Pontificia Universidad Catolica De Chile
Departamento De Matematicas
Mat 1103-1: Algebra y Geometra - Primer Semestre 2011
Profesor: Alejandro Ramirez
Ayudante: Jorge Sandoval Ulloa - [email protected]
Ayudanta 11
1. Sean , y , angulos de un triangulo.Demuestre que se cumple que si:
cot() + cot() + cot()
3
Entonces
sen
sen sen +
sen
sen sen +
sen
sen sen 2
3
Solucion:
Partiendo de la hipotesis:cot() + cot() + cot()
3
Y expresandola en terminos de senos y cosenos:
cos
sen+
cos
sen +
cos
sen
3
Multiplicando ambos miembros por 2:
2
(cos
sen+
cos
sen +
cos
sen
) 2
3
cossen
+cos
sen+
cos
sen +
cos
sen +
cos
sen +
cos
sen 2
3
Reordenando:
(
cos
sen+
cos
sen
)+
(cos
sen +
cos
sen
)+
(cos
sen +
cos
sen
) 2
3
Sacando mnimo comun denominador en cada sumando:
(
cos sen + cos sen
sen sen
)+
(cos sen + cos sen
sen sen
)+
(cos sen + cos sen
sen sen
) 2
3
Por propiedad del angulo suma
sen( + )sen sen
+sen( + )
sen sen+
sen( + )
sen sen 2
3 (1)
1
Ahora, como , y son angulos de un triangulo, se cumple que:
+ + = pi
Por lo tanto:
+ = pi + = pi + = pi
Luego, por Regla del burrito :
sen( + ) = sen(pi ) = sen (2)sen( + ) = sen(pi ) = sen (3)sen( + ) = sen(pi ) = sen (4)
Reemplazando (2), (3) y (4) en (1):
sen sen sen
+sen
sen sen+
sen
sen sen 2
3
Que es lo que queramos demostrar.
2. Demuestre que si
tan =n sen cos
1 n sen2 Entonces
tan( ) = (1 n) tan
Solucion:Por propiedad de la tangente del angulo suma:
tan( ) = tan tan 1 + tan tan
Expresando las tan en terminos de senos y cosenos y usando la igualdad dada en el enunciado para tan ,nos queda que:
tan( ) =sen
cos n sen cos
1 n sen2 1 +
(sen
cos n sen cos
1 n sen2 )
2
tan( ) =sen(1 n sen2 ) n sen cos2
cos(1 n sen2 )(1 n sen2 ) + n sen2
1 n sen2
tan( ) =sen(1 n sen2 ) n sen cos2
cos(1 n sen2 )1
1 n sen2 Simplificando:
tan( ) = sen((1 n sen2 ) n cos2 )
cos
tan( ) = sen(1 n(sen2 + cos2 ))
cos
tan( ) = sen(1 n)cos
tan( ) = tan(1 n)Que es lo que se quera demostrar
Dadas dos circunferencias tangentes exteriormente de radios R y r, con R > r, se trazan sus dos tan-gentes comunes exteriores. Demuestre que estas dos rectas forman un angulo que satisface:
sen =4 (R r) R r
(R + r)2
Solucion:
Dibujando lo expuesto en el enunciado:
3
Del dibujo se ve queO1VPO2
AdemasQST =
Como sabemos, la suma de angulos interiores de un cuadrilatero es 2pi
(QO1T )chico = pi
Y del anterior podemos deducir de forma inmediata que:
(QO1T )grande = 2pi (pi )
(QO1T )grande = pi + Tambien del dibujo se ve que por simetra, O1O2 es bisectriz del angulo QO1T , por lo tanto:
QO2O1 =pi
2+
2
Por ende
V O1O2 =
2
Ahora, analizando las longitudes tenemos que:
V O2 = PO2 PV = R r
4
Y tambienO1O2 = R + r
Por lo tanto aplicando pitagoras en triangulo 4O1O2V , nos queda que
V O12 + V O2
2 = O1O22
V O12 + (R r)2 = (R + r)2
V O12 = (R + r)2 (R r)2
Usando diferencia de cuadrados
V O12 = ((R + r) (R r))((R + r) + (R r))
V O12 = (2r)(2R)
V O12 = 4Rr
V O1 = 2Rr
Ahora usaremos trigonometria para obtener lo que nos piden
sen(V O1O2) = senpi
2=
V O2
O1O2=R rR + r
cos(V O1O2) = cospi
2=
V O1
O1O2=
2Rr
R + r
Finalmente, sabemos que por seno del angulo doble, se cumple que:
sen = 2sen
(
2
)cos
(
2
)= 2 R r
R + r 2Rr
R + r
sen =4(R r)Rr
(R + r)2
Que es lo que se peda demostrar.
5
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