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Clase 1: Fundamentos de programacion dinamica

Clase 1: Fundamentos de programaciondinamica

Matematica avanzada para macroeconoma

Hamilton Galindo

Junio - Agosto2015
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Contenido

1 PanoramaQue tipo de problema queremos resolver?Proceso de transformacion del PS al PFPrincipales hipotesis, proposiciones y teoremas

2 Que conceptos matematicos necesitamos?

3 Conceptos (parte I): espaciosEspacio vectorialEspacio metricoEspacio (vectorial) normadoEspacio completo

4

Conceptos (parte II): contraccionesContraccion (aplicacion contractiva)Condiciones de Blackwell

5 Conceptos (parte III): punto fijoQue es un punto fijo?Teorema de la aplicacion contractiva
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Panorama

Que tipo de problema queremos resolver?

Que tipo de problema queremos resolver? I

Queremos resolver un problema de optimizacion dinamica, al cual lla-

maremosProblema Secuencial (PS):

Problema secuencial (PS)

sup

{ut}

t=0

tr(xt, ut) (1)

s.a :

xt+1 = g(xt, ut)

ut (xt), t= 0, 1, 2,...

x0 X dado

Donde:

1 r(xt, ut) :funcion de retorno (instantaneo)

r(xt, ut) :XxRm

R

Cl 1 F d d i di i

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Panorama


Que tipo de problema queremos resolver? II

2 : factor de descuento, [0,)

3 xt : vector de variables de estado (xt Rn)

4 ut :vector de variables de control (ut Rm)

5 g(xt, ut) :funcion que describe la evolucion de la variables de estado(funcion de transicion o ley de movimiento):

g(xt, ut) :XxRm X

6 (xt) :es una correspondenciaque describe las posibilidades de lavariable de control cuando la economa se encuentra en el estadoxt.

:X Rm

7 X: es el espacio de los valores que puede tomar la variable de estado(X Rn)

8 x0 :el valor inicial de la variable de estado (estado inicial)

Cl 1 F d t d i di i
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Panorama


Ejemplo: crecimiento optimo (Brock y Mirman, 1972) I

El modelo basico de crecimiento esta descrito por el siguiente problema(en terminos generales):

Max{ct,kt+1}t=0

t=0

tlnct

s.a:

kt+1 = (1 )kt+it

ct+it=f(kt)

ct, kt 0tA este problema lo llamamosproblema secuencial(PS). Considerando lassiguientes forma funcionales

u(ct)lnct, f(kt) = k

t

, y supuestos

(0, 1), = 1 y k0 dado

se tiene:

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Panorama


Ejemplo: crecimiento optimo (Brock y Mirman, 1972) II

Problema secuencial: Brock y Mirman (1972)

Max{ct,kt+1}t=0

t=0

t

lnct

s.a:kt+1 =k

t ct

ct, kt 0

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Panorama

Proceso de transformacion del PS al PF

Proceso de transformacion del PS al PF

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Panorama

Principales hipotesis, proposiciones y teoremas

Principales hipotesis, proposiciones y teoremas

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Que conceptos matematicos necesitamos?

Teorema del punto fijo: Que conceptos matematicos necesitamos? I

Teorema del punto fijo para contracciones (de Banach)

Sea Ca(X) el conjunto de funciones continuas y acotadas con la normadel supremo (espacio vectorial normado y completo), entonces eloperador T definido en Ca(X) es una aplicacion de este espacio en smismo, T: C

a(X) C

a(X) , definido como:

T[V](x) =sup

r(xt, ut) +V(g(xt, ut))

(2)

sujeto a: ut (xt), Satisface:

1 ...2 T tiene un unico punto fijo V: T[V] =V

3 ...(para un detalle completo del teorema ver la clase 2.)

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p g

Que conceptos matematicos necesitamos?

Teorema del punto fijo: Que conceptos matematicos necesitamos? II

El teorema de punto fijo para contracciones es uno de los principales enprogramacion dinamica. Este teorema contiene tres grandes conceptos:

1 Un espacio de funciones: Ca(X)

Espacio vectorial?

Espacio normado?

Espacio completo?2 Contraccion: T[V]

Que es?

Existen algunas condiciones suficientes para que un operador seaconsiderado contraccion?

3 Punto fijo (de una contraccion)Que es?

Existen algunas condiciones para que una contraccion tenga unpunto fijo?

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p g

Conceptos (parte I): espacios

Espacio vectorial

Espacio vectorial I

Espacio vectorial (espacio lineal)

Un espacio vectorial (real) X es un conjunto de elementos (vectores)con dos operaciones:

1 Adicion: para cualquier dos vectores x, y X, la adicion brinda un

vector x

+y

X

2 Multiplicacion escalar:para cualquier vectorx Xy cualquier numeroreal R, la multiplicacion escalar brinda un vector x X

Ademas, dichas operaciones obedecen las leyes usuales del algebra; es decir,para todo x, y, z X, y , R:

x+y=y+x

(x+y) +z=x+ (y+z)

(x+y) =x+y

(+)x=x+x

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Espacio vectorial

Espacio vectorial II

()x=(x)Ademas, existe un vector 0 Xque tiene las siguientes propiedades:

x+ 0 =x

0x= 0Finalmente,

1x= 1

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Espacio vectorial

Espacio vectorial: panorama grafico

Clase 1: Fundamentos de programacion dinamica( )
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Espacio vectorial

Espacio vectorial: Ejemplo 1

El plano cartesiano R2

El plano cartesiano R2 de puntos de la forma (x, y) con x, y R, es unespacio vectorial real respecto de las siguientes operaciones:

Adicion:(x1, y1) + (x2, y2) = (x1+x2, y1+y2)

Multiplicacion escalar:

a.(x, y) = (ax, ay)

Donde a R

Clase 1: Fundamentos de programacion dinamicaC ( I) i
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Espacio vectorial

Espacio vectorial: Ejemplo 2

Conjunto de funciones

Sea X un conjunto no vaco. El conjunto RX de todas las funciones de Xen Res un espacio vectorial real bajo las siguientes operaciones:

Adicion:(f +g)(x) =f(x) +g(x)

Multiplicacion escalar:

a.f(x) =af(x)

x X,a R

Si X =R entonces se obtiene el espacio de todas las funciones devariable real a valor real.

Si X es un intervalo abierto, por ejemplo (a, b) o R, y C(X) es elconjunto de funciones continuas de X en R, entonces C(X) es un

espacio vectorial real.

Clase 1: Fundamentos de programacion dinamicaCo ce tos ( a te I) es acios

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Espacio vectorial

Espacio vectorial: con estructura adicional

1 Los espacios vectoriales ad hocno ofrecen un marco para analizar siuna sucesion de funciones converge a otra funcion.

2 Ademas, no esta adaptada para hacer frente a series infinitas, ya quela suma solo permite un numero finito de terminos.

3 Ambos temas son fundamentales enanalisis matematico, por ello serequiere nuevas estructuras: espacios metricos y espacios normados.

4 Cabe mencionar que el espacio normado es un espacio vectorial; no

obstante, un espacio metrico puede ser o no un espacio vectorial.

Clase 1: Fundamentos de programacion dinamicaConceptos (parte I): espacios
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Espacio metrico

Espacio metrico I

Que es una metrica?

Una metrica (o distancia) es una funcion d, definida como:

d :SxS R

tal que para todo x, y, z S se cumple:

a. d(x, y) 0, con igualdad si y solo si x=y (no negatividad)

b. d(x, y) =d(y, x) (simetra)

c. d(x, z) d(x, y) +d(y, z) (desigualdad triangular)

La definicion de metrica resume las cuatro popiedades basicas de ladistancia euclideana:

1 La distancia entre distintos puntos es estrictamente positiva.

2 La distancia de un punto a s mismo es cero.

3 la distancia es simetrica.

4 La desigualdad triangular se mantiene.

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Espacio metrico

Espacio metrico II

Que es un espacio metrico?

Un espacio metrico es un conjunto S en la cual se ha definido unametrica d.Notacion:a (S, d) se le llama espacio metrico.

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Espacio metrico

Espacio metrico: Ejemplos

R como espacio metrico

R es un espacio metrico con una funcion distancia d(x, y) = |x y|Entonces: (R, d) es un espacio metrico.

Espacio de funcionesEl conjunto de funciones C[a, b], de las funciones continuas del interva-lo cerrado [a, b] en R, es un espacio metrico con una funcion distancia(metrica):

d :C[a, b]xC[a, b] R

Definida por:d(f, g) = sup

t[a,b]|f(t) g(t)|

Entonces: (C[a, b], d) es un espacio metrico

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p (p ) p

Espacio metrico

Por que es util el concepto de espacio metrico?

1 Los espacios metricos tienen cuatro propiedades:Conexidad:si un espacio puede ser separado en dos conjuntos abiertoscon interseccion vacia, entonces el espacio es no conexo.Separabilidad:relacionada con conjuntos numerables.Compacidad:si un espacio puede ser descrito por un numero finito de

conjuntos abiertos.Completitud:permite analizar si una sucesion es convergente sin ne-cesidad de conocer su lmite.

2 Las dos ultimas propiedades (compacidad y completitud) son esencia-les para el analisis real y teora de la optimizacion.

3

Ademas, en los espacios metricos se puede estudiar:Conjuntos abiertosConjuntos cerradosPunto interiorEntre otros conceptos de conjuntos

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( )

Espacio (vectorial) normado

Espacio normado I

Que es una norma?Una norma es una funcion que brinda la nocion de longitud de un vector.La norma esta definida como:

:S R

tal que para todo x, y, z S y R se cumple:

a. 0, con igualdad si y solo si x= 0

b. x =| | x

c. x+y x + y (desigualdad triangular)

Que es un espacio normado?

Un espacio normado es un espacio vectorial S en la cual se ha definidouna norma .Notacion:a (S, ) se le llama espacio normado.


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Espacio normado II

Todo espacio normado (S, ) es un espacio metrico con la metricadada por:

d(x, y) = x yA esta metrica se le llamametrica inducidapor la norma .

Todos los conceptos definidos para espacios metricos aplican a espa-cios normados.


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Espacio normado: Ejemplos

f = sup{|f(x)|} (3)


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Espacio completo

Convergencia de una secuencia

Convergencia de una secuencia

Una secuencia {xn}n=0 en S convergea x S, si para cada >0, existe

N tal que:

d(xn, x)< , para todo n N (4)

Por tanto, una secuencia {xn}n=0 en un espacio metrico (S, d) converge a

x Ssi y solo si la secuencia de distancias {d(xn, x)}, una secuencia enR+, converge a cero. En este caso se escribe:

xn x d(xn, x) 0


E i l

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Espacio completo

Secuencia de Cauchy

Secuencia de Cauchy

Una secuencia {xn}n=0 en Ses unasecuencia de Cauchy(satisface el

criterio de Cauchy) si para cada >0, existe N tal que:

d(xn, xm)< , para todo n,m N (5)

Por tanto, una secuencia es de Cauchy si los puntos son cada vez mascercanos uno del otro.

Observacion:la ventaja del criterio de Cauchy, en comparacion con[4],es que[5] puede ser revisado solo conociendo la secuencia {xn}

n=0.

No obstante, para que el criterio de Cauchy sea util es necesario tra-bajar en espacios donde este (el espacio) implique la existencia de unpunto lmite.

Entonces:cuando puedo afirmar que una sucesion de Cauchy implicaconvergencia (de dicha sucesion)?: cuando trabajamos en espacioscompletos.


E i l t
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Espacio completo

Espacio (metrico) completo I

Espacio (metrico) completo

Un espacio metrico (S, d) escompletosi cada secuencia de Cauchy en Sconverge a un elemento en S.

En un espacio completo, verificar que una secuencia satisface el cri-terio de Cauchy es un camino para verificar la existencia de un puntolmite en S.

Observacion: a un espacio vectorial normado completo se le llamaEspacio de Banach.


Espacio completo
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Espacio completo

Espacio (metrico) completo II

Teorema 1 (Espacio normado completo)

Sea X Rl, y sea Ca(X) el conjunto de funciones continuas y acotadasf : X R con la norma del supremo, f =sup

xX|f(x)|, Entonces:

Ca(X) es un espacio vectorial normado completo.

En este espacio la metrica definida es d(x, y) = x y, donde x, y sonfunciones.

Clase 1: Fundamentos de programacion dinamicaConceptos (parte II): contracciones

Contraccion (aplicacion contractiva)
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Contraccion (aplicacion contractiva) I

Que es una contraccion?Sea (X, d) un espacio metrico. Una aplicacion (funcion) en s mismaT :S Sse llamacontraccion(con modulo ) si x, y S, existealgun (0, 1) tal que:

d(T(x),T(y)) d(x, y)

Es decir, la distancia entre las imagenes de los dos puntos es menor quela distancia entre dichos puntos.

Una contraccion posee al menos un punto fijo.

Elteorema de Banach del punto fijoafirma que toda contraccion sobreun espacio metrico completo tiene un unico punto fijo, y por tantopara cadaxdeSla secuencia iterativax, f(x), f(f(x)), f(f(f(x))),...converge al punto fijo.

Toda contraccion T en un espacio metrico (S, d) es continua.


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Contraccion (aplicacion contractiva) II


Condiciones de Blackwell
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Condiciones de Blackwell

Blackwell brinda condiciones para que un operadorTsea considerado con-

traccion.

Condiciones suficientes de Blackwell para contracciones

Sea X Rl, y sea B(X) el espacio de funciones acotadas definidas en X,f :X R, con la norma del supremo. Sea T :B(X) B(X) un

operador que satisface:1 (monotonicidad) f, g B(X) y f(x) g(x), para todo x X,

implica:T[f](x) T[g](x), para todo x X

2 (descuento)existe algun (0, 1) tal que:

T[f +a](x) T[f](x) +a, para todo f B(X), a 0, x X

Donde:(f +a)(x) es la funcion definida por (f +a)(x) =f(x) +a

Entonces,T es una contraccioncon modulo .

Clase 1: Fundamentos de programacion dinamicaConceptos (parte III): punto fijo

Que es un punto fijo?
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p j

Que es un punto fijo? I

Que es un punto fijo?

Los puntos fijos de Tson los elementos de Sque satisfacen:

T(x) =x

Es decir, son las intersecciones con la lnea de 45

Bajo que circunstancias podemos asegurar que una contraccion

tiene un punto fijo?: bajo el teorema de Banach

Clase 1: Fundamentos de programacion dinamicaConceptos (parte III): punto fijo

Teorema de la aplicacion contractiva
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Si (S, d) es un espacio metricocompletoy T :S Ses unaaplicacioncontractivacon modulo , entonces:

a. Ttiene solo un punto fijo v S

b. Para cualquier v0 S, d(Tnv0, v) nd(v0, v), n= 0, 1, 2...

Este teorema sugiere dos temas importantes:

Que para asegurar que el operador T tenga ununico punto fijose re-quiere dos cosas:[1]Que el espacio de trabajo (conjunto de funciones)

sea un espacio metrico completo; y[2] T sea una contraccion.Que vamos a converger a dicho punto fijo independientemente dedonde empezemos a iterar el operador. Este se deduce de la expresionpara cualquier v0 S en el item b.
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