XIII JORNADES D’EDUCACIÓ MATEMÀTICA DE LA COMUNITAT...

XIIIJORNADESD’EDUCACIÓMATEMÀTICADELACOMUNITATVALENCIANA

INNOVACIÓITECNOLOGIAENEDUCACIÓMATEMÀTICA

Alacant,19-20d’octubrede2018

Universitatd’Alacant

COMITÉEDITOR-MAQUETACIÓ

JoséAurelioPinaRomero(SEMCV)

FernandoArenasPlanelles(SEMCV)

ÒscarFornerGumbau(SEMCV)

JuliaMuñozMartínez(SEMCV)

COMITÉORGANITZADOR

FernandoArenasPlanelles(SEMCV)


JoséAurelioPinaRomero(SEMCV)

FerranVerdúMonllor(UA)

JoséAntonioMoraSánchez(SEMCV)

COMITÉCIENTÍFICFernandoArenasPlanelles(SEMCV)


MaríaGarcíaMonera(SEMCV)

AmparoMonederoMira(SEMCV)

COMITÉTÈCNIC

Dissentdelcartell:JoséFernandoJuanGarcía

Pàginaweb:JuanFernandoLópezVillaescusa

Plataformad’inscripció:JuanManuelCouchoudPérez

REVISIÓDELTEXT

MariaTeresaNavarroMoncho

ISBN:978-84-09-14773-1

Primeraedició:setembrede2019

Editor:InstitutdeCiènciesdel’Educació(ICE)delaUniversitatd’Alacant

Qualsevolformadereproducció,distribució,comunicaciópúblicaotransformaciód’aquestaobranoméspotserrealitzadaambl’autoritzaciódelseustitulats,llevatdelesexcepcionsprevistesperlallei.Adreceu-vosaCEDRO(CentroEspañaoldeDerechosReprográficos,www.cedro.org)sinecessiteufotocopiaroescanejaralgunfragmentd’aquestaobra.

NOTAEDITORIAL:Lesopinionsicontingutsdelstextospublicatsenaquestaobrasónderesponsabilitatexclusivadelsautors.

COL·LABORADORS

XXIIIJORNADESD’EDUCACIÓMATEMÀTICA

1

EDITORIAL 3

CONFERÈNCIES 7

CONFERÈNCIA:L’AVENTURAD’INNOVARENL’ENSEYAMENTDELESMATEMÀTIQUES. 7

TALLERS 21

T-01.LACALCULADORACIENTÍFICAAL’AULADEMATEMÀTIQUES. 21T-02.INVESTIGACIONESENCLASEDEMATEMÁTICASCONGEOGEBRA 41T-03.EDPUZZLE:UNRECURSOPARAELFLIPPEDCLASSROOM 55T-04.CREANDOVÍDEOSPARALAENSEÑANZAYELAPRENDIZAJEDELASMATEMÁTICAS. 63T-05.TEOREMA"DOBLARYCORTAR":UNEJEMPLODEINVESTIGACIÓNMATEMÁTICA. 79T-06.SUPERFICIESSECCIONADAS 89T-07.LACALCULADORACOMARECURSDIDÀCTICAL’EDUCACIÓPRIMÀRIA. 101T-08.LOSCALENDARIOSMAYAS. 113T-09.INNOVACIÓNSINPERDERLOSPAPELES 123T-10.MANIPULANDOZ. 135

COMUNICACIONS 155

C-01.ANÀLISIDELACOMPRENSIÓENESTUDIANTSDEBATXILLERATDELCONCEPTEDELÍMITD’UNAFUNCIÓENUNPUNT. 155C-02.EMMA,ESTÍMULDELTALENTMATEMÀTICCOMARCAL. 173C-03.JUGANTAMBGEOGEBRA. 181C-04.APRENDIZAJEBASADOENPROYECTOSEN2ºPMAR. 189C-05.TAULES,PARÀMETRESIGRÀFICSESTADÍSTICSRÀPIDSAMBGEOGEBRAPERAL'AULAD'ESO. 201C-06.APPRENDIENDOMATEMÁTICASCONJUEGOSMÓVILES. 241C-08.TRASLAPISTA.(A2/0B11). 257C-08.PROBLEMASRICOSENSECUNDARIACOMODETECTORDECAPACIDADMATEMÁTICAALTA. 273C-9ANÀLISID’UNOBSTACLEDIDÀCTIC:CONVEXITATICONCAVITATD’UNAFUNCIÓENUNINTERVAL. 287C-10.LASSIMETRÍASDELPLANOPARA6ºDEE.PRIMARIAENFORMATODEIBOOK. 301C-11.LAVÍDEOCONFERENCIAENTREESTUDIANTESDETALENTOENUNTALLERDEMATEMÁTICAS. 315

TALLERS

XIIIJORNADESD’EDUCACIÓMATEMÀTICA 41

T-02.INVESTIGACIONESENCLASEDEMATEMÁTICASCONGEOGEBRA

JoséAntonioMora

InstitutGeogebraValencià[email protected]

Modalitat:Taller

Nivelleducatiu:Secundària,Batxillerat.

Paraulesclau:Geogebra

Resum:

Las investigaciones matemáticas son situaciones problemáticas que muchas

veces pueden parecer ambiguas. Los estudiantes clarifican estas propuestas

conforme identifican, plantean y resuelven los problemas matemáticos que

aparecen. En este taller se presenta una colección de actividades que pueden

servirdepuntodepartidaparainiciareltrabajodelaclasedematemáticasde

secundaria.

Lasinvestigacionesresultanmásinteresantescuandoconectanalosestudiantes

consituacionescercanasypermitenproponerdistintostiposdeorganizaciónde

la clase: trabajo individual y en grupo, debates y puestas en común y

exposicionesenpúblico.Latareamásimportantedelprofesorconsisteenestar

atento para averiguar cuándo y cómo puede intervenir para que los alumnos

consiganaprenderyavanzardeformaautónoma.

TALLERS


Característicasdeunabuenapropuestadetrabajo

Para que una investigación tenga ciertas garantías de

éxitohadecumpliralgunasdeestascondiciones:

• Quedespierteinterésporelproblemapropuesto

• Quedespierteelinterésporlasmatemáticas

• Queseasocialmenterelevante

• Queseaactual

• Quetengaraícesenlacultura

• Queconecteconloqueelestudianteyasabe

• Quetodoslosalumnos,independientementedesunivel,puedaniniciarlos

primerospasos

• Que admita distintos niveles de profundizaciónpara atender a todos los

alumnos

• Quesearicaencontenidomatemático

Un excelente modelo de este tipo de actividades lo

representanloscuatrolibrosPointsofDeparturedela

Associacion of Teachers of Mathematics. Son

compendiosdesituacionesparaproponertrabajosde

investigaciónenunaclase.Deestosmaterialessehan

tomado varias de las propuestas para este taller añadiendo el applet de

GeoGebraconelobjetivodepermitirunmejoracercamientoalproblema.

El equipoMATTIC, del que formo parte, ha realizado una amplia colección de

actividadesdeestetipo–almenosunaencadaunidaddidáctica-,ensuproyecto

demateriales interactivosqueacompañana los librosde laeditorialSM, tanto

ensecundariaobligatoriacomoenbachillerato.

TALLERS


Elpapeldelprofesor

Enestetipodeactividadeselprofesoresundinamizadorqueasumediferentes

roles:

• Selecciona bien los problemas que

introducirán las ideas matemáticas

importantesenesenivel

• Acompañaalosalumnosensutrabajo

• Escucha a los estudiantes. Observa sus

carasparaanalizarsusreacciones

• Hace preguntas. Intenta que sean otros alumnos los que respondan las

preguntas que hacen sus compañeros: ¿Alguien tiene respuesta para la

pregunta…?

• Toma decisiones. A qué se dedica cada tiempo en la clase, con qué

herramientas.Centra la atencióndeungrupode la clase.Reorganiza los

gruposparaquefuncionenmejor

• Retaalosalumnoseintentaqueseesfuercenpararesolverlaspropuestas

• Consigue que los alumnos controlen, revisen y ajusten el camino que

siguenpararesolverlasituación.

Herramientasautilizarenlasinvestigaciones.

Las buenas actividades obligan al manejo de herramientas en clase y en

matemáticaspodemosutilizarunaampliagamadeinstrumentos:

• Herramientasmanuales:lápiz,pizarraeinstrumentosdedibujo

• Herramientas informáticas: ordenadores, tablets, móviles, software de

todotipoycalculadoras

• Tecnologíasdelainformación:páginasweb,blogsyredessociales

TALLERS


• Utilizar las distintas formas de representación matemática: cálculos,

tablas,gráficas,funcionesoestadísticas

• Utilizar lavisualización,el razonamientoespacialy lamodelizaciónen la

resolucióndeproblemas

• Herramientas mentales: organizar, representar, comunicar y establecer

conexiones

• Aplicaryadaptarestrategiaspararesolverproblemas:utilizardiagramas,

buscarpatrones,particularizar,trabajarmarchaatrás,tantear,resolverun

problemaequivalentemássencillo.

• Descubrir matemáticas: Formular conjeturas y someterlas a prueba.

Refutarargumentarydemostrar

Laprogramacióndematemáticas

A los profesores de matemáticas siempre nos ha preocupado el completar la

programación de la asignatura con el objetivo puesto en que los alumnos no

vayancondificultadesa los siguientes cursos.Hayalgunas cuestionesquenos

podemosplantearparacomprobarsiestamosatendiendoalaprogramación:

• Aprovechar las matemáticas que ya saben los alumnos para que las

aportenalaclase.

• Construir nuevos conocimientos a través de la resolución de los

problemas.

• Revisarlostemasylosconocimientosmatemáticosquehayinvolucrados

en la investigación que se propone en clase. Hacer

partícipe a la clase de cuáles han sido esas ideas

matemáticasquesehanutilizado.

• Realizar una evaluación coherente con la forma de

trabajar,dando importanciaalprocesoquehanrealizado

losalumnostantoindividualmentecomoengrupo

TALLERS


Enalgunoscasosseráinteresantetranquilizaraalumnosypadressilonecesitan

mostrando cómo se está cumpliendo la programación y que no deben

preocuparse ya que esta forma de trabajar les aporta además muchas

competenciasmatemáticasquelespreparanparalospróximoscursos.

La mayor parte de las ideas de este taller tiene su origen en la propuesta

“PrincipiosyEstándaresparalaEducaciónMatemática”delNationalCouncilof

TeachersofMathematics.

Lasinvestigacionessehanseparadoenvariosbloquesparafacilitarsuinclusión

en la programación de secundaria. Al final se añaden algunas actividades de

bachillerato.

Números

Las actividades seleccionadas en este apartado intentan atraer a los alumnos

hacia lasmatemáticas, sorprendiéndolos tantopor losmétodosquesepueden

poner en marcha, por la aplicabilidad de las ideas matemáticas a su vida

cotidianayporlosresultadosobtenidosdesuactividad.

Lamagiade laspotencias trata de sorprender a los alumnos al presentar la

investigacióndeunniño,LeLionnais,quedespuésseríamatemáticoycuentala

fascinación que encontró en la cadencia de los números naturales y sus

potencias.Esunintentodellevaralaclasela“magiadelosnúmeros”apartirde

susregularidades.

Partículaspresentaunasituaciónprácticaquetienequevercon losmúltiplos

comunesyconelmínimocomúnmúltiplodevariosnúmeros.

Porcentajes y proporciones pretende consolidar la destreza al pensar en

partesdeuntodoyrelacionarloconlosporcentajes.

TALLERS


Labicicleta trabajaconelmodelodeplatos

y piñones para proponer situaciones de

proporcionalidad que pueden ver en

funcionamientoenlaaplicación.

Para acabar,Números felices propone una situación que pretende conseguir

que los estudiantes trabajen como auténticos matemáticos, que realicen

conjeturas, que las sometan a prueba, que enuncien pequeños teoremas –

siempre al nivel de secundaria-. Se lesda el protagonismoa los alumnospara

que hagan las matemáticas y las expongan a sus compañeros utilizando

herramientasdetodotipo,desdecalculadorasadiagramas.

Geometría

EltrabajoenGeometríaesespecialmenteapropiadoparatrabajarconGeoGebra,

tanto en el plano como el espacio y nos proporciona conexiones con otras

disciplinas como el arte, la tecnología, etc. y también con otras partes de las

matemáticas.

Elcilindrohidráulicoproporcionaalestudianteelproceso“pasoapaso”para

la construcción con GeoGebra de esta

herramientadelatecnologíaqueseutilizapara

modificar el ángulo de unión del brazo de una

máquina.

Secciones del cubo presenta las distintas

secciones que podemos encontrar al cortar un

cuboconunplanoperpendicularaunarectaquepasaporelcentrodelcuboy

otropuntoquevaría:elcentrodeunacara,unvértice,elcentrodeunaaristao

unpuntocualquieradeunacara.

TALLERS


OmnipoliedropuedeserutilizadoparaestudiarlafórmuladeEulerenloscinco

poliedros regulares y buscar relaciones entre los duales. Se utiliza una

presentaciónenlaqueunosestáninscritosdentrodeotros.

Triángulo imposible de Reutersvärd y Penrose nos propone una figura

compuesta por tres prismas de base cuadrada unidos de tal forma que, visto

desde un determinado punto, da la sensación de ser una estructura rígida y

conectada,peroseríaimposibledeconstruirenelespacio.Nosintroduceenlos

mundosimposiblesdeEscher.

Gusanosesunainvestigacióngeométricaconlaqueintentamosqueelalumno

se plantee averiguar “qué ocurriría si…”. Analizamos

losdiseñosqueseobtienenalvariarlapautanumérica

queestablecelasreglasdejuego.

Grupodesimetríadelcuadradoesunainvestigación

quepodríamosconsiderardematemáticapuraenelniveldesecundaria.Trata

de poner al alcance de los estudiantes la potencia de lasmatemáticas cuando

abstraen las ideas que subyacen en una situación y la ponen en relación con

otrasideassemejantes.

Simetríasenelmosaicoutilizadeslizadoresparaaplicarlascuatroisometrías

almosaicodelasmariposasdeM.C.Escherparacomprobarqueelembaldosado

quedainalteradoalaplicarcadaunadeellas.

Matemáticasyarte

Seproponeunacoleccióndeactividadesqueintentanacercaralestudianteala

utilización de lasmatemáticas –especialmente la geometría-, para analizar un

conjunto de manifestaciones artísticas como la pintura, la arquitectura o las

artes decorativas. Se intenta analizar cuáles fueron las ideasmatemáticas que

pusoenmarchaelautordeunaobra.

TALLERS


Goya. El quitasol muestra el análisis geométrico de una pintura intentando

sacar a la luz las ideas del Goya en la composición, especialmente con la

utilizacióndeltriánguloisóscelesylasimetría.

Van der Weiden. El descendimiento.

Comprobamos que Van der Weyden utilizó

polígonos, circunferencias y movimientos para

lacomposicióndelaobra

EnElPartenóncomprobamoslautilizaciónde

laproporciónáureaenlafachadadeltemplo.

EnLaúltimacenadeLeonardodaVincianalizamos laperspectivadelcuadro

conlaslíneasyelpuntodefugaademásdeotroselementosdelacomposición,

quehacenquepodamos contemplarunaescena congranprofundidad cuando

todoslospersonajesestánenunmismoplanosentadosalamesa.

OtrosMundosproponequeentremosenunedificiodiseñadoporM.C.Escher

enelquemuestrahastatresdireccionesdistintasenlasqueactúalagravedad.

Losarcosojivalydeherraduramuestranlosprocedimientosdeconstrucción

“paso a paso” de dos arcos, uno de cada tipo con instrucciones en forma de

secuencia de imágenes visuales que serían del tipo de las encontramos en las

cajas de Lego, con ellas podremos realizar in situ la construcción geométrica

utilizandolasherramientasquenosofreceGeogebra.

La mitad del cuadrado es una investigación que parte de un enunciado

elemental para dar paso a una investigación que involucra conocimientos

geométricos y algebraicos del primer ciclo de ESO y que tiene interesantes

desarrollos en la construcción de mosaicos. Se relata además la visita de los

alumnosalMuseodeCerámicadeOndaparapintarensutallerlosazulejosque

después han decorado el instituto. Esta investigación se expone con

detenimientoenestadirección:http://jmora7.com/GG5/Mitad/Indice.html.

TALLERS


Mosaicodelaviónseiniciaconlaconstruccióndeunodelosmosaicosnazaríes

ydespuésserealizaelprocesoinverso:elanálisisdeloselementosdesimetría

delmosaicohastallegaralmotivomínimogenerador.

EnlaBasílicadelSantoSpiritohaceunestudiodelaplantadelaiglesiaapartir

delcuadrado.

En Santa María de Novella estudiamos la

fachada desde dos puntos de vista: por una

parte comprobamos que en algunas partes

apareceelrectánguloáureoyporotravemos

quedistintoselementossecorrespondenconlacircunferencia,elcuadradoyel

hexágonoregular.

Funciones

Lassituacionespropuestascomienzanpor la interpretacióndel lenguajede las

gráficas que se puede realizar en los primeros cursos de secundaria.

Posteriormente se presentan varias situaciones enfocadas a un estudio en

profundidad de algunos tipos de funciones como las rectas o la función

exponencial.Elestudiode lasparábolassehacedesde laconexióncon la física

enelestudiodeltirooblicuoconsituacionesdefútbolybaloncesto.Laúltimade

laspropuestasintentaprofundizarenlasfamiliasdefuncionesqueseestudian

ensecundariaconelegantesdiseñosproducidosalvariarloscoeficientesenlas

fórmulas.

Elpaseoeslatraduccióndeunasituacióncotidianaalagráficaquerelacionala

distancia cuando nos alejamos de un punto respecto del tiempo transcurrido

desde que salimos. Los estudiantes intervienen en un primer momento

relacionandoelrelatodelenunciadoconlagráficaquesemuestra.Másadelante

se pueden hacer modificaciones en la gráfica para representar su propio

TALLERS


recorrido cuandovienenal institutoe incluso inventarnuevas situaciones con

susgráficascorrespondientes.

Rectas al azarmuestra distintas rectas que aparecende forma aleatoria y en

ella se nos pide que obtengamos la pendiente y la ordenada en el origen. Al

principioproporcionaalgunasayudasqueconlaprácticaesmejorocultar.

Ecuacionesdelarectamuestradiversasayudas–quesepuedenocultar-,para

hacerlatransformaciónentrelasdistintasformasenlasquepodemosmostrar

laecuación:implícita,explícitaycontinua.

Parábolasy fútbolestudia la trayectoriadelbalón

en un gol de Messi para analizar ángulo de tiro,

velocidad inicialde lapelotayestudiarenquéotrascondicionespodríahaber

marcadogol.

Parábolasybaloncestosimulaellanzamientoacanastadeunrobot.Primero

colocamos al lanzador que va a tirar a canasta y le damos la velocidad de

lanzamientoparaquelaaplicaciónelijaelángulodetiro.Tenemoslaposibilidad

de hacerlo al contrario: marcar e ángulo de tiro y la aplicación calculará la

velocidad que debe imprimir a la pelotaá la velocidad de salida del balón. En

algunoscasosnoencontrará lasoluciónmientrasqueenotrosobtendráunao

dosformasdehacereltiroparaencestar.

Gráfica de la exponencial se puede utilizar para analizar el papel de los

parámetros k y a en la función y=kax . Se propone una función y se pide al

estudiante que intente dibujar su gráfica sobre la pantalla y después puede

comprobarcuántosehaacercado.

Modelospara la funciónexponencialpresentaelestudiode tressituaciones

prácticas que corresponden a tipos de crecimiento exponencial: crecimiento

celular,interéscompuestoydesintegraciónradiactiva.

TALLERS


Reloj celular toma una de las tres situaciones de la actividad anterior: el

crecimientocelularparahacerlabúsquedadelafuncióninversa.Sitenemosla

cantidad de células en un momento

determinadoyconocemoslascondicionesde

crecimiento,¿podremossabercuántotiempo

hatranscurrido?

Curvas de colores presenta varias familias

defuncionesenlasquealcambiarlosvaloresdelosparámetrossemodificael

colordelagráficaalavezquedejarastro.Seestudianvariostiposdefunciones:

lineal,cuadrática,deproporcionalidadinversa,cocientedefuncionesdeprimer

grado,exponencialytrigonométrica.Losresultadossonespectaculares.

Álgebra

GeoGebrapuedeserdegranayudaen laexploracióndesituacionesnuméricas

que necesitan de una cantidad suficiente de experiencias para poder sacar

conclusiones y obtener reglas generales. En las investigaciones propuestas se

haceusodedibujos,tablasygráficasparallegaralasfórmulas.

El cubo de caras negras es una investigación muy interesante que tiene un

origengeométricoypermitelaobtencióndefórmulasutilizandorazonamientos

geométricos (relaciones entre los elementos que intervienen) o numéricos

(obtencióndetérminosgeneralesapartirdelassecuenciasnuméricas).

Construcción de cajas es un problema clásico de

optimización de los que se resuelven con la

utilizacióndederivadas en2ºdebachillerato.Con

lasherramientasdelahojadecálculodeGeoGebra

puedeconvertirseenunproblemamuyinteresante

pararelacionarenunciadoscontablasnuméricasygráficasensegundootercer

cursodeSecundariaObligatoria.

TALLERS


Mantenerladistanciaesunainvestigaciónmatemáticaqueseproponepara4º

deESOquerelacionalaseguridadeneltráficoconlavelocidadyladistanciaque

debenmantenerentreloscochescuandoestánenmarcha.Sepretendequelos

alumnos justifiquen con argumentos las decisiones que más tarde

corresponderán a los técnicos de tráfico y a los políticos de un ayuntamiento

atendiendoalanormativayalosresultadosdesuinvestigaciónmatemática.Se

desarrolla con amplitud en esta dirección

http://jmora7.com/GG5/Mdist/Indice.html

Cadenas es una propuesta de actividad que puede resolverse con métodos

numéricos (tanteo) o algebraicos (ecuaciones) y comparar las ventajas y las

dificultadesdecadaunodeellos.

Las ranas saltarinas propone un juego tipo

solitarioenelque inicialmentehayquebuscar

una estrategia de resolución. Admite

ampliaciones cuando se pide la generalización de los resultados a otras

cantidadesderanas.

Bachillerato

Lasdospropuestaspara el estudiode funcionespretendenprofundizar en las

ideasdederivadaydeáreabajounacurva.Parafinalizarsepresentanotrasdos

situacionesparacomprenderlasoperacionesconmatrices.

Engráficadelafunciónderivadalaaplicaciónpermiteestimarlagráficadela

funciónderivadadeunacurvadadadisponiendodevariasayudasquepodemos

activaruocultarparamodificarelgradodedificultaddelaactividad.

Gráficadelafunciónquedeterminaeláreabajounacurvaessemejanteala

anteriorperoahoraloqueestimamoseseláreacomprendidaentreunacurva,el

ejedeabscisasylosvalores0yx.

TALLERS


Productodematricesproporcionadoscontextosparacomprenderporquélas

matricessemultiplicandeesaformatanespecial.Enprimerlugar,serealizael

estudiodelcontagiodeenfermedadesylatomadedecisionesenmedicina,para

después proponer la misma operación

matemática para analizar un problema de

conexionesentreaeropuertos.

Matrices de conexiones utiliza las

potencias de las matrices para analizar

problemas clásicos como el de los siete

puentesdeKönigsbergyotrosmásactuales,comoeseldelasconexionesaéreas.

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