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Semana de laMATEMÁTICAXLI

Valparaíso, Chile

ACTA Nº1

COMITÉ EDITORIALSoledad EstrellaGabriele RanieriRadu SaghinEduardo JorqueraDiana Zakaryan

Valparaíso, Chile. 2015

ima.ucv.cl

ISSN 0719-6539

XLI SEMANA DE LA MATEMÁTICA

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE VALPARAÍSO Octubre 2015

CONFERENCIA

CONTROL DE ECUACIONES DE REACCIÓN-DIFUSIÓN

EDUARDO CERPA

RESUMEN En esta charla estudiaremos ecuaciones en derivadas parciales de tipo reacción-difusión. Nos interesaremos, para estos sistemas parabólicos, en propiedades cualitativas de tipo controlabilidad. Esto se refiere a la posibilidad de influir sobre la evolución del sistema mediante la adecuada elección de una condición de borde (control frontera) o de un término fuente (control interno). El objetivo de esta acción será alcanzar, luego de un tiempo dado, algún estado particular, por ejemplo el reposo.



CONFERENCIA

EL ESTUDIO DE LA APROPIACIÓN DE CONOCIMIENTOS MATEMÁTICOS EN

CONTEXTOS EDUCATIVOS DE ESCOLARIDAD PRIMARIA

BÁRBARA BRIZUELA RESUMEN

En esta conferencia exploraré los desafíos que supone investigar los procesos de desarrollo cognitivo, aprendizaje y enseñanza en contextos de validez ecológica: situaciones naturales o cuasinaturales de enseñanza. Asimismo, exploraré qué abordajes e instrumentos habilitan captar, analizar, interpretar y/o potenciar esos procesos y cambios y cuáles son los supuestos, compromisos, prioridades, alcances y límites de los diferentes abordajes. Para explorar estos desafíos, compartiré datos de investigaciones recientes sobre álgebra temprana con niños en los primeros grados de escolaridad primaria.

Tıtulo: Neural Network Solution for an IdentificationParameter Problem Associated with the Eigenvalues of the

Elasticity Operator

Sebastian Ossandona, Camilo Reyesb

aInstituto de Matematicas, Pontificia Universidad Catolica de Valparaıso, Blanco Viel 596,CerroBaron, Valparaıso, Chile.

bDepartamento de Ciencias Fisicas, Universidad Andres Bello, Avenida Republica 220, Santiago,Chile.

1. Resumen

The inverse problems that arise in the context of elasticity are usually motivated bythe need to have information concerning the properties and parameters of the materialsunder study. For example we can mention:

— Mathematical and computational methods for the reconstruction of cavities, cracksor inclusions (see [1] and [3]).

— Ultrasonic waves for non-destructive testing of structures (see [12]).— Identification of model parameters such as Lame coefficients, elastic moduli, mass

density or wave velocity (see [2]).— Reconstruction of residual stresses (see [5]).— Model updating when local parameters are not known with sufficient accuracy,

and therefore need to be corrected (usually with experimental information) onthe dynamic response of the structure ([6]).

This work is devoted to the identification of model parameters. Specifically the paperproposes a method based on artificial neural network to calculate the Lame coefficientsthrough eigenvalues of the elasticity operator. The applicability of this technique tosolve real inverse problems depends on the measure, in practice, of the eigenvalues (orresonances) associated to the elastic solid under study. Experimentally, it is possible toobtain both the eigenvalues and the model parameters, using devices that use piezoelec-tric transducers. The operation of these devices is based on resonance methods such asresonant ultrasound spectroscopy (RUS) (see [15]). In a resonance experiment, we applya periodical excitation (typically a sinusoidal excitation) to some point on the material,measure its response at some other point, and repeat the process for many frequencies.In typical RUS measurements, our purpose is to measure all of the resonances below someupper limit, because with a complete set of resonances we can assure the extraction ofall the available information which significantly simplifies the calculation process.

The Artificial Neural Network (ANN) proposed is a multilayered Radial-Basis Func-tion (RBF) network (see Girosi et al [11]). As discussed in Schilling et al [14], a RBF

Email address: [email protected] (Sebastian Ossandon)

Preprint submitted to Elsevier September 15, 2015

ANN can approximate a function f using nonlinear functions which provides the bestfit to the training data. Our aim is to evaluate the speed and accuracy of our neuralnetwork methodology in comparison with a method based on FEM, for a known operatorwhich eigenvalues can be obtained through more classical numerical methods. In otherwords our purpose is to note that all the computation process using neural networks, in-cluding the training process, the validation process and the simulation process, has lowercomputational time than the FEM technique, with a good calculation error performance.

References

[1] C. J. S. Alves and T. Ha Duong. Inverse scattering for elastic plane cracks. Inverse Problems, vol15, pp 91-97, 1999.

[2] H. Ammari, H. Kang, G. Nakamura and K. Tanuma. Complete asymptotic expansions of solutionsof the system of elastostatics in the presence of an inclusion of small diameter and detection of aninclusion. J. Elast., vol 67, pp 97-129, 2002.

[3] S. Andrieux and A. Ben Abda, H. D. Bui. Sur l’identification de fissures planes via le conceptd’ecart a la reciprocite en elasticite. C.R. Acad. Sci. Paris, Serie II, vol 324, pp 1431-1438, 1997.

[4] I. Babuska and J. Osborn. Eigenvalue Problems. In Handbook of Numerical Analysis, Vol. II, LionsPG (ed.), Finite Element Methods (Part 1). North-Holland:Amsterdam, pp. 641-787, 1991.

[5] P. Ballard and A. Constantinescu. On the inversion of subsurface residual stresses from surfacestress measurements. J. Mech. Phys. Solids, vol 42, pp 1767-1788, 1994.

[6] J. Ben Abdallah. Inversion gaussienne appliquee a la correction parametrique de modeles struc-turaux. Ph.D. thesis, Ecole Polytechnique, Paris, France, 1995.

[7] D. Boffi. Finite element approximation of eigenvalue problems. Acta Numerica, vol. 19, pp 1-120,2010.

[8] D. Boffi, F. Brezzi and M. Fortin. Mixed finite element methods and applications. Springer Seriesin Computational Mathematics, 44. Springer, Heidelberg, 2013.

[9] F. Brezzi and M. Fortin. Mixed and Hybrid finite element methods. Springer Series in ComputationalMathematics, 15. Springer-Verlag, 1991.

[10] P. G. Ciarlet, The Finite Element Method for Elliptic Problems. North-Holland, Amsterdam, 1978.

[11] F. Girosi, M. Jones and T. Poggio, Regularization Theory and Neural Networks Architectures, J.Neural Computation, Vol. 7, pp. 219-269, 1995.

[12] K. R. Leonard, E. V. Malyarenko and M. K. Hinders. Ultrasonic Lamb wave tomography. InverseProblems, vol 18, pp 1795-1808, 2002.

[13] B. Mercier, J. Osborn, J. Rappaz, and P.A. Raviart. Eigenvalue approximation by mixed andhybrid methods. Math. Comp., Vol. 36, pp. 427-453, 1981.

[14] R. J. Schilling, J. J. Carroll, Jr., A. F. Al-Ajlouni, Approximation of Nonlinear Systems with Ra-dial Basis Function Neural Networks, IEEE Transactions on Neural Networks Vol. 12 1, pp.1-15, 2001.

[15] B. J. Zadler. Properties of Elastic Materials using Contacting and Non-Contacting AcousticSpectroscopy. Ph.D. thesis, Colorado School of Mines, Golden, Colorado, USA, 2005.

2

TRANSVERSALIDAD Y MODELACIÓN: UN PROGRAMA SOCIOEPISTEMOLÓGICO.

Francisco Cordero Cinvestav-IPN. México [email protected]

Las investigaciones, basadas en la construcción social del conocimiento matemático, cada vez dan más sustento a la tesis de que cuando se habla del aprendizaje y enseñanza de la matemática, en las instituciones educativas o en los modelo educativos, siempre, hay un sujeto olvidado. Este sujeto tiene varias expresiones: la realidad, el cotidiano, los usos del conocimiento, y, en términos más genéricos, la gente. Esta última es significativa porque hace explícito el olvido del que aprende, del trabajador, del nativo y del ciudadano. Todo esto acarrea, por un lado, en el ámbito académico, tensión en las posturas epistemológicas, ontológicas y políticas y; por el otro lado, en el ámbito educativo, la ampliación del aula, de los programas de investigación y de formación docente. En ese sentido discutiremos dos categorías: la transversalidad y la modelación del conocimiento matemático. Nuestro Programa de investigación y los instrumentos de recuperación La enseñanza y aprendizaje de la matemática como una de las tareas predominantemente escolares ha tomado dimensiones que unas décadas atrás no hubiéramos podido imaginar. Actualmente es un tema de mucha preocupación en el campo de la educación. Por una parte, a la niñez y a la juventud les cuesta trabajo aprender matemáticas, los datos de fracaso escolar, en Latinoamérica, son alarmantes. Y por otra parte, los docentes de matemáticas viven en carne propia las vicisitudes de su enseñanza y el debate sobre su formación. Por la importancia del hecho, conviene aclarar que no se pretende proponer una nueva metodología de aprendizaje ni una nueva reforma de la formación del docente en matemáticas. Nuestro objetivo principal es, por una parte, presentar un marco de referencia desde el conocimiento nativo del sujeto que aprende; del sujeto que usa su conocimiento matemático en su profesión; y del sujeto que usa su conocimiento matemático para vivir en la ciudad. Y, por otra parte, presentar los procesos por los cuales se pondrá en diálogo horizontal recíproco entre el marco de referencia, los modelos educativos y la formación del docente.

Cabe señalar que ese marco de referencia y ese diálogo horizontal recíproco son inexistentes en el sistema educativo, por lo que habrá que constituirlos. Para lograr esta encomienda se requiere trastocar la epistemología dominante de la matemática escolar; tiene que abrirse a la pluralidad epistemológica que obliga la inclusión del “sujeto olvidado”. Este sujeto usa su conocimiento matemático en formas y funciones distintas que la escuela, hasta hoy, no ha podido imaginarse. Por eso decimos que esa constitución derivará en una escuela ampliada donde el uso del conocimiento matemático dialogará horizontalmente entre el descubrimiento académico y la revelación del conocimiento nativo de la gente. Este último, en términos genéricos, es el sujeto que aprende, el que trabaja y el que vive en una ciudad; sin embargo , está fuera de la escuela. Tal vez por eso, las representaciones sociales del conocimiento matemático de la niñez y de la juventud escolar, mujeres y hombres, admiten que la matemática está alejada de la realidad. Las relaciones entre la obra matemática, la matemática escolar y la matemática del cotidiano, no son nada claras en los programas educativos de las sociedades. La perdida de valor del conocimiento matemático y la desigualdad educativa (porque solo unos cuántos pueden aprender matemáticas), sigue acrecentándose. Sin duda tenemos que hacer algo. Nuestro programa de investigación, el cual de aquí en adelante le llamaremos un Programa Socioepistemológico, consiste de tres ejes: la educación , la investigación y la intervención. Una sociedad de conocimiento consiste en valorar el conocimiento y ponerlo en equidad, es decir; que la sociedad crea en éste y le sirva para desarrollarse; para vivir mejor. El elemento primordial para tal fin, en nuestro caso, es la función del conocimiento matemático. Requerimos estudiarla, conocerla y hacer explícito el marco de referencia. Con ello recuperaremos al sujeto olvidado y en consecuencia se ampliará la matemática escolar. Así, deberemos poner atención a los procesos de socialización del conocimiento y reformular los programas de la educación matemática acordes con las sociedades en cuestión. La investigación deberá hacerse de constructos, cuya naturaleza sustenten la función del conocimiento. Habrá que crear una fuente de sentido para tal fin. Los estudios tendrán que ser orientados hacia la transversalidad del conocimiento para conocer la resignificación de la matemática en la escuela, el trabajo y la ciudad. Cada vez avanzar en la conformación de una caracterización de la funcionalidad de la matemática, es decir; identificar las categorías de uso del conocimiento matemático en situaciones específicas, pero, en términos genéricos, en el cotidiano de la gente. En síntesis formular una pluralidad epistemológica compuesta por la funcionalidad, la resignifcación y la transversalidad del conocimiento matemático. La matemática adquirirá nuevas expresiones acorde a la gente. A esta categoría del conocimiento, de aquí en adelante, le llamaremos lo matemático.

La intervención en la problemática consistirá en crear instrumentos de recuperación que pongan en diálogo horizontal la matemática escolar y la matemática del cotidiano. Habrá que crear metodologías propias para tal fin. Un debate disciplinar natural consistirá en la articulación de estas dos matemáticas. La primera es la institucionalización de la matemática y la segunda es la funcionalidad de la matemática. Esta última generará un constructo de naturaleza etnográfica, debido a que requerimos de la matemática funcional propia de la gente con su ámbito específico. Por la importancia de este hecho, metodológicamente le llamaremos la revelación matemática del nativo; con el cual analizaremos lo matemático de la escuela, del trabajo y de la ciudad. La especificidad del ámbito estará definida por los usos permanentes de la gente y por el mantenimiento del ámbito. Se distinguirán los ámbitos y definirán cotidianos con adjetivo. Estos serán los instrumentos de recuperación. La articulación entre lo institucional y lo funcional consistirá en romper la centración del objeto. Las nuevas argumentaciones corresponderán a las resignificaciones de los usos del conocimiento matemático, las cuales tensarán las orientaciones clásicas de resolución de problemas en contra parte de una orientación innovadora, la modelización. La primera se ha preocupado por los procesos del conocimiento, la segunda llama la atención sobre la funcionalidad del conocimiento. En resumen. La audiencia encontrará, una discusión profunda de que, en realidad, el meollo de la problemática de la enseñanza y aprendizaje de la matemática consiste en la tesis del sujeto olvidado; por ende también encontrará la constitución de una esperanza: recuperarlo. Referencias Bibliográficas

Cordero, F. (en prensa). Modelación, funcionalidad y multidisciplinariedad: el eslabón de la matemática y el cotidiano. En J. Arrieta y L. Díaz (Eds.), Investigaciones latinoamericanas de modelación de la matemática educativa. España: Gedisa.

Cordero, F. (2015). La Ciencia desde el Niñ@. Porque el Conocimiento también se Siente. España: Gedisa. Cordero, F., Gómez, K., Silva-‐Crocci & Soto, D. (2015). El Discurso Matemático Escolar: la Adherencia, la Exclusión y la Opacidad. España: Gedisa. Cordero, F. (en prensa). La Matemática y lo Matemático. Transversalidad y Modelación: Un Programa Socioepistemológico. España: Gedisa.



CONFERENCIA

POSITIVE THINKING

DANIEL SMANIA

RESUMEN Several problems in mathematics involve positive matrices, that is, matrices whose entries are all positive. For example, knowing the rates of immigration and emigration between certain cities, and that such rates are constant over time, it is possible to deduce the populations of the cities in the distant future with extraordinary precision without even knowing almost nothing about the current population! This results involves the study of positive matrices using the so-called Perron-Frobenius theorem. The demonstration of this result is also fascinating because it uses and has connections to several areas of mathematics, as metric spaces (Banach Contraction Principle) and Geometry (non-Euclidean geometries).



CONFERENCIA

CIRCLOIDS ATRACTORES Y ENTROPÍA

MARTIN SAMBARINO

RESUMEN Un circloid en el anillo es un continuo que separa el anillo en exactamente dos componentes dejando los bordes del anillo en componentes distintas y ningún subcontinuo propio tiene esta propiedad. En esta charla consideraremos homemorfismos del anillo que tienen un circloid atractor y que tiene puntos que rotan a diferente velocidad. El objetivo es responder la siguiente pregunta: tal homeomorfismo tiene necesariamente entropía topológica positiva?

XLI SEMANA DE LA MATEMATICAPONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE VALPARAISO

Octubre 2015

¿CURVAS ELIPTICAS DENTRO DE UNA SUPERFICIE DERIEMANN?

RUBEN A. HIDALGO

Resumen. En esta charla, dirigida principalmente a estudiantes y no-especialistas, discutire un problema sobre descomposicion de variedadesjacobianas de superficies de Riemann.

En la primera parte de la charla recordare algunos preliminares sobresuperficies de Riemann, con principal enfasis en las compactas. Luegorecordare el concepto de variedad jacobiana para una superficie de Rie-mann compacta y mencionare un par de resultados clasicos. Finalmente,intentare discutir un problema sobre descomposicion isogena de varie-dades jacobianas y resultados parciales a tal pregunta.

1

2 RUBEN A. HIDALGO

1. Superficies de Riemann y sus funciones

1.1. Superficies de Riemann. Una superficie de Riemann es un par

(X,A = {(U j, z j)})

donde:

X es un espacio topologico conexo, Hausdorff y segundo numerable;la coleccion A = {(U j, z j)} (llamado un atlas analıtico) satisface lassiguientes propiedades:1. cada U j ⊂ X es un abierto del espacio topologicoX;2.

⋃j U j = X;

3. z j : U j → z j(U j) es un homeomorfismo entre U j y un conjuntoabierto z j(U j) ⊂ C;

4. si Ui ∩ U j , ∅, entonces la funcion de transicion

z j ◦ z−1i : zi(Ui ∩ U j)→ z j(Ui ∩ U j)

es holomorfa (complejo analıtica).

Los pares (U j, z j) son llamadas cartas locales de la superficie de Riemann.

1z

βo z

α

α βz

z

Figura 1. Funcion de transicion

1.2. Propiedades.Toda superficie de Riemann es necesariamente orientable; como con-secuencia de las ecuaciones de Cauchy-Riemann.Una superficie de Riemann compacta es homeomorfa a la 2-esfera(genero cero) o bien a la suma conexa de g copias del toro S 1 × S 1

(genero g); esta topologicamente determinada por su caracterısticade Euler χ = 2 − 2g.

¿CURVAS ELIPTICAS DENTRO DE UNA SUPERFICIE DE RIEMANN? 3

1.3. Funciones holomorfas. Una funcion continua h : S → R entre su-perficies de Riemann S y R, es llamada holomorfa en el punto p ∈ S siexiste carta (U, z) para S , p ∈ U, y una carta (V,w) para R, h(U) ⊂ V , talque

w ◦ h ◦ z−1 : z(U)→ C

es holomorfa en z(p).Si f es holomorfa en cada punto de S , entonces diremos que f es holo-

morfa en S .

−1

h

SR

p h(p)

wz

U

z(U)

V

w(V)w o h o z

Figura 2. Funcion holomorfa

1.4. Superficies de Riemann isomorfas. Dos superficies de Riemann Ry S son isomorfas si existe un homeomorfismo

h : S → R

que es holomorfa (decimos que h es un isomorfimo).En el caso que R = S , un isomorfismo h : S → S se llama un automor-

fismo holomorfo de S .

1.5. Algunos ejemplos de superficies de Riemann. Ejemplos simplesde superficies de Riemann son los abiertos conexos no vacıos de C.

Casos interesantes son:

1. el plano complejo C;2. el disco unitario D = {z ∈ C : |z| < 1} y3. el semiplano superior H = {z ∈ C : Im(z) > 0}.

Estos son ejemplos de superficies de Riemann no compactas.

4 RUBEN A. HIDALGO

1.6. Superficies de genero cero.

Ejemplo 1 (La esfera de Riemann).

C = C ∪ {∞}

1. En C consideramos la topologıa generada por los abiertos usualesde C y los conjuntos de la forma (C − K) ∪ {∞}, donde K ⊂ C escompacto (estos son una base de vecindades del punto∞).

2. Consideramos el atlas analıtico:

{(U1 = C, z1(z) = z), (U2 = C − {∞}, z2(z) = 1/z)},

funcion de transicion

z ∈ C − {0} 7→ 1/z ∈ C − {0}

Notemos que C es homeomorfo a la esfera unitaria S 2.

Por la clasificacion topologica de superficies compactas orientables, yasabemos que toda superficie de Riemann de genero cero es homeomorfa ala esfera de Riemann.

Teorema 1 (Teorema de uniformizacion de genero cero). Toda superficiede Riemann de genero cero es isomorfa a la esfera de Riemann.

1.7. Curvas algebraicas. Sea n ≥ 2 y una coleccion de polinomios

P1, ..., Pn−1 ∈ C[x1, ..., xn].

Consideremos la funcion holomorfa polinomial

T : Cn → Cn−1

T (x1, ..., xn) = (P1(x1, ..., xn), ..., Pn−1(x1, ..., xn)).

Si b = (b1, ..., bn−1) ∈ T (Cn) es un valor regular de T , entonces, por elTeorema de la Funcion Implıcita, tenemos que C := T−1(b) es una superficiede Riemann (no compacta). Decimos que C es una curva algebraica suave.

Proposicion 1. La superficie de Riemann definida por una curva algebraicasuave es isomorfa a una superficie de Riemann compacta menos un subcon-junto finito no vacıo.


Proposicion 2. Sean S 1 y S 2 superficies de Riemann compactas, A1 ⊂ S 1,A2 ⊂ S 2 conjuntos finitos y h : S 1−A1 → S 2−A2 un isomorfismo. EntoncesA1 y A2 tienen la misma cardinalidad y h se extiende a un isomorfismoh : S 1 → S 2.

Teorema 2 (Teorema de uniformizacion algebraica de superficies de Rie-mann). Toda superficie de Riemann compacta es isomorfa a la compactifi-cacion de una curva algebraica suave.

1.8. Superficies de genero uno. Sea τ ∈ H y consideremos el grupo deautomorfismos holomorfos del plano C

Gτ = 〈A(z) = z + 1, Bτ(z) = z + τ〉 � Z2.

El cociente Tτ = C/Gτ es una superficie de Riemann homeomorfa al toroS 1 × S 1.

0

Bτ

A

τ 1+τ

1

Figura 3. Accion de Gτ en C

Teorema 3 (Teorema de uniformizacion para toros).1. Toda superficie de Riemann de genero uno es isomorfa a un toro Tτ

para cierto τ ∈ H.

2. Sean τ, µ ∈ H. Entonces Tτ y Tµ son isomorfos sı y solo si

µ =aτ + bcτ + d

con a, b, c, d ∈ Z y ad − bd = 1.

6 RUBEN A. HIDALGO

Consideremos el polinomio

P(x, y) = y2 − x(x − 1)(x − λ), λ ∈ C − {0, 1}.

En este caso, b = 0 es una valor regular de T = P, y se tiene que

E0λ :=

{(x, y) : y2 = x(x − 1)(x − λ)

}⊂ C2

es una superficie de Riemann (no compacta) homeomorfa a un toro menosun punto.

Teorema 4 (Teorema de uniformizacion algebraica de toros).1. Si S es una superficie de Riemann de genero uno, entonces existeλ ∈ C − {0, 1} de manera que S es isomorfa a la compactificacion dela curva elıptica Eλ.

2. Eλ y Eµ definen toros isomorfos sı y solo si µ = T (λ) para algunT ∈ G, donde

G = 〈A(λ) = 1/λ, B(λ) = 1/(1 − λ)〉 � S3.

Consideremos τ ∈ H y consideremos el toro Tτ. La funcion P de Weiers-trass es

P(z; τ) =1z2 +

∑(n,m),(0,0)

(1

(z − n − mτ)2 −1

(n + mτ)2

)la cual es una funcion meromorfa doblemente periodica:

P(z + n + mτ; τ) = P(z; τ)

cuyos polos son los puntos n + mτ, cada uno de orden 2.

Teorema 5. Los toros Tτ y Eλ son isomorfos, donde

λ =P(τ/2; τ) − P(1/2; τ)

P((1 + τ)/2; τ) − P(1/2; τ)

2. La variedad jacobiana

Consideremos una superficie de Riemann compacta S de genero g ≥ 1.

Topologıa: Asociado a S es su primer grupo de homotopıa

π1(S , p) � 〈a1, b1, . . . , ag, bg : (a1b1a−11 b−1

1 ) · · · (agbga−1g b−1

g ) = 1〉

y su grupo abelianizado (primer grupo de homologıa con coeficientesenteros)

H1(S ,Z) � Z2g


Nota: si g = 1, entonces π1(S , p) = H1(S ,Z) � Z2.

2

g=2

aa

b

b

1

2

1

Figura 4. Generadores de H1(S ,Z) para g = 2

Analisis: Como S tiene una estructura compleja, tambin tenemos asocia-da a ellas el espacio de 1-formas holomorfas:

H1,0(S ) � Cg

Una 1-forma holomorfa en S es una asignacion de una funcion holomorfafU a cada carta (U, z) de manera que si tenemos cartas (U, z) y (V,w) conU ∩ V , ∅, entonces

fU(z) = fV(w(z))w′(z)

Si tenemos ω ∈ H1,0(S ) y α ∈ H1(S ,Z), entonces podemos calcular∫α

ω ∈ C

La integral anterior no depende del representante de la clase de homo-logıa de α.

Denotemos por (H1,0(S ,Z))∗ al espacio dual de H1,0(S ,Z).

Tenemos una incrustacion

ξ : H1(S ,Z)→ (H1,0(S ,Z))∗

α 7→

∫α

donde ξ(H1(S ,Z)) resulta ser un reticulado de (H1,0(S ,Z))∗ (pensar enZ2g ⊂ Cg).

8 RUBEN A. HIDALGO

El espacio cociente

JS = (H1,0(S ,Z))∗/H1(S ,Z)

resulta ser un toro complejo g-dimensional; variedad jacobiana de S .

La forma de interseccion en H1(S ,Z) define una forma Hermitiana posi-tiva definida en JS (la parte imaginaria E = Im(H) restricta a la homologıaes la forma de interseccion).

Escojamos un punto p0 ∈ S y una forma holomorfa ω. Entonces, paracada p ∈ S y cada camino δ ⊂ S que parte de p0 y termina en p podemoscalcular la integral ∫

δ

ω

Esto define una funcional lineal

δ∗ : H1,0(S )→ C : ω→∫δ

ω

Si η ⊂ S es otro camino que parte en p0 y termina en p, tenemos que

η∗ − δ∗ = α∗

para alguna clase dehomologıa α ∈ H1(S ,Z).

Lo anterior permite definir una funcion holomorfa

Fp0 : S → JS : p 7→[∫

δp

]donde δp ⊂ S es cualquier camino que parte desde p0 y termina en p.

Se sabe que Fp0 es una incrustacion holomorfa.

Observacion 1. En el caso g = 1, se tiene que S � JS .

3. Teorema de Torelli

En el caso g ≥ 2, se tiene que JS tiene dimension g y S tiene dimension1; luego no pueden ser objetos isomorfos.

Podemos distinguir S usando JS ?

Sea S (g−1) = S g−1/Sg−1 el producto simetrico de (g − 1) copias de S .

Sea p ∈ S fijo. Tenemos una funcion holomorfa

Θp : S (g−1) → JS


Θp([x1, . . . , xg−1])(ω) = (∫ x1

pω, . . . ,

∫ xg−1

pω) mod H1(S ,Z)

Sea WS = Θp(S (g−1)) ⊂ JS .

WS es unico modulo traslaciones de JS .

Teorema 6 (Teorema de Torelli). Sean S y R superficies de Riemann degenero g ≥ 2. Entonces las siguientes son equivalentes.

1. S y R son isomorfas.2. Existe un isomorfismo entre JS y JR que lleva WS en WR.

3.1. Variedades abelianas. Una variedad abeliana g-dimensional es unapar X = (A,H), donde A = V/Λ es un toro complejo g-dimensional y Hes una forma Hermitiana positiva definida en V de manera que la formaalternante Im(H) tiene valores enteros en Λ.

Las jacobianas de superficies de Riemann son ejemplos de variedadesabelianas.

Hay toros complejos que no poseen una estructura de variedad abeliana.Aquellas que si la posean son exactamente aquellas que se pueden incrustaren un espacio proyectivo complejo.

4. Isogenias

Todo toro complejo A = V/Λ tiene dos estructuras subyacentes.

A es un grupo abeliano; inducida por la suma del espacio vectorialV .A es una variedad compleja.

Las operaciones de suma y resta en A son funciones holomorfas.

Dos toros complejos A y B se dicen ser isogenos (A ∼ B) si existe unhomomorfismo holomorfo sobreyectivo entre grupos abelianos

F : A→ B

con nucleo finito (llamado una isogenia).

En particular, A y B tienen la misma dimension.

Cuando la isogenia es inyectiva, hablamos de isomorfismo.

10 RUBEN A. HIDALGO

4.1. Descomposicion de Poincare. Un toro es llamado simple si no esisogeno a un producto A × B de toros de menor dimension.

Una variedad abeliana es llamada simple si no es isogeno a un productoX × Y de variedades abelianas de menor dimension.

Teorema 7 (Descomposicion de Poincare para toros). Todo toro complejoes isogeno a un producto de toros complejos simples An1

1 × · · · × Anrr , donde

n1, . . . , nr y A1, . . . , Ar (no isogenos entre si) son unicos modulo isogenias ypermutaciones.

Teorema 8 (Descomposicion de Poincare para variedades abelianas). Todovariedad abeliana es isogenos a un producto de variedades abelianas sim-ples Xn1

1 × · · · × Xnrr , donde n1, . . . , nr y X1, . . . , Xr (no isogenos entre si) son

unicos modulo isogenias y permutaciones.

4.2. Descomposicion de variedades jacobianas. Si S es una superficiede Riemann compacta de genero g ≥ 1, entonces JS es un ejemplo de torocomplejo.

1. Si g = 1, entonces JS es trivialmente simple.

2. Si g = 2, entonces hay dos posibilidades:a) JS es simple.

b) JS ∼ E1 × E2, donde E1 y E2 son curvas elıpticas.

De hecho, si g ≤ 4, entonces JS es siempre isogena al producto de varie-dades jacobianas.

Pregunta:Existe S de manera que:

1. JS no sea simple,2. JS no sea isogena al producto de variedades jacobianas?

5. Productos de variedades jacobianas

Consideremos una coleccion finita de superficies de Riemann, todas degenero al menos 1:

S 1, . . . , S s,

y consideremos el producto

A := JS 1 × · · · × JS s,


el cual resulta ser un toro complejo (de hecho una variedad abeliana) dedimension d = g1 + · · · + gr, donde gr es el genero de S r.

Pregunta: Existe una superficie de Riemann S de genero d con JS isoge-na a A?

5.1. Descomposicion en curvas elıpticas. Consideremos una coleccionfinita de curvas elıpticas:

E1, . . . , Er

Preguntas:1. Podemos construir una superficie de Riemann S con JS isogena a un

producto E1 × · · · Er × A, donde A es algun producto de variedadesjacobianas?

2. Cual es el genero mınimo g(E1, . . . , Er) que puede tener S ?

Para r ≤ 1297, con algunas pocas excepciones, Ekedahl y Serre constru-yeron toros E1, . . . , Er de manera que E1 × · · · × Er is isogena a la variedadjacobiana de una cierta superficie de Riemann S de genero r.

Ekedahl and J.-P. Serre. Exemples de courbes algebriques a jaco-bienne completement decomposable. C. R. Acad. Sci. Pari Ser. I Math.317 No. 5 (1993), 509-513.

Hay ejemplos con propiedades similares a las anteriores para infinitosvalores de r?

Otros ejemplos similares fueron construidos en:Clifford J. Earle. Some Jacobian varieties which split. Lecture Notesin Mathematics 747 (1979), 101-107.T. Ekedahl and J.-P. Serre. Exemples de courbes algebriques a ja-cobienne completement decomposable. C. R. Acad. Sci. Pari Ser. IMath. 317 No. 5 (1993), 509-513.T. Hayashida and M. Nishi. Existence of curves of genus two on aproduct of two elliptic curves. J. Math. Soc. Japan 17 (1965), 1-16.Nakajima, Ryo. On splitting of certain Jacobian varieties. J. Math.Kyoto Univ. 47 No. 2 (2007), 391-415.J. Paulhus. Decomposing Jacobians of curves with extra automorp-hisms. Acta Arith. 132 No. 3 (2008), 231–244.J. Paulhus. Elliptic factors in Jacobians of hyperelliptic curves withcertain automorphism groups. THE OPEN BOOK SERIES 1 (2013).Tenth Algorithmic Number Theory Symposium msp dx.doi.org/10.2140/obs.2013.1.487

12 RUBEN A. HIDALGO

5.2. Generos minimales para una descomposicion elıptica. Sea r ≥ 1:

g(r) := Maximo {g(E1, . . . , Er) : E1, . . . , Er} =???

Caso trivial: g(1) = 1.

5.3. Algunas respuestas para r ≥ 2. Algunas notaciones:

∆1 := C − {0, 1}

∆s := {(λ1, . . . , λs) ∈ Cs : λ j ∈ ∆1; λi , λ j, i , j}

λ ∈ ∆1 7→ Eλ : y2 = x(x − 1)(x − λ).

Proposicion 3.1. Para cada λ ∈ ∆1 existen infinitos µ ∈ ∆1 (de hecho un subconjunto

denso) tal que Eµ y Eλ son isogenas.2. En particular, dadas E1, . . . , Es, existen infinitas tuplas (λ1, . . . , λs) ∈

∆s tal que Eλ j y E j son isogenas para cada j = 1, . . . , s.3. Para s = 2, podemos reemplazar “isogeno” con “isomorfo”.

Teorema 9 (Caso r = 2). Sean E1 y E2 curvas de genero uno. Escojamos(λ1, λ2) ∈ ∆2 tal que E j es isomorfo (o isogena) a Eλ j , para j = 1, 2.

Definamos

η1 =λ1 − 1λ2 − 1

, η2 =λ2(λ1 − 1)λ1(λ2 − 1)

.

Si S es la superficie de Riemann de genero dos

y2 = (x2 − 1)(x2 − η1)(x2 − η2),

entonces JS es isogena a E1 × E2. En particular, g(2) = 2.

Teorema 10 (Caso r = 3). Sean E1, E2 y E3 curvas de genero uno. Escoja-mos (λ1, λ2, λ3) ∈ ∆3 tal que E j es isogena a Eλ j , para j = 1, 2, 3. Sea µ unaraız de

λ2λ3µ2 − (λ1λ2 + λ2λ3 + λ1λ3 − λ1 − λ3 + 1)µ + λ1λ2 = 0.


Si S es la superficie de Riemann de genero tres

w21 = µ(λ3µ − 1)(λ3µ − λ1)(λ3 − 1)z

(z −

1λ1 − λ3µ

) (z −

1µ(1 − λ3)

)w2

2 = −λ3µ2(λ3 − 1)z

(z +

1λ3µ

) (z −

11 − λ3µ

)w2

3 = −λ3µ2(λ3µ − 1)(λ3 − 1)z2

(z +

1λ3µ

) (z −

1µ(1 − λ3)

)

,

entonces JS es isogena a E1 × E2 × E3. En particular, g(3) = 3.

Teorema 11 (Caso r ≥ 4). 1. Si r ≥ 5 es impar, entonces g(r) ≤ 1 +

2(r−3)/2(r − 1).2. Si r ≥ 4 es par, entonces g(r) ≤ 1 + 2(r−2)/2r.

5.4. Construccion. Sea s ≥ 3 y definamos el conjunto

Vs = {α = (α1, . . . , αs) ∈ {0, 1}s − {(0, . . . , 0)} : α1 + · · · + αs is even},

el cual es de cardinalidad 2s−1 − 1.

(λ, µ1,1, µ1,2, µ2,1, µ2,2, . . . , µs−2,1, µs−2,2) ∈ ∆2s−3

α = (α1, . . . , αs) ∈ Vs

Kα = (−µs−2,2)α1(µs−2,2 − 1)α2(µs−2,2 − λ)α2(µs−2,2 − µs−2,1)αs

s−3∏k=1

(µs−2,2 − µk,1)αk+2(µs−2,µk,2 − λ)αk+2 ,

η0 =−1µs−2,2

, η1 =1

1 − µs−2,2, η2 =

1λ − µs−2,2

, η3 =1

µs−2,1 − µs−2,2,

η j,t =1

µ j,t − µs−2,2, t = 1, 2, j = 1, . . . , s − 3.

Consideremos la curva afın X ⊂ C2s−1definida por los siguientes 2s−1 − 1

polinomios:

w2α = Kαzα1(z− η0)α1(z− η1)α2(z− η2)α2(z− η3)αs

s−3∏k=1

(z− ηk,1)αk+2(z− ηk,2)αk+2 ,

α = (α1, . . . , αs) ∈ Vs.

Teorema 12.1. X define una superficie de Riemann S de genero g = 1 + 2s−2(s − 2).

14 RUBEN A. HIDALGO

2. JS es isogena al producto de variedades jacobianas de las siguientes∑[s/2]j=1

(s

2 j

)curvas

Ci1,...,ik : ν2 = (υ − ρi1,1)(υ − ρi1,2) · · · (υ − ρik ,1)(υ − ρik ,2),

donde 2 ≤ k ≤ s es par, las tuplas (i1, . . . , ik) satisfacen

1 ≤ i1 < i2 < · · · < ik ≤ s,

y

ρi j,1 =

∞, i j = 11, i j = 2

µk−2,1, i j = kρi j,2 =

0, i j = 1λ, i j = 2

µk−2,2, i j = k

En caso que ρi j,1 = ∞, entonces el factor (υ − ρi j,1) no aparece en laexpresion.

Observacion 2. 1. JS contiene al menos s(s−1)/2 toros en su descom-posicion isogena.

2. Algunas de esas curvas de genero uno son las siguientes:

E1 : y2 = x(x − 1)(x − λ)E2 : y2 = (x − 1)(x − λ)(x − µ1,1)(x − µ1,2)E3 : y2 = (x − µ1,1)(x − µ1,2)(x − µ2,1)(x − µ2,2)E4 : y2 = (x − µ2,1)(x − µ2,2)(x − µ3,1)(x − µ3,2)

...Es−1 : y2 = (x − µs−3,1)(x − µs−3,2)(x − µs−2,1)(x − µs−2,2)Es : y2 = x(x − µs−2,1)(x − µs−2,2)

3. S resulta ser una componente irreducible del producto fibrado de loss pares (E1, π1), . . . , (Es, πs), donde π j(x, y) = x.

Universidad de La Frontera – Universidad Tecnica Federico Santa Marıa

E-mail address: ruben.hidalgo@ufrontera, [email protected]



CONFERENCIA

STONE'S DUALITY FOR BOOLEAN ALGEBRAS

PIERRE GILLIBERT

RESUMEN The main aim of this talk is to present the famous Stone's representation theorem for Boolean algebra. We shall present all required definition in order to understand the construction, and the key argument of the proof. A finite Boolean algebra is isomorphic to the Boolean algebra of subsets of a finite set. One can take, for example, the set of atoms of the Boolean algebra, and map an element to the set of atoms below this element. This simple construction cannot be generalized in the infinite case. First appears a cardinality problem: there exists countable Boolean algebra, on the other hand a power set cannot be countable. Stone proved that each Boolean algebra can be embedded into a power set Boolean algebra, in a natural way. The construction is more complicated. In general an element cannot be recognized only by the atoms below it. There even exist Boolean algebras with no atoms. The idea of Stone's construction is to consider ultrafilters, as some sort of ``missing atoms´´. For a finite Boolean algebra, ultrafilters correspond to atoms, but in general there are much more. Moreover the set of ultrafilters can be endowed with a natural topology. This topology is compact, Hausdorff, and totally disconnected (such space are called Stone space). Conversely, considering a Stone space, the set of closed-open set is a Boolean algebra for the usual set operations. Stone proved that these constructions form a natural equivalence between the category of Boolean algebras and the (opposite) category of Stone spaces. In particular a Boolean algebra is isomorphic to the Boolean algebra of closed-open set of its topological space of ultrafilters. The isomorphism map an element to the set of all ultrafilter ``below´´ the element.



CONFERENCIA

ESPACIO DE TRABAJO MATEMÁTICO: IDENTIFICACIÓN Y CONSTRUCCIÓN

ELIZABETH MONTOYA DELGADILLO RESUMEN Los resultados de la investigación que se presenta, se inscribe en la teoría del Espacio de Trabajo Matemático, ETM (Kuzniak, 2011) que en sus inicios fue conocida como teoría de Paradigmas y Espacio de Trabajo Geométrico (Houdement & Kuzniak, 1996; 2006). Mostraremos resultados de investigaciones que dan cuenta de la estabilidad del profesor, en formación y debutante, por la vía de analizar su ETM-idóneo en el momento que desarrolla un dominio en matemática con sus estudiantes. Para ello es necesario clarificar los elementos del ETM puestos en juego por el profesor, con el objeto de determinar el rol de objetos de otros dominios en las correspondientes génesis activadas. En general, lo anterior se relaciona con identificar con claridad el dominio de trabajo y el estudio en profundidad de las génesis que realiza el profesor en el aula, es decir, en el ETM-idóneo en dominios específicos: análisis, álgebra, geometría y probabilidades. En esta presentación, mostraremos un cuestionamiento a la construcción de un espacio de trabajo en el análisis, investigación en curso en el marco del proyecto ECOS y en tesis de doctorado, y repensar si acaso los profesores favorecen la concreción de las génesis semiótica, instrumental y discursiva y por ende la circulación entre los distintos polos de los planos epistemológico y cognitivo del ETM.

Referencias bibliográficas Houdement, C. & Kuzniak, A. (1996). Autours des stratégies utilisées pour former les maîtres du premier

degré en mathématiques, Recherches en Didactique des Mathématiques, 16(3), 289-321. Houdement, C. & Kuzniak, A. (2006). Paradigmes géométriques et enseignement de la géométrie.

Annales de Didactique et de Sciences Cognitives, 11, 175-193. Kuzniak, A. (2011). L’Espace de Travail Mathématique et ses Genèses. Annales de Didactique et de

Sciences Cognitives, 16, 9-24. Montoya-Delgadillo, E. (2014) El proceso de prueba en el espacio de trabajo geométrico: profesores en formación inicial. Revista Enseñanza de las Ciencias. 32(3), 227-247 Mena, A. Mena, J. Montoya, E. Morales, A. & Parraguez, M. (2014). El obstáculo epistemológico del infinito actual: persistencia, resistencia y categorías de análisis. Revista Latinoamericana de Investigación de Matemática Educativa, 17 (1), 1-31. Montoya-Delgadillo, E. & Vivier, L. (2014). Les changements de domaine de travail dans le cadre des Espaces de Travail Mathématique, Annales de Didactique et de Sciences Cognitives, 19, 73-101.

EL DISCURSO MATEMÁTICO ESCOLAR: LA ADHERENCIA, LA EXCLUSIÓN Y LA OPACIDAD Francisco Cordero, Cinvestav-‐IPN, México Karla Gómez, Uady, México Héctor Silva-‐Crocci, Usach, Chile Daniela Soto, Usach, Chile [email protected], [email protected], [email protected], [email protected]

Resumen: La separación de la matemática escolar con la realidad define las pautas de la problemática fundamental del aprendizaje de la matemática. Consideramos que la matemática escolar, en esa limitación, genera un discurso (dME) nocivo que afecta la condición humana para participar en la construcción social del conocimiento matemático. Esta afectación es de gran envergadura porque está enraizada en tres fenómenos, a saber: adherencia, exclusión y opacidad. Ponemos en juego los constructos: la identidad disciplinar, la dialéctica inclusión-‐exclusión y socialización en lo matemático, con los siguientes propósitos: 1) Trastocar la formación del docente y 2) Formular el programa permanente para la formación del docente.

Introducción

El planteamiento que hacemos, desde la construcción social del conocimiento matemático (CSCM), consiste en ponernos en el lugar de la gente; en los usos de su conocimiento matemático, donde vive y se desarrolla: la escuela, el trabajo y la ciudad. La ausencia de la inclusión de la gente ha generado un discurso Matemático Escolar (dME) que provoca fenómenos que trastocan a la ontología y la epistemología del conocimiento matemático: la adherencia, la exclusión y la opacidad. Estos agudizan la problemática y rebasan los enfoques y tratamientos de los episodios de aprendizaje en el aula, obligan a algo más profundo: la construcción de un marco de referencia que conlleve el rediseño del dME. Su núcleo tendrá que ser el uso del conocimiento matemático de la gente, de esa manera los modelos educativos se pondrán en el lugar del que aprende.

A continuación ponemos en juego los constructos: la identidad disciplinar, la dialéctica inclusión-‐exclusión y la socialización en lo matemático, con los siguientes propósitos: 1) Trastocar la formación del docente y 2) Formular el programa permanente para la formación del docente (Cordero, Gómez, Silva-‐Crocci & Soto, 2015).

La identidad disciplinar

Reconocemos que la construcción de conocimiento en un programa de investigación latinoamericano, depende estrechamente de los recursos humanos que en el futuro ejecutarán las distintas funciones que constituyen su quehacer disciplinar. Esta premisa nos ha dado pie a proponer que la identidad disciplinar en el matemático educativo en formación, latinoamericano, resulta un elemento fundamental para la constitución de variedades teóricas en los programas de investigación de su región (Silva-‐Crocci, 2014).

La noción de identidad disciplinar conlleva, por una parte, a la identidad como la constitución de un frente que hace de manera inherente resistencia a la carga peyorativa que le ha sido heredada al pensamiento latinoamericano ante el mundo. Por otra, conlleva la noción de fuente de sentido, la cual permite un consenso respecto a cómo conciben los académicos, en sus proyectos de investigación, la génesis de la problemática que atañe a los procesos que se vinculan a la enseñanza y el aprendizaje de la matemática escolar.

Esto último significa que el programa suministra un modelo de problemática y soluciones que, en efecto, organiza los objetivos a seguir, los obstáculos a evitar y el modo de operar en los proyectos de investigación

respecto a las necesidades que hay que atender en los diferentes ámbitos que aglutinan el quehacer disciplinar del programa de investigación que los cobija (Silva-‐Crocci, 2014).

La justificación se encuentra en que la identidad disciplinar de un programa de investigación, canalizado por su fuente de sentido, permitiría que las problemáticas constituidas en los proyectos de investigación de los matemáticos educativos en formación sean dirigidas, de manera sistémica, a reforzar el quehacer disciplinar del programa que los cobija.

En efecto, la identidad disciplinar de un programa de investigación permite formular bloques de tesis orientadas hacia algún tema específico, lo cual provoca constituir un proyecto de investigación con cierta intencionalidad. Estos bloques no son desarrollados por mera casualidad, sino que son formulados con alguna intencionalidad que ayude a robustecer las distintas funciones que componen el quehacer disciplinar del programa de investigación (Cordero & Silva-‐Crocci, 2012).

En este sentido, diversas investigaciones desarrolladas en el seno del programa de investigación socioepistemológico han formulado al dME como un constructo que permite modelar la génesis de la problemática que su programa latinoamericano busca atender. En términos generales, se señala que este dME valida la construcción de la matemática escolar a través de los conceptos matemáticos. Esto en desmedro de la funcionalidad que juega la matemática escolar en la vida cotidiana de los ciudadanos.

La dialéctica exclusión-‐inclusión

Hemos observado que la función social del profesor ha recaído en la transmisión de la cultura. Si bien este hecho no es negativo, debemos recordar que las culturas no son estáticas. Por tanto, el docente debe guiar a los estudiantes no sólo a aprender conocimientos específicos, sino también a transformar su realidad. Bajo el discurso que ha prevalecido en las ciencias y en particular en la Matemática Escolar, el profesor sólo ha podido reproducir e imponer una visión del conocimiento, no se le ha formado para que lo problematice, para que sea sensible ante la construcción del conocimiento matemático. Formar un profesional con estas características implica un esfuerzo por parte de la comunidad académica y política.

En trabajos anteriores hemos ido tejiendo las problemáticas identificadas en nuestros trabajos de investigación (Soto, Gómez, Silva-‐Crocci & Cordero, 2012; Gómez, Silva-‐Crocci, Cordero & Soto, 2014). Logramos articular tres fenómenos ocasionados por el dME, a saber: la exclusión, la opacidad y la adherencia. Junto a esto hemos construido tres categorías que nos han permitido reconocer elementos para el rediseño del dME: la inclusión, la socialización y la identidad disciplinar.

La idea de exclusión e inclusión nos acerca al fenómeno que vive el profesor de matemáticas ante el saber. Si bien al principio concebíamos dos fenómenos dicotómicos, la idea de exclusión-‐inclusión evolucionó, a partir de los datos, hasta la comprensión de un fenómeno dialéctico.

La primera consideración importante para nuestra visión acerca del fenómeno de exclusión-‐inclusión en el profesor de matemáticas, fue entender al dME como un sistema de razón que produce una violencia simbólica en los actores del sistema educativo (Soto & Cantoral, 2014). En otras palabras, el dME norma la práctica y representaciones sociales de los actores, fundamentalmente a través de la imposición de significaciones, argumentaciones y procedimientos.

Una segunda consideración es el contexto donde se recolectan los datos de la investigación. Los profesores de matemáticas en México pertenecen a un campo híbrido, compuesto por profesionales de distintas disciplinas, lo que ha llevado a las autoridades políticas y académicas a la preocupación por la profesionalización docente. Es así, como en el Departamento de Matemáticas Educativa del Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del Instituto Politécnico Nacional (Cinvestav-‐IPN) se desarrolló el diplomado “Desarrollo de estrategias de aprendizaje para las matemáticas del bachillerato: la transversalidad curricular de las matemáticas”. En este contexto, la investigación inició caracterizando el campo del profesor de matemáticas de bachillerato mexicano, para entender las prácticas y representaciones sociales a partir de dos estudios de casos.

El análisis de los casos de estudio en entrevistas, reflexiones escritas en foros del diplomado, observación en episodios de clases, durante la creación de situaciones y la aplicación de las mismas, nos arrojaron resultados importantes e innovadores que nos permiten entender mejor el fenómeno de exclusión-‐inclusión en el profesor de matemáticas.

Desde la CSCM hemos puesto la atención en los usos del conocimiento matemático, el carácter transversal, la pluralidad epistemológica, la centración en las prácticas sociales y la funcionalidad del conocimiento matemático. De esta forma los profesores al vivir una experiencia de profesionalización pusieron énfasis en estos y otros elementos.

Al triangular los datos evidenciamos que el profesor de matemáticas de bachillerato mexicano vive una constante confrontación en su quehacer profesional. Esta confrontación se expresa en la lucha de dos epistemologías contrarias: el dME y la CSCM. Es así como observamos un proceso dialéctico entre la exclusión, expresada por la epistemología del dME, y la inclusión, expresada en la CSCM.

El análisis del análisis de los datos nos permitió observar que existen a lo menos 6 elementos que permiten el tránsito del profesor, como un agente del campo, entre una y otra epistemología.

De esta forma se construyó el siguiente modelo (Figura I):

Figura I. Dialéctica inclusión-‐exclusión

En éste se expresan los elementos que condicionan esa confrontación entre las dos epistemologías del saber matemático escolar. Elementos que reconocemos producto del funcionamiento del propio saber y de las condiciones del profesor como agente educativo.

Los primeros relativos a las propias condiciones del saber escolar: la confrontación entre las argumentaciones de las situaciones específicas y los argumentos provenientes del dME, la interacción entre las argumentaciones, las significaciones y los procedimientos que se evolucionan durante el desarrollo de las situaciones de aprendizaje, y las unidades institucionalización/ resignificación como el resultado de la dialéctica.

Los elementos relacionados con las condiciones del profesor de matemáticas son: la economía en la elección de las situaciones de aprendizaje, la jerarquización del pensamiento matemático en un estatus de básico y un estatus abstracto y el empoderamiento docente (Reyes-‐Gasperini, 2011) a través de la problematización del saber escolar.

La socialización en lo matemático

Rescatamos dos ideas que se han desarrollado en escritos anteriores (Soto et. al, 2012; Gómez et. al., 2014):

1. La Teoría Socioepistemológica (TS) propone atender la problemática generada por el actual dME a través de la generación de Marcos de Referencia (MR) desde la matemática funcional (Cordero, 2001; 2008; 2013; en prensa).

2. Bajo una mirada de la CSCM, la función principal de la Matemática Escolar (ME) es socializar ciudadanos plenos para su vida. Esto quiere decir que la ME se encargaría de socializar ciudadanos para vivir adecuadamente en su vida cotidiana, al mismo tiempo que el ciudadano debería encontrar reciprocidad y sustento del conocimiento de su vida cotidiana con la ME. Sin embargo, el fenómeno de opacidad nos alerta que esta función no ha podido lograrse cabalmente (Figura II).

El primer punto se atenderá en tanto entendamos con mayor profundidad las relaciones y diferencias entre los siguientes dominios del conocimiento: la ME, la Matemática como obra y “lo matemático” como aquello que los ciudadanos expresen del conocimiento matemático. Es así que la TS le ha apostado a constructos como: prácticas sociales, desarrollo de usos, conocimiento del cotidiano, pluralidad epistemológica, comunidad de conocimiento, entre otros; que en conjunto ayudan a entender la naturaleza de estos dominios.

Todo ello nos lleva al segundo punto. El fenómeno de opacidad nos señala una falta de consideración de estas matemáticas del cotidiano en los MR para la ME, es decir, estos argumentos del cotidiano están opacados por el actual dME a pesar de ser éstos más cercanos al conocimiento matemático funcional (Gómez, 2013; Gómez & Cordero, 2013), por lo que no son considerados para promover la enseñanza y aprendizaje de la matemática (Figura II).

Figura II. El fenómeno de opacidad y la CSCM

Esta falta de consideración nos reafirma el grado de separación entre la ME, normada por un discurso fijo e inalterable, y “lo matemático” que vive y se expresa en el conocimiento del cotidiano.

Plantearnos el reto de un programa permanente desde nuestra disciplina, significa la reivindicación de la ME como principal objeto de estudio y cuyo rediseño no sólo debe responder a la construcción axiomática del conocimiento matemático (la obra matemática), sino también a la CSCM (“lo matemático”). Esto exige, además de entender el uso del conocimiento desde aquellas realidades que involucran la génesis del conocimiento matemático, también las realidades actuales donde se resignifica constantemente.

Todo esto trae como consecuencia dos principales resultados: la enseñanza y el aprendizaje de la matemática son procesos de socialización y como tales, deben responder a una mirada donde el proceso de socialización será cada vez más efectivo en tanto se considere el conocimiento de “lo matemático”. Para ello se proponen tres ejes, lo orgánico del conocimiento a través del desarrollo del Proceso Funcional, lo intencional del conocimiento a través del Proceso Institucional y lo situacional del conocimiento a través del Proceso Historial. Esto quiere decir que lo orgánico, lo intencional y lo situacional del conocimiento son los elementos mínimos a considerarse para caracterizar el proceso de socialización y con ello atender la problemática enmarcada en el fenómeno de opacidad.

Conclusiones

Las investigaciones donde la identidad disciplinar, la dialéctica inclusión-‐exclusión y la socialización en lo matemático sean el objeto de estudio, inevitablemente, dimensionan la problemática: en definitiva el episodio de aprendizaje del estudiante en el aula tendrá que ampliarse al cotidiano del ciudadano en la institución y en la sociedad como un referente educativo.

El conocimiento del docente de matemáticas tendrá que ser la resignificación del uso del conocimiento en la transversalidad de los escenarios, a saber: la escuela, el trabajo y la ciudad.

Esa categoría de conocimiento matemático caracterizará la matemática funcional del ciudadano. Esto es; será el uso del conocimiento matemático en una situación específica, en donde se debate entre la función y la forma, de ese conocimiento, acorde con lo que organizan los participantes (Cordero, en prensa). A este último se le llamará resignificación. Así, la categoría puede llevar a cabo múltiples realizaciones y hacer ajustes en su estructura para producir un patrón deseable. Lo que significa que es, por un lado, un medio que soporta el desarrollo del razonamiento y de la argumentación. Y por el otro lado es una práctica que trasciende y se resignifica, que transforma al objeto en cuestión (Cordero, 2008; en prensa).

Tal categoría tendrá que desarrollarse en el sistema educativo. Será, en forma específica, el MR que ayude a resignificar el conocimiento matemático en los diferentes niveles escolares. Esta formulación creará una nueva base de entendimientos y construcciones donde la fuente de abstracción se encuentra en un ámbito de las prácticas. Las categorías tendrán un carácter funcional del conocimiento matemático, de ahí la importancia del cotidiano. Esto es, una vez que se identifiquen las prácticas sociales que dieron y dan cuenta del conocimiento matemático, requieren ser reinterpretadas para ser integradas al sistema didáctico, pues requieren de la intencionalidad para que se desarrollen en las condiciones del sistema. Para ello, se construye la situación donde la práctica se transforma en el argumento, como el eje o núcleo para generar el conocimiento matemático que responda a la situación (Cordero, 2001; 2008).

Referencias Bibliográficas

Cordero, F. (2001). La distinción entre construcciones del cálculo. Una epistemología a través de la actividad humana. Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa, 4(2), 103-‐128.

Cordero, F. (2008). El uso de las gráficas en el discurso del cálculo escolar. Una visión socioepistemológica. En R. Cantoral, O. Covián, R. M. Farfán, J. Lezama y A. Romo (Eds.), Investigaciones sobre enseñanza y aprendizaje de las matemáticas: un reporte Iberoamericano (pp.265-‐286). México: Díaz de Santos–Comité Latinoamericano de Matemática Educativa. A. C.

Cordero, F. (2013). Matemáticas y el Cotidiano. Diplomado Desarrollo de estrategias de aprendizaje para las matemáticas del bachillerato: la transversalidad curricular de las matemáticas. Módulo III. Documento interno. Cinvestav –IPN.

Cordero, F. (en prensa). Modelación, funcionalidad y multidisciplinariedad: el eslabón de la matemática y el cotidiano. En J. Arrieta y L. Díaz (Eds.), Investigaciones latinoamericanas de modelación de la matemática educativa. España: Gedisa.

Cordero, F. & Silva-‐Crocci, H. (2012). Matemática Educativa, Identidad y Latinoamérica: el quehacer y la usanza del conocimiento disciplinar. Revista Latinoamericana de Matemática Educativa, 15(3), pp. 295-‐318.

Cordero, F., Gómez,K., Silva-‐Crocci, H. & Soto, D. (2015). Discurso Matemático Escolar: la adherencia, la exclusión y la opacidad. España: Gedisa.

Gómez, K. (2013). La Socialización de la Función del Conocimiento Matemático: Pluralidad Epistemológica y Opacidad del Cotidiano. Memoria Pre-‐Doctoral no publicada, Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del Instituto Politécnico Nacional. D.F., México.

Gómez, K. & Cordero, F. (2013). La institucionalidad, funcionalidad e historicidad. Elementos para el rediseño del discurso matemático escolar. En R. Flores (Ed.) Acta Latinoamericana de Matemática Educativa 26, 1323-‐1330, México.

Gómez, K., Silva-‐Crocci, H., Cordero, F & Soto, D. (2014). Exclusión, Opacidad y Adherencia. Tres fenómenos del discurso matemático escolar. Acta Latinoamericana de Matemática Educativa, 27, 1457-‐1464, México.

Reyes-‐Gasperini, D. (2011). Empoderamiento docente desde una visión Socioepistemologica: estudio de los factores de cambio en las prácticas del profesor de Matemáticas. Tesis de maestría no publicada, Centro de Investigación y de EStudios Avanzados del Instituto Politécnico Nacional. D.F., México.

Silva-‐Crocci, H. (2014). La identidad disciplinar en un programa de investigación latinoamericano de matemáticos educativos: reciprocidad con el matemático educativo en formación en la resistencia y organización ante los efectos del fenómeno de adherencia. Tesis de doctorado no publicada, Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del Instituto Politécnico Nacional. D.F., México.

Soto, D. & Cantoral, R. (2014). El discurso Matemático Escolar y la Exclusión. Una visión Socioepistemologica. Bolema-‐ Boletim de Educação Matemática, 28 (50), 1525-‐1544.

Soto, D.; Gómez, K.; Silva-‐Crocci, H.; & Cordero, F. (2012). Exclusión, Cotidiano e Identidad. Una problemática fundamental del aprendizaje de la matemática. Acta Latinoamericana de Matemática Educativa, 25, 1041-‐1048, México.

Esta investigación está financiada por CONACYT con el Proyecto Las Resignificaciones del Uso del Conocimiento Matemático: la Escuela, el Trabajo y la Ciudad. Clave 0177368



CURSILLO

EL APRENDIZAJE DEL ÁLGEBRA EN NIÑOS DE 6 AÑOS DE EDAD

BÁRBARA BRIZUELA

RESUMEN En este cursillo exploraremos el aprendizaje del álgebra en niños de 6 años de edad, desde el punto de vista del álgebra temprana. Enfocándonos en una perspectiva funcional, analizaremos juntos trabajos de niños en primer grado de primaria producidos mientras participaban en un experimento de enseñanza de 8 semanas de duración. Exploraremos los trabajos de los niños mientras producen tablas de funciones y mientras exploran la representación de cantidades variables a través del uso de la notación para variables (literales o letras). El objetivo del cursillo será reflexionar sobre las capacidades de los niños para aprender álgebra y sobre los tipos de contextos que pueden facilitar este aprendizaje.



CURSILLO

EL DESARROLLO DE LAS MATEMÁTICAS PARA DESCRIBIR

DETERMINADOS FENÓMENOS DE LA NATURALEZA.

MAURICIO BARRIENTOS RESUMEN En este trabajo se pretende presentar de manera simple y directa la forma y evolución de las matemáticas, de acuerdo a las necesidades y herramientas disponibles, para enfrentar el planteamiento y solución de diversos problemas, que a la postre han sido de sumo interés e impulsores de muchas áreas de investigación dentro de las matemáticas y aplicaciones en general. Serán necesarias herramientas básicas del cálculo diferencial e integral, así como de álgebra lineal y principios básicos de la física para entender los distintos procesos llevados a cabo para lograr modelar y plantear soluciones a determinados fenómenos físicos como son la distribución del calor, la propagación de ondas, etc. Este cursillo no es ambicioso en cuanto a rigurosidad matemática, pero sí en cuanto a la descripción y presentación de soluciones a los mismos problemas, desarrolladas durante generaciones. Pretendiendo dar una visión general y motivante de ésta área de las matemáticas, como es el análisis numérico.



APLICACIONES ARITMÉTICAS DE LA EQUIDISTRIBUCIÓN DE PUNTOS PEQUEÑOS

RICARDO MENARES

RESUMEN Las raíces del polinomio $x^n-1$ se sitúan sobre el círculo unitario formando los vértices de un polígono regular de n lados. Cuando n crece, los polígonos aproximan al círculo cada vez mejor. En otras palabras, las raíces de la unidad se reparten de manera uniforme sobre el círculo cuando el orden tiende a infinito. Por otro lado, la familia de polinomios $(x-1)^n$ tiene sólo una raíz. El contraste entre la distribución límite de las raíces (uniforme en el primer ejemplo, concentrada en un punto en el segundo) se explica por la manera en que crecen los coeficientes del polinomio (nada en el primer caso y exponencialmente en el segundo). El ejemplo de las raíces de la unidad se extiende, más generalmente, al caso de sucesiones de puntos algebraicos "pequeños". La manera correcta de cuantificar el tamaño de los puntos algebraicos es a través de la teoría de alturas, que presentaremos en la primera parte del curso. Revisaremos una versión en dimensión superior del fenómeno de equidistribución de puntos de altura pequeña. Finalmente, mostraremos aplicaciones de este resultado a un teorema de finitud en geometría diofantina, conocido como propiedad de Bogomolov para subvariedades de torsión.

XLI SEMANA DE LA MATEMATICAPONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE VALPARAISO

Octubre 2015

DINAMICA HOLOMORFA EN EL PLANO COMPLEJO.

Francisco Valenzuela Henrıquez

RESUMEN: En este cursillo visitaremos algunos topicos relativos al estudio de la

dinamica de funciones holomorfas en el plano complejo, con especial enfasis en la

descripcion de la dinamica de polinomios.

Introduccion:

Los sistemas dinamicos es el area de la matematica que se dedica a estu-diar fenomenos naturales que incluyen el tiempo. El movimiento de los pla-netas o la posicion de las particulas que participan en una reaccion quımicason algunos ejemplos de estos sistemas. Dentro de la abstraccion matemati-ca, podemos modelar estos ejemplos considerando una ley de evolucion

F : T×X → X

donde el conjunto X es un espacio metrico; T puede ser N, Z, o R (mas ge-neralmente un semi–grupo); la funcion F considerada es continua y satisfacela propiedad F (n+m,x) = F (n, F (m,x)) para todo n,m ∈ T y x ∈ X.

En adelante, consideramos la dinamica inducida por una aplicacion con-tinua f : X → X. Mas precisamente, dado n ∈ N y denotando por

f0 = idX y fn = f ◦ · · · ◦ f compuesto n–veces.

Con esto podemos definir F : N×X → X a traves de la igualdad

F (n, x) = fn(x).

Dado que la funcion f considerada esta fija, en adelante nos referiremos alestudio de la dinamica de f en vez de F .

Uno de los objetivos centrales del area es poder predecir que va ocurrircon la evolucion de un punto en el futuro. Para este objetivo, nos interesapoder describir, ya sea desde una perspectiva topologica, geometrica o en el

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sentido de la teorıa de la medida, lo que ocurre con la evolucion de un puntox ∈ X.

Mas precisamente, dado x ∈ X definimos la orbita de x segun f como elconjunto

O(x) := O(x, f) = {fn(x) : n ∈ N}.

Por tanto, centramos nuestra atencion en tratar de describir la naturalezadel conjunto O(x) para cada x ∈ X, o al menos para la mayorıa de los x, esdecir, c.t.p x ∈ X en el sentido de la medida.

En este minicurso, nuestro espacio de referencia es el conjunto de losnumeros complejos que denotamos por C, y la ley de evolucion es definidapor un polinomio de grado d, a saber:

f(z) = adzd + · · ·+ a1z + a0

donde aj ∈ C, ad = 0 y d ≥ 2.

Un poco de historia:

El estudio de la dinamica de funciones de una variable compleja, tuvosus primeros comienzos con los trabajos seminales debidos a los matemati-cos franceses Gaston Julia y Pierre Fatou alrededor de 1918–20, aunquesus orıgenes se encuentran tal vez antes, en el siglo XIX, en la obra masgeometrica de Schottky, Poincare, Fricke y Klein.

Esta tuvo un segundo gran florecimiento en los ultimos 30 anos, moti-vado en parte por las espectaculares imagenes generadas por computadorque aparecen a partir de 1980. Otro motivo es por el crecimiento explosivoen el estudio de los sistemas dinamicos que comenzo aproximadamente enla misma epoca, y no menos importante por el trabajo revolucionario engeometrıa hiperbolica tridimensional iniciada por Thurston en la decada de1980.

Algunos de los autores mas importantes en actividad que han realizadoserias aportaciones en al area durante los ultimos 30 anos son Mandelbrot,Douady, Hubbard, Sullivan, Milnor, Thurston, Lyubich, Yoccoz y McMullen.Hoy en dıa, el area todavıa es un foco importante de estudio con importantesconjeturas abiertas1. La mayorıa de los metodos usados son fuertementebasados en el analisis en una variable.

1Por ejemplo, la Conjetura de Hiperbolicidad.

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La familia cuadratica:

Leyes de evolucion simples pueden definir comportamientos muy compli-cados. Un ejemplo de esta fenomenologıa es dada por la familia cuadraticaque esta definida por

fc(z) = z2 + c,

donde c ∈ C, y que sera el objeto central de ejemplos en este minicurso.

A modo de ilustracion, en este pequeno texto introductorio analizaremosla dinamica de la funcion mas simple presente en esta familia: a saber, ladinamica de la funcion f0(z) = z2.

Para ello, recordemos que todo numero complejo z ∈ C puede ser escritoen su expresion polar: existe r > 0 y θ ∈ [0, 2π] tal que

z = reiθ = r(cos(θ) + i sin(θ)).

Con esto, notemos que

f0(z) = z2 = r2ei2θ = r(cos(2θ) + i sin(2θ))

Si denotamos por | · | la norma en los numeros complejos dada por

|z| = |x+ iy| =√

x2 + y2

podemos determinar en gran medida la evolucion de la orbita de todo z ∈ C.Dado z ∈ C queremos describir el conjunto

O(z) = {fn0 (z) = z2

n: n ∈ N}.

Cuando |z| = r > 1, no es dificil ver que

|fn0 (z)| = r2

n → ∞

cuando n → ∞. De igual forma, si |z| < 1 se verifica que |fn0 (z)| → 0

cuando n → ∞. Ademas es importante notar que debido a que la funcion f0dobla angulo en cada iterada, entonces “la forma” en que se produce estaconvergencia en ambos casos es de forma “espiral”.

Es importante notar que 0 ∈ C es un punto especial para la dinamica def0. Primero observe que la orbita de cero es finita, a saber O(0) = {0}.

En general, cuando la orbita de un punto z0 es finita decimos que z0 es unpunto periodico. En tal caso, definimos el periodo de z0 como la cardinalidaddel conjunto orbita, es decir, z0 tiene periodo n si #O(z0) = n. Cuando el

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periodo de un punto periodico z0 es igual a uno, decimos que es un puntofijo. De esto, tenemos que 0 es un punto fijo para la funcion f0.

Otra herramienta importante a considerar a la hora de estudiar los pun-tos periodicos de un polinomio f es mirar su naturaleza “infinitesimal”. Masprecisamente, dado z0 un punto periodico de periodo n decimos que este es:

1. Atractor: si |(fn)′(z0)| < 1.

2. Superatractor: si |(fn)′(z0)| = 0

3. Repulsor: si |(fn)′(z0)| > 1.

4. Indiferente: si |(fn)′(z0)| = 1.

Vale destacar que esta clasificacion describe localmente en terminos dinami-cos lo que sucede localmente en torno a un punto periodico. De lo anteriorse sigue que 0 es un punto fijo super atractor, dado que f ′

0(z) = 2z.

Por otro lado, observemos que los puntos fijos de f0 satisface la ecuacion

f0(z) = z2 = z,

lo que implica que, aparte de cero, el otro punto fijo de la funcion es z0 = 1.Dicho punto, es un punto fijo repulsor pues |f ′

0(1)| = 2.

Por otro lado, si queremos encontrar los puntos periodicos de periodo n,no es difıcil notar que son los puntos que satisfacen la ecuacion algebraica

fn0 (z) = z2

n= z.

Dado que 0 es una solucion de dicha ecuacion se sigue que las solucionesdistintas de cero son los puntos que satisfacen la igualdad

z2n−1 = 1,

es decir, las (2n − 1)–raıces de la unidad dadas por la igualdad

ωk = cos

(2kπ

2n − 1

)+ i sin

(2kπ

2n − 1

)donde k = 0, . . . , 2n − 2. En particular, los puntos periodicos distintos decero son puntos contenidos en el cırculo unitario puesto que |ωk| = 1 ypor lo tanto son puntos periodicos repulsores. Finalmente, si denotamos porPerr(f0) al conjunto de los puntos periodicos repulsores, no es difıcil verificarque

Perr(f0) = {z ∈ C : |z| = 1} =: S1.Mas aun, S1 es un conjunto compacto y completamente f0–invariante, esdecir, f0(S1) = f−1

0 (S1) = S1.

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Y en el caso general...:

Los objetos basicos dinamicamente descritos para la funcion f0 son com-ponentes que se presentan en el contexto general en la dinamica de polino-mios. Por lo tanto el objetivo de este minicurso es comprender, quizas confalta de rigurocidad, estos objetos basicos y obtener (en algun sentido) unavision global de la dinamicas de polinomios.

Enumerando sucintamente, identificamos tres conjuntos importantes aso-ciados a un polinomio f : el conjunto de Julia lleno, dado por

Kf = {z ∈ C : (fn(z))n es acotado},

el conjuntoJf = ∂Kf

es llamado el conjunto de Julia, y

Ff = C \ Jf

denota el conjunto de Fatou.

Los puntos de Kcf son los puntos que escapan al infinito por iteradas

de f . Para la funcion f0 de la familia cuadratica corresponde a los puntoscon norma mayor que uno. El conjunto de Fatou Ff esta compuesto por lospuntos que escapan a infinito, y componentes (abiertos conexos) con unadinamica “simple” (cuencas de atraccion de orbitas periodicas atractoras,componentes preperiodicas, etc.). Y el conjunto de Julia Jf es un conjun-to compacto, completamente f–invariante y es la clausura del conjunto depuntos periodicos repulsores.

En otras palabras, el interes dinamico es estudiar o describir en granmedida el conjunto de Julia. Este conjunto corresponde ser el conjunto condinamica caotica (entropıa positiva). Ademas, podemos observar la conexi-dad o disconexidad total de Jf , conforme podamos entender la dinamica delos puntos crıticos.

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Instituto de MatemáticasPontificia Universidad Católica de Valparaíso

Valparaíso, Chile

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