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ECUACIONES DIFERENCIALES APLICADAS A LA ENERGIA

GEOTERMICA.

I. OBJETIVOS: Aplicar las ecuaciones diferenciales para determinar la ley de enfriamiento de

Newton en una central geotrmica.

Determinar la temperatura en las torres de enfriamiento, aplicando las

ecuaciones diferenciales ordinarias.

II. INTRODUCCION:

El estudio de ecuaciones diferenciales es un campo extenso en

matemticaspurasy aplicadas, en fsicay en la ingeniera. Todas estas disciplinas se

interesan en las propiedades de ecuaciones diferenciales de varios tipos. as

matemticas puras se focali!an en la existencia y unicidad de las soluciones, mientras

"ue las matemticas aplicadas enfati!an la #ustificaci$n rigurosa de los mtodos de

aproximaci$n de las soluciones. as ecuaciones diferenciales #uegan un rol muy

importante en el modelado virtual de cual"uier proceso fsico, tcnico, o %iol$gico, por

e#emplo, tanto el movimiento celeste, como el dise&o de un puente, o la interacci$n

entre neuronas. as ecuaciones diferenciales "ue se plantean para resolver pro%lemas de

la vida real, no necesariamente son resolu%les directamente, es decir, sus soluciones no

tienen una expresi$n en forma cerrada. 'uando sucede esto, las soluciones se pueden

aproximar usandomtodos numricos

(uc)as leyes de la fsica y la "umicase formali!an con ecuaciones diferenciales.

En%iologay economa, las ecuaciones diferenciales se utili!an para el modeladodel

comportamiento de sistemas comple#os. a teora matemtica de las ecuaciones

diferenciales se desarroll$ inicialmente con las ciencias donde las ecuaciones se

origina%an y donde se encontra%an resultados para las aplicaciones. *in em%argo,

algunas veces se origina%an pro%lemas diversos en campos cientficos distintos, de los

cuales resulta%an ecuaciones diferenciales idnticas. Esto suceda por"ue, detrs de la

https://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas_purashttps://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas_aplicadashttps://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsicahttps://es.wikipedia.org/wiki/Ingenier%C3%ADahttps://es.wikipedia.org/wiki/Forma_cerrada_(matem%C3%A1tica)https://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todos_num%C3%A9ricoshttps://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsicahttps://es.wikipedia.org/wiki/Qu%C3%ADmicahttps://es.wikipedia.org/wiki/Biolog%C3%ADahttps://es.wikipedia.org/wiki/Econom%C3%ADahttps://es.wikipedia.org/wiki/Modelo_matem%C3%A1ticohttps://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas_aplicadashttps://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsicahttps://es.wikipedia.org/wiki/Ingenier%C3%ADahttps://es.wikipedia.org/wiki/Forma_cerrada_(matem%C3%A1tica)https://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todos_num%C3%A9ricoshttps://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsicahttps://es.wikipedia.org/wiki/Qu%C3%ADmicahttps://es.wikipedia.org/wiki/Biolog%C3%ADahttps://es.wikipedia.org/wiki/Econom%C3%ADahttps://es.wikipedia.org/wiki/Modelo_matem%C3%A1ticohttps://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas_puras

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teora matemtica de las ecuaciones, puede verse un principio unificado detrs de los

fen$menos. 'omo por e#emplo, si se considera la propagaci$n de la lu! y el sonido en la

atm$sfera, y de las ondas so%re la superficie de un estan"ue. Todos estos fen$menos

pueden descri%irse con la misma ecuaci$n en derivadas parcialesde segundo orden,

la ecuaci$n de onda, la cual nos permite pensar a la lu! y al sonido como formas de

onda, y en forma similar a las ondas en el agua. a conducci$n de calor, la teora "ue

fue desarrollada por+osep) ourier, est go%ernada por otra ecuaci$n en derivadas

parciales de segundo orden, la ecuaci$n de calor. -esulta "ue muc)os procesos

dedifusi$n, aun"ue aparentan ser diferentes, estn descriptos por la misma ecuaci$n. a

ecuaci$n de lac/0*c)oles en las finan!as, est por e#emplo, relacionada con la

ecuaci$n del calor.

III. MARCO TEORICO

CENTRAL GEOTERMICA

En muc)os lugares de la Tierra se producen fen$menos geotrmicos "ue pueden ser

aprovec)ados para generar energa 1til para el consumo. Estas fuer!as se desarrollan en

el interior de la corte!a terrestre, normalmente a profundidades de 23 /m, en una fran#a

llamada sima o sial4 algunas de sus manifestaciones so%re la superficie son los volcanes

activos.

'onforme descendemos )acia el interior de la corte!a terrestre se produce un aumento

gradual de temperatura, estimado en 5 grado cada 67 metros de profundidad. *in

em%argo, en determinadas !onas de nuestro planeta, por e#emplo en algunas islas

volcnicas de 'anarias, las altas temperaturas se encuentran a nivel de la superficie. En

estos casos, es cuando una instalaci$n geotrmica resulta ms renta%le

1. TIPOS DE CENTRALES1.1. Centrales de a!"r se#"

as centrales de vapor seco son las de dise&o ms simple y antiguo. 8tili!an

directamente el vapor geotrmico a 523 9' o ms para mover las tur%inas. 5:

1.$. Centrales de a!"r de destell"

as centrales de vapor de destello )acen ascender agua caliente a alta presi$n a travs

de po!os y la introducen en dep$sitos de %a#a presi$n. Al disminuir su presi$n, parte delagua se vapori!a.Este vapor se separa del l"uido y se utili!a para accionar una tur%ina.

https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parcialeshttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_ondahttps://es.wikipedia.org/wiki/Joseph_Fourierhttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_calorhttps://es.wikipedia.org/wiki/Difusi%C3%B3n_(f%C3%ADsica)https://es.wikipedia.org/wiki/Modelo_de_Black-Scholeshttps://es.wikipedia.org/wiki/Central_geot%C3%A9rmica#cite_note-IPCC-16https://es.wikipedia.org/wiki/Vaporizaci%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Vaporizaci%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Turbina_de_vaporhttps://es.wikipedia.org/wiki/Turbina_de_vaporhttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parcialeshttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_ondahttps://es.wikipedia.org/wiki/Joseph_Fourierhttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_calorhttps://es.wikipedia.org/wiki/Difusi%C3%B3n_(f%C3%ADsica)https://es.wikipedia.org/wiki/Modelo_de_Black-Scholeshttps://es.wikipedia.org/wiki/Central_geot%C3%A9rmica#cite_note-IPCC-16https://es.wikipedia.org/wiki/Vaporizaci%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Turbina_de_vapor

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El agua l"uida so%rante y el vapor condensado pueden ser inyectados en los dep$sitos

nuevamente, )aciendo el proceso potencialmente sosteni%le.

1.%. Centrales de #l" '&nar&"

as centrales de ciclo %inario son las de desarrollo ms reciente, y pueden operar con

temperaturas de fluido de solo 27 9'. El agua moderadamente caliente se )ace pasar

#unto a otro fluido con unpunto de e%ullici$nmuy inferior al del agua. Esto provoca

"ue el fluido secundario se vaporicey se utili!a para mover las tur%inas. Este es el tipo

de central geotrmica ms com1n dentro de los proyectos en construcci$n

actualmente.;2*e utili!an tanto el ciclo -an/inecomo elciclo

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as partes son las mismas "ue en una central trmica. a 1nica diferencia es el

"uemador y las c)imeneas.

%.1. Canal&(a#&)n de a*+a

Cacen la funci$n del "uemador ya "ue sirve para calentar el agua "ue mover la tur%ina,

de%ido a las alas temperaturas "ue alcan!a el vapor de agua >procedente del interior de

la Tierra@ "ue transportan.

%.$. T+r'&nas

as tur%inas pueden considerarse como la parte mas importante de la central ya "ue son

las encargadas de mover el generador para producir la electricidad.

Estas tur%inas estn dise&adas para soportar una temperatura de unos :33? ' y una

presi$n de unos 623 %ares.

as tur%inas estn formadas por una serie de la%es de distintos tama&os "ue

aprovec)an la presi$n del vapor de agua para )acer girar la tur%ina.

%.%. Generad"r

Es el encargado de producir la electricidad

%.,. C"ndensad"r

Es el encargado de condensar el vapor "ue se encarga de mover la tur%ina para "ue

pueda volver a ser utili!ado

LE- DE ENFRIAMIENTO DE NETON

a ley del enfriamiento de Newton o enfriamiento newtoniano esta%lece "ue la tasa de

prdida de calor de un cuerpo es proporcional a la diferencia de temperatura entre el

cuerpo y sus alrededores. ue determinado experimentalmente por saac

Newtonanali!ando el proceso de enfriamiento y para l la velocidad de enfriamiento de

https://es.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newtonhttps://es.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newtonhttps://es.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newtonhttps://es.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton

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un cuerpo clido en un am%iente ms fro Ta, cuya temperaturaes T, es proporcional a la

diferencia entre la temperatura instantnea del cuerpo y la del am%iente

dT(t)dt

= (TTa)

ara la formula presentada de la ley de Newton, se aplicaran las ecuaciones

diferenciales ordinarias, este proceso nos ayudara a verificar temperaturas en un tiempo

determinado, lo cual esta aplicaci$n se est %asndose en las torres de enfriamiento de la

central geotrmica as calculamos las temperaturas en un instante de tiempo, para "ue

esta cumpla su respectiva funci$n.

ntegrando esta ecuaci$n con la condici$n inicial de "ue en el instante tF3, la

temperatura del cuerpo es To.

TdT

TTa=

0

t

dt

G%tenemos la siguiente relaci$n

ln(TTa )ln(Ta)=t

Desarrollando se o%tiene

T=Ta+(Ta)et

*i consideras "ue la temperatura TaF39'

T=Toet

Donde es una constante de proporcionalidad.

Esta expresi$n no es muy precisa y se considera tan s$lo una aproximaci$n vlida para

pe"ue&as diferencias entre T y Ta. En todo caso la expresi$n superior es 1til para

mostrar como el enfriamiento de un cuerpo sigue aproximadamente una ley

dedecaimiento exponencial

T(t)=Tm+(Tm)et

Esta expresi$n resulta de resolver la ecuaci$n anterior

https://es.wikipedia.org/wiki/Temperaturahttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_exponencialhttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_exponencialhttps://es.wikipedia.org/wiki/Temperaturahttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_exponencial

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8na formulaci$n ms precisa del enfriamiento de un cuerpo en un medio necesitara un

anlisis del flu#o de calor del cuerpo clido en un medio )eterogneo de temperatura. a

aplica%ilidad de esta ley simplificada viene determinada por el valor del n1mero de

iot.

En la actualidad el enfriamiento newtoniano es utili!ado especialmente en modelos

climticos como una forma rpida y computacionalmente menos costosa de calcular la

evoluci$n de temperatura de laatm$sfera. Estos clculos son muy 1tiles para determinar

las temperaturas as como para predecir los acontecimientos de los fen$menos naturales.

APLICACI/N DE ECUACI/N DIFERENCIAL EN CENTRAL GEOT0RMICA.

as t"rres de rer&*era#&)n " enr&a2&ent"son estructuras para refrigerar agua y otros

medios a temperaturas muy altas. El uso principal de grandes torres de refrigeraci$n

industriales es el de re%a#ar la temperatura del agua de refrigeraci$n utili!ada en plantas

de energa, refineras de petr$leo, plantas petro"umicas, energa geotrmica, plantas de

procesamiento de gas natural y otras instalaciones industriales.

*e encargan de mantener %a#a la temperatura del condensador, garanti!ando el correctofuncionamiento de la central.

Lugar de aplicacinde la ecuacin

diferencial de ley deenfriamiento de

https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_de_Biothttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_de_Biothttps://es.wikipedia.org/wiki/Atm%C3%B3sferahttps://es.wikipedia.org/wiki/Atm%C3%B3sferahttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_de_Biothttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_de_Biothttps://es.wikipedia.org/wiki/Atm%C3%B3sfera

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El agua "ue refrigera el condensador es enfriada en las torres de enfriamiento al entrar

en contacto con el aire fro "ue circula a travs de ellas.

EJERCICIO DE APLICACI/N.

IV. CONCLUSIONES

*e aplic$ la ley de enfriamiento de newton usando las ecuaciones diferenciales para ver

el funcionamiento de una central geotrmica.

'omo ya se o%serv$ las ecuaciones diferenciales se pueden aplicar en la energa

geotrmica as podemos llegar a calcular y ver %a#o "ue temperaturas funciona una

central geotrmica.

inalmente se determin$ "ue, la resoluci$n de pro%lemas de ingeniera est asociada,

por lo general, a resultados numricos puesto "ue se re"uieren respuestas prcticas.

-e"uieren la determinaci$n de una funci$n "ue satisface a una ecuaci$n diferencial.

Temperatura

Temperaturade torre derefrigeracin

Temperaturade salida

Temperaturade entrada

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V. WEBGR!I"

http://www.natureduca.com/blog/%C2%Bcomo!funciona!una!central!

geotermica/

http://www."eni"os.com/C#$T&L#'(#)T#*+C&'/centrales,geotermicas.ht

m

http://www.monogra-as.com/traba"os/generacion!energia!

geotermica/generacion!energia!geotermica.shtml0losyacimia

https://es.wi1ipedia.org/wi1i/#nerg%C%&a,geot%C%&rmica

https://es.wi1ipedia.org/wi1i/Central,geot%C%&rmica

https://www.youtube.com/watch3456g+bT7+!os

https://www.youtube.com/watch3458y#894w41

http://www.idae.es/uploads/documentos/documentos,;,