Funciones de dos variables: Límites. Continuidad ... · Si z= f(x,y), las primeras derivadas...

IntroduccionLımites

Continuidad de funciones de 2 variablesDerivadas parciales

Derivadas parciales de orden superior

Funciones de dos variables: Lımites. Continuidad.

Derivadas parciales. Derivadas de orden superior.

Juan Ruiz Alvarez1

1Departamento de Matematicas. Universidad de Alcala de Henares.

Matematicas (Grado en Biologıa)

Juan Ruiz Alvarez Matematicas (Grado en Biologıa)




Contenidos

1 Introduccion

2 LımitesPropiedades de lımites

3 Continuidad de funciones de 2 variables

4 Derivadas parcialesInterpretacion geometrica

5 Derivadas parciales de orden superiorIgualdad de las derivadas parciales cruzadas





Indice

1 Introduccion









Introduccion

Al igual que para funciones de una variable, para funciones devarias variables es necesario estudiar conceptos tales como el delımite, continuidad o diferenciabilidad.





Propiedades de lımites

Indice

1 Introduccion










Definicion intuitiva de lımite en 2 variables

Decimos que una funcion de dos variables f (x , y) tiene lımite L enun punto (x0, y0), si la funcion tiende a L sea cual sea la direccionque tomemos al aproximarnos a (x0, y0).

Ejemplo: Calcular el lımite,

lım(x ,y)→(0,0)

x2 − y2

x2 + y2,

a traves de las trayectorias (x , 0) e (0, y).







Linealidad:

lım(x ,y)→(x0,y0)

(af (x , y) + bg(x , y)) = a lım(x ,y)→(x0,y0)

f (x , y)

+ b lım(x ,y)→(x0,y0)

g(x , y)

Lımite de un producto:


f (x , y)·g(x , y) = lım(x ,y)→(x0,y0)

(x , y)· lım(x ,y)→(x0,y0)

g(x , y)







Lımite de un cociente:


f (x , y)

g(x , y)=

lım(x ,y)→(x0,y0) f (x , y)

lım(x ,y)→(x0,y0) g(x , y)

Siempre y cuando


g(x , y) 6= 0

.





Indice

1 Introduccion









Continuidad de funciones de 2 variables

Definicion

Decimos que una funcion f de dos variables es continua en unpunto (x0, y0) si f (x0, y0) es igual al lımite de f (x) cuando (x , y)tiende a (x0, y0). Es decir, si


f (x , y) = f (x0, y0)

Ejemplo: ¿Es continua la funcion 5x2yx2+y2 en (1, 2)?





Si k es un numero real y f y g son funciones continuas en x0, y0,las funciones siguientes son continuas en (x0, y0):

Multiplo escalar k · f

Suma y diferencia f ± g

Producto f · g

Cociente fgsi g(x0, y0) 6= 0





Continuidad de la funcion compuesta

Si h es continua en (x0, y0) y g es continua en h(x0, y0), la funcioncompuesta (g ◦ h)(x , y) = g(h(x , y)) es continua en (x0, y0). Esdecir:


g(h(x , y)) = g(h)x0, y0))

Notar que h es funcion de 2 variables y g es funcion de unavariable.





Interpretacion geometrica

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1 Introduccion










Derivadas parciales

Si z = f (x , y), las primeras derivadas parciales de f respecto dex e y son las funciones fx y fy , definidas como

∂f (x , y)

∂x= fx(x , y) = lım

∆x→0

f (x +∆x , y)− f (x , y)

∆x

∂f (x , y)

∂y= fy (x , y) = lım

∆y→0

f (x , y +∆y)− f (x , y)

∆y

Siempre que el lımite exista.

Esta definicion significa que para calcular fx debemos considerar ycomo constante y derivar respecto a x . Analogamente, paracalcular fy debemos considerar x como constante y derivarrespecto a y .






Ejemplo: Hallar las derivadas parciales de

f (x , y) = 3x − x2y2 + 2x3y






Si y = y0, z = f (x , y0) es la curva de interseccion de la superficiez = f (x , y) con el plano y = y0. Por tanto, fx(x0, y0) es lapendiente de esa curva en el punto (x0, y0, f (x0, y0)).Analogamente, si x = x0, z = f (x0, y) es la curva de interseccionde la superficie z = f (x , y) con el plano x = x0. Por tanto,fy (x0, y0) es la pendiente de esa curva en el punto(x0, y0, f (x0, y0)). Por lo tanto, fx(x0, y0) y fy (x0, y0) nosproporcionan las pendientes de la superficie en las direcciones x ey .





Igualdad de las derivadas parciales cruzadas

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1 Introduccion










Derivada parcial segunda respecto a x :

∂

∂x

(

∂f

∂x

)

=∂2f

∂x2= fxx

Derivada parcial segunda respecto a y

∂

∂y

(

∂f

∂y

)

=∂2f

∂y2= fyy

Derivada parcial cruzada o mixta

∂

∂x

(

∂f

∂y

)

=∂2f

∂x∂y= fyx

Derivada parcial cruzada o mixta

∂

∂y

(

∂f

∂x

)

=∂2f

∂y∂x= fxy







Si f es una funcion de x e y , con fxy , fy ,x continuas en un entornode (x0, y0), entonces ,

fxy(x , y) = fyx(x , y),

en ese entorno.

Ejemplo: Calcular todas las derivadas parciales de

f (x , y) = 3xy2 − 2y + 5x2y2

f (x , y , z) = yex + xln(z)






Ejemplo: El area de un paralelogramo de lados adyacentes a y b,con angulo α entre ellos, viene dada por A = ab sin(α):

Calcular el ritmo de cambio de A respecto de a para a = 10,b = 20, y α = π

6 .

Calcular el ritmo de cambio de A respecto de α para a = 10,b = 20, y α = π

6 .






Roland E. Larson. Calculo volumen II. Ed. Mc Graw Hill.


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