Inicio LA DERIVADA DE UNA CONSTANTE es cero. f(x)= x f’(x)= 1 Inicio.
x ,f x )) f x
11
Apellidos:..................................................................... Nombre: ................. Elige una de las dos opciones. Opción A 1ª Evaluación. 1ª Pregunta: a) Diga cuándo un punto ( x 0 ,f ( x 0 )) es de inflexión para una función f ( x ) b) Calcule los coeficientes a y b del polinomio P ( x )≡ ax 3 − 3x 2 + bx +1 para que su gráfica pase por el punto ( 1,1) , teniendo aquí un punto de inflexión. c) Diga, razonadamente, si en el punto ( 1,1) la función P ( x ) es creciente o decreciente. 2ª Pregunta: a) Exprese f ( x )= x· ∣ x ∣ como una función definida a trozos y dibuje su gráfica de forma aproximada. b) Calcule la integral definida ∫ −1 1 x· ∣ x ∣· dx c) Calcule el área del recinto plano limitado por la gráfica de f ( x ) , el eje OX , la recta x = − 1 y la recta x = 1 . 2ª Evaluación 3ª Pregunta: Discutir, según los valores de m , el sistema de ecuaciones lineales 3x −2y + z = m 5x −8y +9z =3 2x + y −3z =−1 } 3ª Evaluación 4ª Pregunta: Halla el punto del plano de ecuación x− z = 3 que está más cerca del punto P ( 3,1 ,4 ) , así como la distancia entre el punto P y el plano dado.
Transcript of x ,f x )) f x
Apellidos:..................................................................... Nombre: .................
Elige una de las dos opciones.
Opción A1ª Evaluación.
1ª Pregunta: a) Diga cuándo un punto (x0 , f (x0)) es de inflexión para una función f ( x)
b) Calcule los coeficientes a y b del polinomio P (x)≡ax3−3x2+bx+1
para que su gráfica pase por el punto (1,1) , teniendo aquí un punto de inflexión.
c) Diga, razonadamente, si en el punto (1,1) la función P (x) es creciente o decreciente.
2ª Pregunta:
a) Exprese f ( x)=x ·∣x∣ como una función definida a trozos y dibuje su gráfica de forma aproximada.
b) Calcule la integral definida ∫−1
1x ·∣x∣· dx
c) Calcule el área del recinto plano limitado por la gráfica de f ( x) , el ejeOX , la recta x=−1 y la recta x=1 .
2ª Evaluación
3ª Pregunta: Discutir, según los valores de m , el sistema de ecuaciones lineales
3x−2y+ z=m5x−8y+9z=32x+ y−3z=−1}
3ª Evaluación
4ª Pregunta: Halla el punto del plano de ecuación x−z=3 que está más cerca del punto P (3,1 ,4 ) , así como la distancia entre el punto P y el plano dado.
Apellidos:..................................................................... Nombre: .................
Elige una de las dos opciones.
Opción B1ª Evaluación.
1ª Pregunta: a) Representar gráficamente la figura plana limitada por la curva y=e x , su recta tangente en el punto de abscisa x=0 , y la recta x=1 .
b) Calcular su área.
2ª Pregunta:
a) Dada la función f (x)=senx+ sen(x+1)
cosx −cos(x+1)en el intervalo 0< x<2π ,
calcula su derivada, simplificándola en lo posible.
b) ¿Es constante esta función f (x) ?
2ª Evaluación.
3ª Pregunta:
a) ¿Para qué valores de t la matriz A=(1 0 40 t 4-1 3 t ) no tiene inversa?
b) Calcular la matriz inversa de A para t=1 , si es posible.c) Llamando B a la inversa de A, si det ( A)=5, ¿cuánto vale det (B) ?
3ª Evaluación
4ª Pregunta: Dados los puntos A (1,2,3 ) y B ( 4,5,6 ) , hallar las coordenadas de un
punto C, de la recta r :x−3
1=
y−1−1
=z
−2, de forma que el triángulo ABC
sea rectángulo en A.
Apellidos:..................................................................... Nombre: .................
Elige una de las dos opciones.
Opción A1ª Evaluación.
1ª Pregunta: a) Diga cuándo un punto (x0 , f (x0)) es de inflexión para una función f ( x)
Solución:(x0 , f (x0)) es un punto de inflexión de f (x) cuando ocurre que
f ' ' (x0)=0 y f ' ' ' (x0)≠0 o si las derivadas sucesivas se anulan, es impar la primera que no lo hace. También se puede decir que será punto de inflexión en x0 cuando éste es un extremo de la función derivada f ' (x) , o lo que es lo mismo, es un punto en el que la derivada pasa de ser creciente a ser decreciente o al revés, y por tanto, la función inicial pasa de ser cóncava a convexa o viceversa.
b) Calcule los coeficientes a y b del polinomio
P (x)≡ax3 −3 x2+ bx+ 1 para que su gráfica pase por el punto (1,1) ,
teniendo aquí un punto de inflexión.
Solución:Si pasa por el punto (1,1) , tiene que cumplirse que 1=a−3+ b+ 1 Además, para que sea punto de inflexión, debe pasar que f ' ' (1)=0 , y por tanto
P (x)=ax3−3x2
+ bx+ 1⇒ P ' (x)=3ax2−6x+ b⇒ P ' ' (x)=6ax−6
P ' ' (1)=6a−6 Para que sea punto de inflexión, 6a−6=0(Además P ' ' (x)=6a≠0 , con lo cual, garantizamos que es un punto de inflexión)Como 6a−6=0 , entonces, 6a−6=0⇒6a=6⇒a=1Y de la primera relación 1=a−3+ b+ 1 obtenemos que
1=1−3+ b+ 1⇒b=2Por tanto, la ecuación será P (x)=x3
−3x2+ 2x+ 1
c) Diga, razonadamente, si en el punto (1,1) la función P (x) es creciente o decreciente. Solución:
P (x)=x3−3x2
+ bx+ 1⇒ P ' ( x)=3x2−6x+ 2
P ' (1)=3 ·12−6 ·1+ 2=−1< 0⇒ Es decreciente en (1,1)
2ª Pregunta:
a) Exprese f (x)=x ·∣x∣ como una función definida a trozos y dibuje su gráfica de forma aproximada.
Solución:f (x)=x ·∣x∣ La vamos a descomponer en trozos:
f (x)=x ·∣x∣={x ·(−x) si x≤0x · x si x> 0
={−x2 si x≤0x2 si x> 0
Su gráfica será:
b) Calcule la integral definida ∫−1
1x ·∣x∣· dx
Solución:
∫−1
1x ·∣x∣· dx=∫−1
0−x2 · dx+∫0
1x2 · dx=
=−[ x3
3 ]−1
0
+ [ x3
3 ]0
1
=−13+
13=0
c) Calcule el área del recinto plano limitado por la gráfica de f (x) , el eje OX , la recta x=−1 y la recta x=1 . Solución:Lo que estamos buscando se puede ver en el siguiente dibujo:Podemos ver que el área buscada coincide con las integrales del apartado anterior, sólo que como es natural, para calcular el área será necesario tomar los valores
absolutos de los resultados anteriores, ya que la ∫−1
0−x2 · dx dará un
resultado negativo (está por debajo del eje x) pero su área es positiva.
Área= ∣∫−1
0−x2 · dx∣+∫0
1x2 · dx=∣−[ x3
3 ]−1
0
∣+ [ x3
3 ]0
1
=13+
13=
23
u2
2ª Evaluación
3ª Pregunta: Discutir, según los valores de m , el sistema de ecuaciones lineales
3x−2y+ z=m5x−8y+ 9z=32x+ y−3z=−1}
Solución:
A=(3 −2 15 −8 92 1 −3) A∗=(
3 −2 1 m5 −8 9 32 1 −3 −1)
Para discutir el sistema de ecuaciones, vamos a aplicar el Teorema de Rouché. Estudiamos, en primer lugar, el rango de la matriz A (de los coeficientes):
∣3 −2 15 −8 92 1 −3∣=3 ·(24−9)+ 2(−15−18)+ (5+ 16)=45−66+ 21=0
Así, el rango de A es 2.Vamos a intercambiar una columna de A por la columna de términos independientes:
∣m 3 −15 −8 92 1 −3∣=m·(15)+ 2 (−9+ 9)+ 1 ·(3−8)=15· m−5
El determinante valdrá 0 si m=13
y valdrá distinto de 0 si m≠13
Si m=13
: rg(A)=2 y rg(A*)=2 y el nº de incógnitas=3 → Se trata de un
sistema compatible indeterminado, con 1 grado de libertad.
A∗=(
3 −2 113
5 −8 9 32 1 −3 −1
)⇒ A∗=(
9 −6 3 15 −8 9 32 1 −3 −1) Hemos multiplicado la
primera ecuación por 3 para facilitar las cuentas.Vamos a ver sus soluciones. Llamamos z=λ y eliminamos la primera ecuación:
A∗=(5 −8 3−9 λ2 1 −1+ 3λ )
Para resolver, puedo utilizar la regla de Kramer en este sistema que ya SÍ es compatible determinado (con el parámetro como término independiente):
x=∣ 3−9 λ −8−1+ 3 λ 1 ∣
∣5 −82 1 ∣
=3−9 λ−(8−24λ)
5+ 16=
3−9λ−8+ 24λ
21=
−5+ 15λ
21
y=∣5 3−9 λ2 −1+ 3λ∣∣5 −82 1 ∣
=(−5+ 15λ)−(6−18λ)
5+ 16=
−11+ 33λ
21
z=λ
Por tanto, las soluciones son: x=−5+ 15λ
21y=
−11+ 33λ
21z=λ
Si m≠13
: rg(A)=2 y rg(A*)=3 → Se trata de un sistema incompatible.
3ª Evaluación
4ª Pregunta: Halla el punto del plano de ecuación x−z=3 que está más cerca del punto P (3,1 ,4 ) , así como la distancia entre el punto P y el plano dado.
Solución:Buscamos el punto del plano π≡x−z=3 que está justo “debajo” de P (3,1 ,4 )(es decir, el que se encuentra en la perpendicular, que puede ser arriba ó abajo ó al lado.. :-)) Para ello, trazaremos la perpendicular al plano π que pasa por P:
la recta tiene como punto P (3,1 ,4 ) y como vector de dirección el vector normal del plano:
r :(x , y , z )=(3,1,4)+ λ(1,0 ,−1) , en paramétricas: r :{x=3+ λ
y=1z=4−λ
El punto de intersección de r :{x=3+ λ
y=1z=4−λ
y π≡x−z=3 será el punto
buscado:Así, 3+ λ−(4−λ)=3⇒3+ λ−4+ λ=3⇒2λ=4⇒λ=2Por tanto, el punto buscado será:
r :{x=3+ λ
y=1z=4−λ
⇒{x=3+ 2
y=1z=4−2
⇒{x=5y=1z=2
Es el punto Q ( 5,1,2 )La distancia del punto al plano la podemos calcular, entonces, de dos formas:Con el módulo del vector : P⃗Q=(5−3,1−1,2−4 )= (2,0 ,−2 )
∣P⃗Q∣=√22+ 22=√8Con la fórmula de la distancia de un punto a un plano:
d (P ,π)=d ((3,1 ,4) , x−z−3=0)=∣3−4−3∣
√12+ (−1)2
=4
√2
Apellidos:..................................................................... Nombre: .................
Elige una de las dos opciones.
Opción B1ª Evaluación.
1ª Pregunta: a) Representar gráficamente la figura plana limitada por la curva y=ex , su recta tangente en el punto de abscisa x=0 , y la recta
x=1 .
Solución:La función y=ex es de sobra conocida:Ahora, calculamos su recta tangente por el punto (0, f (0)) es decir (0,e0
) o sea (0,1) :
y− y0=m( x−x0) . Calculamos la pendiente, que será el valor de la derivada de f en el punto (0,1):
f ' (x)=ex⇒ f ' (0)=e0
=1Así, la pendiente quedará:
y−1=1( x−0)⇒ y=x+1Si representamos la función, vemos que es efectivamente la tangente en x=0:Colocamos igualmente la recta x=1.b) Calcular su área. Su área se puede calcular simplemente restando las dos funciones y viendo su integral:
A=∫0
1(e x
−(x+1)) dx=∫0
1e x dx−∫0
1(x+1)dx=[e x ]0
1−[ x2
2+ x]
0
1
=
=e1−e0
−(12+1)=e−1−
32=e−
52=0,22 u2
2ª Pregunta:
a) Dada la función f (x)=senx+ sen(x+1)
cosx − cos(x+1)en el intervalo 0< x<2π ,
calcula su derivada, simplificándola en lo posible.
Solución:
f ' (x)=(sen x+sen(x+1))' · (cos x − cos(x+1))−(sen x +sen(x+1))(cos x −cos(x +1))'
cos x −cos(x+1)=
=(cos x+cos(x+1))·(cos x −cos( x+1))−(sen x+sen(x +1))(−sen x+sen(x+1))
(cos x −cos(x +1))2=
=(cos x+cos(x+1)) ·(cos x −cos(x+1))−(sen x+sen(x+1))(sen(x +1)−sen x)
(cos x −cos(x +1))2=
=(cos2 x−cos x ·cos(x+1)+cos(x +1) ·cos x−cos2
(x+1))−(sen x · sen(x+1)−sen2 x+sen2(x +1)−sen(x+1)· sen x)
(cos x −cos(x +1))2 =
=(cos2 x−cos2(x+1))−(−sen2 x+sen2(x +1))
(cos x −cos(x+1))2 =
cos2 x−cos2(x+1)+sen2 x−sen2(x+1)
(cos x −cos( x+1))2 =
=1−(cos2
(x+1)+sen2(x +1))
(cos x − cos( x+1))2 =
1−1
(cos x − cos( x+1))2 =0
b) ¿Es constante esta función f (x) ? Solución: Sí
2ª Evaluación.
3ª Pregunta:
a) ¿Para qué valores de t la matriz A=(1 0 40 t 4-1 3 t ) no tiene inversa?
Solución:Calculamos el determinante de A:
∣1 0 40 t 4
−1 3 t∣=(t 2−12)+4t=t 2+4t−12 Para que no tenga inversa, tiene
que pasar que t 2+4t−12=0
t=−4±√16+4 ·12
2=
−4±√16+482
=−4±√64
2=
−4±82
⇒
⇒{ x1=42⇒ x1=2
x2=−12
2x2=−6}
Por tanto, A no tendrá inversa si x=2 y si x= -6
b) Calcular la matriz inversa de A para t=1 , si es posible.Solución:
∣1 0 40 1 4
−1 3 1∣=(1−12)+4=−7
Calculamos la matriz adjunta:
(A)−1
=Adj (A)t
det (A)=
1−7
·(A11 A12 A1
A21 A22 A23
A31 A32 A33)
t
=1
−7·(
A11 A21 A31
A12 A22 A32
A13 A23 A33)=
=1
−7·(
∣1 43 1∣ −∣0 4
3 1∣ ∣0 41 4∣
−∣ 0 4−1 1∣ ∣ 1 4
−1 1∣ −∣1 40 4∣
∣ 0 1−1 3∣ −∣ 1 0
−1 3∣ ∣1 00 1∣ )=
=1
−7·(−11 12 −4−4 5 −41 −3 1 )=(
117
−127
47
47
−57
47
−17
37
−17
)A−1
=(117
−127
47
47
−57
47
−17
37
−17
)c) Llamando B a la inversa de A, si det (A)=5, ¿cuánto vale det (B) ?Solución:
Si det (A)=5, , entonces, det (B)=det ( A−1 )= 1det (A)
=15
3ª Evaluación
4ª Pregunta: Dados los puntos A (1,2,3 ) y B ( 4,5,6 ) , hallar las coordenadas de un
punto C, de la recta r :x−3
1=
y−1−1
=z
−2, de forma que el triángulo ABC
sea rectángulo en A.Solución:En primer lugar, calculamos el vector A⃗B
A⃗B=(4−1,5−2,6−3)⇒ A⃗B=⃗(3,3,3) .
Consideramos el plano π que pase por A (1,2,3 ) y que tenga como vector
normal al vector A⃗Bπ≡3x+3y+3z+ D=0⇒ D=−3 ·1−3 · 2−3 · 3=−3−6−9=−18
El plano buscado será: π≡3x+3y+3z−18=0⇒ x+ y+ z−6=0El punto C será el punto de intersección entre la recta r y el plano π
{r :x−3
1=
y−1−1
=z
−2π≡x+ y+z−6=0 }
Ponemos la recta r en paramétricas {x=3+ λy=1−λz=−2 λ
y sustituimos en π :
(3+λ)+(1−λ)+(−2λ)−6=0⇒3+λ+1−λ−2λ−6=0⇒⇒−2−2λ=0⇒−2λ=2⇒λ=−1
Vemos cuál es el punto poniendo λ=−1 :
{x=3+λy=1−λz=−2 λ
⇒{x=3−1
y=1−(−1)
z=−2 ·(−1)El punto es, entonces, el C (2, 2 ,2)
Vamos a comprobar que es rectángulo en A:Multiplicamos el vector AB por el vector AC:
A⃗B=⃗(3,3,3)
A⃗C=⃗(1−2,2−2,3−2)=⃗(−1,0 ,1)
A⃗B · A⃗C=⃗(3,3 ,3) ·⃗(−1,0 ,1)=−3+3=0⇒ Son perpendiculares.
![ACTIVIDADES - Solucionarios10 · ACTIVIDADES ( )[ ] (3.). (2) 9 5 4 3 2 1 T . 2,3 f VM f − ... 1 3 3 32 2 22 2 5 3 3 3 3 x f x x x x x x](https://static.fdocuments.ec/doc/165x107/613a48500051793c8c00f441/actividades-solucionarios10-actividades-3-2-9-5-4-3-2-1-t-23-f.jpg)
