CLCULO 1 (MA262)
Taller N 05
Ciclo 2015-1
Profesores del taller : Alejandro Flores, Jos Linares, Mike Hurtado, Reynaldo Egocheaga y
Carlos Quispe
Coordinador del curso : Jess Acosta Neyra
Temas : Extremos de Funciones, Teorema del Valor Medio, Regla de LHospital y Anlisis de funciones.
1. Determine si la proposicin es verdadera (V) o falsa (F). Justifique sus respuestas.
a) Si ( ) 0f c , entonces la funcin tiene un mximo o mnimo en ( )f c .
b) Si ( )f c no existe entonces x c es un nmero crtico.
c) Si (1) 0f , entonces (1, (1))f es un punto de inflexin de la curva ( )y f x .
Resolucin
a) Falso
Considerando la funcin 3( )f x x se tiene que (0) 0f ms no existe mnimo ni mximo en (0)f .
b) Falso
Para que x c sea un nmero crtico no basta que no exista ( )f c sino que adems c debe pertenecer
al dominio de f .
c) Falso
Sea la funcin 4( ) ( 1)f x x , entonces se tiene que (1) 0f sin embargo la funcin no tiene punto
de inflexin (Grficamente es una parbola).
2. Determine los extremos absolutos de las siguientes funciones
a) 3( ) 9 5; 3;3f x x x x Resolucin
Derivando la funcin obtenemos 2 2( ) 3 9 3 3f x x x
Determinemos los nmeros crticos: 2( ) 0 3 3 0f x x 3, 3x x
Evaluando los nmeros crticos en f obtenemos
3
3
( 3) ( 3) 9( 3) 5 5 6 3
( 3) ( 3) 9( 3) 5 5 6 3
f
f
Los valores de f en los extremos del intervalo son
3
3
3 ( 3) ( 3) 9( 3) 5 49
3 (3) (3) 9(3) 5 5
x f
x f
Al comparar los nmeros: 5 6 3; 5 6 3; 49; 5 tenemos:
El valor mximo absoluto es ( 3) 5 6 3f
El valor mnimo absoluto es ( 3) 49f
b) 2( ) 6 10; x -1;5f x x x Resolucin
Derivando la funcin obtenemos: 2
3( )
6 10
xf x
x x
Determinemos los nmeros crticos: 2
3( ) 0 0
6 10
xf x
x x
3x
Evaluando el nmero crtico en f obtenemos que 2
(3) 3 6 3 10 1f
Los valores de f en los extremos del intervalo son
2
2
1 ( 1) 1 6 1 10 5
5 (5) 5 6 5 10 65
x f
x f
Al comparar los nmeros 1; 5; 65 tenemos
El valor mximo absoluto es (5) 65f
El valor mnimo absoluto es (3) 1f
c) 22
( ) ; x -2;21
xf x
x
Resolucin
Derivamos la funcin
2
2
2 1 1( )
1
x xf x
x
Determinemos los nmeros crticos:
2
2
2 1 1( ) 0 0
1
x xf x
x
1; 1x x
Evaluando los nmeros crticos en f
2
2
2(1)(1) 1
1 1
2( 1)( 1) 1
1 1
f
f
Los valores de f en los extremos del intervalo son
2
2
2( 2) 42 ( 2) 0,8
52 1
2(2) 42 (2) 0,8
52 1
x f
x f
Al comparar los nmeros 1; 1; 0,8;0,8 tenemos
El valor mximo absoluto es (1) 1f
El valor mnimo absoluto es ( 1) 1f
3. Aplicar el T.V.M a las funciones dadas en el intervalo indicado y determine los valores de c que
satisfacen su condicin.
a) 2 3( ) , [ 2,1]f x x x x
Resolucin
Siendo f un polinomio entonces es continua en [ 2,1] y derivable en 2;1 .
Evaluamos en los extremos obteniendo que 2 12, 1 0f f .
Si 2 3 2( ) 2 3f x x x f x x x
Aplicando el T.V.M. para 2;1c tenemos que:
22
1 2 1 ( 2) ,
0 12 2 3 3
0 3 2 4
0,87 1,54
f f f c
c c
c c
c c
0,87 2;1 1,54 2;1c c
Por lo tanto, el valor de c que verifica el T.V.M es 0,87 .
b)2 3 4
( ) , [ 1,4]5
x xf x x
x
Resolucin
Siendo f una funcin continua en [ 1,4] y derivable en 1;4
entonces evaluamos los extremos en f obteniendo: 1 0 , 4 0f f
Derivando f tenemos: 2
2
10 11
( 5)
x xf x
x
Aplicando el T.V.M. para 1;4c tenemos que:
2
2
2
4 1 4 1 ,
10 110 0 4
( 5)
0 10 11
1 c 11
f f f c
c c
c
c c
c
11 1;4 1 1;4c c
Por lo tanto, el valor de c que verifica el T.V.M es 1.
4. Determine los siguientes lmites.
a) 3 2
31
2 2lim
7 6x
x x x
x x
Resolucin
Evaluando el lmite: 3 2
31
2 2 0lim
7 6 0x
x x x
x x
(F.I)
Aplicando la regla de LHospital:
3 23 2
3 31 1
2
21
2 2 '2 2lim lim
7 6 7 6 '
3 4 1lim
3 7
x x
x
x x xx x x
x x x x
x x
x
Evaluando el nuevo lmite tenemos
3 2
31
2 2 1lim
7 6 2x
x x x
x x
b) x
x
x sen
lnlim
1
Resolucin
Evaluando el lmite: 1
ln 0lim
sen 0x
x
x (F.I)
Aplicando la regla de LHospital:
1 1
1
ln 'lnlim lim
sen sen '
1
limcos
x x
x
xx
x x
x
x
Evaluando el nuevo lmite tenemos
1
ln 1 1lim
sen ( 1)x
x
x
c) 0
limx
tgx senx
x senx
Resolucin
Evaluando el lmite: 0
0lim
0x
tgx senx
x senx
(F.I)
Aplicando la regla de LHospital:
0 0
2
0
'lim lim
'
sec coslim
1 cos
x x
x
tgx senxtgx senx
x senx x senx
x x
x
Evaluando el nuevo lmite tenemos:
2
0 0
sec cos 0lim lim
1 cos 0x x
tgx senx x x
x senx x
(F.I)
Nuevamente aplicamos la regla de LHospital:
2
0 0
2
0
sec cos 'lim lim
1 cos '
2sec tanlim
x x
x
x xtgx senx
x senx x
x x senx
senx
Evaluando el nuevo lmite tenemos
0
0lim
0x
tgx senx
x senx
(F.I)
Nuevamente aplicamos la regla de LHospital:
2
0 0
2 2 4
0
2sec tan 'lim lim
'
4sec tan 2sec coslim
cos
x x
x
x x senxtgx senx
x senx senx
x x x x
x
Evaluando el nuevo lmite tenemos
0
3lim 3
1x
tgx senx
x senx
d) 2lim( 1 )
xx x x
Resolucin Transformando el lmite y luego evaluando se obtiene una (F.I).
22 2
2
2
( 1 )lim ( 1 ) lim ( 1 )
( 1 )
1lim
( 1 )
x x
x
x x xx x x x x x
x x x
x
x x x
Aplicando la regla de LHospital:
22
2
1 'lim ( 1 ) lim
( 1 ) '
1lim
2 11
2 1
x x
x
xx x x
x x x
x
x x
Evaluando el nuevo lmite tenemos:
2
2
1 1 1lim( 1 ) lim
2 1 1 1 21
2 1
x xx x x
x
x x
e) 0
7 5lim
t t
t t
Resolucin
Evaluando el lmite: 0
7 5 0lim
0
t t
t t
(F.I)
Aplicando la regla de LHospital
0 0
0
7 5 '7 5lim lim
'
7 ln 7 5 ln5lim
1
t tt t
t t
t t
t
t t
Evaluando el nuevo lmite tenemos:
0
7 5 7lim ln 7 ln5 ln
5
t t
t t
f)
2
40
11 cos
2lim
x
x x
x
Resolucin
Evaluando el lmite:
2
40
11 cos
02lim0x
x x
x
(F.I)
Aplicando la regla de LHospital
22
4 40 0
30
11 1 cos '1 cos22lim lim'
lim4
x x
x
x xx x
x x
senx x
x
Evaluando el nuevo lmite tenemos
2
40
11 cos
02lim0x
x x
x
(F.I)
Nuevamente aplicamos la regla de LHospital:
2
4 30 0
20
11 cos '2lim lim
4 '
cos 1lim
12
x x
x
x x senx x
x x
x
x
Evaluando el nuevo lmite tenemos
2
40
11 cos
02lim0x
x x
x
(F.I)
Otra vez aplicando la regla de LHospital: (tantas veces sea necesaria)
2
4 20 0 0
0 0
11 cos cos 1 ' 02lim lim lim ( . )
24 012 '
'lim lim
24 ' 24
x x x
x x
x x x senxF I
x xx
senx cosx
x
Evaluando el ltimo lmite tenemos
2
40 0
11 cos
12lim lim24 24x x
x xcosx
x
5. Encontrar los intervalos en los que f es creciente o decreciente, los valores mximos y mnimos locales, intervalos de concavidad y puntos de inflexin.
a) 3 22 4 2 1f x x x x Resolucin
Derivando la funcin obtenemos: 2( ) 6 8 2f x x x
Determinemos los nmeros crticos: 2( ) 0 6 8 2 0f x x x 1
13
x x
Mediante el mtodo de los puntos referenciales determinamos la monotona de la funcin
(Estas evaluaciones se realizan en f )
f es creciente en 1
; ; 1;3
f es decreciente en 1
;13
Calculando la segunda derivada obtenemos ( ) 12 8f x x
Determinemos los mximos y mnimos locales, utilizando el criterio de la segunda derivada.
Si 1 1
( ) 4 03 3
x f entonces:
existe un mximo local en 1
3x cuyo valor es
1( ) 1,33
f .
Si 1 (1) 4 0x f entonces:
existe un mnimo local en 1x cuyo valor es (1) 1f .
1/3 1
1/3 1
Ahora determinemos los puntos de inflexin, para ello ( ) 0 12 8 0 f x x 2
3x
El posible punto de inflexin es 2
3x ; mediante el criterio de los puntos referenciales analizamos
la concavidad (Estas evaluaciones se realizan en f ).
Se obtiene entonces
f es cncava hacia abajo en 2
;3
f es cncava hacia arriba en 2
;3
Por lo tanto, el punto 2 2 2
; ;1,153 3 3
f
es un punto de inflexin.
b) senf x x x , x Resolucin
Derivando la funcin obtenemos: ' 1 cosf x x
Determinemos los nmeros crticos: ' 0 1 cos 0 0f x x x
Mediante el mtodo de los puntos referenciales determinamos la monotona de la funcin
(Estas evaluaciones se realizan en f ).
Se obtiene entonces
f es creciente en todo su dominio: ;
Luego, para determinar los mximos y mnimos absolutos bastar con evaluar en los extremos del
dominio.
Si ( )x f , este es el mnimo absoluto.
Si ( )x f , este es el mximo absoluto.
2/3
0
Calculando la segunda derivada obtenemos ( )f x senx
Ahora determinemos los puntos de inflexin, para ello ( ) 0 0 0 f x senx x
El posible punto de inflexin es 0x ; mediante el criterio de los puntos referenciales analizamos
la concavidad (Estas evaluaciones se realizan en f ).
Se obtiene entonces
f es cncava hacia abajo en ;0
f es cncava hacia arriba en 0;
Por lo tanto, el punto 0; 0 0;0f es un punto de inflexin.
6. Considerando la funcin f tal que:
3
2( )
12
xf x
x
,
4 2
2 2
36'( )
( 12)
x xf x
x
,
22 3
24 36''( )
( 12)
x xf x
x
a) Determine el dominio, intersecciones con los ejes coordenados y las ecuaciones de las asntotas.
b) Determine los nmeros crticos, intervalos de crecimiento, decrecimiento y extremos relativos.
c) Determine los intervalos de concavidad y puntos de inflexin.
d) Trace la grfica e indique todos los puntos notables.
Resolucin
a) Dom f
Intersecciones con los ejes:
Con Y: 0 0si x y entonces el intercepto es (0;0)
Con X: 0 0si y x entonces el intercepto es (0;0)
Ecuaciones de las asntotas
Asntotas Verticales
Al no existir nmeros de discontinuidad en el denominador no existen asntotas verticales.
Asntotas Horizontales
3
2lim
12x
x
x
,
3
2lim
12x
x
x
Por lo tanto, no existen asntotas horizontales.
0
b)
Nmeros crticos
Resolviendo 4 2
2 2
36( ) 0 0
( 12)
x xf x
x
No existen soluciones reales!
Por lo tanto no hay nmeros crticos.
Intervalos de crecimiento y decrecimiento
Siendo 4 2
2 2
36( ) 0;
( 12)
x xf x x
x
esto significa que la funcin es creciente en todo su dominio
Extremos relativos
No existen
c)
Puntos de inflexin e intervalos de concavidad
Resolviendo 2
2 3
24 36''( ) 0 0 0 6 6
( 12)
x xf x x x x
x
Los posibles puntos de inflexin son: 0 6 6x x x , mediante el criterio de los puntos
referenciales analizamos la concavidad (Estas evaluaciones se realizan en f ).
Se obtiene entonces
f es cncava hacia abajo en 6;0 ; 6;
f es cncava hacia arriba en ; 6 ; 0;6
Por lo tanto, los puntos 0; 0 0;0 ; 6; 6 6; 4,5 ; 6; 6 6;4,5f f f son los puntos de inflexin.
d)
6 0 6
7. Dada la funcin: 1
)(2
x
xxf
a) Determine el dominio, intersecciones con los ejes coordenados y las ecuaciones de las asntotas.
b) Determine los nmeros crticos, intervalos de crecimiento, decrecimiento y extremos relativos.
c) Determine los intervalos de concavidad y puntos de inflexin.
d) Trace la grfica e indique todos los puntos notables.
Resolucin
a) 1; 1Dom f
Intersecciones con los ejes:
Con Y: 0 0si x y entonces el intercepto es (0;0)
Con X: 0 0si y x entonces el intercepto es (0;0)
Ecuaciones de las asntotas
Asntotas Verticales
Posibles asntotas: 1,1 xx
1
lim( 1)( 1)x
x
x x
,
1lim
( 1)( 1)x
x
x x
1
lim1 1x
x
x x
,
1lim
1 1x
x
x x
Por lo tanto, 1,1 xx son asntotas verticales
Asntotas Horizontales
2
lim 01x
x
x
,
2lim 0
1x
x
x
Por lo tanto, 0y es la asntota horizontal.
b)
Nmeros crticos
Resolviendo
2
22
1( ) 0 0
1
xf x
x
No existen soluciones reales!
Por lo tanto no hay nmeros crticos.
Intervalos de crecimiento y decrecimiento
Al no existir nmeros crticos, se determinar los intervalos de crecimiento y de crecimiento tomando
como referencia los valores en los que no est definido 'f .
Mediante el mtodo de los puntos referenciales determinamos la monotona de la funcin
(Estas evaluaciones se realizan en f ).
-1 1
Entonces f es decreciente en ; 1 ; 1;1 ; 1;
Extremos relativos
No existen
c)
Puntos de inflexin e intervalos de concavidad
2 2
42
2 1 3 ( ) 0 0 0
1
x x xf x x
x
que es la solucin y 1 ; 1x x donde no est
definida f .
Mediante el criterio de los puntos referenciales analizamos la concavidad (Estas evaluaciones
se realizan en f ).
Se obtiene entonces
f es cncava hacia abajo en ; 1 ; 0;1
f es cncava hacia arriba en 1;0 ; 1;
Solo consideramos, el punto 0; 0 0;0f como punto de inflexin pues 1 1x x no pertenecen al dominio de f .
d) Graficando
UPC, Abril del 2015
-1 0 1