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HOJA 5 CAMPO ELCTRICO TIPO 27 LIBRO PGINAS 128 y 129: ejercicios
11, 12 y 17. 5.1. Dos cargas puntuales fijas A y B de valor +q cada
una, estn separadas 2d m y actan sobre otra carga q y de masa m
situada en la mediatriz del segmento AB a una distancia d m sobre
AB. Teniendo en cuenta los efectos de la gravedad, calcular: a) La
aceleracin de la carga q en el momento inicial. b) La aceleracin
que tiene la carga q en el momento en que pasa por el punto medio
del segmento AB. Sol: a) = !; b) = ! 5.2. Dos cargas puntuales
positivas e iguales, de valor q = 3 C y de masa m = 510-3 kg se
fijan en los puntos A y B respectivamente, a una distancia d = 6
cm. Desde el punto O, situado a una altura h = 4 cm, se lanza
verticalmente hacia el punto medio del segmento AB una tercera
carga Q = 1 C y de masa igual a las anteriores, m. a) Si al llegar
al punto M la velocidad de la partcula es cero, con qu velocidad
inicial v0 fue lanzada desde O? b) Si cuando llega la tercera
partcula a M con velocidad cero, se liberan simultneamente las
cargas situadas en A y B y la superficie es completamente lisa,
describe el movimiento de las tres cargas. Cul sera la velocidad
final de cada una de ellas pasado un tiempo muy largo? Sol: a) = !
5.3. Una bola de caucho de 2 g de masa est suspendida de una cuerda
de 20 cm de longitud y de masa despreciable en un campo elctrico
cuyo valor es = 10! /. Si la bola est en equilibrio cuando la
cuerda forma un ngulo de 15 con la vertical, cul es la carga neta
de la bola? Sol: = ! !
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5.4. Tres partculas cargadas = , = y de valor desconocido estn
situadas en el plano XY. Las coordenadas de los puntos en que se
encuentran son : , , : , y : , . Todas las coordenadas estn
expresadas en metros. Qu valor debe tener la carga para que una
carga situada en el punto , no experimente ninguna fuerza neta?
Para calcular la fuerza neta que acta sobre la cuarta carga
aplicamos el principio de superposicin, en este caso queremos que
la suma se anule: ! = ! ! !!! = ! + ! + ! = 0 En el esquema hemos
considerado que ! es negativa, lo cual implicara que ! tiene que se
positiva. En realidad es irrelevante, si hubisemos tomado !
positiva, el esquema sera muy parecido. Simplemente cambiaran de
sentido todas las componentes de todos los vectores, ya que
cambiara el signo en todos los trminos donde aparece ! pero el
problema puede estudiarse de la misma manera. Adems, ! seguira
siendo positiva. Podemos ver claramente en el esquema que, debido a
la simetra del problema ( ! = ! y ! se encuentra a la misma
distancia de las dos cargas anteriores) las componentes
horizontales !! !! son iguales en mdulo y de sentidos opuestos. Por
lo tanto: !! + !! = 0 Este hecho simplifica el problema, ya que no
tendremos que tener en cuenta las componentes horizontales.
Calculamos primero las distancias desde las cargas a la carga
central: ! = ! = 1 ! + 1 ! = 2 ! = 1 Con estas distancias ya
podemos obtener el mdulo de las fuerzas aplicando la Ley de
Coulomb, nos damos cuenta de que las fuerzas ! y ! tienen el mismo
mdulo: ! = ! = ! ! ! ! = 9 10! ! ! 2 10!! ! 2 ! = 9000 ! ! = ! ! !
! = 9 10! ! ! ! ! 1 ! = 9 10! ! ! Calculamos ahora las componentes
vectoriales: !! = !! = ! sin = 9000 ! sin 45 = 4500 2 ! !! = ! = 9
10! ! ! Aplicamos el principio de superposicin para las componentes
verticales: !! + !! + !! = 2 4500 2 ! + 9 10! ! ! = 0 9000 2 + 9
10! ! = 0 = 9000 2 9 10! = ! !
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TIPO 28 LIBRO PGINAS 128 y 129: ejercicios 13 y 24. 5.5. Dibuja
aproximadamente las lneas de campo elctrico contenidas en un plano
en el que hay dos cargas elctricas, una Q y otra -2Q. 5.6. Se
tienen dos iones con carga 2|e| y -|e| separados una distancia de 3
. Calcula la distancia del ion positivo a la que se anula el campo
elctrico total. Sol: = ! 5.7. Una carga puntual de valor nq se
coloca en el origen de coordenadas, mientras que otra carga de
valor q se coloca sobre el eje X a una distancia d del origen. a)
Calcular las coordenadas del punto donde el campo elctrico es nulo
si n = 4. Cunto valdr el potencial electrosttico en ese punto? b)
Calcular las coordenadas del punto donde el campo elctrico es nulo
si n = Cunto valdr el potencial electrosttico en ese punto? Sol: a)
= , = ; b) = , = 5.8. Dos cargas positivas e iguales (+Q) se
encuentran sobre el eje X. Una de ellas est en x = -a y la otra en
x = +a. a) Calcula la intensidad del campo elctrico y el potencial
electrosttico en el origen de coordenadas. b) Si adems de las
anteriores, se coloca una tercera carga de valor -2Q en x = -2a,
cules sern los nuevos valores de la intensidad del campo elctrico y
del potencial electrosttico? Sol: a) = = , = ; b) = !, = 5.9. Sean
dos cargas puntuales = y = + colocadas a una distancia . Razonar y
obtener en qu punto de la lnea definida por las dos cargas el campo
es nulo. Una vez realizada la representacin de las intensidades de
campo estudiamos las posibles zonas en las que ste puede anularse.
Sabemos que las tres condiciones que deben cumplirse para que se
anule el campo son: Los vectores intensidad de campo tengan la
misma direccin (esto define la recta que une ambas cargas). Los
vectores intensidad de campo tengan sentidos opuestos. Los vectores
intensidad de campo tengan el mismo mdulo.
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Atendiendo al primer punto observamos que tanto la Zona A como la
Zona C cumplen que los vectores de campo tienen sentidos opuestos,
ser en dichas zonas en las cuales se pueda anular el campo. El
segundo punto lo tenemos que comprobar matemticamente para cada
zona: ZONA A: ! = ! ! = + ! ! = ! + ! + 2 ! = 2 Esta ecuacin no
tiene solucin, ya que es una distancia (valor positivo) y es otra
distancia (positivo). Ningn nmero al cuadrado puede dar un
resultado negativo. ZONA B: ! = ! + ! = ! ! = ! + ! + 2 ! = 2 Esta
ecuacin no tiene solucin, ya que es una distancia (valor positivo)
y es otra distancia (positivo). Ningn nmero al cuadrado puede dar
un resultado negativo. Por lo tanto, podemos concluir que, para
esta distribucin concreta de cargas, es campo slo se anular en ,
que son los puntos donde se anula el campo generado por cada carga.
TIPO 29 LIBRO PGINAS 128 y 129: ejercicios 1, 2, 6, 9, 20, 22 y 23.
5.10. Tenemos dos cargas iguales y del mismo signo separadas una
cierta distancia: a) Representa las lneas de campo elctrico. b)
Representa las superficies equipotenciales. 5.11. Tenemos dos
cargas iguales y del signo contrario separadas una cierta
distancia: a) Representa las lneas de campo elctrico. b) Representa
las superficies equipotenciales.
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5.12. Se tienen dos iones con carga 2|e| y -|e| separados una
distancia de 3 . a) Calcula la energa potencial elctrica de los dos
iones. b) Calcula la distancia del ion positivo a la que se anula
el potencial elctrico total. Sol: a) = ! ! b) 5.13. En tres de los
vrtices un hexgono regular de 30 cm de lado hay tres cargas
elctricas (colocadas alternando carga vrtice vaco carga). Las
cargas tienen valores q! = 2 10!! C, q! = 3 10!! C, q! = 4 10!! C.
Determina el potencial elctrico en el centro del hexgono. Sol:
5.14. Explica en qu consiste el concepto de potencial electrosttico
en un punto. Dibuja aproximadamente en un sistema de coordenadas el
grfico que relaciona el potencial creado por una carga puntual
positiva, eje vertical, con la distancia a dicha carga, eje
horizontal, situando la carga en el origen de coordenadas. El
Potencial Gravitatorio (V) se define en un punto de un campo
gravitatorio como la ! que tendran el sistema formado por la carga
creadora del campo y la unidad de carga situada en ese punto. = ! =
!! ! = Que exista una funcin potencial asociada a un campo quiere
decir que dicho campo es conservativo, es decir que el trabajo que
se realiza para desplazar una carga slo depende los puntos inicial
y final y no del camino por el que se desplaza. !! = = ! ! A partir
de este resultado se define el potencial gravitatorio (V) en un
punto como el trabajo que realizan las fuerzas del campo para
trasladar la unidad de carga desde un punto al infinito. Las cargas
positivas se mueven hacia potenciales decrecientes y las cargas
negativas lo hacen hacia potenciales crecientes. Como se puede
comprobar en la expresin, la funcin potencial es inversamente
proporcional a la distancia del punto a la carga que crea el campo
y proporcional al valor de dicha carga. La grfica que representa
dicha funcin ser:
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5.15. Dos cargas elctricas en reposo de valores = y = , estn
situadas en los puntos (0,2) y (0,-2) respectivamente, estando las
distancias en metros. Determine: a) El campo elctrico creado por
esta distribucin de cargas en el punto A de coordenadas (3,0). b)
El potencial en el citado punto A y el trabajo necesario para
llevar una carga de desde dicho punto hasta el origen de
coordenadas. a) Observamos en la representacin de los vectores
intensidad de campo que la componente horizontal se va a anular,
debido a tres factores: El valor absoluto de las dos cargas es
igual. La distancia entre el punto A con cada una de las cargas es
la misma. La disposicin de las cargas sobre el eje y. Para calcular
la intensidad total de campo elctrico en el punto A debemos aplicar
el Principio de Superposicin: ! = ! = ! + ! ! !!! Calculamos
primero el mdulo de ! !. Para ello debemos conocer antes la
distancia entre las cargas y el punto A. Aplicamos el teorema de
Pitgoras: ! = ! + ! = 3! + 2! = 13 ! Ya podemos calcular los
mdulos, y dado que las cargas tienen el mismo valor absoluto y que
la distancia al punto A es la misma: ! = ! ! = 9 10! !!! !! 2 10!!
13 ! = 1! 38 10! = ! Calculamos ahora las componentes verticales
que, dado la simetra del problema, ser igual para ambas cargas (la
horizontales no son necesarias, ya hemos demostrado que van a
anularse): !! = ! sin ! = 1! 38 10! 2 13 ! = 7! 65 10! ! = !! Por
lo tanto, la intensidad total de campo es: ! = ! + ! = 7! 65 10! !
+ 7! 65 10! ! = ! !
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b) De nuevo, debido a la simetra del problema, el potencial
generado por ! n el punto A tendr el mismo valor absoluto que el
potencial generado en A por la carga !. Lo mismo ocurrir en el
origen de coordenadas: ! = ! ! = ! + ! = 0 Lo mismo nos ocurre en
el origen: ! 0,0 = ! 0,0 ! 0,0 = ! 0,0 + ! 0,0 = 0 Como el trabajo
se calcula a partir de la diferencia de potencial existente entre
dos puntos y, en este caso, ambos puntos tienen el mismo potencial,
el trabajo necesario para mover la carga es cero. Es lgico, ya que
en este caso, el eje x es una lnea equipotencial. TIPO 30 LIBRO
PGINAS 128, 129 y 130: ejercicios 10, 19, 25, 28 y 30. 5.16. La
carga = 2 10!! genera un campo en el espacio que la rodea.
Determina el trabajo que debe hacer un agente externo para mover
una carga de prueba desde un punto A, situado a 2 m de la carga,
hasta un punto B, situado a 1 m. Sol: = 5.17. Tres cargas puntuales
de magnitud ! = 40 , ! = 50 y ! = 30 han sido colocadas en tres
vrtices de un rectngulo como muestra la figura. Determina el
trabajo de un agente externo para trasladar una carga = 2 desde el
punto A hasta el B. Sol: = ! 5.18. En un hexgono, cuyo lado mide 3
m, se ubican seis cargas en cada uno de sus vrtices. Todas las
cargas tienen una magnitud de 2 10!! . Halla el trabajo sobre una
carga de 10!! para moverla desde el infinito hasta el centro del
hexgono. Sol: = 5.19. Dos cargas puntuales de 8 C y -5 C estn
situadas, respectivamente, en los puntos (0, 0) y (1, 1). Calcula:
a) La fuerza que acta sobre una tercera carga de 1 C situada en el
punto (2, 2). b) El trabajo necesario para llevar esta ltima carga
desde el punto que ocupa hasta el punto (0, 1). Datos: K = 9109 Nm2
C-2 . Las coordenadas se dan en metros. Sol: a) = ! ! ! + ! ; b) =
! ! Realizamos trabajo contra el campo.
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5.20. Dos partculas con cargas q1 = 1 C y q2 = 2 C estn separadas
una distancia d = 05 m. a) Calcula la fuerza que acta sobre la
segunda y su energa potencial electrosttica. b) Si q2 puede
moverse, partiendo del reposo, hacia dnde lo har? Calcula su energa
cintica cuando se haya desplazado 0 2 m respecto a su posicin
inicial. Cunto trabajo habr realizado hasta entonces el campo
elctrico? Sol: a) = ! ! , = ! ; b) Sentido positivo del eje de
abscisas. = ! ! = 5.21. Una carga puntual positiva de 9 nC est
situada en el origen de coordenadas. Otra carga puntual de 50 nC
est situada sobre el punto P de coordenadas (0, 4). Determine: a)
El valor del campo elctrico en el punto A de coordenadas (3, 0).
Represente grficamente el campo elctrico debido a cada carga. b) El
trabajo necesario para trasladar una carga puntual de 3 C desde el
punto A hasta el punto B de coordenadas (0, 1). Interprete el signo
del resultado. Nota: todas las distancias vienen dadas en metros.
a) Una vez realizado el dibujo de las cargas observamos que el
campo generado por la carga negativa tiene componentes e ; sin
embargo, el campo generado por la carga positiva tiene slo
componente . Primero vamos a calcular el valor del mdulo de cada
campo en A, pero antes debemos conocer la distancia entre dicho
punto y la carga negativa: ! ! = 3 ! + 4 ! = 25 ! ! = ! ! ! = 9 10!
! ! 50 10!! 25 ! = 18 / ! = ! ! ! = 9 10! ! ! 9 10!! 9 ! = 9 / El
ngulo formado por el vector ! y el eje vale: sin = 4 5 = 53!
13!
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Calculamos las componentes: !! = ! cos = 18 0! 6 = 10! 8 / !! = !
sin = 18 0! 8 = 14! 4 / ! = ! = 9 / Para calcular el campo total en
el punto A sumamos vectorialmente: ! = ! + ! = 9 10! 8 + 14! 4 / =
! ! + ! ! / b) Para poder calcular el trabajo, antes vamos a
calcular el potencial elctrico. Calculamos primero el potencial en
el punto A: ! = ! + ! = ! ! + ! ! ! = 9 10! ! ! 9 10!! 3 50 10!! 5
= 63 Calculamos el potencial en el punto B: ! = ! + ! = ! ! + ! ! !
= 9 10! ! ! 9 10!! 1 50 10!! 5 = 9 Por lo tanto, el trabajo ser: !"
= !" = 3 10!! 9 + 63 = 3 10!! 54 = ! ! Como podemos ver, el trabajo
es negativo, ya que se produce un movimiento en contra del
campo.
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5.22. Tenemos dos cargas = y = situadas en los puntos y
respectivamente. a) Averigua el lugar donde el campo elctrico se
anula. b) Colocamos una tercera carga de valor = en el origen.
Calcula el trabajo necesario para llevar dicha carga hasta el punto
. El trabajo se realiza a favor o en contra del campo? a) Para que
el campo elctrico se anule debe cumplirse que: ! ! !!! = 0 ! + ! =
0 Para que esto sea posible deben darse tres condiciones: Los
vectores intensidad de campo tengan la misma direccin (esto define
la recta que une ambas cargas). Los vectores intensidad de campo
tengan sentidos opuestos. Los vectores intensidad de campo tengan
el mismo mdulo. En este caso tendr que anularse en algn punto de la
recta que une ambas cargas. Dado que ambas son positivas (fuentes),
el campo solo se podr anular entre ellas (zona 2), ya que es la
nica regin del espacio donde las intensidades de campo elctrico
tienen sentidos opuestos. Por lo tanto, debemos encontrar el punto
de la zona 2 en el que los mdulos de las intensidades de campo
generadas por ambas cargas sean iguales. ! = ! ! ! ! = ! ! !
Calculamos la distancia que hay entre ambas cargas. Aplicamos
Pitgoras: ! = ! + ! = 2! + 1! = 5 Para cualquier punto situado
entre ambas cargas se cumplir que ! + ! = ! = !: ! ! ! = ! ! ! ! !
! = ! ! ! ! ! 2 ! + ! ! = ! ! ! ! ! ! ! + 2! ! ! ! = 0 Sustituyendo
los valores obtenemos: 5 10!! 3 10!! ! ! + 2 5 3 10!! ! 5 3 10!! =
0 2 10!! ! ! + 6 5 10!! ! 15 10!! = 0 De las dos soluciones que
obtenemos nos quedamos con la positiva = ! . Esta solucin tiene
sentido, ya que el punto donde se anula el campo tiene que estar
situado ms cerca de la carga menor.
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b) El trabajo para llevar una carga desde un punto A hasta otro
punto B se calcula como !" = ! . Por lo tanto, primero calcularemos
el valor del potencial en dichos puntos: = ! + ! = 27000 + 31819! 8
= 58819! 8 ! = ! !! = 9 10! ! ! 3 10!! 1 = 27000 ! = ! !! = 9 10! !
! 5 10!! 2 = 31819! 8 = ! + ! = 19091! 9 + 45000 = 64091! 9 ! = !
!! = 9 10! ! ! 3 10!! 2 = 19091! 9 ! = ! !! = 9 10! ! ! 5 10!! 1 =
45000 Por lo tanto, el trabajo ser: !" = ! = 2 10!! 64091! 9 58819!
8 ! Estamos haciendo trabajo en contra del campo. TIPO 31 LIBRO
PGINAS 128 y 130: ejercicios 3, 4, 14, 26 y 32. 5.23. Una partcula
de masa y carga 10!! se encuentra en reposo al estar sometida al
campo gravitatorio terrestre y a un campo elctrico uniforme = 100 /
de la misma direccin. a) Haz un esquema de las fuerzas que actan
sobre la partcula y calcula su masa. b) Analiza el movimiento de la
partcula si el campo elctrico aumentara a 120 / y determina su
aceleracin. Sol: a) = ! ; b) = / 5.24. Calcula la diferencia de
potencial ! ! entre los puntos A (derecha) y B (izquierda) del
campo elctrico homogneo de intensidad E = 4 N/C. Sol: - 8 V
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5.25. Un protn se desplaza una distancia de 05 m en lnea recta
desde un punto A hasta otro B dentro de un acelerador. El campo
elctrico producido es uniforme a lo largo de esta recta y su
magnitud es de 1! 5 10! / en la direccin de su movimiento.
Determina la fuerza sobre el protn, el trabajo realizado por el
campo sobre el protn y la diferencia de potencial entre los puntos
A y B. Sol: = ! ! , = ! ! , = ! 5.26. La figura muestra un campo
elctrico homogneo de intensidad E = 10 N/C representado mediante
las lneas de fuerza horizontales hacia la derecha. Determina la
diferencia de potencial elctrica ! ! entre los puntos B y A. Sol: =
5.27. La figura muestra un campo elctrico homogneo de intensidad E
= 500 KN/C representado mediante las lneas de fuerza horizontales
hacia la derecha. Determina el trabajo realizado por un agente
externo para trasladar una carga = 500 desde la posicin A hasta B
siguiendo como trayectoria la hipotenusa del tringulo rectngulo.
Sol: = 5.28. Un electrn , con una velocidad de 6 10! /, penetra en
un campo elctrico uniforme y su velocidad se anula a una distancia
de 20 cm desde su entrada en la regin del campo. a) Razone cules
son la direccin y sentido del campo elctrico. b) Calcule su mdulo.
Sol: b) = / 5.29. Sea una partcula de masa = 1 , cargada
positivamente y que se mueve en el seno de un campo elctrico
uniforme = 10! / cuyas lneas de campo son perpendiculares al suelo.
Inicialmente la partcula est en reposo y a una altura de 5 m del
suelo. Si se la deja libre la partcula toca el suelo con una
velocidad de 20 m/s. Determinar el sentido de las lneas de campo y
la carga de la partcula. Tomar = 10 /! . Sol: = ! 5.30. En una
regin del espacio existe un campo uniforme vertical, de manera que
la diferencia de potencial entre dos puntos situados un encima del
otros y distantes 2 cm es de 100 V. a) Qu fuerza se ejerce sobre un
electrn situado en esa regin del espacio? b) Si el electrn se
abandona en reposo en el punto de menor potencial, con qu velocidad
llegar al otro punto? c) Representar grficamente el vector campo
elctrico, la fuerza ejercida sobre el electrn el punto de menor
potencial y el punto de mayor potencial. Sol: a) = ! ; b) = !
/
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5.31. Sea un campo elctrico uniforme dado por = ! /. Se pide: a)
Cmo sern las superficies equipotenciales de dicho campo? b) Calcula
el trabajo necesario para trasladar una carga de desde el punto , ,
al punto , , . c) Calcula la distancia entre las superficies
equipotenciales = y = . a) Las lneas de campo elctrico van en la
direccin del eje X, en sentido positivo. Como las superficies
equipotenciales son perpendiculares a las lneas de fuerza sern
planos perpendiculares al eje X, es decir: Donde debe cumplirse que
> > , ya que el sentido del campo elctrico apunta siempre
hacia potenciales decrecientes. b) Los puntos seran: El trabajo que
realiza el campo elctrico para trasladar una carga entre dos puntos
es: !"# = Donde es la carga que se traslada y la diferencia de
potencial entre los puntos considerados. Ahora bien, en este caso
no conocemos el valor del potencial, pero sabemos que para un campo
elctrico uniforme se cumple que: = Donde es la distancia entre los
puntos medida en la direccin del campo, en nuestro caso seran 4 m.
Por lo tanto: !"# = = !"# = 2 10!! 500 / 4 = ! Como el trabajo que
realiza el campo elctrico es positivo significa que es el campo
quien desplaza la carga desde el punto P al punto Q, como era de
esperar ya que la carga es positiva y se mueve en el sentido de las
lneas de campo. c) La distancia entre las dos superficies
equipotenciales ! y ! ser: = = 10 500 / = !