Apunts de Matemàtica Discreta i ÀlgebraPrimera part: Matemàtica Discreta

Tema 1: Introducció a la lògica matemàtica

Robert Fuster

Darrera actualització: 23 de setembre de 2006

Índex

Introducció 2

Unitat Temàtica 1. Proposicions, taules de veritat i connectors 31.1. Proposicions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2. Connectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.1. Ús de parèntesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.2. Tipus de Connectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.3. Jerarquia de Connectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3. Fórmules proposicionals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4. Taules de veritat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.5. Tautologies i contradiccions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Unitat Temàtica 2. Equivalències i implicacions. Inferència 132.1. Equivalència tautològica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1.1. Simplificació d’expressions lògiques . . . . . . . . . . . . . 172.2. Implicacions tautològiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3. Inferència en el Càlcul Proposicional . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3.1. Inferència directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.3.2. Inferència condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.3.3. Inferència bicondicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.3.4. Inferència per reducció a l’absurd . . . . . . . . . . . . . . 25

1

Unitat Temàtica 3. Càlcul de Predicats. Inferència 263.1. Predicats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.2. Quantificadors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.3. Inferència en el Càlcul de Predicats . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.3.1. Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Unitat Temàtica 4. La demostració en Matemàtiques i el principi d’in-ducció 32

4.1. Els mètodes de demostració . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.2. Els nombres naturals i el mètode d’inducció . . . . . . . . . . . . . 33

4.2.1. El principi d’inducció . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Introducció

El raonament lògic és a la base de tot el discurs científic (no es pot fer ciència oparlar de ciència si no es fa servir una metodologia basada en la lògica). Histò-ricament, la lògica s’ha considerat com una part de la filosofia, però moderna-ment els raonaments lògics es poden formalitzar amb un llenguatge simbòlic ien gran part es poden reduir a operacions algebraiques, la qual cosa ens permetparlar de la lògica matemàtica.

Molt esquemàticament, podem dir que la lògica s’encarrega de discutir siun determinat raonament és o no correcte, però també que senta les bases per adissenyar màquines capaces de reproduir (o almenys simular) els nostres rao-naments. Per això precissament, la lògica matemàtica és el fonament teòric mésimportant de la Informàtica.

En aquest tema estudiarem els les idees bàsiques del càlcul de proposicionsi del càlcul de predicats (o lògica de primer ordre). Finalment dedicarem unaunitat temàtica a les demostracions en Matemàtiques i especialment al mètoded’inducció.

2

Unitat Temàtica 1. Proposicions, taules de veritat iconnectors

1.1. Proposicions

Els elements bàsics de la lògica són les proposicions.Definicions 1

Una proposició és una afirmació de la qual es pot dir sense ambi-güitat (i de forma excloent) que és certa o falsa.El valor lògic d’una proposició és 1 o 0 segons siga certa o falsa.

Les proposicions se solen representar mitjançant lletres minúscules o majús-cules (p, q...).

Per exemple, les afirmacionsp: Jaume Roig fou un homeq: Isabel de Villena fou una dona

són proposicions certes. En canvi,r: El gos és un amfibi

és una proposició falsa.

+ Fixeu-vos bé en la definició de proposició: una afirmació que es pot sabersi és certa o falsa és una proposició, així que Hui plou o La Terra és unsatèlit de la Lluna són proposicions. Però no ho és, per exemple, Et sem-bla que anem al teatre?, perquè una pregunta no afirma res. Tampoc noés una proposició la frase Aquesta és una proposició falsa (per què?).

1.2. Connectors

Les proposicions es poden combinar entre elles per fer-ne de noves, mitjançantels connectors lògics. De seguida veurem quins són els connectors què es fanservir habitualment, però els més usuals són la negació (no), la disjunció (o) i laconjunció (i). Per exemple, les dues proposicions que segueixen són certes:

P: Jaume Roig fou un home i Isabel de Villena fou una donaQ: L’àrgon és un gas noble o l’any té 400 dies

En canvi, aquestes altres són falses:R: L’àrgon és un gas noble i l’any té 400 diesS: Jaume Roig no fou un home

Els connectors es representen amb símbols especials:

3

representa la negació lògica. Per exemple, si P és la proposició Jaume Roigfou un home, aleshores la proposició Jaume Roig no fou un home esrepresenta d’aquesta manera: P (que es llegeix “no P”).

∨ representa la disjunció lògica. Per exemple, si P és la proposició L’àrgon ésun gas noble i Q la proposició L’any té 400 dies, aleshores la proposicióL’àrgon és un gas noble o l’any té 400 dies es representa com P ∨Q (quees llegeix “P o Q”).

∧ representa la conjunció lògica. Per exemple, si P és la proposició L’àrgon ésun gas noble i Q la proposició L’any té 400 dies, aleshores la proposicióQ: L’àrgon és un gas noble i l’any té 400 dies es representa com P ∧ Q(que es llegeix “P i Q”).

Les proposicions més simples (que no inclouen connectors) s’anomenen àtomso proposicions atòmiques. Les compostes per altres proposicions i connectors s’a-nomenen molècules o proposicions moleculars.

De vegades es representen les proposicions (atòmiques o moleculars) amblletres majúscules (P, Q, R. . . ) i es reserva l’ús de les minúscules per al cas enquè es vol puntualitzar que una proposició és atòmica. Nosaltres, però, faremservir indistintament les majúscules o les minúscules per a representar qualse-vol tipus de proposició.

1.2.1. Ús de parèntesis

Quan una proposició inclou diverses proposicions components o diversos con-nectors caldrà evitar certes ambigüitats. El llenguatge natural inclou moltesd’aquestes ambigüitats, que no es poden admetre en el context lògic. Per exem-ple, l’afirmació

En aquest instant plou i fa sol o està nevantno és clara mentre no introduïm algun signe de puntuació. Com ara,

En aquest instant plou, i fa sol o està nevantEn aquest instant plou i fa sol, o està nevant

Quan representem simbòlicament les proposicions evitarem les ambigüitats mit-jançant l’ús dels parèntesis. En l’exemple que ens ocupa, l’expressió

P ∧Q ∨ R

seria ambigüa (i per tant no pot representar cap proposició). Les possibles ex-pressions correctes són aquestes:

P ∧ (Q ∨ R)(P ∧Q) ∨ R

4

1.2.2. Tipus de Connectors

En lògica matemàtica s’admeten diversos connectors. En aquest apartat defini-rem els més habituals. Primer de tot, recordem els connectors bàsics que ja hemintroduït:

La negació no (simbòlicament, )

P (verbalment, no P) és certa només quan la proposició P és falsa.

Així que si P és falsa, P serà certa i si P és certa, P serà falsa.

La conjunció i (simbòlicament, ∧)

P∧Q (verbalment, P i Q) és certa només quan les dues proposicionsP i Q ho són.

De manera que si una de les dues proposicions P, Q és falsa, també hoserà P ∧Q.

La disjunció o (simbòlicament, ∨)

P ∨ Q (verbalment, P o Q) és certa sempre que almenys una de lesproposicions P i Q ho és.

Això vol dir que P ∨Q és certa en tres casos: quan P és falsa i Q és certa;quan P és certa i Q és falsa i també quan P i Q són certes.

Potser el llenguatge natural és ambigu en aquest punt i algunes personespoden interpretar que P ∨ Q ha de ser certa només quan una de les dues(però no totes dues) proposicions P i Q és certa. En lògica es distingeixaquesta possibilitat mitjançant un altre connector lògic:

La disjunció excloent o . . . o . . . (simbòlicament, 4)

P4Q (verbalment, o P o Q) és certa quan una de les dues proposi-cions P i Q ho és i l’altra no.

És a dir, per a què P4Q siga certa el que ha de passar és que P siga certai Q falsa o que P siga falsa i Q certa. Quan P i Q són les dues certes o lesdues falses, llavors P4Q és falsa. Així doncs, la proposició

L’àrgon és un gas noble o la setmana té 7 dies

és certa (perquè es tracta d’una disjunció i les dues proposicions atòmi-ques que la componen són certes), però

5

O l’àrgon és un gas noble o la setmana té 7 dies

és falsa (perquè es tracta d’una disjunció excloent).

El condicional si . . . aleshores . . . (simbòlicament, →)

P → Q (verbalment, si P aleshores Q) és falsa només quan P és certai Q és falsa.

Cal entendre correctament el significat d’aquest connector: el que afirmaés que si P és una proposició certa aleshores Q també és certa; però nos’afirma res a prop de la certesa de P i Q! Per exemple, la proposició

Si Robert és Déu aleshores els gats volen

és certa, perquè les dues proposicions Robert és Déu i Els gats volen sónfalses.

El bicondicional . . . si i només si . . . (simbòlicament, ↔)

P ↔ Q (verbalment, P si i només si Q) és certa quan les dues pro-posicions P i Q són certes i també quan les dues proposicions sónfalses.

Per exemple, aquestes dues proposicions són certes:

Robert és Déu si i només si els gats volenL’àrgon és un gas noble si i només si la setmana té set dies

1.2.3. Jerarquia de Connectors

Com ja hem comentat abans, quan en una proposició intervenen dos o mésconnectors es poden produir interpretacions ambígües. Per exemple, si definimles següents proposicions

p: hui plouq: demà eixirem a pescarr: pescarem un refredat

i escrivim l’afirmació

Hui plou i si demà eixim a pescar aleshores pescarem un refredat (1)

d’aquesta manera:

p ∧ q → r

6

alguna altra persona podria interpretar que el que volem dir és

Si hui plou i demà eixim a pescar aleshores pescarem un refredat (2)

Per tal d’evitar aquestes imprecissions fem ús dels parèntesis de manera quequede clar a quines proposicions s’aplica cada connector. En el nostre exemple,l’expressió (1) es representaria com p ∧ (q → r), mentre que (2) es representacom (p ∧ q) → r.

Ara bé, per a reduir el nombre de parèntesis necessari per a representarles fórmules proposicionals complexes s’estableix una jerarquia dels connectors.Aquesta és, de major a menor,

↔ → ∧∨

Que la jerarquia d’un connector és més gran que la d’un altre vol dir queen absència de parèntesis el segon s’executa abans que no el primer (l’abastdel connector de jerarquia més gran és major), de manera que, per exemple,l’expressió P ↔ Q la negació s’ha d’aplicar únicament a la proposició P abansd’aplicar la bicondicional; en altres paraules, P ↔ Q és el mateix que (P) ↔Q.

Cal notar que els connectors disjunció i conjunció tenen la mateixa jerarquia,així que en cap cas no es pot escriure P ∧Q ∨ R, perquè no hi ha cap manera dedecidir si aquesta expressió representa (P ∧Q) ∨ R o bé P ∧ (Q ∨ R).

Estudiarem la possibilitat de suprimir els parèntesis en un parell d’exem-ples.Exemple 1

Expressem lògicament la següent afirmació amb el mínim nombrede parèntesis possible:

Si hui plou, aleshores demà no eixirem a pescar o pescaremun refredat

Definint les següents proposicionsP: hui plouQ: demà eixirem a pescarR: pescarem un refredat

podem escriure la proposició d’aquesta manera:

P →((Q) ∨ R

)Però com el condicional té preferència sobre la disjunció i aquesta sobre la

negació, podem suprimir tots els parèntesis i escriure

7

P → Q ∨ R

Exemple 2Fem el mateix amb l’expressió

Hui plou i si demà eixim a pescar aleshores pescarem unrefredat

Fent servir les mateixes proposicions P, Q i R, ja hem vist que aquesta afirmacióes pot expressar simbòlicament com

P ∧ (Q → R)

però ara no hi podem suprimir els parèntesis, perquè l’expressió P∧Q → Rsignificaria Si hui plou i demà eixim a pescar, aleshores pescarem un refredat.

1.3. Fórmules proposicionals

El Càlcul Proposicional és la tècnica que es fa servir per determinar la certesa ofalsedat d’una determinada expressió lògica. Per tal d’estudiar aquesta tècnicahaurem de precisar què s’ha d’entendre per expressió lògica.

Una fórmula proposicional (també anomenada forma proposicional ofunció proposicional) és una expressió composta per

• símbols (normalment lletres) que representen altres fòrmulesproposicionals i que s’anomenen variables proposicionals, i

• connectors i parelles de parèntesis (que asseguren que no hiha ambigüitats).

Cal insistir en la manca d’ambigüitat; per exemple, P ∧ (Q ∨ R) és una fór-mula proposicional, però P ∧Q ∨ R no ho és.

Cal tenir molt clara la diferència entre els conceptes de proposició i de formaproposicional. Una expressió com

P ∧ (Q ∨ R) (3)

és una fórmula proposicional; però només és una proposició quan P, Q i Rsón proposicions concretes. Cal tenir clar que una proposició és necessàriamentvertadera o falsa, mentre que una fórmula proposicional pot ser una cosa ol’altra segons quin siga el valor de veritat de les expressions que la componen.

Per exemple, la forma proposicional (3) pot representar tant la proposicióvertadera

8

Joan és home, i l’àrgon és un gas noble o la setmana té 8 diescom la proposició falsa

Robert és Déu, i l’àrgon és un gas noble o la setmana té 8 dies

1.4. Taules de veritat

Els valors lògics de les fórmules proposicionals es visualitzen mitjançant lestaules de veritat.

La taula de veritat d’una fórmula proposicional és un quadre enquè es mostren els valors de veritat d’aquesta fórmula en funciódels valors de veritat de les variables que hi intervenen.

Les taules de veritat dels connectors definits anteriorment són aquestes:

NegacióP P0 11 0

ConjuncióP Q P ∧Q0 0 00 1 01 0 01 1 1

DisjuncióP Q P ∨Q0 0 00 1 11 0 11 1 1

Disjunció excloentP Q P4Q0 0 00 1 11 0 11 1 0

CondicionalP Q P → Q0 0 10 1 11 0 01 1 1

BicondicionalP Q P ↔ Q0 0 10 1 01 0 01 1 1

Explicarem la manera en què s’ha de construir la taula de veritat d’una fór-mula proposicional complexa mitjançant un exemple.Exemple 3

Taula de veritat de la fórmula proposicional (

P ∧Q → R)

• En primer lloc preparem un quadre amb una columna per a cada variableproposicional. En el nostre cas,

P, Q, R

i una columna addicional per a cada una de les operacions que es fan ambelles per tal de construir l’expressió completa, en el nostre cas,

9

P ∧Q, P ∧Q → R, (

P ∧Q → R)

De manera que el quadre ha de tenir sis columnes:

P Q R P ∧Q P ∧Q → R (

P ∧Q → R)

• Ara combinarem de totes les maneres possibles els valors de veritat de P,Q i R. Com que cada una d’elles pot tenir dos valors (0 i 1), això significaque tindrem 23 = 8 combinacions possibles:

P Q R P ∧Q P ∧Q → R (

P ∧Q → R)

0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1

Us recomanem que organitzeu sempre d’aquesta manera els valors de ve-ritat de les variables: començant per la darrera variable, on alternem zerosi uns; per a la variable anterior la seqüència és de dos zeros i dos uns;a continuació, de quatre zeros i quatre uns i així successivament. Fent-hoaixí, els vuit valors de la seqüència PQR es corresponen amb la representa-ció binària amb tres dígits dels nombres 0, 1, 2, . . . , 7 (000, 001, 010, . . . , 111).1

• La resta de columnes es va completant tenint en compte els valors de ve-ritat dels connectors que hi intervenen. En el nostre cas,

1La taula de veritat d’una fórmula proposicional amb quatre variables tindria 24 = 16 en-trades, que es corresponen amb les representacions binàries (amb quatre dígits) dels nombres0, 1, 2, . . . , 15 (0000, 0001, 0010, . . . , 1111)

10

+ Calculem en primer lloc els valors de P ∧Q:

P Q R P ∧Q P ∧Q → R (

P ∧Q → R)

0 0 0 00 0 1 00 1 0 00 1 1 01 0 0 01 0 1 01 1 0 11 1 1 1

+ En segon lloc els de P ∧Q → R

P Q R P ∧Q P ∧Q → R (

P ∧Q → R)

0 0 0 0 10 0 1 0 10 1 0 0 10 1 1 0 11 0 0 0 11 0 1 0 11 1 0 1 01 1 1 1 1

+ I, finalment, (

P ∧Q → R)

P Q R P ∧Q P ∧Q → R (

P ∧Q → R)

0 0 0 0 1 00 0 1 0 1 00 1 0 0 1 00 1 1 0 1 01 0 0 0 1 01 0 1 0 1 01 1 0 1 0 11 1 1 1 1 0

11

1.5. Tautologies i contradiccionsDefinicions 2

Una tautologia (τ) és una forma proposicional que és sempre certa(independentment del valor lògic de les variables que hi interve-nen).Una contradicció (φ) és una forma proposicional que és sempre fal-sa (independentment del valor lògic de les variables que hi interve-nen).Qualsevol altra forma proposicional és una contingència (és a dir,una contingència és una forma proposicional que pren els dos va-lors lògics).

Una forma senzilla d’esbrinar si una determinada forma proposicional ésuna tautologia, una contradicció o una contingència és construir la corresponenttaula de veritat.

Els exemples més simples de tautologia i de contradicció són aquests:

• P ∨ P és una tautologia2

• P ∧ P és una contradicció

Per comprovar-ho bastarà que construïm les taules de veritat:

P P P ∨ P0 1 11 0 1

P P P ∧ P0 1 01 0 0

En algunes formes proposicionals apareixen explícitament els símbols τ i φque, com ja hem indicat, representen respectivament una tautologia o una con-tradicció. Òbviament, en les taules de veritat corresponents s’ha de considerasempre la variable τ com a vertadera i φ com a falsa. Per exemple, la taula deveritat de la forma proposicional (τ ∧ P) → (Q ∧ φ) és la següent:

P Q τ φ P τ ∧ P Q ∧ φ (τ ∧ P) → (Q ∧ φ)0 0 1 0 1 1 0 00 1 1 0 1 1 0 01 0 1 0 0 0 0 11 1 1 0 0 0 0 1

En la pròxima unitat temàtica estudiarem les tautologies que es fan servirhabitualment.

2Així que «to be or not to be» no és cap problema.

12

Unitat Temàtica 2. Equivalències i implicacions. In-ferència en el càlcul proposicio-nal

Per a simplificar expressions lògiques i per a poder determinar els seus valorsde veritat es poden fer servir diverses tautologies.

2.1. Equivalència tautològicaDefinició 1

Si l’expressió bicondicional P ↔ Q és una tautologia, aleshores lidiem equivalència (tautològica) i escrivim P ⇔ Q o P ≡ Q, que esllig

P és equivalent a Q

També direm que les funcions proposicionals P i Q són equivalents.

Exemple 4Provem la propietat commutativa de la disjunció

P ∨Q ≡ Q ∨ P

Per comprovar aquesta afirmació construïm la taula de veritat de P ∨Q ↔ Q ∨P:

P Q P ∨Q Q ∨ P P ∨Q ↔ Q ∨ P0 0 0 0 10 1 1 1 11 0 1 1 11 1 1 1 1

Com que la darrera columna d’aquesta taula només conté uns, la bicondicionalés una equivalència. Ara bé, és evident que aquesta darrera columna no té capzero perquè les dues columnes corresponents a P ∨ Q i Q ∨ P són idèntiques.En altres paraules dues formes proposicionals P i Q són equivalents quan tenen lamateixa taula de veritat, de manera que, per a estudiar si P i Q són equivalents,en comptes de comprovar si la taula de veritat de l’expressió P ↔ Q nomésconté uns, podem veure si les taules de veritat de P i de Q són iguals.

13

Exemple 5Comprovem la següent propietat (una de les LLeis De Morgan):(P ∨Q) ≡ P ∧ Q

Construïm la taula de veritat de (P ∨Q) i la de P ∧ Q:

P Q P ∨Q (P ∨Q) P Q P ∧ Q0 0 0 1 1 1 10 1 1 0 1 0 01 0 1 0 0 1 01 1 1 0 0 0 0

Les dues columnes marcades en negreta són idèntiques, de manera que efecti-vament (P ∨Q) ≡ P ∧ Q.

Els quadres 1–3 mostren les equivalències que farem servir habitualment.

14

En primer lloc, les propietats algebraiques bàsiques de la disjunció i la con-junció, que anomenarem propietats booleanes (quadre 1).

Quadre 1: Propietats booleanes de la disjunció i la conjuncióPropietats associatives P ∨ (Q ∨ R) ≡ (P ∨Q) ∨ R

P ∧ (Q ∧ R) ≡ (P ∧Q) ∧ R

Propietats commutatives P ∨Q ≡ Q ∨ PP ∧Q ≡ Q ∧ P

Propietats distributives P ∨ (Q ∧ R) ≡ (P ∨Q) ∧ (P ∨ R)P ∧ (Q ∨ R) ≡ (P ∧Q) ∨ (P ∧ R)

Elements neutres P ∨ φ ≡ PP ∧ τ ≡ P

Complementarietat P ∨ P ≡ τ

P ∧ P ≡ φ

Les propietats associatives i commutatives són semblants a les propietats delmateix nom típiques de l’àlgebra numèrica (com ara, a + b = b + a).

En canvi, les dues operacions ∨ i ∧ són mútuament distributives (en les ope-racions aritmètiques, el producte és distributiu respecte a la suma, però la sumano ho és respecte al producte!).

Les propietats associatives ens permeten suprimir els parèntesis quan s’a-pliquen conjuncions o disjuncions a més de dues variables proposicionals; perexemple, com que P ∧ (Q ∧ R) és equivalent a (P ∧ Q) ∧ R, escriurem simple-ment P ∧ Q ∧ R. Anàlogament, expressions com P ∨ Q ∨ S ∨ T tampoc no sónambigües.

Les quatre últimes pròpietats fan referència a les tautologies i les contradic-cions: en primer lloc, φ és el neutre de la disjunció i τ l’és de la conjunció; i,finalment, les propietats de complementarietat són probablement les tautologi-es més òbvies:

Plou i no ploués una contradicció, mentre que

Plou o no ploués una obvietat.

15

A continuació llistem altres equivalències importants.

Quadre 2: Altres propietats de la disjunció, la conjunció i la negacióElements absorbents P ∨ τ ≡ τ

P ∧ φ ≡ φ

Idempotència P ∧ P ≡ PP ∨ P ≡ P

Lleis De Morgan (P ∨Q) ≡ P ∧ Q(P ∧Q) ≡ P ∨ Q

Propietats simplificatives P ∨ (P ∧Q) ≡ PP ∧ (P ∨Q) ≡ P

La doble negació equivala l’afirmació

P ≡ P

Notem que els elements neutres de cada un dels connectors ∨ i ∧ es com-porta com absorbent per a l’altre connector.

El següent exemple ens pot ajudar a entendre el significat de les lleis DeMorgan:

No és cert que hui és diumenge i anem al cineés equivalent a

Hui no és diumenge o no anem al cine.

Quadre 3: Propietats del connector condicionalCondicional-disjunció P → Q ≡ P ∨Q

Condicional-bicondicional (P → Q) ∧ (Q → P) ≡ (P ↔ Q)

Transposició P → Q ≡ Q → P

Llei d’exportació (P ∧Q) → R ≡ P → (Q → R)

Finalment, les equivalències del quadre 3 fan referència als connectors con-dicional i bicondicional.

Les dues primeres mostren que en realitat aquests connectors són innecessa-ris, perquè qualsevol expressió lògica que els continga és equivalent a una altraen la qual només apareguen disjuncions, conjuncions i negacions.

16

Com a exemple de la propietat de transposició podem enunciar el següent:les afirmacions

Si hui és diumenge aleshores anem al cineSi no anem al cine aleshores hui no és diumenge.

són equivalents.

2.1.1. Simplificació d’expressions lògiques

Totes aquestes equivalències es poden fer servir per tal de simplificar una de-terminada forma proposicional, és a dir, trobar-ne una altra d’equivalent i méssenzilla. La base del mètode consisteix en què qualsevol formula proposicionalpot substituir-se per una altra d’equivalent.Exemple 6

Simplifiquem la forma proposicional

(P → R) → (R ∧ P)

Aplicant successivament diverses equivalències obtenim:

(P → R) → (R ∧ P) ≡ (P → R) ∨ (R ∧ P) Condicional-disjunció

( P → R ) ∨ (R ∧ P) ≡ ( P ∨ R ) ∨ (R ∧ P) Condicional-disjunció

( P ∨ R ) ∨ (R ∧ P) ≡ (P ∧ R) ∨ (R ∧ P) Llei De Morgan

(P ∧ R) ∨ (R ∧ P) ≡ (P ∧ R) ∨ (R ∧ P) Doble negació

(P ∧ R) ∨ ( R ∧ P ) ≡ (P ∧ R) ∨ ( P ∧ R ) Prop. commutativa

(P ∧ R) ∨ (P ∧ R) ≡ P ∧ R Idempotència

2.2. Implicacions tautològiques

Definició 2Si l’expressió condicional P → Q és una tautologia, aleshores li di-em implicació (tautològica) i escrivim P ⇒ Q, que es llig

P implica Q

També es diu que P és l’antecedent i Q és el conseqüent de la impli-cació.

17

Exemple 7Provem la implicació

Q ⇒ (P → Q)

Aquesta propietat es coneix com implicació condicional

Construïm la taula de veritat de Q → (P → Q) i comprovem que es tracta d’unatautologia:

P Q P → Q Q → (P → Q)0 0 1 10 1 1 11 0 0 11 1 1 1

També podem provar aquesta propietat fent servir les equivalències que jaconeixem:

Q → (P → Q) ≡ Q ∨ (P → Q) Condicional-disjunció

≡ Q ∨ (P ∨Q) Condicional-disjunció

≡ Q ∨Q ∨ P Commutativa i associativa

≡ τ ∨ P Complementarietat≡ τ Absorbent

Les implicacions tautològiques més usuals s’enumeren al quadre 4.

2.3. Inferència en el Càlcul ProposicionalDefinició 3

La inferència és el procès que permet arribar a una conclusió partintd’unes premisses.Consisteix en una successió finita de passos en els quals es fan servirles lleis de la inferència. (El quadre 5 mostra les lleis de la inferènciatal com les farem servir en aquest curs).

En altres paraules, l’objectiu del procès d’inferència és provar que la conclu-sió és una proposició certa suposant que les premisses són proposicions certes.Cada pas de la inferència consisteix en la introducció d’una conclusió parcialque es dedueix de les premisses fent servir les lleis de la inferència i les tautolo-gies que ja coneixem. Aquesta conclusió parcial es pot fer servir com una novapremissa.

18

Quadre 4: Implicacions tautològiques més usualsSimplificació P ∧Q ⇒ P

P ∧Q ⇒ Q

Addició P ⇒ P ∨Q

Condicional Q ⇒ (P → Q)

Sil.logisme hipotètic (P → Q) ∧ (Q → R) ⇒ (P → R)

Sil.logisme disjuntiu (P → Q) ∧ (R → S) ∧ (P ∨ R) ⇒ (Q ∨ S)(P → Q) ∧ (R → S) ⇒ ((P ∨ R) → (Q ∨ S))

Modus ponens (P → Q) ∧ P ⇒ Q

Modus tollens (P → Q) ∧ Q ⇒ P

Modus tollendo ponens (P ∨Q) ∧ P ⇒ Q

En els següents apartats explicarem quines són les tècniques més habitualsque es fan servir en els procesos d’inferència.

2.3.1. Inferència directa

La inferència directa consisteix a arribar a la conclusió directament a partir de lespremisses.Exemple 8

Provem que de les premisses

P1: P → QP2: Q → (S → R)P3: P ∧ R

es dedueix la conclusió S.

Tenint en compte les implicacions anomenades simplificació (P ∧ Q ⇒ P iP ∧ Q ⇒ Q) i la llei d’ús de les implicacions tautològiques, com que tenimla premissa P∧ R podem concloure P i també R. Afegim aquestes conclusionsparcials a la nostra llista de premisses:

19

Quadre 5: Lleis de la inferència

Llei de les premissesUna premissa pot ser utilitzada en qualsevol pas de la inferència.

Llei de la unióSi en un pas de la inferència es té la premissa P i en un altre la pre-missa Q, aleshores es pot introduir la nova premissa P ∧Q.

Llei d’inserció de tautologiesEn qualsevol pas es pot introduir una tautologia.

Llei d’ús de les implicacions tautologiquesSi en un pas es té l’antecedent d’una implicació tautològica aleshoresse’n pot concloure el conseqüent.

Llei d’ús de les equivalències tautològiques Qualsevol forma proposi-cional pot ser substituïda per una altra de tautològicament equiva-lent.

P1: P → QP2: Q → (S → R)P3: P ∧ RP4: P Simplificació (3)P5: R Simplificació (3)

(observeu com anotem la justificació d’aquest pas indicant la tautologia que s’hiaplica).

Segon pas: de les premisses P1 (P → Q) i P4 (P), per la llei de la unió po-dem introduir la premissa (P → Q) ∧ P. Aleshores, fent servir el modus ponenspodem concloure Q:

P1: P → QP2: Q → (S → R)P3: P ∧ RP4: P Simplificació (3)P5: R Simplificació (3)P6: Q Modus ponens(1,4)

20

Novament podem aplicar el modus ponens a les premisses P2(

Q → (S → R))

i P6 (Q) per a obtenir S → R.

P1: P → QP2: Q → (S → R)P3: P ∧ RP4: P Simplificació (3)P5: R Simplificació (3)P6: Q Modus ponens(1,4)P7: S → R Modus ponens(2,6)

Ara, per transposició de la premissa P7

P1: P → QP2: Q → (S → R)P3: P ∧ RP4: P Simplificació (3)P5: R Simplificació (3)P6: Q Modus ponens(1,4)P7: S → R Modus ponens(2,6)P8: R → S Transposició (7)

I com que la doble negació equival a l’afirmació,

P1: P → QP2: Q → (S → R)P3: P ∧ RP4: P Simplificació (3)P5: R Simplificació (3)P6: Q Modus ponens(1,4)P7: S → R Modus ponens(2,6)P8: R → S Transposició (7)P9: R → S Doble negació (8)

Finalment, de les premisses P9 i P5 obtenim (m. ponens) la conclusió quecercavem.

21

P1: P → QP2: Q → (S → R)P3: P ∧ RP4: P Simplificació (3)P5: R Simplificació (3)P6: Q Modus ponens(1,4)P7: S → R Modus ponens(2,6)P8: R → S Transposició (7)P9: R → S Doble negació (8)C: S Modus ponens(9,5)

Exemple 9Formulem simbòlicament i justifiquem el següent enunciat:

Si F. Alonso no guanya el mundial de Fórmula 1, els seguidors de Schu-macker ho cel.lebraran i Renault no li renovarà el contracte a F. Alonso.Si F. Alonso guanya el mundial de Fórmula 1, a Astúries faran una granfesta.Els seguidors de Schumacker no ho cel.lebraran. Per tant, a Astúriesfaran una gran festa.

Primer de tot elegim les següents proposicions:P: F. Alonso guanya el mundial de Fórmula 1Q: Els seguidors de Schumacker ho cel.lebraranR: Renault li renovarà el contracte a F. AlonsoS: A Astúries faran una gran festa

Ara podem formular l’enunciat en els següents termes:

P1: P → Q ∧ RP2: P → SP3: QC: S

Els passos de la inferència poden ser els següents:

P1: P → Q ∧ RP2: P → SP3: QP4: (Q ∧ R) → P Transposició (1)P5: Q ∨ R → P De Morgan (4)P6: Q ∨ R Addició (3)P7: P Modus ponens (5,6)C: S Modus ponens (2,7)

22

2.3.2. Inferència condicional

La inferència condicional es basa en l’equivalència

P → (Q → R) ≡ P ∧Q → R

Tenint en compte aquesta equivalència, quan la conclusió és una condicionalQ → R el que farem serà afegir Q a les premisses i deduir-ne R per inferènciadirecta.Exemple 10

De les premisses

P1: U ∧Q → RP2: U ∨Q → PP3: R → P

es dedueix la conclusió U → Q.

Com que la conclusió és una condicional el que farem serà afegir U com a pre-missa i deduir Q:

P1: U ∧Q → RP2: U ∨Q → PP3: R → PP4: U Premissa auxiliarP5: U ∨Q Addició (4)P6: P Modus ponens (2,5)P7: R Modus tollens (3,6)P8: U ∧Q Modus tollens (1,7)P9: U ∨ Q Llei De Morgan (8)C: Q Modus ponens (4,8)

En realitat, hem provat que P1 ∧ P2 ∧ P3 ∧U ⇒ Q, però això és equivalent aP1∧ P2∧ P3 ⇒ U → Q, que era el que volíem provar.

2.3.3. Inferència bicondicional

Quan la conclusió és un bicondicional (P ↔ Q) es fa servir l’equivalència condicional-bicondicional, (P ↔ Q) ⇔ (P → Q) ∧ (Q → P), per a descompondre el pro-blema en dos: en primer lloc es prova que de les premisses s’infereix P → Q idesprés es fa el mateix amb Q → P.

23

Exemple 11Comprovem que de les premisses

P1: (P ∧ Q)P2: S → QP3: P ∨ S

es pot concloure P ↔ Q.

El mètode bicondicional consisteix en descomposar el problema en:

Condicional directe:

De les premisses

P1: (P ∧ Q)P2: S → QP3: P ∨ S

es pot concloure P → Q.

Condicional recíproc:

De les premisses

P1: (P ∧ Q)P2: S → QP3: P ∨ S

es pot concloure Q → P.

Per a cadascun d’aquests problemes aplicarem el mètode condicional:

Condicional directe:

P1: (P ∧ Q)P2: S → QP3: P ∨ SP4: P Premissa auxiliarP5: P ∨Q De Morgan (1)C: Q Modus ponens (5,4)

Condicional recíproc:

P1: (P ∧ Q)P2: S → QP3: P ∨ SP4: Q Premissa auxiliarP5: S Modus tollens (2,4)C: P Modus ponens (3,5)

24

2.3.4. Inferència per reducció a l’absurd

Aquest mètode consisteix en fer el següent raonament: per a provar que de Pes dedueix Q, suposem que Q és falsa; si a partir d’aquí arribem a un absurd(a una contradicció), aleshores Q haurà de ser certa. Formalment, el mètode esbasa en la tautologia

P ∧ Q → φ ≡ P → Q

En la pràctica, introduirem Q com a premissa auxiliar i mirarem d’arribar auna contradicció.Exemple 12

De les premisses

P1: P → Q ∧ SP2: P → RP3: Q

es dedueix la conclusió R.

Farem una inferència per reducció a l’absurd:

P1: P → Q ∧ SP2: P → RP3: QP4: R Premissa auxiliar (reducció a l’absurd)P5: P Modus tollens (2,4)P6: Q ∧ S Modus ponens (1,5)P7: Q Simplificació (6)P8: Q ∧ Q Addició (7,3)P9: φ Complementarietat

Així doncs, les premisses P1, P2 i P3 són incompatibles amb R, de manera queR ha de ser cert.

25

Unitat Temàtica 3. Càlcul de Predicats. Inferència

Si limitem la lògica matemàtica al càlcul proposicional no és possible justificarraonaments de l’estil del sil.logisme clàssic

Tots els homes són mortals.Aristòtil és home.Per tant, Aristòtil és mortal.

Par això ens cal enriquir la nostra teoria amb la introducció de proposicionsque es puguen aplicar a individus i col.lectivitats d’individus, de manera quehi tinguen cabuda expressions del estil de tots els homes o algunes dones. Ambaquesta finalitat introduïm el Càlcul de Predicats.

3.1. Predicats

En el càlcul proposicional partíem d’unes proposicions atòmiques, que consi-deravem indivisibles. El càlcul de predicats (o lògica de primer ordre) parteixd’un univers d’objectes o individus que anomenarem termes o variables i de de-terminades expressions que s’anomenen predicats. Aleshores, una proposició ésl’aplicació d’un predicat a un determinat terme o, com veurem de seguida a totso a alguns termes.

Per exemple, en les proposicions−3 és un nombre enter3 és divisible per 2Antoni és més gran que Lluís

−3, 3 i 2 són termes (en l’univers dels nombres enters); i també Antoni i Lluíssón termes (per exemple, en l’univers dels estudiants d’una assignatura); «serun nombre enter», «ser divisible per» i «ser més gran que» són predicats.

Normalment representarem els individus amb lletres minúscules i els pre-dicats amb majúscules. Quan afirmem el predicat P de l’individu a escriuremP(a).

Tornant als exemples anteriors, podem simbolitzar-los d’aquesta manera:

Predicats

P(n): «n és un nombre enter»Q(m, n): «m és divisible per n»R(a, b): «a és més gran que b»

Proposicions

P(−3): −3 és un nombre enter

Q(3, 2): 3 és divisible per 2

26

R(a, l) : Antoni és més gran que Lluís

De la mateixa manera que es fa amb les funcions matemàtiques quan ensreferim a un individu indeterminat o genèric se solen fer servir les lletres x, y...Per exemple, P(x) s’interpretaria com x és un nombre enter.

3.2. Quantificadors

Les proposicionsTots els homes són mortalsAlguns valencians són arquitectesCap nombre negatiu no té arrel quadrada real

afirmen propietats de tots o d’alguns dels membres de l’univers. Per simbolitzar-les es fan servir els quantificadors:

• El quantificador universal ∀, (que es llegeix per a tot) es fa servir per a afir-mar un predicat de tots els membres de l’univers.

• El quantificador existencial ∃ (que es llegeix existeix) serveix per a afirmarun predicat d’algun o alguns dels membres de l’univers.

Per exemple, elegint com a predicatsP(x): «x és mortal» (en l’univers dels homes)Q(x): «x és arquitecte» (en l’univers dels valencians)R(x): «x és negatiu» i S(x): «x té arrel quadrada real» (en l’univers delsnombres reals)

les afirmacions anteriors s’expressen simbòlicament d’aquesta manera:Tots els homes són mortals: ∀x P(x)Alguns valencians són arquitectes: ∃x Q(x)Cap nombre negatiu no té arrel quadrada real: ∀x (R(x) → S(x))

Definició 4Una funció proposicional en el càlcul de predicats és una expres-sió del tipus P(x1, x2, . . . , xn) on P és un predicat i x1, x2, . . . , xn sóntermes.

Una funció proposicional pot ser composta d’altres funcions proposicionalsrelacionades mitjançant algun connector lògic (com ara, R(x) → S(x)). Si lafunció proposicional requereix 1, 2, 3, . . . , n individus direm que és unària, bi-nària, ternària..., n-ària.

x és mortal: P(x)x és arquitecte: Q(x)

27

són funcions proposicionals unàries ix és més gran que y: R(x, y)

és una funció proposicional binària.Cal notar que una funció proposicional no és una proposició mentre no es

concreten els individus (com ara, Q(a): Antoni és arquitecte) o mentre no esquantifica (com ara, ∀x Q(x): Tots els valencians són arquitectes).3

3.3. Inferència en el Càlcul de Predicats

A les tautologies que estudiavem a l’apartat anterior n’afegirem d’altres que fanreferència a l’ús dels quantificadors (vegeu el quadre 6).

Quadre 6: Tautologies i quantificadorsNegació dels quantificadors ∀x P(x) ≡ ∃x P(x)

∃x P(x) ≡ ∀x P(x)Disjunció i conjunció ∀x

(P(x) ∧Q(x)

)≡

(∀x P(x)

)∧

(∀x Q(x)

)∃x

(P(x) ∨Q(x)

)≡

(∃x P(x)

)∨

(∃x Q(x)

)(∀x P(x)

)∨

(∀x Q(x)

)⇒ ∀x

(P(x) ∨Q(x)

)∃x

(P(x) ∧Q(x)

)⇒

(∃x P(x)

)∧

(∃x Q(x)

)

Com a exemple de la primera equivalència, observem que l’afirmacióNo tots els valencians són arquitectes

és equivalent aAlgun valencià no és arquitecte.

Les dues primeres equivalències del quadre 6 poden entendre’s com a ge-neralitzacions de les lleis De Morgan: en un univers amb només dos indivi-dus (a i b), l’afirmació ∀x P(x) ≡ ∃x P(x) és equivalent a (P(a) ∧ P(b)) ≡P(a) ∨ P(b).

Convé remarcar que les dues últimes tautologies són únicament implicaci-ons i no equivalències. En altres paraules, les afirmacions

∀x(

P(x) ∨Q(x))⇒

(∀x P(x)

)∨

(∀x Q(x)

)(∃x P(x)

)∧

(∃x Q(x)

)⇒ ∃x

(P(x) ∧Q(x)

)són falses. Per exemple les afirmacions

Tot nombre natural és parell o senarAlgun nombre natural és parell i algun nombre natural és senar

són certes. Però3Afortunadament aquesta és una proposició falsa.

28

Tot nombre natural és parell o tot nombre natural és senarAlgun nombre natural és parell i senar

són evidentment falses.Finalment, el quadre 7 mostra les lleis de la inferència relatives a l’ús dels

quantificadors (observem que aquestes lleis regulen el pas del genèric al con-cret, és a dir, el pas d’expressions quantificades a expressions que no contenenquantificadors, i viceversa).

Quadre 7: Lleis de la inferència específiques del càlcul de predicats

Especificació universal (EU) Si ∀x P(x) és cert, aleshores P(x) és certa pera cada membre en particular (o, si es vol, per a un membre genèric).És a dir, si tenim ∀x P(x) podem deduir P(y) per a un membre ge-nèric y o P(a) per a qualsevol membre concret a.

Especificació existencial (EE) Si ∃x P(x), aleshores P(a) és certa per a unmembre (concret). És a dir, si tenim ∃x P(x) podem deduir P(a) pera algun a.

Generalització universal (GU) Si P(y) és certa per a qualsevol membrede l’univers, aleshores és certa per a tots els membres. És a dir, sitenim P(y) on y representa qualsevol membre aleshores podem de-duir ∀x P(x).

Generalització existencial (GE) Si P(a) és certa per a un membre concretde l’univers, aleshores existeix algun membre de l’univers per alqual és certa. És a dir, si tenim P(a) per a algun membre a podemdeduir ∃x P(x).

3.3.1. Exemples

Com a primer exemple d’inferència en el càlcul de predicats, podem justificarel sil.logisme clàssic:

Tots els homes són mortalsAristòtil és homePer tant, Aristòtil és mortal

Ací farem servir l’univers dels éssers vius i els predicats

29

P(x): «x és home»Q(x): «x és mortal»

i representarem Aristòtil amb la lletra a. Aleshores, les nostres premisses són:

P1: ∀x(

P(x) → Q(x))

P2: P(a)

i la conclusió és

C: Q(a)

Per arribar-hi, apliquem la llei d’especificació universal a la primera premissa:com que P(x) → Q(x) és certa per a tots els membres de l’univers, llavorsP(a) → Q(a) és certa.

P1: ∀x(

P(x) → Q(x))

P2: P(a)P3: P(a) → Q(a) Especificació universal (1)C: Q(a) Modus ponens (3,2)

Vegem un altre exemple més complex: provem que aquesta deducció és cor-recta:

Alguns aficionats al futbol són també aficionats al bàsquetEls aficionats al futbol no van al cine els diumenges per la vespradaPer tant, algun aficionat al bàsquet no va al cine els diumenges per lavesprada

Com a univers podem elegir les persones i com a predicats,P(x): «x és aficionat al futbol»Q(x): «x és aficionat al bàsquet»R(x): «x va al cine els diumenges per la vesprada»

Aleshores del que es tracta és de justificar que de les premisses

P1: ∃x (P(x) ∧Q(x))P2: ∀x (P(x) → R(x))

es dedueix la conclusió

C: ∃x (Q(x) ∧ R(x))

Podem seguir els següents passos:

30

P1: ∃x (P(x) ∧Q(x))P2: ∀x (P(x) → R(x))P3: P(a) ∧Q(a) Especificació Existencial (1)

(a és un membre concret de l’univers)P4: P(a) → R(a) Especificació Universal (2)

(Com que P(x) → R(x) és certper a qualsevol membre de l’univers,

ho és per al membre a)P5: P(a) Simplificació (3)P6: Q(a) Simplificació (3)P7: R(a) Modus ponens (4,5)P8: Q(a) ∧ R(a) Llei de la unió (6,7)C: ∃x (Q(x) ∧ R(x)) Generalització existencial (8)

31

Unitat Temàtica 4. La demostració en Matemàtiquesi el principi d’inducció

Per a justificar la validesa de les afirmacions que s’hi fan, les Matemàtiquesfan servir el mètode lògico-deductiu: a partir de les definicions pròpies de lateoria i de certes proposicions que s’accepten com a certes (els axiomes) es vadesenvolupant la teoria mirant d’introduir noves definicions i provar la certesade noves proposicions, que s’anomenen teoremes. Si fem servir el llenguatgede la lògica, els teoremes són les tautologies que es poden inferir a partir delsaxiomes.

Molt sovint els teoremes s’expressen en la forma P ⇒ Q. Aleshores, lesproposicions P s’anomenen hipòtesis i Q s’anomena tesi.

4.1. Els mètodes de demostració

El procès d’inferència per deduir Q a partir de P és la demostració. Els mètodesdeductius que hem exposat en estudiar el problema de la inferència són la based’alguns dels mètodes habituals de demostració (els mètodes directe, condicio-nal, bicondicional i de reducció a l’absurd).

Un exemple típic del mètode de reducció a l’absurd és la prova de què√

2no és un nombre racional.Exemple 13

Demostrem que no existeix cap nombre racional q de manera queq2 = 2.

Farem servir el mètode de reducció a l’absurd, de manera que suposarem queexisteix un nombre racional q que elevat al quadrat dóna 2: q2 = 2.

Recordem que els nombres racionals es poden escriure com a fraccions irre-duïbles, és a dir, que el nombre q es pot expressar en la forma q = m/n on m i nsón enters, n no és zero i m i n no tenen més divisors comuns que 1 i −1.

Aleshores, elevant al quadrat q = m/n tindrem

q2 =m2

n2 = 2

O, equivalentment

m2 = 2n2 (4)

De manera que m2 és un nombre parell i, en conseqüència, m també és parell.Però si m és parell el podrem escriure com m = 2p on p també és un nombre

32

enter i l’equació (4) es pot escriure d’aquesta manera:

(2p)2 = 2n2

4p2 = 2n2

2p2 = n2

la qual cosa significa que n2 és parell i per tant, n també és parell.En definitiva, tant m com n són parells i, en conseqüència, m/n no és una

fracció irreduïble en contra del que havíem dit en començar la demostració.Això és absurd i, per tant, l’afirmació «existeix un nombre racional que ele-

vat al quadrat dóna 2» és falsa. �(El quadradet (�) es fa servir habitualment per indicar la fi d’una demostració.)

4.2. Els nombres naturals i el mètode d’inducció

Els nombres naturals són els nombres de comptar:

1, 2, 3, . . .

En molts texts s’inclou el zero en entre els nombres naturals, però per raonshistòriques és més raonable no considerar-lo com a tal.

Per a provar que tots el nombres naturals satisfan la propietat P, no es pot feruna prova exhaustiva (demostrar la propietat un a un per a tots els nombres),perquè n’hi ha infinits.

Per això es fa servir el mètode d’inducció:1. Es prova que el nombre 1 satisfà la propietat P

2. Es prova que si el nombre n satisfà P aleshores n + 1 tambésatisfà la propietat P.

De manera informal és bastant fàcil convèncer-se de que aquest mètode de-mostra efectivament la propietat P per a tots els nombres naturals: suposemque hem provat els dos punts anteriors; llavors ja sabem que el nombre 1 satisfàla propietat P, així que, com que 1 satisfà P, aleshores 2 també satisfà aquestapropietat; però llavors 3 també compleix la propietat, i, en conseqüència, el 4 lasatisfà, i així successivament.

Vegem-ne alguns exemples típics:

33

Exemple 14Provem que la suma dels p primers nombres naturals és

p

∑m=1

m =p(p + 1)

2

Demostració: Procedirem pel mètode d’inducció:

1. La propietat és certa quan p = 1:

1

∑m=1

m = 1 =1(1 + 1)

2

2. Ara suposem que la propietat és certa quan p = n, és a dir, que

n

∑m=1

m =n(n + 1)

2

i mirem de demostrar-la per al nombre n + 1, és a dir, pretenem provar que

n+1

∑m=1

m =(n + 1)(n + 2)

2

Com que sabem quant val la suma fins a n, separem l’últim terme en la suma finsa n + 1...

n+1

∑m=1

m =n

∑m=1

m + (n + 1)

i substituïm la suma fins a n pel seu valor

=n(n + 1)

2+ (n + 1)

Finalment manipulem algebraicament aquesta expressió per a obtenir el resultatque desitgem

=n(n + 1) + 2(n + 1)

2

=(n + 1)(n + 2)

2�

34

Exemple 15De quantes maneres distintes es pot ordenar una col.lecció de p ob-jectes distints?

Començarem estudiant els casos p = 1, p = 2, p = 3, p = 4 per tal de veure sisom capaços d’intuir la resposta:

1. Si p = 1, tenim un únic objecte, de manera que només el podem ordenard’una manera.

2. Si p = 2, diguem que els objectes són a i b. Aleshores hi tenim duesordenacions possibles: [a, b] i [b, a].

3. Si p = 3, anomenant a, b i c als tres objectes tindrem les següents possibi-litats:

[a, b, c], [a, c, b], [c, a, b], [b, a, c], [b, c, a], [c, b, a]

és a dir, 6.

Observem que aquestes sis possibilitats es poden formar a partir de lesdues ordenacions [a, b] i [b, a] del cas anterior afegint a cada una d’ellesl’element c en les tres posicions possibles: al davant, en segona posició oen tercera posició; per això el resultat és el producte: 2 · 3 = 6

4. Per p = 4 podríem construir explícitament totes les ordenacions possibles.Però tenint en compte l’observació que acabem de fer, podem trobar elresultat notant que si a cadascuna de les sis ordenacions de tres elementsafegim un quart element d en les quatre posicions possibles (en primer,segon, tercer o quart lloc) n’obtindrem 6 · 4 = 4!.

Així doncs, és raonable pensar que el nombre d’ordenacions possibles d’una col-lecció de p objectes distints és p! i ara es tracta de provar-ho pel mètode d’inducció:

1. La propietat és certa si p = 1, perquè hi ha 1 = 1! manera única d’ordenaruna col.lecció amb un sol objecte.

2. Suposant que la propietat és certa per a p = n, és a dir, que una col.leccióamb n objectes distints es pot ordenar de n! maneres, mirem de provar-laper a una col.lecció de n + 1 objectes.

Si anomenem a1, a2, . . . , an, an+1 a tots aquests objectes, aleshores la col-lecció a1, a2, . . . , an es podrà ordenar de n! maneres distintes. Afegint l’ob-jecte an+1 a cada una d’aquestes ordenacions en les n + 1 posicions possi-bles obtindrem un total de n!(n + 1) = (n + 1)! possibles ordenacions. Iaixò era el que preteníem provar. �

35

El mètode d’inducció es pot generalitzar per a provar que tots els nombresenters a partir d’un determinat compleixen una propietat: Per a provar quetots el nombres enters a partir de p (p, p + 1 . . .) satisfan la propietat P es fa elsegüent:

1. Es prova que el nombre p satisfà la propietat P

2. Es prova que si el nombre n satisfa P aleshores n + 1 també satisfà la pro-pietat P.

En el següent exemple provarem una propietat que es compleix per a n =0, 1, 2, 3, . . .Exemple 16

Provem que si r 6= 1, la suma dels primers termes de la progressiógeomètrica

a0, a1 = a · r, a2 = a1 · r, a3 = a2 · r, . . . , am+1 = am · r, . . .

ésp

∑m=0

am = a0 + a1 + · · ·+ ap = a01− rp+1

1− r

1. Primer de tot, comprovem la propietat per a p = 0:

0

∑m=0

am = a0 = a01− r0+1

1− r

2. Ara suposem que la propietat és certa quan p = n, és a dir, que

n

∑m=0

am = a01− rn+1

1− r

i tractem de provar-la quan p = n + 1; el que volem demostrar és que

n+1

∑m=0

am = a01− rn+2

1− r

Ara bé,

n+1

∑m=0

am =n

∑m=0

am + an+1

36

Substituïm la fórmula que suposem certa

= a01− rn+1

1− r+ an+1

= a01− rn+1

1− r+ a0rn+1

= a0(1− rn+1) + (1− r)rn+1

1− r

= a01− rn+1 + rn+1 − rn+2

1− r

= a01− rn+2

1− r�

4.2.1. El principi d’inducció

El mètode d’inducció es basa en una propietat fonamental dels nombres natu-rals, que es pot formular en termes de lògica de predicats de la següent manera:Propietat 1

Principi d’induccióSi P(n) és un predicat en l’univers dels nombres naturals, aleshores

P(1) ∧ (P(n) → P(n + 1)) ⇒ ∀n P(n)

Aquest principi és tan potent que de fet caracteritza el conjunt dels nom-bres naturals: la definició clàssica del conjunt dels naturals es basa en aquestprincipi:

37

Definició 5El conjunt N dels nombres naturals es caracteritza mitjançant elssegüents axiomes:Axiomes de Peano:

1. Existeix un nombre natural que s’anomena 1

2. Tot nombre natural n té un successor, que representem comn + 1

3. Si dos nombres naturals són distints, llavors els seus succes-sors són també distints

4. Tots els nombres naturals, tret de 1, són el successor d’un altrenombre natural

5. Principi d’Inducció: Si A és una col.lecció de nombres naturalsde manera que 1 és un membre de A i de manera que si n ésun membre de A llavors el successor n + 1 també és membrede A, llavors A és el conjunt de tots els nombres naturals.

De fet, el principi d’inducció es fa servir, no només per a provar propietatsdels nombres naturals, sinó fins i tot per a definir operacions, successions denombres...

Per exemple, les progressions geomètriques que hem vist en un exempleanterior, es defineixen de la següent manera:

1. a1 = a · r

2. an+1 = an · r, n = 1, 2, 3, . . .

De manera semblant es defineix la famosa successió de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, . . . ):

1. f1 = 1

2. f2 = 1

3. fn+2 = fn + fn+1, n = 1, 2, 3, . . .

38