Pontificia Universidad Catolica De Chile

Departamento De Matematicas

Mat 1103-1: Algebra y Geometra - Primer Semestre 2011

Profesor: Alejandro Ramirez

Ayudante: Jorge Sandoval Ulloa - jcsandov@uc.cl

Ayudanta 11

1. Sean , y , angulos de un triangulo.Demuestre que se cumple que si:

cot() + cot() + cot()

3

Entonces

sen

sen sen +

sen

sen sen +

sen

sen sen 2

3

Solucion:

Partiendo de la hipotesis:cot() + cot() + cot()

3

Y expresandola en terminos de senos y cosenos:

cos

sen+

cos

sen +

cos

sen

3

Multiplicando ambos miembros por 2:

2

(cos

sen+

cos

sen +

cos

sen

) 2

3

cossen

+cos

sen+

cos

sen +

cos

sen +

cos

sen +

cos

sen 2

3

Reordenando:

(

cos

sen+

cos

sen

)+

(cos

sen +

cos

sen

)+

(cos

sen +

cos

sen

) 2

3

Sacando mnimo comun denominador en cada sumando:

(

cos sen + cos sen

sen sen

)+

(cos sen + cos sen

sen sen

)+

(cos sen + cos sen

sen sen

) 2

3

Por propiedad del angulo suma

sen( + )sen sen

+sen( + )

sen sen+

sen( + )

sen sen 2

3 (1)

1

Ahora, como , y son angulos de un triangulo, se cumple que:

+ + = pi

Por lo tanto:

+ = pi + = pi + = pi

Luego, por Regla del burrito :

sen( + ) = sen(pi ) = sen (2)sen( + ) = sen(pi ) = sen (3)sen( + ) = sen(pi ) = sen (4)

Reemplazando (2), (3) y (4) en (1):

sen sen sen

+sen

sen sen+

sen

sen sen 2

3

Que es lo que queramos demostrar.

2. Demuestre que si

tan =n sen cos

1 n sen2 Entonces

tan( ) = (1 n) tan

Solucion:Por propiedad de la tangente del angulo suma:

tan( ) = tan tan 1 + tan tan

Expresando las tan en terminos de senos y cosenos y usando la igualdad dada en el enunciado para tan ,nos queda que:

tan( ) =sen

cos n sen cos

1 n sen2 1 +

(sen

cos n sen cos

1 n sen2 )

2

tan( ) =sen(1 n sen2 ) n sen cos2

cos(1 n sen2 )(1 n sen2 ) + n sen2

1 n sen2

tan( ) =sen(1 n sen2 ) n sen cos2

cos(1 n sen2 )1

1 n sen2 Simplificando:

tan( ) = sen((1 n sen2 ) n cos2 )

cos

tan( ) = sen(1 n(sen2 + cos2 ))

cos

tan( ) = sen(1 n)cos

tan( ) = tan(1 n)Que es lo que se quera demostrar

Dadas dos circunferencias tangentes exteriormente de radios R y r, con R > r, se trazan sus dos tan-gentes comunes exteriores. Demuestre que estas dos rectas forman un angulo que satisface:

sen =4 (R r) R r

(R + r)2

Solucion:

Dibujando lo expuesto en el enunciado:

3

Del dibujo se ve queO1VPO2

AdemasQST =

Como sabemos, la suma de angulos interiores de un cuadrilatero es 2pi

(QO1T )chico = pi

Y del anterior podemos deducir de forma inmediata que:

(QO1T )grande = 2pi (pi )

(QO1T )grande = pi + Tambien del dibujo se ve que por simetra, O1O2 es bisectriz del angulo QO1T , por lo tanto:

QO2O1 =pi

2+

2

Por ende

V O1O2 =

2

Ahora, analizando las longitudes tenemos que:

V O2 = PO2 PV = R r

4

Y tambienO1O2 = R + r

Por lo tanto aplicando pitagoras en triangulo 4O1O2V , nos queda que

V O12 + V O2

2 = O1O22

V O12 + (R r)2 = (R + r)2

V O12 = (R + r)2 (R r)2

Usando diferencia de cuadrados

V O12 = ((R + r) (R r))((R + r) + (R r))

V O12 = (2r)(2R)

V O12 = 4Rr

V O1 = 2Rr

Ahora usaremos trigonometria para obtener lo que nos piden

sen(V O1O2) = senpi

2=

V O2

O1O2=R rR + r

cos(V O1O2) = cospi

2=

V O1

O1O2=

2Rr

R + r

Finalmente, sabemos que por seno del angulo doble, se cumple que:

sen = 2sen

(

2

)cos

(

2

)= 2 R r

R + r 2Rr

R + r

sen =4(R r)Rr

(R + r)2

Que es lo que se peda demostrar.

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