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12 Vetores e a Geometria
do Espao
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12.6 Cilindros e Superfcies
Qudricas
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Cilindros e Superfcies Qudricas
J olhamos para dois tipos especiais de superfcies planos e esferas. Aqui, estudaremos outros dois tipos de
superfcies cilindros e superfcies qudricas.
Para esboar o grfico dessas superfcies til determinar
a interseco da superfcie com planos paralelos aos
planos coordenados. Essas curvas so denominadas
cortes (ou seces transversais) da superfcie.
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Cilindros
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Cilindros
Um cilindro uma superfcie constituda de todas as retas
(chamadas geratrizes) que so paralelas a uma reta dada
e que passam por uma curva plana.
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Exemplo 1
Esboce o grfico da superfcie z = x2.
SOLUO: Observe que a equao do grfico, z = x2, no
envolve y. Isto significa que qualquer plano vertical com a
equao y = k (em paralelo com o plano xz) intersecta o
grfico de uma curva com a equao z = x2. Os cortes
verticais so, portanto, parbolas.
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Exemplo 1 Soluo
A Figura 1 mostra como o grfico formado tornando a
parbola z = x2 no plano xz e movendo-se na direo do
eixo y. O grfico uma superfcie chamada de cilindro
parablico, constituda por um nmero infinito de cpias
deslocadas da mesma parbola. Aqui, as geratrizes do
cilindro so paralelas ao eixo y.
continuao
A superfcie z = x2 um cilindro parablico.
Figura 1
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Cilindros
Observamos que a varivel y no aparece na equao do
cilindro do Exemplo 1. Esse fato comum s superfcies
cujas geratrizes so paralelas a um dos eixos
coordenados. Se uma das variveis x, y ou z est faltando
na equao da superfcie, a superfcie um cilindro.
OBSERVAO Quando estamos tratando de superfcies,
importante reconhecer que uma equao como
x2 + y2 = 1 representa um cilindro e no uma
circunferncia. O corte desse cilindro x2 + y2 = 1 no plano
xy a circunferncia de equaes x2 + y2 = 1, z = 0.
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Superfcies Quadrticas
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Superfcies Quadrticas
Uma superfcie qudrica o grfico de uma equao de
segundo grau nas trs variveis x, y e z. A equao mais
geral
onde A,B,C,, J so constantes, mas por rotao e translao essa equao pode ser posta em uma de duas
formas padro
Ax2 + By2 + Cz2 + J = 0 ou Ax2 + By2 + Iz = 0
As superfcies qudricas so as correspondentes
tridimensionais das cnicas no plano.
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Exemplo 3
Utilize cortes para fazer o esboo da superfcie qudrica
com equao
SOLUO: Substituindo z = 0, determinamos que o corte
no plano xy x2 + y2 /9 = 1, que reconhecemos ser a
equao de uma elipse. Em geral, o corte horizontal no
plano z = k
que uma elipse, desde que k2 < 4, seja, 2 < k < 2.
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Exemplo 3 Soluo
Da mesma forma, os cortes verticais tambm so elipses:
(se 1 < k < 1)
(se 3 < k < 3)
continuao
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Exemplo 3 Soluo
A Figura 4 mostra como desenhar alguns cortes para
indicar a forma da superfcie. Essa superfcie chamada
elipsoide, visto que todos os seus cortes so elipses.
Observe a simetria em relao a cada plano coordenado;
isto reflexo do fato de s aparecerem potncias pares
de x, y e z.
continuao
Figura 4
Elipsoide
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Exemplo 4
Utilize cortes para esboar a superfcie z = 4x2 + y2.
SOLUO: Impondo x = 0, obtemos z = y2, de forma que o
plano yz intercepta a superfcie em uma parbola.
Impondo x = k (uma constante), obtemos z = y2 + 4k2. Isso
significa que, se cortarmos o grfico por qualquer plano
paralelo ao plano yz, obteremos uma nova parbola com
concavidade para cima. Da mesma forma, tomando y = k,
o corte z = 4x2 + k2, que corresponde novamente a uma
parbola com concavidade para cima.
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Exemplo 4 Soluo
Tomando z = k, obteremos os cortes horizontais
4x2 + y2 = k, que reconhecemos como uma famlia de
elipses. Sabendo as formas dos cortes, podemos esboar
o grfico na Figura 5. Pelo fato de os cortes serem
parbolas e elipses, a superfcie qudrica z = 4x2 + y2
denominada um paraboloide elptico.
continuao
Figura 5
A superfcie z = 4x2 + y2 um paraboloide elptico. Os
cortes horizontais so elipses e os cortes verticais so
parbolas .
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Exemplo 5
Esboce a superfcie z = y2 x2.
SOLUO: Os cortes nos planos verticais x = k so
parbolas z = y2 k2, com concavidade para cima. Os cortes em y = k so parbolas z = x2 + k2, com concavidade para baixo. Os traos horizontais so
y2 x2 = k, uma famlia de hiprboles.
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Exemplo 5 Soluo
Na Figura 6 desenhamos esses cortes e mostramos como
eles aparecem quando colocados nos planos corretos na
Figura 7.
continuao
Figura 6
Os cortes verticais so parbolas; os cortes horizontais so
hiprboles. Todos os cortes so identificados por um valor de k.
Cortes em x = k
so z = y2 k2 Cortes em z = k
so y2 x2 = k Cortes em
y = k so z = x2 + k2
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Exemplo 5 Soluo continuao
Cortes em x = k Cortes em y = k Cortes em z = k
Cortes movidos para seus planos corretos
Figura 7
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Exemplo 5 Soluo
Na Figura 8 colocamos juntos os cortes da Figura 7 para
formar a superfcie z = y2 x2, um paraboloide hiperblico. Observe que o formato da superfcie perto da
origem se assemelha a uma sela.
continuao
A superfcie z = y2 x2 um paraboloide hiperblico.
Figura 8
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Exemplo 6
Esboce a superfcie
SOLUO: O corte em qualquer plano horizontal z = k a
elipse
z = k
mas os cortes nos planos xz e yz so as hiprboles
y = 0 e x = 0
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Exemplo 6 Soluo
Essa superfcie chamada hiperboloide de uma folha e
est esboada na Figura 9.
continuao
Figura 9
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Superfcies Quadrticas
A ideia de usar os cortes para desenhar a superfcie
empregada em programas de computadores que fazem
grficos tridimensionais. Na maioria desses programas, os
cortes nos planos verticais x = k e y = k so desenhados
para valores de k, igualmente espaados, e partes do
grfico so eliminadas utilizando-se a tcnica de remover
linhas escondidas.
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Superfcies Quadrticas
A Tabela 1 mostra
grficos de computador
de seis qudricas
bsicas na
na forma padro .
Todas as superfcies so
simtricas em relao
ao eixo z. Se uma
qudrica simtrica
em relao a um eixo
diferente, sua equao
se modifica de modo
apropriado. Tabela 1 Grficos de Superfcies Qudricas
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Aplicaes de Superfcies
Quadrticas
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Aplicaes de Superfcies
Quadrticas Exemplos de superfcies qudricas podem ser encontrados
no mundo a nossa volta. De fato, o mundo propriamente
dito um bom exemplo. Embora a Terra seja usualmente
modelada como uma esfera, um modelo mais preciso um
elipsoide, pois a rotao da Terra causa um achatamento
nos polos.
Paraboloides circulares, obtidos pela rotao de uma
parbola em torno de seu eixo, so usados para coletar e
refletir luz, som e sinais de rdio e televiso. Em um
radiotelescpio, por exemplo, sinais das estrelas distantes
que atingem a bacia so todos refletidos para o receptor
no foco e assim amplificados.
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Aplicaes de Superfcies
Quadrticas O mesmo princpio se aplica a microfones e antenas de
satlite na forma de paraboloides.
Torres de resfriamento para reatores nucleares so
usualmente projetadas na forma de hiperboloides de uma
folha, por razes de estabilidade estrutural. Pares de
hiperboloides so usados para transmitir movimento de
rotao entre eixos transversais.
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