Apuntes y ejercicios de matemáticas:Multiplicación:

(7−i )∗(3−5i )=7∗3−7∗5 i−3 i+5 i2=21−35i−3i+5∗(−1 )=21−35 i−3 i−5=16−38 i

i2=(√−1 )2=−1

División:

(7−i )(3−5 i )

=

(7− i)(3−5i )

∗(3+5 i )

(3+5i )=

(7−i )∗(3+5i )(3−5 i )∗(3+5 i )

= 21+35 i−3 i−5 i2

9+15 i−15 i−25 i2=21+35 i−3 i−5(−1)

9−25 (−1)=26−32 i9+25

=2634

−3234i=1317

−1617i

Actividad:Realizar un mentefacto procedimental de la multiplicación y de la división de números complejos

Apuntes de repaso:Página 73. Punto 3.a)

2−3 i5+4 i

=

2−3 i5+4 i

∗5−4 i

5−4 i=

(2−3 i ) (5−4 i )(5+4 i ) (5−4 i )

= 10−8i−15i+12 i2

25−20 i+20 i−16 i2=−2−23 i

41=−241

−2341i

2.a) (1−5 i ) (2+6 i )=2+6 i−10 i−30 i2=2+6 i−10 i+30=32−4 i

4.b)−32

+4 i

z1= a−bia2+b2

=

−32

−4 i

(−32

)2

+(4 i)2=

−32

−4 i

94+16

=

−32

−4 i

9+644

=

−32

−4 i

734

=

−32734

− 4 i734

=−12146

−16 i73

Expresiones AlgebraicasPropósito: Recordar saberes previos, para abordar el tema de sistemas de ecuaciones lineales.Se puede definir como un conjunto de variables, números y operaciones entre sí.Ej: 5x+2m-56mx2

3m+5mn5n+2x-50mx6x2+2m-4x2+m10x+7m2

PolinomiosSe le simbolizan con una letra mayúscula y contiene expresiones algebraicas.

Ejemplo:P ( xy )=2 x2+ 3

2x y3−4

A ( x )=4 x+0.5 x2

Lenguaje AlgebraicoEs una forma de escribir expresiones algebraicas, pero con un lenguaje específico.Ejemplo:Lenguaje Algebraico Expresión AlgebraicaLa suma de dos números x+yLa diferencia entre dos números es cuatro

m-n=4

El cuadrado del producto de dos números

(xy )2

El cubo del cociente entre un número y la suma de dos números

( rd+s

)3

La raíz cuadrada del producto entre el cuadrado de un número y el cubo de otro

√ x2 y3

El doble de la suma de dos números

2(m+n)

El triple de la diferencia de dos números

3(x− y)

La mitad de la diferencia de dos números

x− y2

La semi suma de dos números.

x+ y2

La suma entre un número y el cuadrado de su número siguiente

x+(x+1)2

La suma de los cuadrados de dos números

x2+ y2

Ecuaciones LinealesSon polinomios cuyo mayor exponente es el uno y tienen una igualdad. Para solucionar ecuaciones lineales se deben implementar operaciones contrarias o inversas a ambos lados de la igualdad.Suma----RestaMultiplicando----DividiendoPotencia----RadicaciónLogaritmo---PotenciaEjemplo:2x+3x-9=7Para resolver esta ecuación se deben implementar operaciones inversas.5x-9=7 Se suman términos semejantes5x-9+9=7+9 Se suma a ambos lados de la igualdad 9 (Este paso sobra)

5x=7+95x=165x5

= 165 se divide a ambos lados de la igualdad entre 5

X=165

Taller de ecuaciones lineales Resolver las siguientes ecuaciones lineales:(Reforzar el despeje de ecuaciones)

a. 20−7 x=6 x−6

b. 7 x+2=10 x+5

c. 4 y+4+9 y+18=12 ( y+2 )

d. 28(6 x−74 + 3 x−57 )=28(5 x+7828

)

28( 7 (6 x−7 )+4 (3 x−5 )28 )=28( 5 x+7828

)

7 (6 x−7 )+4 (3 x−5 )=5x+7842 x−49+12x−20=5 x+7842 x+12x−5 x=78+49+20

49 x=147

x=14749

x=3

e. 32x+23x=1+3 x

2

f. x−22

+ x−2(x−4)6

= x3

6 ( x−2 )+2 ¿¿

6 x−12+2(x−2 x+8)12

= x3

6 x−12+2x−4 x+1612

= x3

4 x+412 = x

3

3 (4 x+4 )=12x

12 x+12=12x

12 x−12x=−12

0=−12

La ecuación no tiene solución en lo reales.¿Cómo se extraen ecuaciones de un problema matemático?

-Identificar las variables (Se encuentran en la pregunta del problema)- Deben identificar las oraciones donde se encuentran las variables (es ahí donde estarán las ecuaciones)

Ejemplos:1. A un parque ingresaron 250 personas en un día, el

parque tiene dos tipos de brazaletes para su ingreso, oro y plata. Si con el brazalete de plata ingresó la cuarta parte de los que ingresaron con el brazalete de oro, ¿cuántas personas ingresaron con cada tipo de brazalete?X: Brazalete de oroY: Brazalete de plataX+y=250y= x4

2. Catalina ganó 20 tickets entre rojos y verdes que promocionan los juegos de destreza en un parque de diversiones. Por cada ticket rojo le dan 3 puntos y por cada ticket verde le dan 5 puntos. Si Catalina reunió 84 puntos para reclamar un balón, ¿cuántos tickets de cada color utilizó Catalina?

R: Tickets rojosV: Tickets verdesR+V=203R+5V=84

3. Para ingresar a la casa del terror, Andrés pagó $35.000 por 4 adultos y 5 niños y Gabriela pagó $31.000 por 2 adultos y 7 niños. ¿Cuál es el costo de la entrada para un niño y un adulto? N: Entrada de niñosA: Entrada de adultos4A+5N=35.0002A+7N=31.000

Lenguaje algebraico Expresión algebraicaY,mas,total,costos totales +Entre, repartición, distribución

÷

Factor que se está repitiendo

×

Diferencia, mas que otro, cuanto le falta…

-

Taller de ecuaciones 1Definir variables y extraer las ecuaciones de los siguientes problemas:

1. En un parque de diversiones se destina un terreno rectangular para colocar su nueva atracción mecánica. Se sabe que el largo es el triple de su ancho y que el perímetro es de 48 m. ¿cuáles son las dimensiones del terreno?L: LargoA: AnchoL=3A2A+2L=48P=A+A+L+L48=2A+2L

2. Daniel Tejares cría en su granja conejos y patos, y afirma que contó 50 cabezas y 134 patas en total. ¿cuántos conejos y cuántos patos hay en total?C: ConejosP: PatosC+P=504C+2P=134

3. Roberto trabaja en el ensamble de una carpa de circo para un parque. Él debe fijar los cables que sostienen cada mástil vertical a una armella colocada en el piso a una distancia x de la base como se muestra en la figura

Si el perímetro del triángulo que forma el mástil, el cable y la distancia del mástil a la armella es de 30 m y la distancia del mástil a la armella es cinco veces la diferencia entre la altura del mástil y la longitud del cable, ¿cuánto cable necesita Roberto para hacer el ensamble de la carpa? ¿A qué distancia del mástil se deben colocar las armellas?X: ArmellaY: CableX+y+13=30X=5(13-y)

4. La base de un rectángulo es el doble de su altura y su perímetro mide 60 cm. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo?

A: AlturaB: Base

B=2A 2A+2B=60

5. En un kiosko venden revistas deportivas y de espectáculo cuyos precios son $3.290 y $2.590, respectivamente. Si se han reunido $63.980 por la venta de 22 de estas revistas, ¿Cuántas

corresponden a deportivas y cuántas a espectáculo?D: DeportivasE: EspectáculoD+E=223.290D+2.590E=63.980

Pag 154 6.cPara ingresar a un zoológico los adultos pagan $15.000 y los niños $5.000. Cierto día 410 personas y recaudaron 3.350.000. ¿Cuántos niños ingresaron ese día?A: AdultosN: NiñosA+N=41015.000A+5.000N=3.350.000

Pag 158 6.aEn Colombia existe 84 parques temáticos que se clasifican en dos subgrupos. Los que tienen convenio con empresas privadas y los que son del estado.Si la cantidad de parques con convenios es 3 veces los que son del estado aumentado en 4, ¿Cuántos parques temáticos tienen convenios y cuántos son del estado?D: parques con convenioN: parques del estadoD+N=84D=3N+4Pag 162 6 y 7

6.a) Tomás es profesor en un centro de idioma y enseña a un total de 85 estudiantes de dos secciones. Además, se sabe que los dos tercios de la cantidad de estudiantes de una sección más los cinco medios de la cantidad de estudiantes de la otra sección suman 152 estudiantes, ¿A cuántos estudiantes enseña Tomás en cada sección?

X: Estudiantes de la sección 1Y: Estudiantes de la sección 2X+y=8523x+52y=152

Sistemas de Ecuaciones Lineales 2X2Un sistema de ecuaciones lineales 2x2 está conformado por dos ecuaciones lineales que tienen dos variables.

Existen varios tipos de métodos para solucionar estos sistemas de ecuaciones lineales. Y son:

Método gráfico

Permite encontrar la solución del sistema de ecuaciones lineales, a partir del plano cartesiano y sus gráficas lineales correspondientes.Para aplicar el método gráfico se deben seguir los siguientes pasos:

1. Definir las variables2. Extraer las ecuaciones3. Despejar de ambas ecuaciones la variable (y)4. Se procede a graficar las ecuaciones en el plano

cartesiano (Geogebra)5. Su punto de corte será la solución del problema

Ejemplo: A un parque ingresaron 250 personas en un día, el parque tiene dos tipos de brazaletes para su ingreso, oro y plata. Si con el brazalete de plata ingresó la cuarta parte de los que ingresaron con el brazalete de oro, ¿cuántas personas ingresaron con cada tipo de brazalete?

1. X: Brazalete de oroY: Brazalete de plata2. X+y=250

y= x4

3. Despejamos la variable y en ambas ecuaciones:Y=-x+250Y=250-xy= x4

4. ¿Cómo se grafica en el plano cartesiano ambas rectas?

Para esto tenemos que tener en cuenta la geometría básica que dice que por dos puntos va a pasar una recta, por lo tanto, debemos encontrar dos puntos (dos coordenadas cartesianas) en ambas rectas. Para encontrar esas coordenadas cartesianas, vamos a darle a la x dos valores, estos valores son de nuestra preferencia. Después de escoger los valores debemos realizar una tabla de valores.1° ecuaciónx 0 1 y 250 249

(0,250)(1,249)Reemplazamos esos valores en las ecuaciones:X=0 en y=250-xY=250-0=250X=1 en y=250-xY=250-1=2492° ecuaciónX 0 1

y 0 1/4(0,0)(1,1/4)X=0 en y= x4

Y=04=0

Y=14=0,25

5.

El punto de corte es (200,50)X=200Y=50

R:/ Ingresaron 200 personas con brazalete de oro y 50 personas con brazalete de plata.

2. Daniel Tejares cría en su granja conejos y patos, y afirma que contó 50 cabezas y 134 patas en total. ¿cuántos conejos y cuántos patos hay en total?1. X: ConejosY: Patos2. X+y=504x+2y=1343.y=50-x 2y=134-4xy=134−4 x

2

4. y=50-x x 2 11y 48 39

(2,48)(11,39)Y=50-2=48Y=50-11=39y=134−4 x

2

x 8 12y 51 43(8,51)

(12,43)

y=134−4 (8)2

=1022

=51

y=134−4 (12)2

=862

=43

5.

El punto de corte es (17,33)X=17Y=33R:/ Hay 17 conejos y hay 33 patos.

Actividad: 28-04-2020Realizar por el método gráfico la solución de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales 2x2:

Criterios de evaluación- Debe ser realizado en un documento Word- Debe tener adjunto los pantallazos en Geogebra de

las gráficas de cada uno del sistema de ecuaciones.- Debe contener todos los pasos descritos en la clase

anterior, para esto usen los apuntes que hay en este documento. (no deben definir ni variables ni sacar las ecuaciones porque ya están, a partir del paso 4 deben aplicar el método gráfico)

- El documento debe contener su nombre completo y grado.

Método de Igualación

Como su nombre lo dice es un método que requiere de igualar dos ecuaciones, en este caso las ecuaciones deberán estar despejadas para poder encontrar la solución del sistema.Para aplicar el método de igualación, vamos a seguir los siguientes pasos:1. Extraer las variables2. Extraer las ecuaciones3. Despejar una misma variable en ambas ecuaciones4. Igualar ambas ecuaciones y se prosigue a despejar la

variable y hallar su valor5. Reemplazar el valor de esa variable en cualquiera de

las ecuaciones para hallar el valor de la otra variable faltante

6. Respuesta al problema o al ejercicioEjemplo:

a. Daniel Tejares cría en su granja conejos y patos, y afirma que contó 50 cabezas y 134 patas en total. ¿cuántos conejos y cuántos patos hay en total?

1. Extraer las variables:C: ConejosP: Patos

2. Extraer las ecuaciones:C+P=504C+2P=134

3. Despejar una misma variable en ambas ecuacionesDespejamos P en ambas ecuaciones:P=50-c2 P=134−4C

P=134−4C2

4. Igualar ambas ecuaciones y se prosigue a despejar la variable y hallar su valor:Igualamos P:50−c=134−4C

2 , todo quedó en término de C50−C=134

2−4C2

50−c=67−2C−C+2C=67−50C=17

5. Reemplazar el valor de esa variable en cualquiera de las ecuaciones para hallar el valor de la otra variable faltante:Reemplazamos C en P=50-C:P=50-17=33

6. Respuesta al problema o al ejercicioR:/ hay 17 conejos y 33 patos

b. Tomás es profesor en un centro de idioma y enseña a un total de 85 estudiantes de dos secciones. Además, se sabe que los dos tercios de la cantidad de estudiantes de una sección más los cinco medios de la cantidad de estudiantes de la otra sección suman 152 estudiantes, ¿A cuántos estudiantes enseña Tomás en cada sección?

1. Extraer las variables:X: primera secciónY: Segunda sección

2. Extraer las ecuaciones:X+y=8523x+52y=152

3. Despejar una misma variable en ambas ecuaciones:Despejamos x en ambas ecuaciones:X=85-y23x=152−5

2y

x=3(152−5

2y)

24. Igualar ambas ecuaciones y se prosigue a despejar la

variable y hallar su valor

85− y=3(152−5

2y)

2, igualamos ambas ecuaciones

2 (85− y )=3(152−52y), se pasa el dos a multiplicar

170−2 y=456−152y, se aplica la propiedad distributiva

−2 y+152y=456−170, se agrupan términos semejantes

112y=286, se operan los términos semejantes

11 y=572, se pasa el dos a multiplicar

y=57211 , se pasa el 11 a dividir

y=52

5. Reemplazar el valor de esa variable en cualquiera de las ecuaciones para hallar el valor de la otra variable faltante:Reemplazamos y en X=85-y:X=85-52=33

6. Respuesta al problema o al ejercicio:R:/ Tomas tiene en la primera sección 52 estudiantes y en la segunda sección 33 estudiantes.

Socialización1. Sofía Balbín

X+2y=45x-2y=-4Despejamos y en ambas ecuaciones:

y= 4−x2

y=−4−5x−2

Igualamos ambas ecuaciones:4−x2

=−4−5 x−2

−2 (4−x )=2 (−4−5x )

−8+2 x=−8−10 x

2 x+10 x=−8+8

12 x=0

x= 012

=0

Reemplazamos x en y= 4−x2 :

y= 4−02

=42=2

R:/ x=0 y Y=1. Salomé López

3x+y=8x-4y=-6Despejamos a x en ambas ecuaciones:

x=8− y3

x=−6+4 yIgualamos ambas ecuaciones:

8− y3

=−6+4 y

83− y3

=−6+4 y

y3−4 y=−8

3−6

−113y=−26/3

y=

−263

−133

y=2613

=2

Reemplazamos y en x=−6+4 y:x=−6+4 (2 )=2

R:/ x=2 y y=2

2. -3x-5y=-14-5x+y=6

Despejamos x en ambas ecuaciones:x=−14+5 y

−3

x=− y+6−5

Igualar ambas ecuaciones:−14+5 y

−3=− y+6

−5

−5 (−14+5 y )=−3 (− y+6 )

70−25 y=3 y−18

−25 y+3 y=−18−70

−22 y=−88

y=−88−22

=4

Reemplazamos el valor de y en x=− y+6−5 :

x=4+6−5

= 10−5

=−2

2. Jesús David GuzmánX+4y=63x+y=-4Despejamos x en ambas ecuaciones:

x=6−4 y

x=−4− y3

Igualamos ambas ecuaciones:6−4 y=−4− y

33 (6−4 y )=−4− y18−12 y=−4− y18+4=− y+12 y

22=11 y

y=2211

=2

Reemplazamos y en x=6−4 y:

x=6−4 (2 )=−2R:/x=-2 y y=2

1. Miguel Ángel Jiménez-x+2y=3X+y=0Despejamos y en ambas ecuaciones:

y=3+x2

y=−xIgualamos ambas ecuaciones:

3+x2

=−x

3+x=−2x3=−2x− x3=−3 x3

−3=x

x=−1

Reemplazamos x en y=−x:y=−(−1 )=1

Solución por medio del Método de Sustitución:

Como su nombre lo dice, este método se encarga sustituir una variable y reemplazarla en una ecuación dada.Para aplica el método de sustitución debemos seguir los siguientes pasos:

1. Definir variables2. Extraer las ecuaciones3. Se debe despejar una variable de una de las

ecuaciones4. Esa variable se reemplaza en la ecuación que no fue

despejada5. Se halla el valor de la variable despejada6. Se reemplaza el valor de la variable conocida en la

ecuación despejada7. Se le da respuesta al problema

Ejemplo:A un parque ingresaron 250 personas en un día, el parque tiene dos tipos de brazaletes para su ingreso, oro y plata. Si con el brazalete de plata ingresó la cuarta parte de los que ingresaron con el brazalete de oro, ¿cuántas personas ingresaron con cada tipo de brazalete?

1. X: Cantidad de brazaletes de oroY: Cantidad de brazaletes de plata

2. X+y=250

y= x43. Como y está despejada seguimos con el paso 4.y= 14x

4. Reemplazamos y en X+y=250:1 x+ 1

4x=250

5. 54 x=250x=4 (250)

5x=200

6. Reemplazamos el valor de x en y= 14 x:

y= 14

(200 )=50

7. Ingresaron al parque 200 personas con brazalete de oro y 50 personas con brazalete de plata.

Método de Eliminación o ReducciónEste método es utilizado para eliminar alguna de las dos variables y proseguir a resolver el sistema de ecuaciones.Para aplicar el método de eliminación vamos a seguir los siguientes pasos:

1. Extraer las variables2. Extraer las ecuaciones3. Las ecuaciones deben estar igualadas a una

constante (número).4. Mediante el inverso aditivo de una de las variables se

elimina la variable para resolver la ecuación en términos de la otra variable faltante.

5. Se reemplaza el valor de la variable en cualquier ecuación hallada en el paso 3 y se encuentra la variable eliminada

6. Se le da respuesta al problemaInverso Aditivo: es el mismo número pero con signo contrario.Ejemplo: 5x----- -5x-8xy------ 8xySe multiplican los términos de una o ambas ecuaciones por números reales, de tal manera que los coeficientes de

una de las variables en las dos ecuaciones se diferencien únicamente en el signo.Ejemplo:

3. Las ecuaciones deben estar igualadas a una constante (número).

2x+y=85 3x-7y=2 4. Mediante el inverso aditivo de una de las variables

se elimina la variable para resolver la ecuación en términos de la otra variable faltante.

Para hallar el inverso aditivo de x:2x+y=85 (*3)3x-7y=2 (*-2)Aplicamos el inverso aditivo para eliminar la variable x:6x+3y=255-6x+14y=-40+17y=251Y=251

17Y=14.76

5. Se reemplaza el valor de la variable en cualquier ecuación hallada en el paso 3 y se encuentra la variable eliminada

Reemplazamos y en 2x+y=85: 2x+14.76=85Despejamos x:2x=85-14.762x=70.24

X=70.242

X=35.126. Se le da respuesta al problema

R:/ x=35.2 y y=14.76

Ejemplo2:En un parque de diversiones se destina un terreno rectangular para colocar su nueva atracción mecánica. Se sabe que el largo es el triple de su ancho y que el perímetro es de 48 m. ¿Cuáles son las dimensiones del terreno? Solución:

A

L1. Extraer las variables:

A: AnchoL: Largo

2. Extraer las ecuaciones:L=3A2A+2L=48

3. Las ecuaciones deben estar igualadas a una constante (número).2L+2A=48L-3A=0

4. Mediante el inverso aditivo de una de las variables se elimina la variable para resolver la ecuación en términos de la otra variable faltante.

Por simplicidad escojamos la variable L para eliminar:2L+2A=48 (*1)L-3A=0 (*-2)Vamos a eliminar a L:2L+2A=48-2L+6A=00+8A=48A=48

8A=6

5. Se reemplaza el valor de la variable en cualquier ecuación hallada en el paso 3 y se encuentra la variable eliminadaReemplazamos el valor de A en L-3A=0:L-3(6)=0L-18=0L=18

6. Darle respuesta al problema:R:/ El Largo es 18 m y el ancho es 6 m

Ejemplo 3:Tomás es profesor en un centro de idioma y enseña a un total de 85 estudiantes de dos secciones. Además, se sabe que los dos tercios de la cantidad de estudiantes de una sección más los cinco medios de la cantidad de estudiantes de la

otra sección suman 152 estudiantes, ¿A cuántos estudiantes enseña Tomás en cada sección?

1. X: Estudiantes de la primera secciónY: Estudiantes de la segunda sección

2. X+y=8523x+52=152

3. X+y=8523x+52y=152

4. Vamos a eliminar a x:

X+y=85 (*−23 )

23 x+52y=152 (*1)

−23x−23y=−170

3

23x+52y=152

0+116y=286

3

Y=2863116

=171633

=57211 =52

5. Reemplazar y en X+y=85:X+52=85X=85-52X=33

6. R:/ En la primera sección hay 33 estudiantes y en la segunda sección hay 52 estudiantes.