New Jersey.