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ECUACIONES DIFERENCIALES APLICADAS A LA ENERGIA
GEOTERMICA.
I. OBJETIVOS: Aplicar las ecuaciones diferenciales para determinar la ley de enfriamiento de
Newton en una central geotrmica.
Determinar la temperatura en las torres de enfriamiento, aplicando las
ecuaciones diferenciales ordinarias.
II. INTRODUCCION:
El estudio de ecuaciones diferenciales es un campo extenso en
matemticaspurasy aplicadas, en fsicay en la ingeniera. Todas estas disciplinas se
interesan en las propiedades de ecuaciones diferenciales de varios tipos. as
matemticas puras se focali!an en la existencia y unicidad de las soluciones, mientras
"ue las matemticas aplicadas enfati!an la #ustificaci$n rigurosa de los mtodos de
aproximaci$n de las soluciones. as ecuaciones diferenciales #uegan un rol muy
importante en el modelado virtual de cual"uier proceso fsico, tcnico, o %iol$gico, por
e#emplo, tanto el movimiento celeste, como el dise&o de un puente, o la interacci$n
entre neuronas. as ecuaciones diferenciales "ue se plantean para resolver pro%lemas de
la vida real, no necesariamente son resolu%les directamente, es decir, sus soluciones no
tienen una expresi$n en forma cerrada. 'uando sucede esto, las soluciones se pueden
aproximar usandomtodos numricos
(uc)as leyes de la fsica y la "umicase formali!an con ecuaciones diferenciales.
En%iologay economa, las ecuaciones diferenciales se utili!an para el modeladodel
comportamiento de sistemas comple#os. a teora matemtica de las ecuaciones
diferenciales se desarroll$ inicialmente con las ciencias donde las ecuaciones se
origina%an y donde se encontra%an resultados para las aplicaciones. *in em%argo,
algunas veces se origina%an pro%lemas diversos en campos cientficos distintos, de los
cuales resulta%an ecuaciones diferenciales idnticas. Esto suceda por"ue, detrs de la
https://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas_purashttps://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas_aplicadashttps://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsicahttps://es.wikipedia.org/wiki/Ingenier%C3%ADahttps://es.wikipedia.org/wiki/Forma_cerrada_(matem%C3%A1tica)https://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todos_num%C3%A9ricoshttps://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsicahttps://es.wikipedia.org/wiki/Qu%C3%ADmicahttps://es.wikipedia.org/wiki/Biolog%C3%ADahttps://es.wikipedia.org/wiki/Econom%C3%ADahttps://es.wikipedia.org/wiki/Modelo_matem%C3%A1ticohttps://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas_aplicadashttps://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsicahttps://es.wikipedia.org/wiki/Ingenier%C3%ADahttps://es.wikipedia.org/wiki/Forma_cerrada_(matem%C3%A1tica)https://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todos_num%C3%A9ricoshttps://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsicahttps://es.wikipedia.org/wiki/Qu%C3%ADmicahttps://es.wikipedia.org/wiki/Biolog%C3%ADahttps://es.wikipedia.org/wiki/Econom%C3%ADahttps://es.wikipedia.org/wiki/Modelo_matem%C3%A1ticohttps://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas_puras7/25/2019 aplicacin de ecuaciones diferenciales de primer orden
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teora matemtica de las ecuaciones, puede verse un principio unificado detrs de los
fen$menos. 'omo por e#emplo, si se considera la propagaci$n de la lu! y el sonido en la
atm$sfera, y de las ondas so%re la superficie de un estan"ue. Todos estos fen$menos
pueden descri%irse con la misma ecuaci$n en derivadas parcialesde segundo orden,
la ecuaci$n de onda, la cual nos permite pensar a la lu! y al sonido como formas de
onda, y en forma similar a las ondas en el agua. a conducci$n de calor, la teora "ue
fue desarrollada por+osep) ourier, est go%ernada por otra ecuaci$n en derivadas
parciales de segundo orden, la ecuaci$n de calor. -esulta "ue muc)os procesos
dedifusi$n, aun"ue aparentan ser diferentes, estn descriptos por la misma ecuaci$n. a
ecuaci$n de lac/0*c)oles en las finan!as, est por e#emplo, relacionada con la
ecuaci$n del calor.
III. MARCO TEORICO
CENTRAL GEOTERMICA
En muc)os lugares de la Tierra se producen fen$menos geotrmicos "ue pueden ser
aprovec)ados para generar energa 1til para el consumo. Estas fuer!as se desarrollan en
el interior de la corte!a terrestre, normalmente a profundidades de 23 /m, en una fran#a
llamada sima o sial4 algunas de sus manifestaciones so%re la superficie son los volcanes
activos.
'onforme descendemos )acia el interior de la corte!a terrestre se produce un aumento
gradual de temperatura, estimado en 5 grado cada 67 metros de profundidad. *in
em%argo, en determinadas !onas de nuestro planeta, por e#emplo en algunas islas
volcnicas de 'anarias, las altas temperaturas se encuentran a nivel de la superficie. En
estos casos, es cuando una instalaci$n geotrmica resulta ms renta%le
1. TIPOS DE CENTRALES1.1. Centrales de a!"r se#"
as centrales de vapor seco son las de dise&o ms simple y antiguo. 8tili!an
directamente el vapor geotrmico a 523 9' o ms para mover las tur%inas. 5:
1.$. Centrales de a!"r de destell"
as centrales de vapor de destello )acen ascender agua caliente a alta presi$n a travs
de po!os y la introducen en dep$sitos de %a#a presi$n. Al disminuir su presi$n, parte delagua se vapori!a.Este vapor se separa del l"uido y se utili!a para accionar una tur%ina.
https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parcialeshttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_ondahttps://es.wikipedia.org/wiki/Joseph_Fourierhttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_calorhttps://es.wikipedia.org/wiki/Difusi%C3%B3n_(f%C3%ADsica)https://es.wikipedia.org/wiki/Modelo_de_Black-Scholeshttps://es.wikipedia.org/wiki/Central_geot%C3%A9rmica#cite_note-IPCC-16https://es.wikipedia.org/wiki/Vaporizaci%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Vaporizaci%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Turbina_de_vaporhttps://es.wikipedia.org/wiki/Turbina_de_vaporhttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parcialeshttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_ondahttps://es.wikipedia.org/wiki/Joseph_Fourierhttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_calorhttps://es.wikipedia.org/wiki/Difusi%C3%B3n_(f%C3%ADsica)https://es.wikipedia.org/wiki/Modelo_de_Black-Scholeshttps://es.wikipedia.org/wiki/Central_geot%C3%A9rmica#cite_note-IPCC-16https://es.wikipedia.org/wiki/Vaporizaci%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Turbina_de_vapor7/25/2019 aplicacin de ecuaciones diferenciales de primer orden
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El agua l"uida so%rante y el vapor condensado pueden ser inyectados en los dep$sitos
nuevamente, )aciendo el proceso potencialmente sosteni%le.
1.%. Centrales de #l" '&nar&"
as centrales de ciclo %inario son las de desarrollo ms reciente, y pueden operar con
temperaturas de fluido de solo 27 9'. El agua moderadamente caliente se )ace pasar
#unto a otro fluido con unpunto de e%ullici$nmuy inferior al del agua. Esto provoca
"ue el fluido secundario se vaporicey se utili!a para mover las tur%inas. Este es el tipo
de central geotrmica ms com1n dentro de los proyectos en construcci$n
actualmente.;2*e utili!an tanto el ciclo -an/inecomo elciclo
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as partes son las mismas "ue en una central trmica. a 1nica diferencia es el
"uemador y las c)imeneas.
%.1. Canal&(a#&)n de a*+a
Cacen la funci$n del "uemador ya "ue sirve para calentar el agua "ue mover la tur%ina,
de%ido a las alas temperaturas "ue alcan!a el vapor de agua >procedente del interior de
la Tierra@ "ue transportan.
%.$. T+r'&nas
as tur%inas pueden considerarse como la parte mas importante de la central ya "ue son
las encargadas de mover el generador para producir la electricidad.
Estas tur%inas estn dise&adas para soportar una temperatura de unos :33? ' y una
presi$n de unos 623 %ares.
as tur%inas estn formadas por una serie de la%es de distintos tama&os "ue
aprovec)an la presi$n del vapor de agua para )acer girar la tur%ina.
%.%. Generad"r
Es el encargado de producir la electricidad
%.,. C"ndensad"r
Es el encargado de condensar el vapor "ue se encarga de mover la tur%ina para "ue
pueda volver a ser utili!ado
LE- DE ENFRIAMIENTO DE NETON
a ley del enfriamiento de Newton o enfriamiento newtoniano esta%lece "ue la tasa de
prdida de calor de un cuerpo es proporcional a la diferencia de temperatura entre el
cuerpo y sus alrededores. ue determinado experimentalmente por saac
Newtonanali!ando el proceso de enfriamiento y para l la velocidad de enfriamiento de
https://es.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newtonhttps://es.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newtonhttps://es.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newtonhttps://es.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton7/25/2019 aplicacin de ecuaciones diferenciales de primer orden
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un cuerpo clido en un am%iente ms fro Ta, cuya temperaturaes T, es proporcional a la
diferencia entre la temperatura instantnea del cuerpo y la del am%iente
dT(t)dt
= (TTa)
ara la formula presentada de la ley de Newton, se aplicaran las ecuaciones
diferenciales ordinarias, este proceso nos ayudara a verificar temperaturas en un tiempo
determinado, lo cual esta aplicaci$n se est %asndose en las torres de enfriamiento de la
central geotrmica as calculamos las temperaturas en un instante de tiempo, para "ue
esta cumpla su respectiva funci$n.
ntegrando esta ecuaci$n con la condici$n inicial de "ue en el instante tF3, la
temperatura del cuerpo es To.
TdT
TTa=
0
t
dt
G%tenemos la siguiente relaci$n
ln(TTa )ln(Ta)=t
Desarrollando se o%tiene
T=Ta+(Ta)et
*i consideras "ue la temperatura TaF39'
T=Toet
Donde es una constante de proporcionalidad.
Esta expresi$n no es muy precisa y se considera tan s$lo una aproximaci$n vlida para
pe"ue&as diferencias entre T y Ta. En todo caso la expresi$n superior es 1til para
mostrar como el enfriamiento de un cuerpo sigue aproximadamente una ley
dedecaimiento exponencial
T(t)=Tm+(Tm)et
Esta expresi$n resulta de resolver la ecuaci$n anterior
https://es.wikipedia.org/wiki/Temperaturahttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_exponencialhttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_exponencialhttps://es.wikipedia.org/wiki/Temperaturahttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_exponencial7/25/2019 aplicacin de ecuaciones diferenciales de primer orden
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8na formulaci$n ms precisa del enfriamiento de un cuerpo en un medio necesitara un
anlisis del flu#o de calor del cuerpo clido en un medio )eterogneo de temperatura. a
aplica%ilidad de esta ley simplificada viene determinada por el valor del n1mero de
iot.
En la actualidad el enfriamiento newtoniano es utili!ado especialmente en modelos
climticos como una forma rpida y computacionalmente menos costosa de calcular la
evoluci$n de temperatura de laatm$sfera. Estos clculos son muy 1tiles para determinar
las temperaturas as como para predecir los acontecimientos de los fen$menos naturales.
APLICACI/N DE ECUACI/N DIFERENCIAL EN CENTRAL GEOT0RMICA.
as t"rres de rer&*era#&)n " enr&a2&ent"son estructuras para refrigerar agua y otros
medios a temperaturas muy altas. El uso principal de grandes torres de refrigeraci$n
industriales es el de re%a#ar la temperatura del agua de refrigeraci$n utili!ada en plantas
de energa, refineras de petr$leo, plantas petro"umicas, energa geotrmica, plantas de
procesamiento de gas natural y otras instalaciones industriales.
*e encargan de mantener %a#a la temperatura del condensador, garanti!ando el correctofuncionamiento de la central.
Lugar de aplicacinde la ecuacin
diferencial de ley deenfriamiento de
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_de_Biothttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_de_Biothttps://es.wikipedia.org/wiki/Atm%C3%B3sferahttps://es.wikipedia.org/wiki/Atm%C3%B3sferahttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_de_Biothttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_de_Biothttps://es.wikipedia.org/wiki/Atm%C3%B3sfera7/25/2019 aplicacin de ecuaciones diferenciales de primer orden
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El agua "ue refrigera el condensador es enfriada en las torres de enfriamiento al entrar
en contacto con el aire fro "ue circula a travs de ellas.
EJERCICIO DE APLICACI/N.
IV. CONCLUSIONES
*e aplic$ la ley de enfriamiento de newton usando las ecuaciones diferenciales para ver
el funcionamiento de una central geotrmica.
'omo ya se o%serv$ las ecuaciones diferenciales se pueden aplicar en la energa
geotrmica as podemos llegar a calcular y ver %a#o "ue temperaturas funciona una
central geotrmica.
inalmente se determin$ "ue, la resoluci$n de pro%lemas de ingeniera est asociada,
por lo general, a resultados numricos puesto "ue se re"uieren respuestas prcticas.
-e"uieren la determinaci$n de una funci$n "ue satisface a una ecuaci$n diferencial.
Temperatura
Temperaturade torre derefrigeracin
Temperaturade salida
Temperaturade entrada
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V. WEBGR!I"
http://www.natureduca.com/blog/%C2%Bcomo!funciona!una!central!
geotermica/
http://www."eni"os.com/C#$T&L#'(#)T#*+C&'/centrales,geotermicas.ht
m
http://www.monogra-as.com/traba"os/generacion!energia!
geotermica/generacion!energia!geotermica.shtml0losyacimia
https://es.wi1ipedia.org/wi1i/#nerg%C%&a,geot%C%&rmica
https://es.wi1ipedia.org/wi1i/Central,geot%C%&rmica
https://www.youtube.com/watch3456g+bT7+!os
https://www.youtube.com/watch3458y#894w41
http://www.idae.es/uploads/documentos/documentos,;,
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