7/24/2019 14406487701
1/32
Clase 1: Fundamentos de programacion dinamica
Clase 1: Fundamentos de programaciondinamica
Matematica avanzada para macroeconoma
Hamilton Galindo
Junio - Agosto2015
http://goforward/http://find/http://goback/7/24/2019 14406487701
2/32
Clase 1: Fundamentos de programacion dinamica
Contenido
1 PanoramaQue tipo de problema queremos resolver?Proceso de transformacion del PS al PFPrincipales hipotesis, proposiciones y teoremas
2 Que conceptos matematicos necesitamos?
3 Conceptos (parte I): espaciosEspacio vectorialEspacio metricoEspacio (vectorial) normadoEspacio completo
4
Conceptos (parte II): contraccionesContraccion (aplicacion contractiva)Condiciones de Blackwell
5 Conceptos (parte III): punto fijoQue es un punto fijo?Teorema de la aplicacion contractiva
http://find/http://goback/7/24/2019 14406487701
3/32
Clase 1: Fundamentos de programacion dinamica
Panorama
Que tipo de problema queremos resolver?
Que tipo de problema queremos resolver? I
Queremos resolver un problema de optimizacion dinamica, al cual lla-
maremosProblema Secuencial (PS):
Problema secuencial (PS)
sup
{ut}
t=0
tr(xt, ut) (1)
s.a :
xt+1 = g(xt, ut)
ut (xt), t= 0, 1, 2,...
x0 X dado
Donde:
1 r(xt, ut) :funcion de retorno (instantaneo)
r(xt, ut) :XxRm
R
Cl 1 F d d i di i
http://find/http://goback/7/24/2019 14406487701
4/32
Clase 1: Fundamentos de programacion dinamica
Panorama
Que tipo de problema queremos resolver?
Que tipo de problema queremos resolver? II
2 : factor de descuento, [0,)
3 xt : vector de variables de estado (xt Rn)
4 ut :vector de variables de control (ut Rm)
5 g(xt, ut) :funcion que describe la evolucion de la variables de estado(funcion de transicion o ley de movimiento):
g(xt, ut) :XxRm X
6 (xt) :es una correspondenciaque describe las posibilidades de lavariable de control cuando la economa se encuentra en el estadoxt.
:X Rm
7 X: es el espacio de los valores que puede tomar la variable de estado(X Rn)
8 x0 :el valor inicial de la variable de estado (estado inicial)
Cl 1 F d t d i di i
http://find/7/24/2019 14406487701
5/32
Clase 1: Fundamentos de programacion dinamica
Panorama
Que tipo de problema queremos resolver?
Ejemplo: crecimiento optimo (Brock y Mirman, 1972) I
El modelo basico de crecimiento esta descrito por el siguiente problema(en terminos generales):
Max{ct,kt+1}t=0
t=0
tlnct
s.a:
kt+1 = (1 )kt+it
ct+it=f(kt)
ct, kt 0tA este problema lo llamamosproblema secuencial(PS). Considerando lassiguientes forma funcionales
u(ct)lnct, f(kt) = k
t
, y supuestos
(0, 1), = 1 y k0 dado
se tiene:
Clase 1: Fundamentos de programacion dinamica
http://find/7/24/2019 14406487701
6/32
Clase 1: Fundamentos de programacion dinamica
Panorama
Que tipo de problema queremos resolver?
Ejemplo: crecimiento optimo (Brock y Mirman, 1972) II
Problema secuencial: Brock y Mirman (1972)
Max{ct,kt+1}t=0
t=0
t
lnct
s.a:kt+1 =k
t ct
ct, kt 0
Clase 1: Fundamentos de programacion dinamica
http://find/7/24/2019 14406487701
7/32
Clase 1: Fundamentos de programacion dinamica
Panorama
Proceso de transformacion del PS al PF
Proceso de transformacion del PS al PF
Clase 1: Fundamentos de programacion dinamica
http://find/7/24/2019 14406487701
8/32
Clase 1: Fundamentos de programacion dinamica
Panorama
Principales hipotesis, proposiciones y teoremas
Principales hipotesis, proposiciones y teoremas
Clase 1: Fundamentos de programacion dinamica
http://find/7/24/2019 14406487701
9/32
Clase 1: Fundamentos de programacion dinamica
Que conceptos matematicos necesitamos?
Teorema del punto fijo: Que conceptos matematicos necesitamos? I
Teorema del punto fijo para contracciones (de Banach)
Sea Ca(X) el conjunto de funciones continuas y acotadas con la normadel supremo (espacio vectorial normado y completo), entonces eloperador T definido en Ca(X) es una aplicacion de este espacio en smismo, T: C
a(X) C
a(X) , definido como:
T[V](x) =sup
r(xt, ut) +V(g(xt, ut))
(2)
sujeto a: ut (xt), Satisface:
1 ...2 T tiene un unico punto fijo V: T[V] =V
3 ...(para un detalle completo del teorema ver la clase 2.)
Clase 1: Fundamentos de programacion dinamica
http://find/7/24/2019 14406487701
10/32
p g
Que conceptos matematicos necesitamos?
Teorema del punto fijo: Que conceptos matematicos necesitamos? II
El teorema de punto fijo para contracciones es uno de los principales enprogramacion dinamica. Este teorema contiene tres grandes conceptos:
1 Un espacio de funciones: Ca(X)
Espacio vectorial?
Espacio normado?
Espacio completo?2 Contraccion: T[V]
Que es?
Existen algunas condiciones suficientes para que un operador seaconsiderado contraccion?
3 Punto fijo (de una contraccion)Que es?
Existen algunas condiciones para que una contraccion tenga unpunto fijo?
Clase 1: Fundamentos de programacion dinamica
http://find/7/24/2019 14406487701
11/32
p g
Conceptos (parte I): espacios
Espacio vectorial
Espacio vectorial I
Espacio vectorial (espacio lineal)
Un espacio vectorial (real) X es un conjunto de elementos (vectores)con dos operaciones:
1 Adicion: para cualquier dos vectores x, y X, la adicion brinda un
vector x
+y
X
2 Multiplicacion escalar:para cualquier vectorx Xy cualquier numeroreal R, la multiplicacion escalar brinda un vector x X
Ademas, dichas operaciones obedecen las leyes usuales del algebra; es decir,para todo x, y, z X, y , R:
x+y=y+x
(x+y) +z=x+ (y+z)
(x+y) =x+y
(+)x=x+x
Clase 1: Fundamentos de programacion dinamica
http://find/7/24/2019 14406487701
12/32
Conceptos (parte I): espacios
Espacio vectorial
Espacio vectorial II
()x=(x)Ademas, existe un vector 0 Xque tiene las siguientes propiedades:
x+ 0 =x
0x= 0Finalmente,
1x= 1
Clase 1: Fundamentos de programacion dinamica
http://find/7/24/2019 14406487701
13/32
Conceptos (parte I): espacios
Espacio vectorial
Espacio vectorial: panorama grafico
Clase 1: Fundamentos de programacion dinamica( )
http://find/7/24/2019 14406487701
14/32
Conceptos (parte I): espacios
Espacio vectorial
Espacio vectorial: Ejemplo 1
El plano cartesiano R2
El plano cartesiano R2 de puntos de la forma (x, y) con x, y R, es unespacio vectorial real respecto de las siguientes operaciones:
Adicion:(x1, y1) + (x2, y2) = (x1+x2, y1+y2)
Multiplicacion escalar:
a.(x, y) = (ax, ay)
Donde a R
Clase 1: Fundamentos de programacion dinamicaC ( I) i
http://find/7/24/2019 14406487701
15/32
Conceptos (parte I): espacios
Espacio vectorial
Espacio vectorial: Ejemplo 2
Conjunto de funciones
Sea X un conjunto no vaco. El conjunto RX de todas las funciones de Xen Res un espacio vectorial real bajo las siguientes operaciones:
Adicion:(f +g)(x) =f(x) +g(x)
Multiplicacion escalar:
a.f(x) =af(x)
x X,a R
Si X =R entonces se obtiene el espacio de todas las funciones devariable real a valor real.
Si X es un intervalo abierto, por ejemplo (a, b) o R, y C(X) es elconjunto de funciones continuas de X en R, entonces C(X) es un
espacio vectorial real.
Clase 1: Fundamentos de programacion dinamicaCo ce tos ( a te I) es acios
http://find/http://goback/7/24/2019 14406487701
16/32
Conceptos (parte I): espacios
Espacio vectorial
Espacio vectorial: con estructura adicional
1 Los espacios vectoriales ad hocno ofrecen un marco para analizar siuna sucesion de funciones converge a otra funcion.
2 Ademas, no esta adaptada para hacer frente a series infinitas, ya quela suma solo permite un numero finito de terminos.
3 Ambos temas son fundamentales enanalisis matematico, por ello serequiere nuevas estructuras: espacios metricos y espacios normados.
4 Cabe mencionar que el espacio normado es un espacio vectorial; no
obstante, un espacio metrico puede ser o no un espacio vectorial.
Clase 1: Fundamentos de programacion dinamicaConceptos (parte I): espacios
http://goforward/http://find/7/24/2019 14406487701
17/32
Conceptos (parte I): espacios
Espacio metrico
Espacio metrico I
Que es una metrica?
Una metrica (o distancia) es una funcion d, definida como:
d :SxS R
tal que para todo x, y, z S se cumple:
a. d(x, y) 0, con igualdad si y solo si x=y (no negatividad)
b. d(x, y) =d(y, x) (simetra)
c. d(x, z) d(x, y) +d(y, z) (desigualdad triangular)
La definicion de metrica resume las cuatro popiedades basicas de ladistancia euclideana:
1 La distancia entre distintos puntos es estrictamente positiva.
2 La distancia de un punto a s mismo es cero.
3 la distancia es simetrica.
4 La desigualdad triangular se mantiene.
Clase 1: Fundamentos de programacion dinamicaConceptos (parte I): espacios
http://find/7/24/2019 14406487701
18/32
Conceptos (parte I): espacios
Espacio metrico
Espacio metrico II
Que es un espacio metrico?
Un espacio metrico es un conjunto S en la cual se ha definido unametrica d.Notacion:a (S, d) se le llama espacio metrico.
Clase 1: Fundamentos de programacion dinamicaConceptos (parte I): espacios
http://find/7/24/2019 14406487701
19/32
Conceptos (parte I): espacios
Espacio metrico
Espacio metrico: Ejemplos
R como espacio metrico
R es un espacio metrico con una funcion distancia d(x, y) = |x y|Entonces: (R, d) es un espacio metrico.
Espacio de funcionesEl conjunto de funciones C[a, b], de las funciones continuas del interva-lo cerrado [a, b] en R, es un espacio metrico con una funcion distancia(metrica):
d :C[a, b]xC[a, b] R
Definida por:d(f, g) = sup
t[a,b]|f(t) g(t)|
Entonces: (C[a, b], d) es un espacio metrico
Clase 1: Fundamentos de programacion dinamicaConceptos (parte I): espacios
http://find/7/24/2019 14406487701
20/32
p (p ) p
Espacio metrico
Por que es util el concepto de espacio metrico?
1 Los espacios metricos tienen cuatro propiedades:Conexidad:si un espacio puede ser separado en dos conjuntos abiertoscon interseccion vacia, entonces el espacio es no conexo.Separabilidad:relacionada con conjuntos numerables.Compacidad:si un espacio puede ser descrito por un numero finito de
conjuntos abiertos.Completitud:permite analizar si una sucesion es convergente sin ne-cesidad de conocer su lmite.
2 Las dos ultimas propiedades (compacidad y completitud) son esencia-les para el analisis real y teora de la optimizacion.
3
Ademas, en los espacios metricos se puede estudiar:Conjuntos abiertosConjuntos cerradosPunto interiorEntre otros conceptos de conjuntos
Clase 1: Fundamentos de programacion dinamicaConceptos (parte I): espacios
http://find/7/24/2019 14406487701
21/32
( )
Espacio (vectorial) normado
Espacio normado I
Que es una norma?Una norma es una funcion que brinda la nocion de longitud de un vector.La norma esta definida como:
:S R
tal que para todo x, y, z S y R se cumple:
a. 0, con igualdad si y solo si x= 0
b. x =| | x
c. x+y x + y (desigualdad triangular)
Que es un espacio normado?
Un espacio normado es un espacio vectorial S en la cual se ha definidouna norma .Notacion:a (S, ) se le llama espacio normado.
Clase 1: Fundamentos de programacion dinamicaConceptos (parte I): espacios
http://find/http://goback/7/24/2019 14406487701
22/32
Espacio (vectorial) normado
Espacio normado II
Todo espacio normado (S, ) es un espacio metrico con la metricadada por:
d(x, y) = x yA esta metrica se le llamametrica inducidapor la norma .
Todos los conceptos definidos para espacios metricos aplican a espa-cios normados.
Clase 1: Fundamentos de programacion dinamicaConceptos (parte I): espacios
http://find/http://goback/7/24/2019 14406487701
23/32
Espacio (vectorial) normado
Espacio normado: Ejemplos
f = sup{|f(x)|} (3)
Clase 1: Fundamentos de programacion dinamicaConceptos (parte I): espacios
http://find/http://goback/7/24/2019 14406487701
24/32
Espacio completo
Convergencia de una secuencia
Convergencia de una secuencia
Una secuencia {xn}n=0 en S convergea x S, si para cada >0, existe
N tal que:
d(xn, x)< , para todo n N (4)
Por tanto, una secuencia {xn}n=0 en un espacio metrico (S, d) converge a
x Ssi y solo si la secuencia de distancias {d(xn, x)}, una secuencia enR+, converge a cero. En este caso se escribe:
xn x d(xn, x) 0
Clase 1: Fundamentos de programacion dinamicaConceptos (parte I): espacios
E i l
http://find/http://goback/7/24/2019 14406487701
25/32
Espacio completo
Secuencia de Cauchy
Secuencia de Cauchy
Una secuencia {xn}n=0 en Ses unasecuencia de Cauchy(satisface el
criterio de Cauchy) si para cada >0, existe N tal que:
d(xn, xm)< , para todo n,m N (5)
Por tanto, una secuencia es de Cauchy si los puntos son cada vez mascercanos uno del otro.
Observacion:la ventaja del criterio de Cauchy, en comparacion con[4],es que[5] puede ser revisado solo conociendo la secuencia {xn}
n=0.
No obstante, para que el criterio de Cauchy sea util es necesario tra-bajar en espacios donde este (el espacio) implique la existencia de unpunto lmite.
Entonces:cuando puedo afirmar que una sucesion de Cauchy implicaconvergencia (de dicha sucesion)?: cuando trabajamos en espacioscompletos.
Clase 1: Fundamentos de programacion dinamicaConceptos (parte I): espacios
E i l t
http://find/7/24/2019 14406487701
26/32
Espacio completo
Espacio (metrico) completo I
Espacio (metrico) completo
Un espacio metrico (S, d) escompletosi cada secuencia de Cauchy en Sconverge a un elemento en S.
En un espacio completo, verificar que una secuencia satisface el cri-terio de Cauchy es un camino para verificar la existencia de un puntolmite en S.
Observacion: a un espacio vectorial normado completo se le llamaEspacio de Banach.
Clase 1: Fundamentos de programacion dinamicaConceptos (parte I): espacios
Espacio completo
http://find/7/24/2019 14406487701
27/32
Espacio completo
Espacio (metrico) completo II
Teorema 1 (Espacio normado completo)
Sea X Rl, y sea Ca(X) el conjunto de funciones continuas y acotadasf : X R con la norma del supremo, f =sup
xX|f(x)|, Entonces:
Ca(X) es un espacio vectorial normado completo.
En este espacio la metrica definida es d(x, y) = x y, donde x, y sonfunciones.
Clase 1: Fundamentos de programacion dinamicaConceptos (parte II): contracciones
Contraccion (aplicacion contractiva)
http://find/7/24/2019 14406487701
28/32
Contraccion (aplicacion contractiva)
Contraccion (aplicacion contractiva) I
Que es una contraccion?Sea (X, d) un espacio metrico. Una aplicacion (funcion) en s mismaT :S Sse llamacontraccion(con modulo ) si x, y S, existealgun (0, 1) tal que:
d(T(x),T(y)) d(x, y)
Es decir, la distancia entre las imagenes de los dos puntos es menor quela distancia entre dichos puntos.
Una contraccion posee al menos un punto fijo.
Elteorema de Banach del punto fijoafirma que toda contraccion sobreun espacio metrico completo tiene un unico punto fijo, y por tantopara cadaxdeSla secuencia iterativax, f(x), f(f(x)), f(f(f(x))),...converge al punto fijo.
Toda contraccion T en un espacio metrico (S, d) es continua.
Clase 1: Fundamentos de programacion dinamicaConceptos (parte II): contracciones
Contraccion (aplicacion contractiva)
http://find/7/24/2019 14406487701
29/32
Contraccion (aplicacion contractiva)
Contraccion (aplicacion contractiva) II
Clase 1: Fundamentos de programacion dinamicaConceptos (parte II): contracciones
Condiciones de Blackwell
http://find/7/24/2019 14406487701
30/32
Condiciones de Blackwell
Blackwell brinda condiciones para que un operadorTsea considerado con-
traccion.
Condiciones suficientes de Blackwell para contracciones
Sea X Rl, y sea B(X) el espacio de funciones acotadas definidas en X,f :X R, con la norma del supremo. Sea T :B(X) B(X) un
operador que satisface:1 (monotonicidad) f, g B(X) y f(x) g(x), para todo x X,
implica:T[f](x) T[g](x), para todo x X
2 (descuento)existe algun (0, 1) tal que:
T[f +a](x) T[f](x) +a, para todo f B(X), a 0, x X
Donde:(f +a)(x) es la funcion definida por (f +a)(x) =f(x) +a
Entonces,T es una contraccioncon modulo .
Clase 1: Fundamentos de programacion dinamicaConceptos (parte III): punto fijo
Que es un punto fijo?
http://find/7/24/2019 14406487701
31/32
p j
Que es un punto fijo? I
Que es un punto fijo?
Los puntos fijos de Tson los elementos de Sque satisfacen:
T(x) =x
Es decir, son las intersecciones con la lnea de 45
Bajo que circunstancias podemos asegurar que una contraccion
tiene un punto fijo?: bajo el teorema de Banach
Clase 1: Fundamentos de programacion dinamicaConceptos (parte III): punto fijo
Teorema de la aplicacion contractiva
http://find/7/24/2019 14406487701
32/32
Teorema de la aplicacion contractiva
Teorema de la aplicacion contractiva
Si (S, d) es un espacio metricocompletoy T :S Ses unaaplicacioncontractivacon modulo , entonces:
a. Ttiene solo un punto fijo v S
b. Para cualquier v0 S, d(Tnv0, v) nd(v0, v), n= 0, 1, 2...
Este teorema sugiere dos temas importantes:
Que para asegurar que el operador T tenga ununico punto fijose re-quiere dos cosas:[1]Que el espacio de trabajo (conjunto de funciones)
sea un espacio metrico completo; y[2] T sea una contraccion.Que vamos a converger a dicho punto fijo independientemente dedonde empezemos a iterar el operador. Este se deduce de la expresionpara cualquier v0 S en el item b.
http://find/